1.最純粹的數學數學往往被人們，特別是被數學家們奉為科學的皇后。費為皇后，它當然不能屈尊俯就其他學科。因此，在一次“純粹數學和應用數學聯席會議”上，當有人邀請希爾伯特作一次公開演講，以求消除存在子這兩種數學家之間的敵對情緒時，他這樣說： 經常聽到有人說，純粹數學和應用數學是互相對立的。這是不符合事實的，純粹數學和應用數學不是互相對立的。它們過去不曾對立過，將來也不會對立。它們是對立不起來的，因為在事實上它們兩者毫無共鼠之處。 然而，儘管數學喜歡保持自己的純粹性，並盡力遠離其他學科，其他學科都一直打算儘量同數學“親善”，特別是物理學。事實上，純粹數學的幾乎每一個分支，包括諸如抽象群、不可逆代數、非歐幾何等一向被認為純而又純、決不能派任何用場的數學理論，現在也都已被用來解釋物質世界的這個性質或那個性質了。 但是，迄今為止，數學還有一個大分支沒找到什麼用途 （除了起智力體操的作用以外），它真可以戴上“純粹之王冠” 理。這就是所謂“數論”（這裡的數指整數），它是最古老的一門數學分支，也是純粹數學思維的最錯綜複雜的產物。 說來也繹，這門最純粹的科學，從某種意義上說，又可以 22 ~
稱為經驗科學，甚至可稱為實驗科學。事實上，它的絕大多數定理都是靠用數字試著幹某些事情而建立起來的，正如物理學定律是靠用物體試著幹某些事情而建立起來一樣。並且， 數論的一些定理已“從數學上”得到了證明，而另一些卻還停留在經驗的階段，至今仍在使最卓越的數學家絞盡腦汁，這一點也和物理孕一樣。 我們可以用質數問題作為例子。所謂質數，就是不能用兩個或兩個以上較小整數的乘積來表示的數，如1，2,3,5，7， 11,13,17，等等。而12可以寫成2×2×3，所以就不是數。 質數是沒有絡極的呢，還是存在一個最大的質數，即凡是比這個最大質數還大的數都可以表為幾個質數的乘積呢？這個問題是歐幾里得 （Euciid）*最先想到的，他自己.還作了一個簡單而優美的證明，證明沒有“最大的質數”，質數的展延是不受任何限制的。 為了研究這個問題，不妨暫時假設已知質數的個數是有限的，最大的一個用N表示。現在，讓我們把所有的質數都乘起來，再加上1。這寫成數學式是： 1×2×3×5×7×11×13 ×0×0 這個數當然比我們所假設的“最大質數”N大得多。但是，十分明顯，這個數是不能被到為止（包括N在內）的任何一個質數除盡的，因為從這個數的產生方式就可以看出，拿任何質數來除它，都會剩下I。 因此，這個數要嘛本身也是個質數，要嘛是能被比N還大的質數整除。而這兩種可能供都和原先關於N 最大質數的假設相矛盾。 • 歐幾里得（約公元前330-275年），古希臘幾何學家。一—譯者 • 23 ⅓
這種證明方式叫做反證法，是數學家們愛用的工具之一。 我們既然知道質數的數目是無限的，自然就會想問一問， 是否有什麼簡單方法可以把它們一個不漏地挨個寫出來。古希臘的哲學家兼數學家埃拉托色尼（Eratosthenes）提出了一種名叫“過篩”的方法。這就是把整個自然數列1，2,3，•••• 統統寫下來，然後去掉所有2的倍數、3的倍數、5的倍數等等。前一百個數“過篩”後的情況如圖9所示，共剩下二十六個質數。用這種原理簡單的過篩方法，我們已經得到了十億以內的質數表。 如果能匯出一個公式，從而能迅速而自動地推算出所有 79 d9 97 圖 9 •24
的質數（並且僅僅是質數），那該多簡便啊。但是，經過了多少世紀的努力，並沒有找到這個公式。1640年，著名的法國數學家費馬（Pierre Fermat）認為自己找到了一個這樣的公式。這個公式是 2” +1，雙取自然數的各個值1，2,3,4等等。 從這個公式我們得到： 2+1=5， 2+1= 17， 2+1=257， 2+1= 65,5370 這幾個數都是質數。但在費馬宣稱他取得這個成就以後一個世紀，德國數學家尤拉（Leonard Euler） 指出，費馬的第五個數2＋1-4,294,967,297 不是個質數，而是6,700,417 和641 的乘積。因此，費馬這個推算質數的經驗公式被證明是錯的。 還有一個值得一提的公式，用這個公式可以得到許多質數。這個公式是： +41， *也取自然數各個值1,2，3等等。已經發現，在n為1到40 的情況下，用這個公式都能得出質數。但不幸得很，到了第四十一步，這個公式也不行了。 事實上， （41）-41 +41 =412=41 ×41， 這是一個平方數，而不是個質數。 人們還試驗過另一個公式，它是： 79 +1601， 這個公式在#從1到79時都能得到質數，但當n=80時，它文不成立了！ •2．
因此，尋找只給出質數的普遍公式的問題至今仍然沒存解決數論定理的另一個有趣的例子，是1742年提出的所謂 “戈德巴赫（Goldbacb）假設”。 c這是一個迄今既沒有被證明也沒有被推翻的定理，內容是：任何一個偶數都能表示為兩個質數之和。從一些簡單例子，你很容易看出這句話是對的。例如，12=7+5，24-17+7，32-29+30但是數學家們在這方面作了大量工作，卻仍然既不能做出肯定的斷語， 也不能找出一個反證。1931年，蘇聯數學家史尼雷爾曼 （Schnirelan）朝著問題的最終解決邁出了建設性的第一步。 他證明了，每個偶教都能表示為不多於300,000個質數的和。 “300,000個質數之和”和“2個質數之和”之間的距離，後來又被另一個蘇聯數學家維諾格拉多夫（Vinogradotf）大大縮短了。他把史尼雷爾曼那個結論改成了“四個質數之和”。