GER期權偏微分方程的推導過程，轉而努力尋找一種更容易理解的關於它的合理價值的解釋。量子電動力學裡面的費曼法則對普通人來說，是一件正確計算粒子碰撞後複雜散射的各種可能性的工具。我希望用一種雖不太重要但相似的方式，找到一組可靠的法則，這些法則將會讓你無需使用期權動態複製背後的高等數學，就能使一名普通的交易員相信一個期權公式是正確的。 我思考了布萊克一肖爾斯公式到底告訴我們些什麼。本質上，你可以從默頓的動態複製策略中推匯出這個公式。從這個觀點看，這個公式非常詳細、準確地描述瞭如何從一個不斷變化的股票和無風險債券的組合中合成出一隻股票期權來。但是從更加單純的角度看，這個公式根據這隻股票的現價和一隻無風險債券的現價，就告訴了你這隻期權的合理價格。它的核心思想就是期權是一個組合。就像古希臘神話裡的半人馬，一部分是馬，一部分是人一樣，一隻看漲期權也是一個混合物，一部分是股票，一部分是債券。從這一觀點出發，我開始把布萊克一肖爾斯公式看成是穿插在股票和債券已知的市場價格和這個混合物合理價值之間的一條簡單的、 易於理解的思路。有幾名經濟學家，比如保羅•薩繆爾森，循著這一思路，在佈菜克和肖爾斯之前，曾經差一點就推出了布萊克一肖爾斯公式。 當要估算水果沙拉的價格時，你求出沙拉所包含的水果的價格的加權平均數即可。按照這一思想，我把這個期權公式看成是一個藥方，告訴我們如何透過求期權中所含成分的已知市場價格的平均數，進而估算出這個混合物的價格。於是我嘗試著給自己設定一套規則，使得一個普通人能夠應用這些規則給作為混合物的期權估價。我想看一看應用這些規則是否能夠得出 GER期權正確的估價公式。最後，我形成了如下思路。 首先，就像在任何一道數學問題中一樣，你必須選定一個數學單位， 也就是用何種貨幣給所有證券的價值標價。你可以選擇任何你喜歡的貨幣—日元、美元，甚至是幾股IBM的股票，來作為衡量價值的計量單位。這就像在說身高的時候，你要決定是用英寸還是釐米作為單位。設計 197
寬客人生|My Life as A Quant 一隻期權或是建造一幢公寓樓的成本，並不取決於你選擇用哪種貨幣來進行估價。 在實際操作中，花點兒心思想一下就可以得出哪種貨幣是理想的選擇，就能夠極大地簡化問題。舉一個期權以外的例子作為說明，股市分析 •家們經常引用市盈率——即每股股票價格除以每股利潤的比值——來衡量一隻股票的價值。這就等同於使用美元計價的股票年度利潤，而不是使用美元本身，作為報告一家公司股票價格時的計量單位。用這種方式標出的股價能自動地告訴你，當你以現在的市場價格購買股票時，你支付出去了相當於多少年的所假定的每年盈利。 20 世紀90年代期權理論的大多數發展不過就是在布萊克、肖爾斯和默頓三人最初的思想之上，透過巧妙地選擇美元以外的更加精巧的價值計量單位，擴充套件而成的。這一竅門是在布萊克和肖爾斯發明出他們的模型之後不久，被比爾•馬格拉比首先採用的。有著數學天賦的期權理論家們把這一竅門稱為“關於記賬單位的選擇” （choice of numeraire）。 接下來，既然風險正是你要對付的，那麼你就必須明確期權裡面的風險成分，即那些未來價值不確定的要素。在這裡，你的目標是把一隻複雜的期權看成是由最簡單的基礎證券組合而成的，這些基礎證券的風險你是知道的。期權建模人員把這些稱為風險因素。舉例來說，對於一隻標準的股票期權來說，股價就是最主要的風險因素。而對於丹麥日經指數看跌期權來說，最重要的風險因素則是日經指數的點位和美元兌日元的匯率。 其次，你必須描述出未來情形的變動範圍，即風險證券可能取到的數值。這一變動範圍通常是用幾個模型引數加以描述的，當調整模型的時候，這些引數也就必須被確定下來。一旦你知道了風險成分未來情形的變動範圍，那麼你就能估算出任何其他風險證券（比如說一隻期權）的價值，具體來說就是對每一種情形下的收益求出加權平均值，再折現求現值即可。比如，在布萊克一肖爾斯模型中，人們假設未來股票的回報服從普通的正態分佈，這一分佈對於所有初級統計學的使用者來說是很熟悉的。 當你知道決定這一分佈的中心和寬度，或者用更數學化的語言來講就是， 知道這個分佈的均值和標準差的引數的時候，這個分佈就被確定下來了。 然後你必須對模型進行調整，也就是說你必須讓模型的情景引數同更簡單的風險基礎證券以你所選定的理想貨幣計價時的當期價格相一致。在 198
