85 租期期限每月成本（美元） 租期期限 4 000 2 3700 4 每月成本（美元） 3 225 3 040 Bob希望在卡車的要求得到滿足的前提下，實現成本最小。此外，Reep 公司從未解僱過一名員工，為此 Bob Reep 非常自豪。這次Bob仍然堅持他的不解僱政策，即使這樣會增加成本。 管理報告分析 Reep 建築公司的卡車租賃問題，並準備一個報告向 Bob Reep 簡要介紹一下你的觀點。報告必須包括以下內容： 1. 租賃的最優方案。 2. 最優方案的租賃成本。 3.為了保持公司的不裁員政策，公司要多付出的資金。 附錄3A 使用 Excel 進行靈敏度分析在附錄2C中，我們介紹瞭如何使用 Excel Solver 求解Par公司的問題。現在我們再來看一下如何使用Excel 進行靈敏度分析。 當 Excel Solver 已經找出了線性規劃問題的最優解時，螢幕上就會出現一個 Solver Result 的對話方塊（如圖320所示）。如果這個解就是你所要的，單擊OK；有關靈敏度分析的報告在同一個Excel 工作簿的另一個工作表中。對於 Par 公司的問題，我們得到最優解所在的工作表（如圖3-21所示）和靈敏度分析所在的工作表（如圖3-22 所示）。 Answer Limits 圖 3-20 Excel Solver 求解對話方塊 3A.1 Excel 靈敏度分析報告的說明在靈敏度分析報告的 Adjustable Cells 部分，Final Value 欄的值就是決策變數的最優解。對於 Par 公司的問題來說，最優解就是540 個標準袋，252 個高階袋。接下來我們再分析一下 Reduced Cost（減少的成本）欄中的數值。在Excel 中，減少的成本表示函式變數增加一個單位，目標函式值的變化量。對於 Par 公司的問題來說，兩個減少的成本項都是零，它們目前的值就是最優解。 在圖3-22減少的成本欄的右側還有3個標籤，分別是 Objective Coefficient、Allowable Increase 和 Allowable Deerease。注意標準袋決策變數行，相應的目標函式係數是 10, Allowable Increase 的值是 3.5,Allowable Decrease 的值是3.7。將10分別加上3.5，減去3.7 就得到Cs的最優範圍是 6.3≤Cs ≤13.5 同樣，C，的最優範團是 6.67≤CD ≤14.29 我們再來分析一下約束條件部分的資訊。Final Value 欄中的資訊是當生產540 個標準袋，252 個高階袋時各部門的工作量。也就是說，最優解需要630 小時的切割與印染時間，480小時的縫合時間，708小時的成型時間和117小時的檢查與包裝時間。用Constraint R.H.Side 欄中的值減去 Final Value 欄中的值，就可以求出鬆弛。
86 資料、模型與決策：管理科學篇 Par,hnc. Operation Cutting and Dyeing Sewing Finishing Inspection and Packaging Profit Per Bag Model Bags Produced Maximize Total Profit Constraints Cutting and Dyeing Sewing Finishing Inspection and Packaging 圖 3-21 Production Time Standard Deluxe 0.7 0.5 0.1 10 0.83333 0.66667 0.25 Decision Vanables Standard Deluxe Time Available 630 600 708 135 Hours Used （LHS） Hours Available （RHS） 八好八8 用 Excel 求解 Par 公司問題 Adustabie Cells