但是，從維諾格拉多夫的“四個質數”到戈德巴赫的“兩個質數”， 這最後的兩步大概是最難走的。誰也不能告訴你，要想最後證明或最後推翻這個令人作準的假設，到底是需要幾年還是需要幾個世紀*。 可見，談到推導能自動給出直到任意大的所有質數的公式的問題，從現在來看，我們離這一步還遠得很哩！目前我們甚至連到底存在不存在這樣的公式，也都還沒有把握呢！ 現在，讓我們換個小一點的問題看一看——在給定的範圍內質數所能佔的百分比有多大。這個比值是隨著數的增長而加大還是減小，或者是近似為常數呢？我們可以用經驗方法，即透過查詢各種不同數值範圍內質數數目的方法，來解決 *我國青年數學工作者陳影潤又把這個結果推進了一步。他的結論是：任何一個偶數都可以表示為一個質數和不多於兩個質數的乘積之和（見中國科學*，1973年第二期）。—-譯者 • 26¢ L： ~ 這個問題。這樣，我們查出，100之內有 26 個質數，在1,000之內有 168個，在1,000,000之內有78,498個，在1,000,000,000 之內有50,847,478個。把質數個數除以相應範圍內的整數個數，得出下表： 數值範圍 1-N 質數數目 .比率偏差（%） 1—100 1-1000 1-10$ 1--10" 26 168 78,498 50,847,478 0.260 0.168 0.078498 0.050847478 1 Inv 0.217 0.195 0.072382 0.048254942 20 16 5 從這張表上首先可以看出，隨著數值範圍的擴大，質數的數目相對減少了。但是，並不存在質數的終止點。 有沒有一個簡單方法可以用數學形式表示這種質數比信隨範圍的擴大而減小的現象呢？有的。並且，這個有關質數平均分佈的規律已經成為數學上最值得稱道的發現之一。這條規律很簡單，就是：從1 到任何自然數 N之間所含質數的百分比，近似由N的自然對教”的倒數所表示。N越大，這個規律就越精確。 從上表的第四欄，可以看到N的自然對數的倒數。把它們和前一欄對比一下，就會看出兩者是很相近的，並且，N越大，它們也就越相近。 有許多數論上的定理，開始時都是憑經驗作為假設提出， 而在很長一段時間內得不到嚴格證明的。上面這個質數定理也是如此。直到上世紀末，法國數學家阿達馬 （Jacques Solomon Hadamard）和比利時數學家佈散（de L.a Valbe Poussin）才終 1）簡單地說，一個數的自然對數，近似地等於它的一般對數乘以2.3026。 • 27•
於證明了它。由於證明的方法太繁難，我們這裡就不介紹了。 既然談到整數，就不能不提一提著名的費馬大數定理，儘管這個定理和質數沒有必然的聯絡。要講究這個問題，先要回溯到古埃及。古埃及的每一個好木匠都知道，一個邊長之比為3:4:5的三角形中，必定有一個角是直角。現在有人把這樣的三角形陽做埃及三角形。古埃及的木匠就是用它作為自己的三角尺的”。 公元三世紀，亞歷山大里亞城的刁番都（Diophante）*開始考慮這樣一個問題：從兩個整數的平方和等於另一整數的平方這一點來說，具有這種性質的是否只有3和4這兩個鱉數？他證明了還有其他具有同樣性質的整數（實際上有無窮多組》，並給出了求這些數的一般規則。這類三個邊都是整數的直角三角形稱為畢達哥拉斯三角形。簡單說來，求這種三角形的三邊就是解方程式中、1， 必須是數”。 12在初等幾何課本中，畢達哥拉新定理證明了3+冬=5’。（這個定理誠是我國古代的勾股定理。一一譯者） 2）問番都的規則是這樣的：找兩個數。和品，使246 為完全平方。這時。 用代數方法很容易證明，這時用這個方法，我們可以列出所有各種可能性。最前面的幾個例子是： 3+4-5（埃及三角形）， 51+12=138， 6* +8=10%， 1+24=25， 8+13-17， 9+172=：13， 98 + +0 =+1、 102+29-26*0 • 習番都（210-290年），古希臘數學家。一一譯者 • 28、
1621年，費馬在巴黎買了一本刁番都所著《算術學》的法文評本，裡面提到了畢達哥拉斯三角形。當費馬讀這本書的時候，他在書上空白處作了一些簡短的筆記，並且指出， 有窮多組整數解，而形如的方程，當大於2時，永遠沒有整數解。 他後來說：“我當時想出了一個絕妙的證明方法，但是書上的空白太窄了，寫不完。” 費馬死後，人們在他的圖書室裡找到了刁番都的那本書， 裡面的筆記也公諸於1了。那是在三個世紀以前。從那個時候以來，各國最優秀的數學家們都嘗試重新作出費馬寫筆記村所想到的證明，但至今都沒有成功。當然，在這方面已有了相當大的進展，一門全新的數學分支—“理想數論”—在這個過程中建立起來了。尤拉證明了，方不可能有整數解。狄裡克菜 （Perer Gustav Lcjeane Dirichiet）* 證明， ＋ 也是這樣。依靠其他一些數學家的共同努力，現在已經證明，在8 小於269的情況下，費馬的這個方程都沒有整數解。不過，對指數：在任何值下都成立的普遍證明，卻一直沒能作出。人們越來越傾向於認為，費馬不是根，本沒有進行證明，就是在證明過程中有什麼地方搞錯了。為徵求這個問題的解答，曾經懸賞過十萬馬克**。那時，研究這個問題的人真是不少，不過，這些拜金的業餘數學家都一事無成。 這個定理仍然有可能是錯誤的，只要能找到一個例項，證 * 狄裡克萊（L803-1854 -），德國數學家。—者 **專克，德國錢幣名。一一譯者 • 29