13| 高盛之家佈菜克一肖爾斯模型中，這一調整過程就意味著，要確保當你使用模型計算出股票本身價值的時候，你得到的就是當時的股票價格，當你應用模型計算一隻無風險債券的價值時，你得到的也是這隻債券的價格。這一約束幾乎就足夠把布萊克一肖爾斯公式確定下來了。調整的過程絕對是很關鍵的。任何時候，當你使用你的模型計算一隻簡單的風險證券的價值的時候，這隻證券的風險和市場價格你都已經知道，那麼你的模型就必須跟這個市場價格保持一致——如果不一致，說明你在哪裡有錯誤了。 一旦模型經過調整，你就可以使用模型來計算期權的價值了，也就是按照各種情形的分佈求出期權未來支付的平均值，再折成現值即可。我喜歡把這個稱為“中間法”（interpolation），因為應用模型進行計算，就是從一個組合在兩個端點時各種成分的已知價格來計算出這個組合的中間價值。 我所給出的藥方中沒有些什麼特別原創的東西，但是它確實揭開了期權估價方法的神秘面紗，同時仍然保留了相當多的經濟學的思維。我發現這是一個向交易員們解釋模型的很有幫助的方法，也是一個直觀的有助於自我思考的方法。對於很多複雜的衍生產品問題，應用這一方法，你用不上所認為的那麼多的數學，就能得到答案。 我現在就要按照這一邏輯來分析丹麥GER 日經指數看跌權證的估價公式了，一步一步來。因為這個權證以美元交易，所以我選擇美元作為理想貨幣。而相關的風險因素則是日經指數（日元計價）的點位和日元的價值（美元計價）。皮奧特曾經假定日經指數和日元的未來回報都服從正態分佈的情形——在當時這已經足夠好了，因為在那時還沒有人考慮過分佈中的厚尾因素 （fat tails）®及其對期權價格的影響。 在調整模型的過程中，我分別選擇了日元計價的日經指數和美元計價的日元價值的正態分佈的中心值，從而日經指數的價格和目元的價格，在都用美元計價時，跟它們當時的市場價值相一致。現在，這個模型就全部確定下來了，可以應用“中間法”了。 然後，我計算看跌期權的合理價值，首先要把回報值按照約定的匯率轉換成美元，然後求出在未來日經指數和日元價值的所有情形下看跌期權回報的加權平均值。令我非常滿意的是，我很快就更加直接地得到了皮奧 ① 厚尾因素指資產收益率分佈在極端情況下的機率大於相應的正態分佈的機率，具有尖鋒肥厚的特徵。——譯者注 199
寬客人生|My Life as A Quant 特的公式。這個 GER 期權的價值果真取決於日元計價的日經指數和美元計價的日元價值之間的相互關係。採用我的方法可以更簡單地向交易員們做出解釋。永遠在尋找價格中套利空間的交易員們，出自本能地就領悟到，一個模型必須要經過調整，使其跟日經指數和日元，乃至他們在任意時刻或買或賣的證券的以美元計價的市場價格保持一致。 在搞物理時，我一直都習慣於至少用兩種不同的方法進行計算，看看兩個結果是否一致。我決定在這裡也這樣做。如果我制定的規則是正確的，並且我是準確、細心地應用它們的話，那麼即使我選擇了一個非理想的貨幣，對GER看跌期權的價值我也應該能夠得到相同的最終結果。為了確認這一點，我故意選擇了日元，而不是美元，作為我的計價貨幣。對於一個未來回報以美元支付的GER看跌期權的估價來說，這種記賬單位的選擇純粹就是人為設計的。然後，我對分佈進行調整，使其同日元計價的日經指數和日元計價的美元的市場價格相一致。隨後，我就求出了日元計價的日經指數看跌權證的理論價值，儘管它的回報是用美元來支付的。 當我把權證最終的日元價值按照當時的匯率轉換成美元時，答案跟我直接採用美元作為理想貨幣的結果完全相同。不管你習慣使用哪種貨幣來解決這個問題，所有事情都是一致的。 在最後公式中出現的日經指數和日元的相互關係，顯得有些矛盾，但是後來我們慢慢地更好地理解了為什麼這種相互關係如此重要。丹麥日經指數看跌權證的回報是以美元支付的，不受美元兌日元匯率的影響，只有當日經指數的點位變化時，回報才發生變化。但是，為了對沖這個看跌權證，你就必須對沖掉這個權證對於日經指數變化的風險，這就需要持有一定數量的日經指數期貨，而期貨的價值則取決於日元計價的日經指數點位。於是持有這些日經指數期貨就導致了對於日元價值變化的第二種風險，這種風險也必須被對沖掉。也就是說，正是用來對沖第一種風險（日經指數）的第二次對沖使得對上述日經指數和日元之間的相互關係產生了依賴。只要我把在期權存續期內進行兩類對沖交易的成本包括進去，我就得到了 GER 看跌期權的準確價值。 我對於在皮奧特優美的結果上面所做的給一般人看的再次推導，非常滿意。從交易員到寬客都興奮地奔走相告，向任何一個感興趣的人闡述我的理解。在接下來的幾個月裡，皮奧特、傑夫和我撰寫了一篇題為《理解 200