Cell Name $B$16 8:g5 Produced Standard $C$16 Bags Produced Delxe Fial Vatue 539.99842 252.00110 Reduced Cost 0 00000 0:00000 Oblective Coeficient 10 Allowable increase 3.49993 5.28571 Allcwable Decrease 3.7 2.3333 Constranks CeH Name $B$21 Cuttng_and Dyeing Hours Used （LHS） $B$22 Sewng Hours Used （LHS） $B$23 Finishing Hours Used （LHS） Final Value 630 479.99929 708 $B$24 Inspection and Packaging Hours Used （LHS） 117,00012 Shadow Price 4.37496 000000 6 93753 0 00000 Constraint R.H. Side 630 600 708 135 Allowable Increase 52.36316 1E+30 192 1E+30 Allowable Decrsase 134.4 120.00071 127 9988 17 99988 圖 3-22 Par 公司的 Excel靈敏度分析報告 Shadow Price 欄中的值就是每個約束條件的影子價格。影子價格是指約束條件右端值每增加一個單位時函數值的變化量。管理科學家軟體使用對偶價格來描述約束條件右端值每增加一個單位時函式解的提高值。對於最大化問題，影子價格與對偶價格是一樣的，因為提高就是數值的增加。對於最小化問題，提高意味著數值的減少，所以在最小化問題中，對偶價格與影子價格的符號相反。 Sensitivity Report 部分最後兩欄的內容是約束條件右端值的可行域。比如，切割與印染約束條件的可行增加是 52.4，可行減少是134.4。Allowable Increase 欄和 Allowable Decrease 欄的資訊說明，在630小時的基礎上增加 52.4 小時（630+ 52.4 =682.4）或者減少134.4小時（630-134.4=495.6），影子價格4.375 美元都是適用的。 概括而言，可行域限制了影子價格的運用。如果模型的變化超過了可行域，就必須對其重解了。
第4章線性規劃的應用線性規劃被譽為是在制定決策時最成功的定量化方法之一，它幾乎應用於各行各業。它涉及的問題包括：生產計劃、媒體選擇、財務計劃、資本預算、運輸問題、配送系統設計、產品組合、人事管理以及混合問題等等。 在本書第2章和第3章“實踐中的管理科學”專欄中，介紹了線性規劃可作為一種靈活的解決問題的工具。專欄4-1 中介紹的是線性規劃的又一應用，它展示了馬拉松公司是如何利用一個大型的線性規劃模型來解決一系列關於計劃問題的。本章的專欄4-2介紹了GE 基金如何運用線性規劃來最優化其租賃結構，專欄4-3介紹了家樂士公司如何運用一個大型的線性規劃模型來整合其生產、配送以及存貨規劃，專欄44介紹了國家汽車出租公司是如何利用線性規劃來管理計程車的數量、價格以及保養等問題。 在本章我們展現了線性規劃的一系列應用，包括一些來自於傳統商業領域的營銷、財務以及運作管理等問題。而如何建模、利用計算機求解以及輸出結果的解釋則是本章的重點。我們在依據所研究的問題來建立數學模型時，使用的工具通常有管理科學家、LINDO 和 Excel 等，本章中的大多數案例都是用管理科學軟體來求解的，而在附錄中我們闡明瞭如何利用Excel 工具來求解關於財務規劃的問題。 專欄4-1實踐中的管理科學馬拉松石油公司的一個營銷計劃模型① 馬拉松石油公司在美國國內有4家精煉廠，運營著50 個輕油產品終端，並且在超過95個地區有產品需求。公司的供給和運輸部門面臨著決定從哪個精煉廠供給哪個終端，同時還必須決定產品以何種方式運輸，用管道、船還是油輪，以使總成本最小。產品的需求必須得到滿足，但同時又不能超過每個精煉廠的供給能力。為了幫助解決這個複雜的問題，公司構建了一個營銷計劃模型。 營銷計劃模型是一個不僅考慮馬拉松公司產品終端的銷售量，而且考慮所有交易區域的銷售量的大型線性規劃模型。一份交換合同是公司同石油產品經銷商之間的一個約定，它包括各自在不同的區