實兩個整數的某一次冪的和等於另一個整數的同一次票的種就行了。不過，這個冪次一定要在比269大的數目中去找，這可不是一件容易事啊。 2. 神秘的 /-1 現在，讓我們來搞點高階算術，一得四，三三見九，四一十六，五五二十五，因此，四的平方根為二，九的平方根是二，十六的平方根是四，二十五的平方根是五”。 然而，負數的平方根是什麼樣呢？v/-5和 /一1 之類的表式有什麼意義嗎？ 如果從有理數的角度來揣想這樣的數，你一定會得出結論說，這樣的式子沒有任何意義，這裡可以引用十二世紀的一位數學寮拜斯迦羅（Brahmin Bhaskara）*的話：“正數的平方是正數，負數的平方也是正數。因此，一個正數的平方根是兩重的：一個正數和一個負數。負數沒有平方根，因為負數並不是平方數。” 可是數學家的脾氣倔強得很。如果有些看起來沒有意義的東西不斷在數學公式中冒頭，他們就會儘可能造出一些意義來。負數的平方根就在很多地方冒過頭，既在古老而簡單的算術問題上出現，也在二十世紀相對論的時空結合問題上露面。 1）還有其他許多數的滅：方根也很容易函。如， Vg#2.236⋯⋯ 齒為 （2.236-•）×（2.23 ..） =3.000.⋯⋯ 因溝 •30• （2.702••）×（2.：02- =7.3000 *拜所迎羅（1114-1185年），吋度數學家。一•譯著第一個將負數的平方根這個“顯然”沒有意義的東西寫到公式裡的勇士，是十六世紀的義大利數學家卡爾丹（Cardan）。 在討論是否有可能將10分成兩部分，使兩者的乘積等於40 時，他指出，儘管這個問題沒有有理解，然而，如果把答案寫成 5+ 一15 和5-V -15 這樣兩個怪模怪樣的表式，就可以滿足要求了” 儘管卡爾丹認為這兩個表式沒有義，是虛構的、想象的，但是，他畢竟把它們寫下來了。 既然有人敢把負數的平方根寫下來，並且，儘管這有點想入非非，卻把10分成兩個乘起來等了40的事辦成了；這樣， 有人開了頭，負數的平方根—一卡丹給它起了個大號陽“虛數”—-就越來越經常地被科學家們所使用了，雖則總是伴有很大保留，並且要提出利種藉口。在：著名瑞士科學家尤拉1770 年發表的代數著作中，有許多地方用到了虛數。然而，對這種數，他又加上了這樣一個掣肘的評語：“一切形如一1， V一1的數學式，都是不可能有的、想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根。對於這類數，我們只能斷言，它們既不是什麼部不是，也不比什麼都不是多些什麼，更不比什麼都不是少些什麼。它們純屬旅幻。” 但是，儘管有這些非難和遁辭，虛數還是迅速成為分數和根式中無法避兔的東西。沒有它們，簡直可以說寸步難行。 不妨說，虛數構成了實數在鏡子裡的幻象。而且，正象我們從基繳1可得到所有實數一樣，我們可以把v一1作為虛 I） 驗證如下： 23-（-15）=25+15=40 •31•
數的基數，從而得到所有的虛數。V一1通常寫作i。 不難看出，V-9=V9xV-1=3i，< XV-1 = 2.646⋯⋯，等等。這麼…來，每一個實數都有自己的證數搭擋。此外，實數和虛數還能結合起來，形成單一的表式，例如5+V -15=5+V15io這種表示方法是卡爾丹發明的，而這種混成的表式通常稱做複數。 康數闖進數學的領池之後，足足有兩個世紀的時間，一直披著一張神秘的、不可思議的面紗。直到兩個業餘數學家給虛數作出了簡單的幾何解釋以後，這張面紗才被揭去，這兩個人是：測繪員威塞爾（Wassel），挪威人；會計師到爾剛 Robert Argand），法圖巴黎人。 按照他們的解釋，一個複數，例如3+4i，可以象圖10那樣表示出來，其中3是水平方向的座標，4是垂直方向的座標。 所有的實數（正數和負數）都對應於橫軸上的點；而純虛數則對應於縱軸上的點。當我們把位於橫抽上的實數3乘以虛數單位i時，就得到位於縱軸上的純虛數3。因此，一個數來以i，在幾何上相當於逆時針旋轉90°（見圖10）。 加案軸圖 10 32+
• q 如果把3再乘以；，則義須再逆轉90°，這一下又回到檳軸上，不過規位於負數那一邊了，因為 3iXi13：= 3， “；的平方等於—1”這個說法，比“兩次旋轉90°（都逆時針進行）便變成反向”更容易理解。 這個規則同樣適用於複數：把了+4i乘以；，得到 3+4）=3+43—4--4+ 3 從圖10可立即看出，一4+3i 正好相當於3+4i這個點繞原點逆時針旋轉了90°。同樣的道理，一個數乘上一i就是它繞 •原點順時針旋轉90°。這一點從圖10也能看出。 如果你現在仍然覺得虛數帶有一張神秘的面紗，那麼，讓我們透過一個簡單的、包含有虛數的實際應用的習題來把這張面紗揭去吧。 從前，有個富於冒險精神的年輕人，在他曾祖父的遺物中發現了一張羊皮紙，上面指出了一項寶藏。它是這樣寫著的： 萊船至北緯.、西經 ”，即可找到一座荒島。島的北岸有一大片草地。草地上有一株橡樹和一株松樹”。 還有一座絞架，那是我們過去用來吊死叛變者的。從絞架走到檬樹，並記住走了多少步；到了橡樹向右拐個直用再走這麼多步，在這裡打個樁。然後回到絞那裡，朝松樹走去，同時記住所走的步數；到了松樹向左拐個直角再走這麼多步。在這裡也釘個樁。在兩個樁的正當中挖據，就可找到寶藏。 這道指示很清楚、明白。所以，這位年輕人就租了一條船 1）為不進密起見，檔案上的實際經緯度，已予刪去。 2）出於同樣的理由，樹的種類在這裡也改變了，在位於熱帶地區的寶上， 顯袋會有好多種樹的。 • 334
