143 然，在第一個例子中，彈簧構成保持0點穩定的機制，而在第二個例子中沒有。 如果我們把AB之間小球各點的運動趨勢都用箭頭標出來，就得到圖 4.3。 我們看 A 0 B 到，彈簧實驗中小球各點的 2 運動方向都指向0（圖 4.3a），而電荷實驗中小球在 b A AB之間沒有一個共同的歸 0 圖4.3 B 宿（圖4.3b）。 圖4.3這種表示方法被稱為某種變換的動態圖，圖上按箭頭方向移動的點稱為示象點，它們表示變換所經歷的各個狀態。大多數城市的公共汽車站牌上，用動態圖向乘客指示汽車行駛的方向。在我們的討論中，動態圖可以用來指示一系列變化中穩定態的位置。圖4.4的兩個動態圖，分別表示 A 點是穩定的和不穩定的兩種情況。有穩定態的動態圖在行為上刻畫了穩定機制。 A A點穩定 A點不穩定圖4.4 如果各個狀態的變化是連續的，我們可以用空間連續的箭頭來表示狀態之間的變化關係。圖4.5 就是幾種連續的穩
144 控制論和科學方法論 A點穩定 A點不穩定 A點穩定 A點不穩定圖4.5 定和不穩定情況。 除了動態圖，人們還經常用勢函式曲線來表示穩定機制。 物理學認為，自然界存在的任何物質從能量上講必須具有穩定性。比如兩個氫原子組成一個氫分子，兩個氫原子之間的距離必定是勢能最小的距離R（圖 4.6）。這樣的結構是氫分子結構中最穩定的結構。為什麼呢？ 因為干擾是無處不在的， 如果氫分子的能量（由原 Ro R O 子之間的距離R決定）比鄰近結構高，那麼任何一圖 4.6 氧分子的勢能點外界干擾都會使氫分子第四章質變的數學模型 145 發生變化，放出能量，原有的結構也就不能穩定地存在。氫原子之間的距離最終將趨於勢能曲線注的最低部，達到穩定態。 圖4.6這條曲線又被稱為氫原子距離的勢函式曲線。勢函式具有廣泛的意義。對自然界不同的過程，勢函式的物理意義是不同的。對於水的物相，勢函式是自由能2，它的勢函式曲線如圖4.7。這條勢函式曲線上分佈著三個注。由於事物的狀態總是自動趨向勢函式值較小的位置，因此勢函式曲線的注底就一定是事物的穩定態。不管幹擾使狀態如何變動，事物最終將回到注底這個位置上。勢函式窪的這種性質被人們用來描述事物的穩定性。每一個窪都表示事物的一個穩定態， 注底的位置就是穩定態的 Z4 位置，注越深意味著相應的穩定態越穩定。圖 4.6 曲線只有一個注，意味著氫分子只有一種穩定的結 V/N 構。圖4.7 曲線有三個窪，它們分別代表水的固、 液固氣圖 4.7 水的勢函式曲線液，氣三種穩定的物態。 在彈簧實驗和電荷實驗中，如果分別用虎克定律和庫侖定律計算一下，就可以看到原來彈簧小球位置的勢函式有一個窪，所以它有穩定態（圖4.8a），而電荷小球位置的勢函式沒有注，所以沒有穩定態（圖4.8b）。 當事物的狀態空間不是一維的時候，也可以用窪來表示穩定機制。二維狀態空間的注不是由一條曲線組成的，而是由一
146 控制論和科學方法論 b b a 0 圖 4.8 b ~X 個曲面圍成的。圖4.9中一個勢函式曲面有窪，另一個沒有窪，它們分別表示有穩定態和沒有穩定態的情況。 細心的讀者或許已經發現，如果把圖4.8的勢函式曲線投影到底邊上，ab 之間的箭頭方向跟圖4.3是一致的。如果把圖4.9的勢函式曲面投影到底平面上，就得到跟圖 4.5 相似的箭頭。 這說明用動態圖來表示事物的穩定機制跟用勢函式來表示是一致的。 有穩定態 Y 沒有穩定態圖4.9 人們一定會問，這種表示穩定機制和穩定結構的方法普遍性如何？