88 資料、模型與決策：管理科學篇域交換或是買賣馬拉松公司的產品。馬拉松公司營銷領域內的所有管道、船、油輪在這個線性規劃模型中都得到了考慮。這個模型的目標是在滿足既定需求結構的條件下使成本最小化，考慮的因素包括銷售價格、管道關稅、交換合同成本、產品需求、終端運營成本、精煉成本以及產品採購等。 這個營銷計劃模型可以用於解決一系列的計劃問題，從評估汽油混和經濟到分析一個新的終端或管道的經濟效益。馬拉松公司每天銷售大約1000 萬加侖的精煉輕油產品，即使每加侖能夠節約千分之一美分的話，從長遠看來也能帶來顯著的成本節約。與此同時，那些在一個領城中看似有可能、實現了成本節約的環節，如精煉或運輸，當在整個系統下全域性考慮時，或許實際上卻是增加了總成本。 這個營銷計劃模型同時也實現了對整體效果的核算。 ① 依據馬拉松公司（Findlay,Ohio）Robert W. Wernert 所提供的資訊編寫。 4.1 市場營銷應用線性規劃在市場營銷中有著廣泛的應用，本節我們將討論其在媒體選擇和市場調查中的應用。 4.1.1 媒體選擇在媒體選擇中應用線性規劃的目的在於幫助營銷經理將在第2.1節中，我們提供了構造線性規固定的廣告預算分配到不同的媒體中去。潛在的媒體有報劃模型的一些通用方法。在本章中處理線紙、雜誌、電臺、電視和直接的郵件等。在這些應用中，我性規劃的應用時，你可能要回顧一下第2.1 們的目的就是借用媒體使宣傳範圍、頻率和質量最大化。在節。 應用中的約束通常源於公司的政策、合同的要求以及媒體的可用性等等。在接下來所介紹的應用中，我們將介紹如何利用線性規劃建立模型以求解關於媒體選擇的問題。 REL.發展公司正在私人湖邊開發一個環湖社群，湖邊地帶和住宅的主要市場是距開發區100英里以內的所有中上等收人家庭。REL公司已經聘請 BP&J廣告公司設計宣傳活動。 考忠到可能的廣告媒體和要覆蓋的市場，BP&J建議將第1個月的廣告限投在5種媒體上。在第1 個月末，BP&J將根據該月的結果再次評估它的廣告策略。BP&J已經蒐集了關於潛在受眾的數量、廣告單價、各種媒體一定時期內可用的最大次數以及評定5種媒體各自宣傳質量的資料。質量的評定是透過宣傳質量單位來衡量的，所謂宣傳質量單位是一種用於衡量在各個媒體中一次廣告相對價值的標準，它建立的依據是 BP&J在廣告行業中的經驗，考慮了眾多因素，如觀眾人口統計資料（年齡、收人和受教育程度）、呈現的形象和廣告的質量。表4-1 列出了所蒐集的資訊。 表4-1 REL 發展公司的廣告媒體選擇廣告媒體潛在覺眾人數廣告單價每月最多可用次數① 宣傳質量單位日間電視（1分鐘，WKLA 臺） 1 000 1500 15 65 晚間電視（30秒，WKLA臺） 2 000 3000 10 90 日報（整版，早報） 1 500 400 25 40 週日報紙雜誌（1/2版，彩色，週日出版） 2 500 1000 4 60 電臺早8點或晚5點新聞（30秒，KNOP臺） 300 100 30 20 ① 媒體的最大可用次數也就是其能夠出現的最大次數（例如：每月4個週日或是 BP&J建議該媒體使用的最大次數）。 REL發展公司提供給 BP&J第1個月的廣告預算是30000美元。並且，REL 發展公司對如何分配這些資金有如下限制：至少要用10次電視廣告，覆蓋的觀眾人數至少要達到50000人，並且電視廣告的費用不得超過18000美元。應當選擇哪些廣告媒體呢？