開往目的地。他找到這座島，也找到了橡樹和松樹，但使他大失所望的是，絞架不見了。經過長時間的風吹日曬雨淋，絞架已糟爛成土，一點痕跡也看不出了。 我們這位年輕的冒險家陷入了絕望。在狂亂中，他在地上亂掘起來。但是，地方太大了，一切只是白費力氣。他只好兩手空空、啟帆回程。因此，那項寶藏恐怕還在那島上埋著呢！ 這是一個令人傷心的故事。然而，更令人傷心的是：如果這個小夥子懂得點數學，特別是虛數，他本來是有可能找到！ • 34 閼 11 用證數來幫我們找寶這寶藏的。現在我們來為他找找看，儘管已經為時太晚，於他無補了。 我們把這個島看成一個複數平面。過兩棵樹幹畫一軸線 （實軸），過兩樹中點與實軸垂直作虛軸（見圖11），並以兩樹距離的一半作為長度單位。這樣，橡樹位於實軸上的一1點上，松樹則在＋1點上。我們不曉得絞架在何處，不妨用大寫的希臘字母T（這個字母的樣於倒象個絞架！）表示它的假設位置。這個位置不一定在兩根軸上，因此，應該是個複數，即 T a+。 現在來搞點小計算，同時別忘了我們以前講過的虛數的乘法。既然統架在「，橡樹在一1，兩者的距離和方位便為一1-T=-（1+T）。同理，絞架與松樹相距1一T。將這兩段距離分別順時針和逆時針旋轉90°，也就是接上述規則把兩個距離分別乘以一i和i。這樣便得出兩根柱的位置為： 寶藏在兩根樁的正中間，因此，我們應該求出上述兩個複數之和的一半，即 1 Iir +1）+1+i1-P）-11 2 一 +i+1+i- -11-號（21）-i0 現在可以看出，T所表示的未知絞架的位置已在運算過程中消失了。不管這絞架在何處，寶藏都在＋；這個點上。 瞧，如果我們這位年輕的探險家能做這麼一點點數學運算，他就無須在整個島上挖來挖去，他只要在圖11中打×處一挖，就可以把寶貝弄到手了。 如果你還是不相信要找到寶藏，可以完全不知道絞架的：35：
位置，你不妨拿一張紙，畫上兩樹的位置，再在不問的地方， 假設幾次絞架的位置，然後按皮紙檔案上的方法去做。不管做多少次，你一定總是得到複數平面中＋i那個位置！ 依靠-1的平方根這個虛數，人們還找到了另一個寶藏， 這就是發現普通的三維空們可以和時問結合，從而形成遵從四維幾何學規律的四維空間。下一章在介紹愛因斯坦的思想和他的相對論時，我們將再討論這一發現。 • 36
第二部分空間、時間與愛因斯坦第三章空間的不尋常的性質 1.維數和座標大家都知道什麼叫空間，不過，如果要摳摳這個詞的準確意義，恐怕又會說不出個所以然來。你大概會這樣說：空間乃包含萬物，可供萬物在其中上下、前後、左右運動者也。三個互相垂直的獨立方向的存在，描述了我們所處的物理空間的最基本的性質之一；我們說，這個空間是三個方向的，即三維的。空間的任何位置都可利用這二個方向來確定。如果我們到了一座不熱悉的城市，想找某一家有名商號的辦事處，旅店服務員就會告訴你：“向南走過五條街，往右拐，再過兩條馬路，上第七層樓。”這三個數一般稱為座標。在這個例子裡， 座標確定了大街、樓的層數和出發點（旅店前廳）的關係。顯然，從其他任何地方來判別同一目標的方位時，只要採用一 • 37
套能正確表達新出發點和目標之間的關係的座標就行了。並 H，只要知道新、老座標系統的相對位置，就可以透過簡單的數學運算，用老座標米表示出新座標。這個過程陽做座標變換。這裡得說明—句，二個座標不一定非得是表示眨離的數不可，在某些情況下，用角股當座標要方便得多。 舉例來說，在紐約，位置往往用街和馬路來表示，這是直角座標；在莫斯科則要換成極座標，因為這座城是圍繞克里姆杯官中心城堡建築起來的。從城堡輻射出若干街道，環城堡義有若千條問心的幹路。這時，如果說某座房子位幹克里姆林官正東北方第二十條馬路上，當然會很便當。 直翁空林， 極塵標歡極座標圖12 圖12給出了幾種用三個座標表示空間中某一點的位置的方法，其中有的座標是距離，有的座標是角度。但不論什麼系統，都需要三個數。因為我們所研究的是三維空間。 對於我們這些具有三維空間概念的人來說，要想象比三維多的多維空間是困難的，而想象比三維少的低維空間則是容易的。一個平面，一個球面，或不管什麼面，都是二維空間， 因為對於面上的任意一點，只要用兩個數就可以描述。同理， 線（直線或曲線）是一維的，因為只需一個數便可以描述線上各點的位置。我們還可以說，點是零維的，因為在一個點上沒有第二個不同的位置：可是話說回來，誰對點感興趣呢！ •$8。
作為一種三維的生物，我們覺得很容易理解線和麵的幾何性質，這是因*我們能“從外面“觀察它們。但是，對三維空間的幾何性質，就不那麼容易了，因為我們是這個空間的一部分。這個原因解釋了為什麼我們不費什麼事就理解了曲線和曲面的概念，而一聽說有彎曲的三維空間就大吃一驚。 不過，在討論彎曲的三維空間之前，還是先來做幾節有關一維曲線、二維曲面和普通三維空間的腦力操吧。 2. 不量尺寸的幾何學你在學校裡早就與幾何學搞得很熟了。在你的記憶中， 這是一門量度的科學，它的大部分內容，是一大堆敘述長度和角度的各種數值關係的定理（例如，畢達哥拉斯定理就是敘述直第三角形三邊長度的關係的）。然而，空間的許多最基本的性質，卻根本用不著測量長度和角度。幾何學中有關這一類內容的分支叫做拓撲學。 現在舉一個簡單的典型拓撲學的例子。設想有一個封閉的幾何面，比如說一個球面，它被一些線分成許多區域。我們可以這樣做：在球面上任選一些點，用不相交的線把它們連線起來。那麼，這些點的數目、連線的數目和區域的數目之間有什麼關係呢？ 首先，十分明顯的一點是：如果把這個圓球擠成南瓜樣的扁球，或拉成黃瓜那樣的長條，那麼，點、線、塊的數目顯然還和圓球時的數目一樣。事實上，我們可以取任何形狀的閉曲面，就象隨意拉擠壓扭一個氣球時所能得到的那些曲面（但不能把氣球撕裂或割破）一樣。這時，上述問題的提法和結論都沒有絲毫改變。而在一般幾何學中，如果把一個正方體變成平行六面體，或把球形壓成餅形，各種數值（如線的長度、面積、體積等）都會發生很大變化。這一點是兩種幾何學的很大 •39