13|高盛之家| 匯率擔保期權》的論文，計劃能成為一個新的量化策略研究報告系列中的第一篇。儘管這篇論文含有一些數學，但它的風格還是相對比較淺顯的， 目的就在於能向客戶和銷售人員解釋這類產品。我短暫地感到，我們發現了一些其他人沒有看到的有意思的東西，我期望著把我們的報告寄給學術界的朋友和客戶們。能夠重新發表東西，我覺得很高興。 然而，事情沒有那麼簡單。當你把一篇研究報告從投資銀行寄給客戶的時候，你必須萬分小心，你寫的所有東西都不能被人解讀為一種推薦， 以防帶來法律問題。有關對沖的闡述要做出免責宣告，指出在實際市場面前理論模型的有效性是有限的。而且，你顯然不想披露任何可能會影響到你的獨家經營權的內容。因此，在準備好報告之後，我們把它交給了交易部門新的負責人，以求批准。 幾天以後，他要求我們不要在公司以外披簬這篇報告。儘管我為不能跟這一領域的其他人交流我們所知道的資訊而感到失落，但是我能看出， 他的確感到期權定價公式同商業秘密一樣，是競爭者和客戶都不應該知道的內容。 我認為他錯了。真正的商業價值存在於格菜尼出色的想法裡面，即向認為日經指數被高估了的美國投資者們賣出對日元貶值不敏感的日經指數保單。但是既然我們已經在美國證券交易所掛牌交易這些權證了，那麼這一想法就已經公之於眾了。而且確實如此，幾乎是緊接著，其他投資銀行就複製出了這類產品。 幾個月的時間裡，就有幾所大學的金融學研究者們發表了關於GER 期權估價的論文。這些論文中有一兩篇在第一次的時候，得出了錯誤的結論，因為它確實很複雜，但還是有幾篇得出了正確的結論。如果當初我們的論文得以發表的話，高盛其實不會失去什麼，甚至還可能會為接納有分析天賦的人才而贏得一定的讚譽呢。在第二年，我們一些內部報告的影印件就流傳到公司外面去了，可能是那些急切想要跟客戶建立聯絡的銷售人員們傳播出去的。10年以後，儘管遲來了太久，我們的論文最後總算是在一本關於貨幣衍生產品的書中全文照登。 後來那年夏末，我在多倫多大學由約翰•赫爾組織的一次課程班上， 就 GER期權做了一次講座。我一邊聽著其他發言人的講話，一邊開始意識到，我在高盛從事股票衍生業務有多麼幸運。正在蓬勃發展的股票期權 201
寬客人生|My Life as A Quant 市場向我們拋來大量新穎、迷人的問題，這些問題都是學者們以前不曾意識到的，GER期權幾乎算得上是最早的一個。 關於智力和商業興趣的話題經常被那些知道自身有困難、但是又永遠也解釋不清到底有哪些困難的交易員們不恰當地提出，並以問題的形式出現在我們面前。第一場戰爭就是把握問題是什麼。交易員永遠也不會有耐心聆聽我們的解決方案。有時候，正如我們從銷售人員那裡所發現的，往往是公司的客戶，特別是在崇拜數學的法國和日本，對於瞭解金融模型和特殊產品有著更大的興趣。我開始意識到，對於複雜的話題需要採用一種樸實、簡單、直接、深人淺出的寫作方法。 後來的10年中，我們在量化策略領域撰寫了大量有關股票波動微妙和複雜之處的報告。我們試圖跨越學術界和華爾街之間的界線，嘗試以一種獨特的、老師教學生似的風格解釋交易和估價理論，僅使用少量嚴謹的學術術語，而且往往把這些術語放到附錄中。我們的目標是，使我們的論文可以被那些有一定知識基礎、但關注時間被假定很短暫的所有交易員、 銷售員和客戶們理解和接受。 在我心中，我仍然保留著20世紀80年代對寬客群體的印象，這一看法是我受斯坦•迪勒和費希爾的浸潤而獲得的。我覺得，我們在理論和實踐的交叉點上工作，並因此具備了優勢。我認為，同時涉足學術和實務領域是有好處的。我還發現，發表我們的模型在推動金融經濟學向前發展的同時，還能給高盛帶來聲望，從而有助於把高質量的人才吸引到公司裡來。最後我懂得了，勸說人們使用你的模型來衡量價值，是一項有效的、 值得尊敬的努力。 高盛以外的人認為，我們把全部時間都花在做抽象的研究，然後寫成文章用於發表。其實並不是這樣的。我們的主要工作永遠是設計模型和交易系統供給衍生產品交易部門使用，應用我們的理論盡力解決他們在實務中遇到的問題。在剩下的時間裡，我們撰寫研究報告，更多的是出於熱愛，而不是金錢。我們作為生活在實驗家實驗室裡的理論家，真的是極其幸運，我們有機會第一個聽到實驗家們在交易中提出的新的不規則現象和難題。 格萊尼結構型交易的成功讓所有人都迫不及待地做更多的這類交易。 於是很明顯，更多的交易就會需要更多的寬客和更好的風險管理系統，因 202