實際上，雖然事物性質千差萬別，但其豐富的質的規第四章質變的數學模型 147 定性都相應著各層次存在著這樣那樣的穩定機制。比如地面上任一個不動的物體，在力學上是穩定的。地心引力、摩擦力、 地面反作用力一起構成保持其位置不變的穩定機制，這一機制可用勢能函式曲線注表示。同時這一物體之所以有一定的化學和物理性質，是由於在分子層次原子間的作用能是保持它具有確定物質結構的穩定機制。它可以表示為化學能量曲面的窪。即使到了基本粒子層次，原子核之所以能穩定存在，也存在著相應的穩定機制，這種機制又能表示為勢函式窪的形式。 利用勢函式窪來表示穩定機制不但形象，而且有許多奇妙的用處。最有意義的，就是利用它可以非常清晰有力地闡明事物質變過程中出現飛躍或漸變的原因。 4. 5 事物性質的不變、漸變和突變事物在發生變化的時候，勢函式曲線以及它的注是怎樣變化的呢？我們先來分析一個簡單的例子。對一塊直立的長方形木塊施加一個推力F，假定木塊的支點因摩擦作用不動，那麼隨著F 的增大，木塊逐漸傾斜，木塊底邊與地面的夾角日逐漸增大。當木塊傾斜到某一個角度8。時，漸變過程就中斷，木塊突然翻倒，夾角8一下子從9。 飛躍到 90°。這是一個在推力F 作用下木塊的穩 0 定性被破壞的過程（圖圖 4.10 4.10）。
148 控制論和科學方法論木塊在沒有F的情況下，只可能處於直立或橫立兩個穩定的狀態。也就是說，9角的穩定態只有0°和90°。無論木塊開始時傾斜成什麼角度，最後要麼直立，要麼橫立，別無選擇。如果我們畫出木塊在前面幾次翻倒運動中重心的軌跡， 得到圖4.11中那一條曲線，它由幾條圓弧組成。這條曲線也就是木塊的勢函式曲線。它有兩個注，注底的位置a 和b對應著木塊直圖4.11 立和橫立兩個穩定態。 在推力F的作用下，木塊的勢函式曲線就逐漸發生了變化（圖4.12）。可以看到，隨著 a1、a2、23，這個階段由於a 注沒有消失，木塊還處於穩 9=8 定態中，9角是逐漸由 0°增大到 8。的。到8。 時，木塊重心到 a3位 a. 置，這時a注消失，勢函式曲線只剩下b注，這 &z 意味著木塊由第一個穩 9=0 a； 定態過渡到第二個穩定態，重心由 Bs飛躍到 9=90° b，夾角相應由0。翻到 a 90°，突變發生。 q 圖4.12 這個過程雖然比較第四章質變的數學模型 149 簡單，卻很典型。它說明了幾個問題：（1）當勢函式的注不變時，事物處於穩定不變的狀態。（2）當條件的改變引起勢函式注的移動變淺時，事物發生漸變。勢函式窪越淺，事物越不穩定。（3）當條件的改變使勢函式舊有的注消失，狀態經歷不穩定態往新注過渡時，事物發生突變。舊注消失的那一點，就是飛躍的關節點。 從勢函式曲線窪的變化，可以解釋為什麼尖點型模型的前面會出現一個摺疊。當然，突變理論嚴格的數學推導較為複雜，但對它作直觀的說明卻並不困難。我們看圖4.13，垂直排列的一些平面表示有兩個窪的勢函式曲線的順序變化， 它們對應著事物兩個穩定態的相互轉化過程。底平面的一個變數表示條件的變化。如果我們把垂直平面中兩個注的位置投影到底平面上，就得到一條S形的曲線，它表示隨著條件的變化，兩個穩定態的轉化過程。實際上，圖4.1突變模型中的摺疊面，就是由一系列這樣的S形曲線連續地組合起來的。 突變突變囝 4.13 排列勢函式圖，在底平面一條反§形曲線投影由此，我們不難理解為什麼說突變理論是以結構穩定性的研究為基本出發點的了。