不同之處。 我們現在可以將這個劃分好的球的每一區域都展平，這樣，球體就變成了多面體（圖13），相鄰區域的界線變成了稜， 原先挑選的點就成了頂點。 圖13 一個劃分成若干區域的球固變成一個多面體正呀酌體正八百體正百體正二十副例正子二而你不煩，只多麗汰際：14 五種正多面體（只可能有這五種）和一個不規則多面體 • +•
•這樣一來，我們剛才那個問題就變成（本質上沒有任何改變）：一個任意形狀的多面體的面、樓和頂點的數目之間有什麼關係？ 圖14示出了五種正多面體（即所有各個面都有同樣多的邊和頂點）和一個隨意閩出的不規則多面體。 我們可以數一數這些幾何體各自擁有的頂點數、稜數和麵數，看看它們之間有沒有什麼關係。 數一數以後，我們得到下面的表。 多面體名稱四面體六面體八面體二+函體十二面體 “古怪體* 頂點數V 4 8 6 12 20 21 稜數 F 6 12 12 30 3 43 面數F 4 +F 8 E+2 6 8 14 '8 20 12 26 .14 14 32 32 47 32 47 前面三欄的資料，乍一看來好象沒有什麼相互關係。但仔細研究一下，就會發現，頂點數和麵數之和總是比稜數大 20因此，我們可以寫出這樣一個關係式： V+F E+20 這個式子是適用於任何多面體呢，還是隻適用於圖14上這幾個特珠的多面體？你不妨再畫幾個其他樣子的多面體， 數數它們的頂點、稜和麵。你會發現，結果還是一樣。可見， 1+F=E+2是拓撲學的一個普遍適用的數學定理，因為這個關係式並不涉及到樓的長短或面的大小，它只牽涉到各種幾何學單位（頂點、稜、面）的數目。 這個關係是士七世紀法國的大數學家笛卡兒 （Renc Des- •41•
sartes）最先注意到的，它的嚴格證明則由另一位數學大師尤拉作出。這個定理現在被稱尤拉定理。 下面就是尤拉定理的證羽，引自古特 （R.Couranr）和羅定斯（H.Robbins）的著作《數學是什麼？》”。我們可以看一看，這一型別的定理是如何證明的。 為了證明尤拉的公式，我們可以把給定的簡單多面體想象成用橡皮薄膜作成的中空體（圖15a）。如果我們割去它的一個面，然後使它變形，把它攤成一個平面（圖 15b）。當然，這麼一來，面積和稜間的度都會改變。然而這個平面網路的頂點數和邊數都與原多面體一樣，而多邊形的數目則比原來多面體的面數少了一個（因為割去了一個面）。下面我們將證明，對於這個平面網路， V一五+F=10這樣，在加上割去的那個面以後，結 € 圖15 尤拉定理的證明。圖中所示的是正方體的情況，但所得到的結果對任玄多面休來說都是成立的 1） 對本書中所舉的拓撲學基本範例有興極的讀者，可在《數學是仔麼？ （WAdt is wathematics？） 一書中找剎詳盡的敘述。 •$2
果就成為：對於原多面體，V一五十F=20 首先，我們把這個平面網路“三角形化”，即給網路中不是三角形的多邊形加上對角線。這樣，E和F的數目都會增加。但由於每加一條對角線，E和下都增加1，因此V一五十F仍保持不變。這樣新增下去，最後，所有的多邊形都會變成三角形（圖15c）。在這個三角形化了的網路中，V一E十下仍和三角形化以前的數值一樣， 因為新增刺角線並不改變這個數值。 有一些三角形位於網路邊緣，其中有的（如AABC）： 只有一條邊位於達緣，有的則可能有兩條邊。我們依次把這些邊緣三角形的那些不屬於其他三角形的進、頂點和麵拿掉（圖15d）>這樣，從 AABC，我們拿去了AC 邊和這個三角形的面，只留下頂點A，B，C和兩條邊 AB，BC：從ADEF，我們拿去了平面、兩條邊DF,FE 和頂點F。 在AABC式的去法中，E和F都減少1，但V不變， 因而一五十F不變。在ADEF 式的去法中，V減少 1，五減少2，F減少I，因而V一五十F仍不變。以適當方式逐個減少這些邊緣三角形，直到最後只剩下一個三角形，一個三角形有三條邊、三個頂點和一個面。對於這個簡單的網路，V一E+F=3-3+1-1a我們已經知道，V E十F 並不隨三角形的減少而改變，因此，在開始的那個網路中，V-五十F世應該等於1。但是，這個網路又比原來那個多面體少一個面，因此，對於完整的多面體，V一E 士F=2。這就證明了尤拉的公式。 尤拉公式的一條有趣的推論就是：只可能有五種正多面； 體存在，就是圖14中那五種。 • +3
如果把前面幾頁的討論仔細推敲一下，你可能就會注意到，在畫出圖14上所示的“各種不同”的多面體，以及在用數學推理證明歐按定理時，我們都作了一個內在的假設，它使我們在選擇多面體時受了相當的限制。這個內在假設就是：多面體.必須沒有任何透眼。所謂透眠，不是氣球上撕去一塊後所成的形狀，而是象麵包圈或橡皮輪胎正中的那個窟窿的模樣。 這隻要看看圖16就清楚了。這幾有兩種不同的幾何體， 它們和圖14所示的一樣，也都是多面體。 圖16 兩個不透眼的立後體，它們分別穿有一個和兩個透限。這兩個立方體的各面不都是矩形，但我們知道，這在拓學中是無關緊耍的現在我們來看看，尤拉定埋對這兩個新的多面體透用不遺用。 在第一個兒何休上，可數出16 個頂點、32條稜和16個面；這樣，V＋F≥32，而五+2=34，不對了。第二個有 28 個頂點，60條稜和30個面；V+ =58，E+2=62， 這就更不對了。 為什麼會這樣呢？我們對尤拉定理作一般證明時的推理對於這兩個例子錯在哪裡呢？ 錯就錯在：我們以前所考慮到的多面體可以看成一個球膽或氣球，而現在這種新型多面體規應看成橡皮輪胎或更為 • 44•