131高盛之家1 此量化策略小組開始成長起來。 儘管在那時還沒有人使用“金融工程”這個詞，但正是皮奧特的“金融工程”告訴了我們怎樣消除掉我們持有的權證和我們賣出的GER 看跌期權，之間上的風險錯配。進行實際對沖操作其實更加複雜。交易櫃檯是一組不同的日元計價的日經指效看跌期權的多頭。相應地，他們又是一大批高盛發行的相似的美元計價的丹麥日經指數看跌期權的空頭。為了對沖掉兩者之間的風險錯配，他們不得不持續進行數量不同的日經指數期貨、 日元貨市以及一些單獨的日本股票的交易。這個整個的“日經指陣列合” 至少每天要被對沖一次，而且有時次數要更多。 1990年1月我重返高盛的時候，所有這些複雜的操作都是在一臺古老的DOS系統的電腦上，執行一個 Lotus 電子資料表格來進行處理的，各種不同的布萊克一肖爾斯期權公式被事先嵌入了這個表格之中。這樣做既不便捷，而且對於互動式的風險管理來說也不夠穩健。 很幸運，我是從固定收益領域來到量化策略小組的，在這些事情上， 固定收益永遠比股票要早上覆雜精密的那麼幾步。固定收益領域在經過多年的低波動和穩定回報之後，在20世紀70年代末期遇到了利率水平的快速攀升，於是這一領域的客戶和交易員們被迫成為了組合對沖系統的早期開拓者。結果就是，我知道了大量的關於設計和搭建風險系統的東西，而且發現這也是我能夠有所貢獻的地方。 皮奧特和我，以及量化策略小組的一名顧問羅阿•阿奇尤特馬尼，用一兩個月時間，很快就設計並搭建出一個初級的日經指數風險管理系統， 我們把它稱為“武士”（Samurai）。這個系統簡單又實用。我們把做成表格樣式的交易頭寸輸人到一個水平的計算機文件裡，一行就是一種證券產品。在每一行裡面，第一豎列表示我們持有的證券產品的數量，第二豎列標出證券型別（股票、期權、指數、期貨合約、外幣，等等），其他各個豎列則顯示出其他的資訊（執行價格、到期日，等等），這些資訊對於估價來說都是需要的。每天我們都編輯這份文件，來反映新的交易和已到期的產品。“武士”能從文件中讀出頭寸，然後可以根據當時的市場價格和模型計算出整個組合的合理價值和對沖率。它還可以計算出在日經指數點位、日元匯率、利率或是波動率上升或下降達到20%這種更加極端的情形下，對組合的影響。而後者恐怕是最有用的，我們可以應用這一特點來發現 203
寬客人生| My Life as A Quant 組合中可能存在的“高危地帶”（hot zones），這些高危地帶很可能就會讓我們垮掉，而且我們還可以估算出何種型別的新交易可能會彌補上這些隱患。 “武士”引起了極大的反響。在以前，股票業務部裡還沒有人看到過一個從零做起的、處理衍生產品組合的風險管理系統能夠如此簡單。“武士”很受交易部門的歡迎，傑夫、皮奧特和我也應邀去給股票業務部那兩位令人望而生畏的有著貴族氣息的負責人羅伊•扎克伯格和戴維•斯爾芬做演示。 我們設計的東西能夠如此適合交易櫃檯使用，原因在於我們和丹配合得非常緊密。交易員們有著他們自己的行話，儘管丹自己也說這些行話， 但他是我見過的願意而且能夠溝通語言差異的不多的幾名交易員之一。他每天會花上好幾個小時和我們站在黑板前面，盡力地幫助我們細化和檢驗系統；他會耐心地和我爭論什麼資訊應該在螢幕上以什麼樣的格式顯示出來。丹還像是一個藏而不的寬客，有一天他自豪地從辦公桌的抽屜裡拿出了他在很多年前寫的關於期權定價的大學高年級論文。我們在量化策略小組所編寫的大多數程式，在經過好幾年以後還能很好地派上用場，其中部分原因就是丹承擔了交易櫃檯代理人的角色。 丹不像其他很多的交易員，他知道成功來自於不斷的改進。我們不是在設計太空梭，後者的有關情況必須以分鐘為單位記錄下來，並傳輸給工程師。當我們開始為不斷發展的股票衍生業務設計風險管理系統的時候，我們進人的是一個地圖上尚未標記出的區域，而且也沒有穿過這片區域的公認的最佳路線。每一次我們跟交易員們交談，我們就會收到如洪水般湧來的需求和選擇，以至於難於決定到底從哪裡入手做起。而丹，跟那些來自交易部門的我曾與之合作過的其他所有人都不同，他懂得物理學家們所稱的“微擾理論”（perturbation theory），這種方法是指你要首先完成最關鍵的一個問題，然後在之後的每一步裡，你都解決掉剩下的問題裡最重要的問題。而其他很多的交易員和交易櫃檯則恰恰相反，就像米爾恩詩歌裡面那個“我爺爺認識的老水手”，“有很多事情都想去做，多得以至於每當他認為該動手的時候，都因為有很多事情要做，而做不成了”。而丹則把他的工作理解為是界定和設計一個面向全部交易櫃檯的統一的、設計良好的交易基礎系統，而不用考慮交易櫃檯設在哪裡，這樣就使得交易員們在從一個國家去到另一個國家時，還能夠在統一的交易系統環境上操作。 204