150 控制論和科學方法論 4.6 怎樣判別飛躍那些主張“自然界沒有飛躍”的人絕大多數場合都是基於這樣一種信念：在任何兩種質態之間總能找到一系列中間狀態把它們聯絡起來，這些中間狀態是任何轉化過程必須要經歷的。因此，不管轉化的快慢如何，它們總是連續的、漸進的。比如水在常壓下100°C沸騰成水蒸氣，我們說水從液態密度一下子變為氣態密度，這是一個飛躍過程。但從漸變論的角度來說，水的密度變化也一定經歷了液態密度到氣態密度之間的那些中間密度過程，無非是時間極短而已，所以他們認為不能說其中出現了飛躍和中斷。木塊在外力作用下從直立狀態翻倒為橫立狀態。開始在外力的作用下木塊是逐漸傾斜的，當夾角到達某一個角度0。時，木塊突然倒下， 夾角從0。一下子變為90°，我們說這是一個飛躍。但漸變論者認為，不管木塊翻轉的速度如何，它都必須連續地經歷o° 到90°之間的一切角度，因此也不能說中間有什麼飛躍階段。 這種觀點尤其容易被生物學家接受。在研究生物進化時，隨著大量具有中間性狀的古生物化石被發現，物種之間的鴻溝逐漸被填平了，進化在大多數場合可以被理解為一種千百萬年間發生的漸進的過渡，很難用“漸進的中斷”、“不連續”、 “突然發生”之類飛躍的模式來套用物種的轉化。 這種觀點具有相當的說服力，對那些堅持“自然界充滿了飛躍”的說法是一種挑戰。這個問題的提出，正暴露出經典的飛躍論的一個嚴重缺點。經典的理論在確定一個過程第四章質變的數學模型 151 是否是飛躍時，缺乏明確的判定原則，一般只簡單地把飛躍說成是一個突然地、迅速地發生的過程，把飛躍和非飛躍歸結為變化速度的區別。事實上這種判定原則並不總是適用的。它無法排除那些迅速地發生的漸進過程，無法理解那些花費時間較長的飛躍過程，也不能解釋變化速度和關節點上的不連續性的關係。它經不起仔細推敲，反而為根本否定飛躍的存在提供了機會。兩種飛躍論企圖用“爆發式飛躍”和 “非爆發式飛躍”來解釋質變過程中存在的不同轉化方式，但他們提出的判定爆發和非爆發的原則仍舊沒有越出變化速度、漸進的中斷、變化的突然性之類框框，因此不但沒有解決經典飛躍論原有的困難，相反還帶來了新的邏輯混亂。 根據突變理論和系統穩態結構分析，我們可以提出一條新的判別飛躍的原則：如果質變中經歷的中間過渡態是不穩定的，那麼它就是一個飛躍過程，如果中間過渡是穩定的，那麼它就是一個漸變過程。 為什麼不用中間過渡態是否存在或變化速度是否快慢來判定飛躍，而用中間過渡態是否穩定來判定飛躍呢？因為這樣不但更科學更精確了，而且把握了飛躍過程和漸變過程本質上的差別。根據這條判定原則，我們說水在常壓下 100°C沸騰是一個飛躍，因為在這樣的條件下，液態和氣態密度之間的那些中間密度狀態都是一些不穩定態，水的沸騰的本質是從液態穩定態向氣態穩定態的過渡，它不能停留在不穩定的中間密度狀態中。相反，如果按圖4.1CD 曲線控制條件，繞過了臨界點，那麼，液態和氣態之間的中間密度狀態都是穩定的，水可以不經過沸騰，而經過逐漸變稀薄，變成似水
152 控制論和科學方法論非水似氣非氣的一系列穩定的中間狀態，採用一種漸變的方式。木塊從直立狀態翻倒的過程中，我們承認木塊循序經歷了從o到90°之間的一切角度，但從6。角度開始，木塊的重心超出了支點，它經歷了一個不穩定的過渡階段翻倒下來，因此它是一個飛躍。 分析化學中，強酸強鹼的滴定在等當點附近的pH行為歷來被飛躍論者認為是一個飛躍。圖4.14的滴定曲線顯示出等當點附近的陡直變化，它表示滴定進行到等當點附近時 pH發生迅速的改變。實際上，整個滴定過程中溶液在滴定劑的控制下都是穩定的。 pH 即使在等當點附近，在嚴格滴定的條件下pH 值還是受控的。