第4 章線性規劃的應用 89 要做出的決策是每種媒體的使用次數是多少。我們首先定義如下決策變數： DTV——日間電視使用次數； ETV—晚間電視使用次數； DN—日報使用次數； SN—週日報紙使用次數； R—電臺使用次數。 從表4-1可以看出，一次日間電視廣告（DTV）的宣傳質量單位是65，與DTV 合作的廣告計劃將提供65DTV的宣傳質量單位。繼續看錶4-1 的資料，我們可以發現晚間電視宣傳質量單位是90，日報宣傳質量單位是40，週日報紙宣傳質量單位是60，電臺的宣傳質量單位是20。因此，如果建模的目標是使媒體選擇計劃的總宣傳質量最大，那麼目標函式就是： 必須確保線性規劃模型準確反映實際 max 6SDTV +9OETV +40DN +60SN +20R 宜傳質量問題，在嘗試求解問題之前一定要多次回現在根據已知資訊可以寫出模型的約束條件： 顧模型的構造過程。 DTV 15） ETV 10 DN M 25 可用媒體 SN ≤ 4 R≤ 30 1 5OO DTV +3 000ETV + 400DN + 1 000SN +100R ≤30 000 預算 DTV+ ETV ≥ 1 500DTV +3 000ETV 10）電視約束 ≤18000」 1 000DTV +2 000ETV + 1 500DN +2 500SN +300R≥ 50 000受眾範圍 DTV,ETY,DN, SN, R≥0 圖4-1 是對這有5個變數和9個約束條件的先行模型的求解，表4-2為其總結。 Objective Function Value = Variable •---- DTV ETV DN SN R Constraint SM ---- ---I1 2 2370.000 5 2g 8 9 Value 10.000 0.000 25.000 2.000 30.000 Slack/Surp1us 5.000 10.000 0.000 2.000 0.000 0.000 0.000 3000.000 11500.003 Reduced Costs 0.000 65.000 0.000 0.000 0.000 Dual Prices 0.000 0.000 16.000 0.000 14.000 0.060 -25.000 0.000 0.000 可用媒受升範圖 4-1 使用管理科學察軟體對 REL 發展公司的問題求解最優解決方案要求廣告在日間電視、日報、週日報紙和電臺上釋出。最大宣傳質量單位是2370， 而受眾總數為61 500。圖4-1 中減少的費用一列表明，若要晚間電視成為最優解決方案中選擇的媒體，
90 資料、模型與決策：管理科學篇其宣傳質量單位至少要增加65。注意預算限制（約束條件更復雜的媒體選擇問題可能包括對於 6）的對偶價格為0.060，即預算費每增加1美元，宣傳質重複的媒體可用時間減少的覆蓋質量，或量單位會增加 0.06。約束條件7的對偶價格 -25.000，對於重複的媒體的成本折扣，或不同的媒這表明電視廣告數量每減少1個單位，宣傳質量單位則會增體使觀眾交疊，或是在做廣告的推薦時間加25。因此，REL.發展公司應該考慮是否減少至10次電視上。 廣告。 該模型的不足之處是：即使宜傳質量的評定沒有錯誤，也不能保證總宜傳質量的最大化會使利潤或銷售最大化。然而，這並不是線性規劃模型本身的缺陷，而是以宣傳質量為標準的缺陷。如果我們能直接計量廣告對利潤的影響，我們就能以總利潤最大化作為目標了。 表4-2 REL 發展公司的廣告計劃廣告媒體日國電視日報週日報紙頻率預算（美元） 廣告媒體 10 25 2 15 000 頻率 30 10 000 2 000 電臺宣傳質量單位 =2 370 受眾總數=61 500 預算（美元） 3000 30 000 註釋與評論 1. 媒體選擇模型需要對可選媒體的宣傳質量進行客觀評價。營銷經理可能擁有關於宣傳質量的具體資料，但是在目標函式中運用的最終係數，可能主要是基於管理層的判斷偏好。判斷力是為線性規劃模型獲取資料的有效方法。 