13|高盛之家1 大多數交易員們只想著交易，而丹則願意思考你進行安全的交易所需要的工具。當幾年以後公司把丹調到倫敦以後，沒有人能夠接替他的角色，從那時開始，給交易櫃檯他們所需要的東西就變得更難了。自那以後十多年的時間裡，儘管我們的交易量和交易組合在規模上翻了好幾番，但我們在 “武士”裡面所創造出的這套方法一直還作為我們風險管理系統的核心。 20世紀90年代初，蘇聯解體，一段歷史的終點看上去就要來臨了， 同時資本全球化大肆蔓延。在股票衍生產品領域，特殊期權產品的時代開始了。特殊期權對於想要承擔另一國的市場風險並從中獲利的一國投資者來說，似乎是首選之道。假如你是一名美國的投資者，想要從法國股市上漲中獲利的話。在以前，你就不得不買入並持有一個差異化的法國股票組合，並且要不怕辛苦、不怕費勁地跟蹤它們以法國法郎計價的股價變化， 取得股息、兌換成美元、繳納所得稅和資本利得稅，然而，在所有這些以外，你仍然面臨著法國法郎可能相對於美元貶值的風險。而現在，你就可以來到我們的股票衍生產品交易櫃檯，買上一份法國CAC-30股票指數的看漲期權，約定好跟美元的擔保匯率，這樣你只需簡簡單單地每天從報紙或是電視裡看一下CAC-30 指數的收盤點位，就可以知道你的P&L 了，交易員們喜歡用這個詞表示他們的利潤和損失。你可以把麻煩的事情交給我們。 像這樣以及其他一些的特殊期權產品開始大獲成功，於是高盛決定組建一個結構型股票產品業務小組。而“武士”的成功使得量化策略小組自然成為了後臺支援力量，因此在之後的5年裡，我們小組就發展到了大約 30人的規模，每名專業寬客身後差不多有3名軟體研發人員予以配合。每天，我們考慮的就是設計出新的期權並計算出它的價值，所有這些新的期權涉及到的都是更加精細的小機率事件，比我們已經很擅長的那些初級、 標準的期權產品更加細緻。簪如說，有界限期權 （bartier options），關於一隻服票最高股價的期權，關於一隻股票平均股價的期權，回顧式期權 （Lookback options），超額收益期權（outperformance options），利率可能性期權（rate-contingent options），關於期權本身的期權，等等。在20世紀 70年代未期至80年代初期之間，當這些結構型產品首次被髮明出來，其價值被透過精巧的數學計算發現的時候，它們只不過是一種新奇的事物， 只是把理論極限向前推進了一步罷了。而現在，10年過去了，投資銀行則把這些結構型產品看成一種量身定製的金融工具，憑藉它們可以把客戶想 205
寬客人生| My Life as A Quant • 要的風險組合準確地賣給客戶—當然，投資銀行要拿到期權費。 如果這些特殊的結構型產品在市場上取得了成功的話，那麼在它們之後必然有兩條顯然的準則。首先，既然期權就是在未來某種可能永遠也不會發生的情形上面打賭，所以投資者們希望花儘可能少的錢。其次，為了儘可能地壓縮一隻期權的成本，你必須儘可能精確地嚴格定義出你所要打賭的情形。對於一種情形來說，你要麼是想從中獲利，要麼是想避免發生，只要你做得越精確，你付出的成本就越小。 對於每一種情形我們都有對應的期權產品。經典的就是標準的看漲期權。比如說，一個標準普爾500 指數看漲期權，就是直接打賭在到期日之前，目標指數會上漲。當你購買了這隻看漲期權以後，你就為目標指數最終上漲的所有可能的情形付了錢，包括那些指數先下跌再調頭上漲的情形。 還有一些更特殊的型別。一個碰觸有效看漲期權（knock-in bartrier call option）就是打賭，目標指數先是跌穿幾個界限，然後再調頭向上收復失地。如果你認為這種先下跌再上漲是有可能的，你就可以只為這種情形付錢，要比你購買一隻標準的看漲期權花的錢要少。在這點上還可以有許多相似的變形。 如果你認為標準普氏爾500指數的長期走勢是上漲的，不想為它的小幅波動而擔心的話，那麼你可以買一隻標準普爾500 指數均值（或亞式） 看漲期權，期權的收益就只取決於期權存續期間內掛鉤指數的平均點位。 