即只要加入鹼的量很少，總可以使溶液的pH變化充分小，曲線總是可微的。如果 PH有等當點不穩定的區間就無法用於定量分析。因此這是一個圖 4.14 酸鹼滴定曲線漸變過程。 對於我們以前討論過的那些有複雜反饋聯絡的系統、自繁殖系統和自組織系統，用穩態結構來判別飛躍具有特殊的意義。影響這類系統變化的因素往往很多，通常我們一時找不到簡單的突變模型來描述它們。它們的變化不但取決於其他控制條件，還取決於系統變化本身。研究這類系統的飛躍是很有意思的。我們知道，燃料可以透過自然氧化的方式第四章質變的數學模型 153 釋放熱量，也可以透過爆炸的方式釋放熱量，為什麼有這種差別呢？原來，在爆炸的情況下，一部分燃料氧化後釋放的熱量不能及時散發掉，使周圍溫度迅速提高，加速了周圍燃料的氧化並使溫度進一步提高。這樣，就形成了一個正反饋系統。只要有一小部分點燃，整塊燃料就立即處於一種不穩定狀態之中，以爆炸的方式一下子全部氧化。這是一個以飛躍完成的質變過程。而在自然氧化的情況下，由於熱量能及時散發開去，一部分燃料的氧化並不影響整塊燃料的穩定性，燃料可以透過穩定的氧化反應過程，不形成正反饋系統， 因此這是一個以漸變完成的質變過程。同樣的道理，我們可以把雪崩稱為飛躍，而把滾雪球稱為漸變，是因為雪堆在兩種情況下穩定性不同的緣故。黑格爾在《邏輯學》中曾經舉過從頭上拔走一根頭髮是否會成為禿子和從谷堆裡取走一粒谷是否還會有谷堆的例子，藉以說明量變如何導致了質變。對於我們來說，要確定一個質變是由飛躍方式進行還是漸變方式進行，就不但要研究質變，而且要研究質變發生時事物的穩定性如何。顯然，我們從頭上拔走一根頭髮，剩下的頭髮還是穩定地長在頭上的。我們取走一粒穀子，剩下的谷堆仍然可以保持著穩定性。因此禿子形成和谷堆取完的過程都是以漸變的方式實現的。如果是一副多米諾骨牌，情況就大不一樣了。遊戲的規則決定一旦倒了其中的一塊，就會影響到其餘骨牌的穩定性，相繼跟著倒下來，這就是一個飛躍。因此，問題不在於變化的速度如何，而在於穩定性。 無論我們怎樣加快取穀粒的速度或者減慢多米諾骨牌倒下的速度，都不能改變它們各自漸變和飛躍的本質。
154 控制論和科學方法論我們也可以由此來分析雷峰塔的倒塌過程。愚人們從塔底把磚一塊塊偷走，從根本上動搖了雷峰塔的穩定性，到了一定的關節點，雷峰塔的穩定性被破壞，它嘩啦一聲倒塌下來。經歷了一個不穩定的階段，因此被判定為一個飛躍。 如果愚人們從塔頂把磚一塊塊偷走，雷峰塔直到完全拆掉為止，都是穩定地過渡的，中間沒有不穩定的階段出現，這個質變就是漸變。所以問題也不在於愚人們偷磚的速度和塔倒塌的速度，而在於偷磚的方式，因為從塔底偷磚跟從塔頂偷磚對於整座塔穩定性的影響是不同的。 與某些物理、化學過程相比，生物界的情況就要複雜得多。物種進化過程究竟是漸變還是飛躍，歷來是有重大爭議的課題。突變理論提示我們，要確定物種之間的演化是漸變還是飛躍，不但要證明各種過渡型別和中間型別是否存在， 而且要研究這些過疲型別和中間型別的性狀是否穩定。不能單憑過渡型別和中間型別的存在就判定一個進化過程為漸變。此外，生物的情況比較複雜，標誌進化的特徵性性狀可能有多個，需要由多維狀態變數來描述。根據突變理論， 可能其中某些性狀具有穩定的中間狀態，而某些性狀不具備穩定性。以古猿進化到人為例，四足爬行和直立行走之間的過渡性狀從力學的角度來說是不穩定的，而製造工具、語言、 能動性等等都完全可能有穩定的中間狀態。考慮到各種性狀的相關性（相關變異），用數學方法建立多維狀態變數的進化模型可能相當複雜，但這是一個新的出發點，開展這方面的工作或許會導致我們對進化的本質有更深刻的瞭解。 