複雜的橡膠製品。對於這類多面體，無法進行上述證明過程所必黑的步驟-——“劃去它的一個面，然後使它變形，把侖攤成一個平面。” 如果是一個球膽，那麼，用剪刀剪去一塊之後，就很容易完成這個步驟。但對一個輪胎，甜無論如何也不會成功。要是圖16 還不能使你相信這一點，你找條舊輪胎動手試試也可以！ 但是不要認為對於這類較為複雜的多面體，V，五和F之問就沒有關係了。關係是有的，不過與原來不同就是了。對於麵包圈式的，說得科學一點，即對於環狀圓紋曲面型的多面體，V＋ E。而對於那種蜜味花型的，則十F E一2。 一般說來，V+F B+2 2N,N表示透眼的個數。 另一個典型的拓撲學問題與尤拉定理密切有關，它是所謂“四色問題”。假設有一個球面劃分成若干區域；把這球面塗上顏色，要求任何兩個相鄰的區域（即有共同邊界的區域） 不能塗上同一種顏色。問完成這項工作，最少需要兒種顏色？ 很容易看出，兩種顏色一般來說是不夠用的。因為當三條邊界交於一點時（比如美國的弗吉尼亞、西弗吉尼亞和馬里蘭三州的地圖，見圖17），就需要三種顏色。 要找到需要四種顏色的例子也不難（圖17）。這是過去德因吞併奧地利時的瑞士地圖”。 但是，隨你怎麼畫，也得不到一張非得用四種以上顏色不可的地圖，無論在球面上還是在平面都是如此”。看來，不管是多麼複雜的地圖，四種顏色就足以避免邊界兩邊的區域 1）德國佔領前用三色就夠了：瑞士塗綠色，法國和奧地不塗紅色，德困和義大利塗黃色。 2）平面上和球面.上的地圖著鳥問題是相同的。因為，當把球面的地圖上色問題解決之後，我們就能在某一種顏色的地區開一個小洞，然後把熬個球面“攤開”成一個平面，這還是上面那種典型的拓撲學變換。 •+5：
馬！法州法倒泰吉尼返州義大利圖17 馬里蘭州、弗佔尼亞州和西弗吉尼亞州的地圖（左達）和瑞士、法國、德國、義大利的地 （右達〉 相混了。 不過，如果這種說法是正確的，就應該能夠從數學上加以證明。然而，這個問題雖經幾代數學家的努力，至今仍未成功。這是那種實際上已無人懷疑。但也無人能證明的數學問題的又一個典型例項、現在，我們只能從數學上證明有五種顏色就夠了。這個證明是將尤拉關係應用於國家數、邊界數和數個國家碰到一塊的三重、四重等等交點數而得出的。 這個證明過程太複雜，寫出來會離題太遠，在這裡就不贅述了。讀者可以在各種拓補學的書中找到它，並藉以渡過一個愉快的晚上（說不定還得一夜不眠）。如果有誰能夠證明無需五種、而只用四種顏色就足以給任何地圖上色，或研究出一幅四種顏色還不夠幣的地圖，那麼，不論哪一種成功了，他的大名就會在純粹數學的年鑑上出現一百年之久*。 說來好笑，這個上色問題，在球面和平面的簡單情況下怎麼也證不出來；而在複雜的曲面，如麵包圈型和蜜麻花型中， *這個問題已在不久以前用討算機解法了。——評音 • 46
卻北較順利地得到了證明。比如，在麵包圈型中已經得出結論說，不管它怎樣分劃，要使相鄰區域的顏色不至相同，至少• 需要七種額色。這樣的例項也做出來了。 讀者不妨再費點腦筋，我一個充氣輪胎，再弄到七種顏色的油漆，給輪胎上漆，使每一色漆塊都和另外六種顏色漆塊相鄰。如果做到這一點，他就可以聲稱他對面包圈型曲面確實心裡“有譜”了。 3.把空間翻過來到目前為止，我們所討論的都是各種曲面，也就是二維空間的拓撲學性質。我們同樣也可以對我們生存在內的這個三維空間提出類似的問題。這麼一來，地圖著色問題在三維情況下就變成了：用不同的物質製成不同形狀的鑲嵌體，並把它們拼成一塊，使得沒有兩塊同一種物質製成的子塊有共問的接觸面，那麼，需要用多少種物質？ 什麼樣的三維空間對應於二維的球面或環狀圓紋曲面呢？能不能設想出一些特空間，它們與一般空間的關係正好同球面或環狀面與一般平面的關係一樣？乍一看，這個問題似乎提得很沒有道理，因為儘管我們能很容易地想出許多式樣的曲面來，但卻一直傾向於認為只有一種二維空間，即我們所熟悉並在其中生活的物理空間。然而，這種觀念是危險的，有欺騙性的。只要發動一下想象力，我們就能想出一些每歐幾里得幾何教科書中所講述的空間大不相同的三維空間要想象這樣一些古的空間，主要的困難在於，我們本身也是三維空間的生物，我們只能“從內部”來觀察這個空間， 而不能像在觀察各種曲面時那樣“從外面”去觀察。不過，我們可以透過做幾節腦筋操，使戶己在征服這些空間時不致過於困難。 首先讓我們建立一種性質與球面相類似的三維空問模型。球面的主要性質是：它沒有邊界，但卻具有確定的面積； 它是彎曲的，自我封閉的。能不能設想一種同樣自我封閉，從而具有確定體積而無明顯介面的三維空問呢？ 設想有兩個球體，各日限定在自己的球形表面內，如同兩個米削皮的蘋果一樣。現在，設想這兩個球體“互相穿過”，沿外表點粘在一起。當然，這並不是說，兩個物理學上的物你如蘋果，能被擠得互相穿過並把外皮粘連在一起。蘋果那怕是被擠成碎塊，也不會互相穿過的。 或者，我們不如設想有個蘋果，被蟲子吃出彎曲盤結的隧道來。要設想有兩種蟲子，比如說一種黑的和一種白的；它們互相情惡，因此，蘋果內蟲蛀的隧道並不相通，儘管在蘋果皮上它們可以從緊挨著的兩點蛀食進去。這擇一個蘋果，被這兩條蟲子蛀來蛀去，就會像圖18那樣，出現互相緊緊纏結、佈滿警個蘋果內部的雙股隧道。但是，儘管黑蟲和白蟲的隧道可 • 48‘