因為一隻指數技時間平均以後的結果是一個比指數本身更穩定的數量值， 所以這個期權一般來講也要比一隻標準的看漲期權便宜。 另外，如果你認為股市只有在美聯儲維持低利率水平的條件下才能長期向上的話，那麼你可以買一隻標準普爾500指數的利率可能性看漲期權，這隻期權在利率上漲的情況下就取消了（用期權的術語來講叫“作廢”，knock-out）。同樣，因為這隻期權只有在利率維持在低水平的同時標普指數還要上升的條件下，才會有回報，而這種情形發生的可能性比指數在所有情況下都上升的可能性要小，所以你付的錢也就少了。 我們期權產品的一個典型的買家就是歐洲的商業銀行，他們因為利率持續走低，想透過給存款人提供一個能賺取更高回報的機會，從而吸引客戶。銀行會向存款人承諾，在未來一年內 CAC-30指數的平均點位如果上升的話（如果確實發生的話），那麼銀行會按照點位上升的一定比例來計 206
13|高盛之冢算儲戶的存款利率，稱之為“上調利率”（enhanced rate of interest）。為了支付這樣的回報，銀行就會從我們的交易櫃檯購買 CAC-30指數平均值期權。這樣一來，銀行提供給存款人的就不是簡單的固定收益產品了，而是提供給他們一個在其他地方買不到的組合產品，也就是在債券上面加上了一個股票“認股權”。 相反的是，很多股票期權的賣家卻是歐洲的退休基金、共同基金或是保險公司，他們對債券收益率的下降不滿，於是就透過賣出股票指數期權來提高他們的收益率。他們是在賭股票指數不會上升，這樣一來他們賣出的期權就會以失敗而告終。 新的結構型期權產品的研發就像是一場武器裝備競賽。任何一家公司發明了受客戶歡迎的產品以後，只有幾個月的時間能從領先的優勢中獲取利潤，之後就會有其他的公司推出複製的產品了。因為只用幾個月的時間，他們就可以倒推出一個產品的設計理念，然後再加上些花樣，發展出一個風險管理的策略，把有關法律和技術的基礎性內容安排妥當，然後就可以推向市場了。 20 世紀90年代初期，大多數期權都是掛鉤簡單的全球性的股票指數， 如美國的標準普爾500指數，英國的金融時報100指數。期權的特殊性質並不在於這些標的的性質，而在於界定期權的回報以何種方式取決於標的點位。在90年代後期的高科技股和生物科技股泡沫中，投資者們對掛鉤更復雜的標的物的期權變得更感興趣，比如掛鉤一籃子的科技股和製藥服。因為公司之間都在盡力超過對方，所以期權回報的支付條件也就變得更加精確和更加難於理解了。到了20世紀末，高等師範學校的精英們， 也就是那些經過訓練的、對規範數學有著法國特色興趣的數學家們，在法國的銀行裡創造出了最受歡迎的期權產品。他們所銷售的特殊期權是掛鉤一個股票籃子的期權，只是籃子裡股票的成分隨時間而持續變化。舉一個例子，隨著在上一年度表現最佳的股票被剔除出去，這個籃子裡成分股票的數量每年都在減少。就像在任何一樁生意裡一樣，銷售人員喜歡量身定製和複雜性這兩樣東西，因為你不但可以為此收取更多的費用，而且對於客戶來說也更難以評估出產品每一個單獨特性的價值。產品複雜了，還使得竟爭對手更難以複製。 各種產品的變形不斷湧現。乘著這股創新潮流的勢頭，同時也在推波 207
寬客人生|My Life as A Quant 助瀾的，就是彼得•菲爾德靈感一現、冒險一試創辦的《風險》雜誌。每個月我們都要翻一翻這本雜誌，看看裡面的行業新聞、各種訊息以及量化分析的文章。這是期權行業裡第一本印在光紙上的雜誌，充滿了廣告和裝飾圖案。這本雜誌面向的是量化分析領域的實務工作者，而不是學者或是基金經理。它拋棄了《金融研究》這類學術期刊那令人窒息的僵化格式， 所以學者們和實務工作者們都很喜歡《風險》這本雜誌。費希爾也曾充滿欽佩地對它發表評論。在20世紀90年代初期的連續幾年裡，每一期《風險》雜誌都會刊登關於最新的特結構型產品的資訊以及如何對其估價的熱點文章。不久之後，《風險》雜誌就開始組織昂貴的關於特期權的培訓班。這是一個聰明的套利機會，他們組織一些投資銀行的寬客去聽另一些投資銀行的寬客的講座，從中收取費用，然後揣進腰包。 其他一些期刊後來也陸續問世。國際金融工程師協會作為一個新出現的寬客專業化組織，也確定了一套教育課程，適合用來培訓寬客。現在， 越來越多的大學感受到了對金融工程師的需求，為了滿足那些願意花錢來學習數量金融的人的要求，於是相關的教科書和金融工程碩士學位課程進修班，並開始大量出現。