用穩定性來判別飛躍的原則也同樣適用於研究社會科第四章質變的數學模型 155 學問題。過去，我們把一切社會變革都說成是飛躍，看來是值得商榷的。分析一場社會變革以什麼方式進行，主要不在於這場變革的發生是否突然，進行的速度是否迅速以及是否採用了暴力手段等等，而主要在於分析變革進行的過程中社會是不是基本處於一種穩定狀態之中，整個社會的政治、經濟、軍事、人民的生活是否經歷了大破壞、大動盪的不穩定時期。同樣是封建社會向資本主義社會過渡，法國大革命就與日本的明治維新有顯著的區別。明治維新之時，雖然倒幕派也曾與幕府以暴力相見，但明治政府實行的一系列改革，是在整個社會生活基本穩定的條件下進行的。而法國革命進行之時，整個社會生活都經歷了激烈的動盪。 4.7 飛躍和漸變的條件突變理論透過模型告訴我們，質變的轉化可以透過飛躍來實現，也可以透過漸變來實現。不僅如此，更重要的還指出，在什麼控制條件下質變是飛躍的，什麼控制條件下質變是漸進的。用數學語言來描述飛躍和漸變的條件並不困難。 從圖4.1我們已經知道，控制一個質變按飛躍方式進行還是按漸變方式進行，完全取決於如何控制條件的變化。儘管變化的起點相同，結果也相同，條件沿 AB方向變化就發生飛躍，條件沿 CD方向變化就發生漸變。 那麼能不能從突變模型得出某些一般性的結論呢？根據突變理論，可以得到一個比較粗略但很有趣的結論：在兩個質態相互轉化的過程中，總有兩個跟條件的變化相關的基
156 控制論和科學方法論本因素，即維持舊質態穩定性的因素和建立新質態穩定性的因素，如果新質因素增強的同時，舊質因素沒有明顯減弱，質變不發生則已，一旦發生就可能以飛躍方式進行；如果新質因素增強的同時，舊質因素明顯減弱，質變就可能以漸進方式進行。 人們通常都有這樣的經驗，當促使質變發生和阻止質變發生的力量都很強，雙方形成激烈的對抗，事物的質變要麼不發生，要麼就以飛躍的方式發生。如果雙方的力量都不大，對抗就比較緩和，質變即使發生也是漸進式的。有的材料如生鐵、岩石等不會輕易發生形變，一旦在強力作用下形變，它們就很可能一下子斷裂。而有的材料如橡膠、塑膠很容易在外力作用下形變，即使發生形變它們也不會一下子斷裂。人們得病的過程也有這樣情況，發作的時候許多症狀指標一下子偏離正常狀態，痊癒的時候卻要慢慢調養恢復。因為一般發病的時候致病因素比較強，人體的抵抗力也比較強，一旦發病人體就處於一個不穩定的狀態，發生了飛躍。 生了一場病以後，致病因素和人體抵抗力都減弱了，人體經歷一個逐漸恢復的階段。俗話說“病來如山倒，病去如抽絲”。突變理論暗示我們相應的病理模型中有一個摺疊區， 生病時各種控制因素將症狀行為推入了這個摺疊區，痊癒時各種因素又使行為繞開摺疊區，沿著曲面的連續部分回升。 對尖點型、蝴蝶型等偶次勢函式突變，穩定態之間能夠可逆地轉變，即一種質態能夠轉變為另一種質態，另一種質態也能夠變回這一種質態。突變理論指出，這類質變原則上可以透過控制條件的變化來選擇飛躍方式或漸變方式。而第四章質變的數學模型 157 對於折線型、燕尾型等奇次勢函式突變，有一些不可逆穩定態，突變理論指出這類質變過程飛躍方式與漸變方式不一定能透過條件的改變來選擇，這是值得注意的。 4.8 關節點：蝴蝶、燕尾及其他事物的質變都發生在關節點上嗎？事物的不同質態是不是都可以找到關節點互相區別？關節點的位置隨條件變化嗎？是怎樣變化的？ 經典的飛躍論確定了飛躍在質變過程中的絕對地位的同時，也確定了關節點的地位。