+ 以很接近，要想從這兩座迷宮中的任一座跑到另一座去，卻必須先走到表面才行。如果設想隧道越來越細，數目越來越多， 最後就會在蘋果內得到互相交錯的兩個獨立空間，它們僅僅在公共表面上相連。 如果你不喜歡用蟲子作例子，不妨設想一種類似紐約的世界博覽會大廈這座巨大球形建築裡的那種雙過道雙樓梯系統。設想每一套樓道系統都盤過整個球體，但要從其中一套的一個地點到達鄰近一套的一個地點，只能先走到球面上兩套樓道會合處，再往裡走。我們說這兩個球體互相交錯而不相妨礙。你和你的朋友可能離得很近，但要見見面、握握手， 刼非得兜一個好大的圈子不可！必須注意，兩套樓道系統的連線點實際上與球內的各點並沒有什麼不同之處，因為你總是可以把整個結構變變形，把連線點弄到裡面去，把原先在裡面的點弄到外面來。還要注意，在這個模型中，儘管兩套隧道的總長度是確定的，卻沒有“死衚衕”。你可以在樓道中走來走去，決不會被牆壁或柵欄擋住；只要你走得足夠遠，你一定會在某個時候重新走到你的出發點。如果從外面觀察整個結構，你可以說，在這迷宮裡行走的人總會回到出發點，只不過是由於樓道逐漸彎曲成球形。但是對於處在內哪，而且不知“外面”為何物的人來說，這個空間就表現為具有境定大小而無明確邊齊的東西。我們在下一章將會看到，這種沒有明顯邊界、然而並非無限的“自我封閉的三維空間”在一般地討論字宙的性質時是非常有用的。事實上，過去用最強大的望遠鏡所進行的觀察似乎表明了，在我們視線的邊緣這樣遠的距離上，宇宙好象開始彎曲了，這顯示出它有折回來自我封閉的明顯趨勢，就象那個被蛀食出隧道的蘋果的例子一樣。不過，在研究這些令人興奮的問題之前，我們還得再知道空間的其他性質。 • 49
我們跟蘋果和蟲的交道還沒有打完。下一個問題是： 熊否把一隻被蟲子蛀過的蘋果變成一個麵包圈。當然，這井不是說把蘋果變成而包圈的味道，而只是說樣子變得一樣；我們所研究的是幾伺學，而不是烹飪法。讓我們取一隻前面講過的“雙蘋果”，也就是兩個“互相穿過”並且農皮“粘連在一包”的蘋果。假設有一隻蟲子在其中一隻蘋果裡蛀出了一條壞形隧道，如圖19所示。記住，是在一隻蘋果裡蛀的。所以， 在隧道外的每一點都是屬於兩個節果的雙重點，而在隧道內則只有那個未被蛀過的蘋果的物瓜。這個“雙蘋果”現在有了一個由隧道內壁成的自由表面（圖19a）。 如果假設蘋果具有很大的可塑性，怎麼捏就怎麼變形。在要求蘋果不發生裂口的條件下，能否把這個被蟲子蛀過的蘋採變成麵包圈呢？為了便於操作，可以把蘋果切開，不過在進行過必要的變形後，還應把原切口粘起來。 首先，我們把粘住這“雙蘋果”的果皮的膠質去除，將兩個蘋果分開（圖19b）o用1和！'這陰個數字表示這兩張表皮， 以便在下面各步驟中盯住它們，並在最後重新把它們粘起米。 然後，把那個被蛀出一條隧道的蘋果沿隧道切開（圖19c）。這一下又切出兩個新面來，記之以I，真“和班，I’，將來，還是要把它們粘回去的。現在，隧道的月由面顯示出來了，它應該成為麵包圈的自由面。好，現在就按圖19d的樣子來擺弄這幾塊零碎兒。現在這個自由面被拉伸成老大一塊了（不過，按照我們的假定，這種物質是可以任意伸縮的！）。而切開的面I，I， IIl 的尺寸都變小了。與此同時，我們也對第二個蘋果進行手術，把它縮小成櫻桃那麼大。現在開始往回粘。第一步先把班，'粘上，這很容易做到，粘成後如圖19c。第二步把被縮小的蘋果放在第一個蘋果所形成的兩個來口中間。收攏兩夾口，球面1就和了’重新粘在一起，被切開的面1和II'也再結 •50． 心
2g 聳由面圖19 怎樣把一個蟲蛀過的雙蘋果變成一個頂的麵包圖合。這一來，我們就得到了一個麵包圈，光瘤溜的，多麼精緻！ 搞這些有什麼用呢？ 沒有什麼用，只不過讓你作作腦筋操，體會一下什麼是想象的幾何學。這有助於理解彎曲空間和自我封閉空間這類不 •常的東西。 你大概還沒有意識到過，你的身體也具有面包圈的形狀吧。事實上，任何有生命的物體，在其發育的最初階段（胚胎階段）都經歷過“胚雍”這一過程。在這個階段，它呈球形，當 •51、
中橫貫著一條寬闊的通道。食物從通道的一端進人，被生命體攝取了有用成分以後，剩下的物質從另一端排出。到了發育成熟的階段，這條內部通道就變得越來越細，越來越複雜， 但最主要的性質依然如故，麵包圈型體的所有幾何性質都沒有改變。 好啦，既然你自己也是個麵包圈，那麼，現在試試按照圖 19的逆過程把它翻回去——把你的身體（在思維中）變成內部有一條通道的雙蘋果。你會發現，你身體中各個彼此有些交錯的部分組成了這個“雙蘋果”的果體，而整個宇宙，包括地球、月亮、太陽和星辰，都被擠進了內部的圓形隧道！ 你還可以試畫畫看，看畫成什麼樣子。如果你的成績不錯，那就連達裡（Salvado Dali）本人也要承認你是超現實派的繪畫權威了！（圖20） 圖20 翻過來的學宙。這幅超現實的圖畫所畫的是一個人在地上走，並抬頭看星星。這福畫是用圖19所示的方法進行拓撲學變換的。地球、太陽和星星都被擠到了人體內一個狹容的環形通道里，它們的四周是人體的內部器官 •• 52