1985年我進人華爾街的時候，這裡還只是個業餘選手的天下，是一個充斥著來自於其他領域的經過崗前再就業培訓的人的臨時棲身之所，而且流動性很強，這些人只要學東西快、能夠求解公式、 可以獨立編寫程式就可以了。那時你必須自學期權理論，而且只有寥寥幾本教科書來幫助你——傑諾、魯德、考科斯和魯賓斯坦撰寫的那些教科書就是我能獲得的僅有一些教材。每年我去參加的唯一一個衍生產品會議就是由美國證券交易所主辦的年度春季會議。而到了20世紀90年代未期， 就有了幾十個碩士學位課程班，幾百場專業會議，以及上千種的書籍。物理學家和數學家們，要麼是找不到學術職位，要麼是對學術界的政治和報酬感到厭煩和不滿，越來越想在華爾街找到一份工作。 實務工作者們的量化生活，在以前是那種自學的業餘選手們快樂隨意的領地，而現在正在變成一門學科、一樁生意和一種職業。同時，它也變得有一點無趣了。 208
14. 黑暗中的笑聲波動率“微笑曲線”今人圍為之能布萊克一肖爾斯公式之才：所究期權區域性波動率模型的光來很難發現正確的樸型寬客人生|My Life as A Quant 我第一次聽到“微笑曲線”是在1990年12月份，從戴夫•羅傑斯那裡知道的，他是高盛在東京的首席期權交易員。我曾經一度經常飛往東京，給我們在那裡的交易員帶去風險管理工具的最新版本，並且瞭解一下他們還需要什麼新的模型和軟體。東京股市跟紐約股市不一樣，中午就收盤了。收盤後交易員們就不再那麼精神高度緊張，出去吃午飯，銷售人員則會出去見客戶，這也正是輕鬆的談話時間。當我們聊天的時候，戴夫讓我看了他用來關注掛鉤日經225 指數的期權產品價格的電腦螢幕。他指出了在日經指數期權價格中一個奇怪的不對稱的地方—一虛值①看跌期權的價格，出人意料地大於其他期權的價格。 所有人把這種不對稱性稱為“微笑”或是“彎曲”。起初，它看上去只是有點有趣罷了，是一個在我們容忍範圍內的特殊的不尋常之處。但接下來，當我再深人思考時，我意識到“微笑曲線”的存在跟佈菜克和肖爾斯所建立的有20年曆史的期權理論完全不一致。而且，如果佈菜克一肖爾斯公式是錯誤的話，那麼一隻期權的價格相對於它的基礎指數變化的預期敏感度，也就是所謂的“8”是錯誤的。這樣一來，所有使用佈菜克一肖爾斯模型裡面的“8”進行對沖的交易員，對他們的期權組合所做的對沖就都是不正確的。而佈菜克一肖爾斯模型中最核心的內容就是所給出的複製和對沖的方法。因此，微笑曲線就在護佑期權交易的理論屏障上捅開了一個雖然小但很深的洞。假使是布萊克一肖爾斯模型錯了，那麼什麼是正確的可以用來對沖期權的“”呢？ 在20世紀90年代，微笑曲線最初只是股票期權裡面的一個特殊之處，後來也影響到其他市場，只是在每個市場上的表現形式略有不同。理解“8”成了縈繞在我以及很多我同時代的寬客同行腦海中的主要事情。 ① 虛值（out-of-money）期權是指，期權的內在價值為負值或是在未來履約時可能出現虧損的期權。其中期權的內在價值 （intrinsic value）是指現在執行期權能給持有人帶來的收益，也即標的證券的價格和期權執行價格之間的差額。—譯者注 210
14|黑暗中的笑聲| 它是一個恰好位於期權交易和期權理論交點上的不尋常的現象。我花了大量精力試圖對其進行建模。 滿腔熱情、雄心勃勃地開始工作，讓我覺得好像又回到了物理領域， 急急忙忙地要成為發現某件重要而且有趣的事情的“正確”模型的第一人。我幻想著構造出一個受所有人歡迎的模型，這個模型將會取代佈菜克一肖爾斯模型。但是，事情沒有我想的那樣簡單。在之後的10年裡， 我知道了在金融建模領域，“正確性”是一個比我曾經以為的還要模糊的概念。 在金融建模這項事業裡，你反覆學到過的內容中有一件就是計量單位的重要性。你永遠希望證券價格的報價能夠使它們可以方便地與其相對價值進行比較。 舉例來說，當你需要比較債券的價值的時候，它們的價格並不能提供充分的資訊，因為每隻債券都有不同的到期日和利息票率。因此，你標出的是它們的收益率。一隻債券的收益率可以對這隻債券能為你帶來多少回報提供一個估計值，而不用考慮它的利息票率和到期日。你可能不知道一隻98美元的折價債券到底是不是比一隻105美元的溢價債券好，但是你肯定知道，在其他條件相同的情況下，一隻收益率為5.3%的債券不如一隻收益率為5.6%的債券有吸引力。