他們認為事物的不同質態之間都存在著這樣一些點，在這些點上，事物漸進的量變中止， 出現飛躍，發生了質變。從歷史上來看，飛躍論指出關節點的存在和性質，對根本不承認事物質態變化有限度的漸變論是一個有力的批判。但是，經典的飛躍論由於歷史上科學技術背景的侷限，只能模糊地感覺到關節點的存在，未能進一步研究關節點存在和變化的條件性。 突變理論嚴格、全面地研究了關節點對條件變化的依賴關係，因而能夠比較科學地描述關節點的存在和性質。根據突變理論，兩種相互轉化的質態之間的關節點並不是一個固定的點，而是隨著條件變化有規律分佈的一個區域。這種分佈規律可以用圖 4.15 表示。圖中U與V兩個變數分別表示兩個控制事物質態變化的條件，在我們前面舉過的例子中， 它們是分別跟溫度與壓力有關。區域a和區域b分別表示 a、b兩種質態存在的範圍，在我們討論過的例子中它們分別
158 控制論和科學方法論表示水的液態和氣態。圖中的陰影區域就是關節點分佈的範圍，它的頂點Q是尖角形的，因此這個突變模型又叫尖點型。隨著 U、V 變數的增大，陰影不斷向前擴 a展。細心的讀者或許已 B 經想到，圖 4.15實際上就是圖4.1 在底平面上 CD 的投影，其中尖點角的 —U 圖 4.15 尖點型模型中關節點的分佈區陰影區，實際就是圖4.1 的摺疊區的投影。 從圖4.15可以看出，質態a和質態b之間可以透過許多條途徑互相過波，但總的來說，只有兩種情況。一種是穿過陰影區，以AB線為代表的飛躍方式；一種是不穿過陰影區， 以CD線為代表的漸變方式。 質態沿 AB 由a往b轉化的過程中，只要條件的變化一進入陰影區（摺疊區）就意味著有飛躍為b的可能。陰影區內的每一個點都可以成為飛躍的關節點。因此我們說，關節點不是一個固定的點，而是隨條件變化有規律分佈的一個區域，這個區域在兩種質態相互轉變時必然是圖中陰影區那樣的一個尖點角形。根據突變理論，質變進行時具體在哪一點發生飛躍，取決於外界干擾的大小，千擾越大，飛躍發生得越早，關節點分佈在 AB線進入陰影區的部位。干擾越小，飛躍發生得越遲，關節點分佈在AB線脫離陰影區的部位。 如果沿CD線繞過了尖點角，質態a 和質態b之間的過渡就以漸進的方式進行。從圖中我們看到，在陰影區的左下第四章質變的數學模型 159 方，區域a 和區域b之間沒有明確的分界，相應的行為曲面部分是連續的、穩定的，CD線經過一系列似a非a，似b非b的穩定中間狀態過渡。由於沒有穿過陰影區，因此在這種質變過程中找不到一個可以明確地把a態和b態明確區分開來的點，找不到一個“由量轉化為質”的點，找不到一個會發生飛躍的點。一句話，這種質變過程不存在關節點。事物在由a 往b過渡時，a態的成分逐漸減小，b態的成分逐漸增大，每走一步都比以前更接近b態，最後完全變為b態。 在不同的突變模型中，關節點對條件變化有不同的依賴關係，它們有各自的分佈範圍。實際上，突變理論專家們都是用關節點在條件變數組成的空間中的分佈圖形來表達突變模型的。 以上我們介紹的突變模型是尖點型，它是一種比較簡單而又比較基本的模型，它刻畫了兩種穩定的質態相互轉化的過程。如果有三種穩定的質態，並且它們能互相可逆地轉化，那麼就要用蝴蝶型突變來描述。例如水及其他物質常有固、液、 氣三種不同的物態，它們可以相互轉化，相應的模型就是蝴蝶型的。尖點型突變實際上只是蝴蝶型的一種特殊情況。蝴蝶型的行為更復雜些，要用五維空間（一維狀態變數，四維控制變數）才能完全表達出來。對於我們這個三維空間的世界，只能用固定某些變數的方法觀察它的一些區域性。如果我們固定兩個控制變數，可以得到圖 4.16。其中U、V是控制變數，a、 b、c分別表示三種不同的質態。除了三個單值區外，JQF是 a、b兩態共存的雙值區，JRK是b、c兩態共存的雙值區，KE 曲線與FH 曲線之間是a、c兩態共存的雙值區。中間有一個