這一節已經夠長了，但我們還不能就此結束，還得討論一下左手系和右手系物體，以及它們與空間的一般性質的關係。 這個問題從一副手套講起最為便當。一副手套有兩隻。把它們比較一下就會發現（圖21），它們的所有尺寸都相同，然而， 兩隻手套卻有極大的不同：你決不能把左手那隻戴到右手上，也不能把右手那隻套在左手上。你儘管把它們扭來轉去， 但左於套永遠是左手套，右手套永遠是右手套。另外，在鞋子的形狀上，在許車的操縱系統（美國的和英國的）上*和在許多其他物體」，都可以看到左手系和右手系的區別。 另一方面，有些東西，如禮帽，網球拍等許多物體，就不存在這種差別。沒有人會蠢到想商店裡買幾隻左手用的茶杯；如果有人叫你找鄰居去借一把左手用的活動扳手，這也純粹是在作弄人。那麼，這兩類物體有什麼區別呢？你想一想就會發現，在禮帽和茶杯等-類物體上都存在一個對稱面，沿這個面可將物體切成兩個相等的部分。手套和鞋子就不存在這種對稱面。妳不妨試一試，無論怎麼切，你都不能把一隻手套部成兩個相同的部分。如果某一類物體不具有對稱面，我們就說它們是非對稱的，而且就能把它們分成兩類——左手系的與右手系的。這兩系的差別不僅在手套這些人造的物體上表現出來，在自然界中也經常存在。例如，存在著兩種蝸牛，它們在其他各個方面都一樣，唯獨給自己蓋房子的方式不同：一種蝸牛的殼星順時針螺旋形，另一種呈逆時針螺旋形。 就是在分子這種組成一切物質的微粒中，也象在左、右手手套和蝸牛殼的情況中一樣，往往有左旋和右旋兩種形態。當然， 分子是肉眼看不見的，但是，這類分子所構成的物質的結品形. *在英國，車輛寨道路左邊行駛，在美國則和在我國一樣車在右側執行。因北，兩國的資車中，司機的位置不同，英國司機位於右半邊（順行選方向看時），而美頤則位於左半邊（都在章近馬路中線一）。—評者 •53
狀和光學性質，都顯示出這種不對稱性。例如，糖就有兩類： 左旋糖和右旋糖；還有兩類吃糖的細菌，每一類只吞吃與自己同類的糖，𢚘不信由你。 圖21 右手系和左於系的夢體。它們看起來非常相象，但是極為不同從上述內容看來，要想把一個右手系物體（比如說一隻右手套）變成左手系物體，似乎是完全不可能的。真的是這樣嗎？能不能想象出某種可以實現這種變化的奇妙空間呢？讓我們從生活在平面上的扁片人的角度來解答這個問題，因為這樣做，我們能站在較為優越的三維的地位上來考察各個方面。請看圖 22，圖上描繪了扁片國——即僅有兩維的空間 —-—的幾個可能的代表。那個手至提著一串葡萄站立的人可以叫做“正面人”，因為他只有“正面”而沒有“側身”。他旁邊的動物則是一頭“側身驢”，說得更嚴格一點，是一頭“右側面驢”。當然，我們也能面出一頭“左側面驢”來。這時，由於兩頭驢都侷限在這個面上，從兩維的觀點來看，它們的不同正如在三維空間中的左、右手手套一樣。你不能使左，右兩頭驢頭並頭地疊在一起，因為如果要它們鼻子挨著鼻子、尾巴挨著 • 54
尾巴，其中就得有一頭翻個肚皮朝天才行，這樣，它可就四腳朝天，無法立足囉。 方門閃 22 生活在運；的二維“扁片生物”就是這個樣了的。不過，這類生物很不“現實”。那個人有正面而無側雨，他不能把手裡的葡荀放進自己嘴裡。那頭驢子吃起菊萄來倒是挺便當， 但他只能朝右走。如果它要向左去，就只好退著走。驢子倒是常往後退的，不過這畢競不那麼象樣不過，如果把一頭驢子從面上取下來，在空間中掉轉一下，再放回面上來，兩頭驢子就都一樣了。與此相似，我們也可以說，如果把一隻右手乎套從我們這個空閏中拿到四維空間中，用適當的方式旋轉一下再放回來，它就會變成一隻左手手套。但是，我們這個物理空間並沒有第四維存在，所以必須認為上述方法是不可能實現的。那麼，有沒有別的方法呢？ 讓我們還回到二維世界上來。不過，我們要把圖22那樣的一般平面，換成所謂梅比烏斯（Mobius）面。這種曲面是以一個世紀以前第一個對這種面進行研究的德國數學家來命名的。它很容易得到：拿一長條普通紙，把一端擰一個彎後，將兩端對粘成一個環。從圖23上可看出這個環該如何做。這種面有許多特的性質，其中有一點是很容易發現的：拿一 • 55
把剪刀沿平行於邊緣的中線剪一園（沿圖23上的箭頭），你一定會預言，這一來會把這個環剪成兩個獨立的壞；但做一下看看，你就會發現你想銷了：得到的不是個環，而是一個環， 它比原來那個長⋯倍，窄半！ 圖 23 梅比烏斯面和克萊改瓶讓我們看看，一頭扁片驢沿梅比烏斯面走一圈會發生什麼•假定它從位置1（圖23）開始，這時看來它是頭“左側面驢”。從圖上可清楚地看出，它走啊走，越過了位置2，位置3， 最後又接近了出發點。但是，不單是你覺得奇任，連它自己也覺得不對勁，它竟然處在蹄子朝上的古位置。當然，它能在面內轉一下，確子又落了地，但這樣一來，頭的方向又不對了。 總之，當沿梅比鳥斯面走一圈後，我們的“左側面驢“變成了“右側面驢”。要記住，這是在驢子一直處在面上而從未被取出來在空間旋轉的情況下發生的。於是我們發現，在一個扭曲的面上，左、右手系物體都可在透過扭曲處時發生持換。 圖23所示的梅比烏斯面是被稱作“克萊蓉瓶”的更有一般性的曲面的一部分（克菜茵瓶如圖23邊所示）。這種“瓶”只有一個面，它自我封閉而沒有明顯的界。如果這種面在二維空間內是可能的，那麼，同樣的情況也能在三維空間中發：56€
生，當然，這要求空間有一個適當的扭曲。要想象空間中的梅比烏斯扭曲自然決非易事。我們不能象看扁片驢那樣從外部來看我們自己的這個空間，而從內部看又往往是看不清的。但是，天文空間並非不可能自我封閉，並有一個梅比烏斯式扭曲的。 如果情況確實如此，那麼，環遊宇宙的旅行家將會帶著一顆位於右胸腔內的心臟回到地球上來。手套和鞋子製造商興許能由簡化生產過程而獲得一些好處。因為他們只需製造清一式的鞋子和手套，然後把一半產品裝人飛船，讓它們統行宇街一岸，這樣它們就能套進另一邊的手腳了。 我們就用這個奇想來結束有關不尋帶空間的不尋常性質的討論吧。 i. • $7
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