這種把價格轉換成收益率的過程，本身就是一個模型，儘管是一個簡單的模型。對於瞭解價格來說，這是一個簡便的方法，也是朝著估算價值邁出的良好的第一步。 在期權領域也同樣如此，單靠價格並不能充分地衡量價值。想要判斷出在一個兩平①看跌期權上花300美元到底是不是比在一個虧損嚴重的虛值看跌期權上花40美元更合算，是不可能的。一個更好的衡量期權價值的指標就是這個期權的內含波動率 （implied volatility）。佈菜克一肖爾斯模型把股票期權看成是同股票回報的未來波動率掛鉤的賭博。這隻股票波動越劇烈，這個賭博就越有可能獲利，因此，你在它上面花的錢也就應該越多。你可以應用模型把一隻期權的價格轉化成股票肯定會表現出來的未來波動率，從而使這隻期權的價格具有可比性。這個衡量指標就被稱為這隻期權的“內含波動率”。也可以說，這是從期權的角度來看股票的未來波動率。 ① 兩平 （at-the-money）期權是指不具有內在價值和日後履約時既不會盈利也不會虧損的期權。——譯者注 211
寬客人生 My Life as A Quant 布萊克一肖爾斯模型是市場的標準。當那天在東京，我坐在戴夫身旁時，他的電腦螢幕上顯示的就是用佈菜克一肖爾斯模型得出的內含波動率所報出的價格。甚至在今天，雖然已經沒有人相信布萊克一肖爾斯模型是估算期權價值的最優方法，而且技術手段更高超的交易員們有時候會應用更加複雜的模型，但是由布萊克一肖爾斯模型得出的內含波動率仍然是報價方面的市場慣例。 一般來說，期權的流動性不如股票，所以內含波動率的市場資料也就不夠細化，只是基本準確。儘管如此，戴夫指給我看的，就是我已經隱隱約約有所察覺的，即在內含波動率上有一個劇烈的彎曲，從而使得三個月期的低執行價格期權的內含波動率，比同樣三個月期的執行價格更高的期權的內含波動率要大得多。你可以從圖14.1 中看出這種不對稱性的大概樣子。這種偏向一邊的形狀，儘管一般被稱為“微笑”，但其實更多的是一種“傻笑”。 22 21 內含 20波 19動 18率 （%）171615 141312+ T 9091 1987 年股災前 “T 92939495 96 97 98 99 100 101 102 103 104 以當時日指數點位的百分比表示出的執行價格圈14.1在1994年後期，日經指數三個月期期權的一個典型的內含波動率的“搬笑曲線”形狀。虛線部分所表示的是在1987年股災之前，通常是不彎曲的形狀。 在把內含波動率作為你的價值衡量指標時，低執行價格的看跌期權就是最貴的日經指數期權。1987年10月19日這一天，股市裡面的任何人都可以很容易地猜出為什麼。當全球股票市場自那天開始跳水，投資者對股市瞬間大幅下跌的可能性始終記憶猶新。因此他們願意花錢保護他們的投資安全。而虛值看跌期權就是最好的也是最便宜的保險。經歷了1987年 212
14 | 黑暗中的笑聲| 股災的投資者們，亡羊補牢似的願意花錢購買保險，以避免再次遭受曾讓他們痛苦的風險。到1990年的時候，所有股票市場上都出現了相似的 “微笑曲線”或“彎曲”。與此相對照的是，在1987年以前，掉以輕心的、不經世事的期權市場對所有的執行價格都樂於承受差不多相同的內含波動率，就如圖14.1中用虛線表示的。 並不是只有3個月期期權的內含波動率出現彎曲。相似的影響在任何到期日的期權上都是可以發現的，也就是說，內含波動率不但隨著執行價格的不同而變化，也隨著到期日的不同而變化。我們於是把內含波動率在時間和執行價格這兩個維度上的雙重變化，畫成了一個二維內含波動率曲面。圖14.2表示的是一個標準普爾500指數期權的曲面圖。這個曲面同收、益率曲線一樣，每一分鐘、每一天都在持續不斷地變化。 24 22 20 18 16 14 12 10 24 22 20 18 16 14 12 10 500 0.0 550 執行價格 0.6 600 0.8 0.2 0.4 到期日（年） 650 1.0 圖14.2 1995年中期，標準普爾500 指數期權的一個典型的內含波動率曲面。 這種帳篷狀的曲面對於任何地方的理論家來說都是一個挑戰。佈菜克一肖爾斯模型不能對此做出解釋。布萊克一肖爾斯模型對一個指數或一隻股票在未來所有時間都設定了一個單一的波動率，因此，產生的永遠是一個沒有起伏的、平坦的、也沒有什麼特點的曲面，如圖14.3a 所示。如果對佈菜克一肖爾斯模型做些調整，使得未來指數的波動率跟現在的不一 213