160 控制論和科學方法論口袋形的JFDK，它是a、b、c三態共存區，又明三值區。整個影象如一隻飛起的蝴蝶，蝴蝶型因以得名。 R V 液 C R 卜 b Q E E N. 氣 D H H •T 圖 4.16 蝴蝶型圖 4.17 上述結果最直接的證據就是水的相圖。在溫度壓力構成的控制平面上，相關實際是蝴蝶型的（圖4.1的尖角型是其中一部分）。圖4.17中JQF 為氣液共存區，JRK 為固液共存區， KE 和FH之間為固氣共存區，其餘部分是固液氣三個單值區。 一般情況下由於大量干擾的存在。這些雙值區、三值區都被掩蓋了。氣液共存區縮小為 MQ相平衡曲線，固液共存區縮小為 MR 相平衡曲線，固氣共存區縮小為 MN相平衡曲線，口袋形的三態共存區縮小為一個點 M，這點稱為三相點。這裡，突變理論揭示的固、液、氣三態轉化規律比相律更為深刻。它不僅能解釋過熱、過飽和等現象，還能指出這些現象發生的範圍。 相律無法解釋為什麼 MQ 不能在平面上無限延伸，MIN卻可以延伸到絕對零度附近，而這些對於突變理論是很自然的結論。 蝴蝶型突變在自然界廣泛存在著，它描述了三種不同質態第四章質變的數學模型 161 互相轉化時關節點構成的幾何形狀。這些理論在化學中特別有用，例如研究週期表中各元素的氫氧化物的酸鹼性。氫氧化物的水溶液有三種基本的性質：（1）電離出 H*，溶液呈強酸性；（2）電離出 OH，溶液呈強鹼性；（3）不電離。顯然，只要選擇適當的控制變數，主控制平面上這些性質的分佈應當是蝴蝶型的。上述論斷被證實了。我們選擇某些關鍵引數如離子半徑和電負性建立控制平面，發現這三種性質的分佈確實是蝴蝶型的。圖4.18中JQF 是強鹼性與不電離兩種性質共存區， 從統計上看，這類氫氧化物呈弱鹼性。JRK 是強酸性與不電離兩種性質共存區，氫氧化物呈弱酸性。KE 和FH曲線之間是強鹼與強酸兩種性質共存區，H+和OH 結合成水，氫氧化物不穩定，分解為氧化物。口袋形JFDK 是強鹼、強酸、不電離三種性質共存區，氫氧化物在這個區域呈酸鹼兩性。 離子半徑 H D F 兩性區 K Q 不離解區 E 強酸區 R 電負性 -U 圖 4.18 圖4.19 燕尾型
162 控制論和科學方法論尖點型和蝴蝶型是幾種質態之間能夠可逆轉化的模型。 自然界有些過程是不可逆的，比如死亡是一種突變，活人狀態可以突變到死人狀態，反過來卻不行。這一類過程可以用折線型、燕尾型等勢函式最高為奇次的模型來描述。圖4.19 為燕尾型突變中關節點的分佈圖。它像一隻飛起的燕子尾巴。燕尾型和摺疊型突變在幾何光學上很有用處，它們成功地解釋了彩虹的形狀和一系列奇妙的光學現象。 7 種基本突變表4.1 名稱控制維數狀態維數穩態轉化方式勢函式型別折線型 1 1 2 一b G = -X aX 3 尖點型 2 a b G！ -X*- 4 尖 b G=1 燕尾型 3 5 點 1 -a2X" asX 2 型 G= 一a,Xi一 6 蝴蝶型 4 1 雙曲型 3 2 臍點型橢圓型 3 2 拋物型 4 2 30:X a:X G= X+Y+aX+a:Y+ as XY G-X-XY+aX+aY + as（X+Y"） G-XY+Y'+aX+azY +asX' +aY'