們所要講到的新的內容是，我們可以把這兩個模型納合成一個形如 Y=Bo+BIx1+e 的模型，其中B0和B：為未知引數，：為隨機誤差，x，是一個虛擬變數，其意義如下。我們令 x1 =1 如果觀察值是從觀測站2得到的 1=0 如果觀察值是從觀測站1得到的對及觀測站1得到的觀察值，我們把z，=0代入到模型，得到 3-B+B（O）+E=B+E 因此，B=隊，即觀測站1上觀測值的總體平均。類似地，把z1=1代入到我們的模型，得到 =B0+月（1）+E=B0+31+e 由於B= 1以及8+日必等於 42，我們有B1 =M2 K1。即觀測站2與觀測站1；
•686． 第十二章多元迴歸與一般線性模型上觀測值的平均差異。 聯絡y與定性自變數“觀測站”的模型y=B+B21+e 可以擴充至定性變數有多於兩個水平的情形。我們可以使用多於一個的虛擬變數來做到這一點。考慮一個這樣的試驗，其中定量變數有四個水平。我們稱這些水平為處理。我們可以寫出模型其中 x1=1 如果是處理2,1=0其他 2=1 如果是處理3,z2=0其他 1如果是處理4， 3=0其他為了解釋這個方程中的各個8，構造一個期望值的表很方便。由於e的期望 （為0，y的期望值的一般表示式為 E0y）=80+B121+B 2+BE3 處理1上觀察值的期望值由在上式中令z1=0，x2=0,23=0得到，代入後得 E（y）=Poo處理2上觀察值的期望值由在上式中令 1=1， 2 0,23=0得到，代得到處理3和處理4上的期望值。這些期望值總結在表12.2中。 表12.2 有四個水平的試驗的期望做處理 1 Ely）=Bn 2 ECy=B+B 3 ECy=B+B 4 E（y）=風+的如果我們用p1表示處理1上的均值，p2表示處理2上的均值，等等，那麼從表 12.2 得到 MI=B0 H2=B+B H=B0+B3 MA=B+B 關於其中的8解方程，得到 Bo=HI B1=M2-隊1B2=43-從1的二44—從1 這些處理均值之間的任何比較都可以用8來表示。例如，比較 4 —#3可以寫為 Bs-B2，#3-#2可以寫為及一B1。 例 12.2 考慮一個假想的試驗，其中有四個處理（I=4），並且這四個處理上的均俏已
12.1 引言和案例•687• 知。如果 I=7，A2=9，A3=6，H4 =15，試確定模型 y=Bo+B1x1+Bzx2+Bs s+E 中Bo，81,B2 和防的值，其中 x1=1 如果是處理2，1=0其他 x2=1 如果是処理3， 2=0其他 3=1 如果是處理4,x3=0 其他解答基於我們從表12.2 中看到的，得 Bo=從1 A1=M2-隊1 把41，K2，43和p.4的已知值代入得 B=7 01=9-7=2 P2=M3-HL BS=HA- 1 B2=6-7=-1 Bs= 15-7=8 例 12.3 參見例12.2。用表示p3-#2 和p43-pA，並做8之間的減法來檢查你的答案。 解答利用8和之間的關係，我們可以看出 82-81=（p3-41）-（p2-M1）=13-42 以及 B2-Bs=（13- pi）-（H4-ML）=K3-F4 用及的值計算相應的差，得 32-81=-1-（2）=~3 和 P2-B=-1- （8）=-9 這些計算結果分別與p3-A2和p3-p4 的已知結果一致。 例 12.4 用虛擬變數為具有：個處理的試驗寫出一個模型，並識別其中的B。 解答我們可以寫出如下形式的模型其中 11=1 如果是處理2,z1=0 其他
•688• 第十二章多元迴歸與一般線性模型 2=1 如果是處理3， 2=0其他： • -1=1如果是處理1，2：-1=0其他該模型的期望值表為處理 1 E（y）=p 由此，我們得到 2 E（y）=B+ … t E（y）=+1 B= pI B1= 2- 1 … B-1= A：- MI 在上述給出的描述方法中，響應變數與定性變數“處理”相聯絡，對於處理的： 個水平，我們在模型中用虛擬變數加入了：-1個B。關於有多個定性自變數的模型，我們將在第十五和十六章中進行進一步的討論，在那裡，我們將考慮幾個不同的試驗設計的方差分析。 12.2 一般線性模型現在，重要的是我們可以看到，對於聯絡一個響應變數和一組定量自變數的多元迴歸模型以及聯絡»和一組定性自變數的模型，都可以用一個一般的模型來表示。這個模型稱為一般線性模型，具有如下形式： .對於多元迴歸模型，其中的表示定量自變數（如水的重量或體積）、自變數的冪和自變數的交叉乘積。我們已經在12.1 節中討論過幾個迴歸模型；本章後面以及