2. 本節中展示的媒體選擇模型是將宣傳質量作為目標函式，並對受眾數量設定了約東條件。該問題的另一種做法是將受眾數量作為目標函式，並設定約東條件表明此媒體計劃要求的最小宣傳質量數。 4.1.2 市場調查公司開展市場營銷調查以瞭解消費者個性特點、態度以及偏好。專門提供此種資訊的營銷調查公司，經常為客戶機構開展實際調查。這類公司提供的典型服務包括設計計劃，開展市場調查，分析收集資料，提供總結報告並提供建議。在調查設計階段，應對調查物件的數量和型別設定目標或限額。 這類公司的目標是以最小的成本滿足顧客需求。 市場調查公司（MSI）專門評定消費者對新的產品、服務和廣告活動的反應。一個客戶公司要求 MSI 幫助確定消費者對一種近期推出的家居產品的反應。在與客戶會面的過程中，MSI 同意開展個人入戶調查，調查有兒童的家庭和沒有兒童的家庭的反應。同時MSI 還願意開展日間和夜間調查。值得注意的是，客戶的合同要求 MSI 依照以下的限制條款進行1000次訪問： 1. 至少訪問400個有兒童的家庭。 2. 至少訪問400個無兒童的家庭。 3.夜間訪向的家庭數量不得少於日間訪問的數量。 4. 至少40%的有兒童的家庭必須在夜間訪問。 5.至少60%的無兒童的家庭必須在夜間訪問。 因為訪同有兒童的家庭需要額外的時間，而且夜間訪問員的報酬要比日間訪問員高，所以調查成本因訪問型別的不同而不同。基於以往的調家庭型別有兒童無兒童訪問費用 20 18 25 20 查研究，預計的訪問費用如右表（單位：美元）。 那麼以最小的總訪問成本來滿足合同要求的家庭-時間的訪問計劃是什麼樣的呢？
第4章線性規劃的應用 91 在為MSI 問題建立線性規劃模型時，我們設定了如下的決策變數： DC—日間訪向有兒童家庭的數量； EC- -夜間訪問有兒童家庭的數量； DNC—日間訪向無兒童家庭的數量； DEC—夜間訪同無兒童家庭的數量。 我們依照每次訪問的成本來建立線性規劃模型，推出目標函式如下： min 20DC +25EC + 18DNC +20ENC 約束條件要求總訪問量達到1000，即： DC +EC + DNC + ENC =1 000 5個有關訪問型別的特別約束如下： • 有兒童家庭： DC +EC≥400 • 無兒童家庭： DNC +ENC≥400 • 夜間訪問的家庭數量不得少於日間訪問的數量： EC +ENC≥DC+ DNC 線上性規劃模型中，我們通常將決策變數至於不等式的左邊，而將常量（可能為零）至於右邊。 因此，我們將約束條件寫作： -DC +EC-DNC + ENC≥O • 至少40%的有兒童的家庭必須在夜間訪問： EC≥0.4 （DC +EC）或-0.4DG +0.6EC≥0 • 至少 60%的無兒童的家庭必須在夜間訪問： ENC≥0.6 （DNC +ENC）或 -0.6DNC +0.4ENC≥0 當我們將這些非負條件新增到模型中後，這個有4個變數和6 個約束體條件的線性規劃模型變為： min 20DC+ 25EC + 18DNC +20ENC s. t. DC+ DC+ EC+ EC DNC+ ENC =1 000 訪問總次數 ≥ 400 有兒童家庭 DNC+ ENC≥ 400 無兒童家庭 -DC+ ECDNC+ ENC≥ 0 夜間訪問 -0.4DC +0.6EC ≥ 0 夜間訪問有兒童家庭 -0.6DNC +0.4ENG≥ 0 夜間訪問無兒童家庭 DC,EC,DNC,ENC≥0 圖42是對此模型的求解結果。此方案表明按以下的安排去訪問將會使總成本達到最小，為 20320美元。 訪問次數（次） 庭型別有兒童無兒童總計日間 240 240 480 夜問 160 360 520 總計 400 600 1000 於是，日間將安排480次訪問，夜間將安排520次訪問。訪問有兒童家庭的家庭數為400個，訪向無兒童家庭的家庭數為600個。 圖4-2中的敏感度分析表明，約束條件1的對偶價格為-19.200。換句話說，如果訪問的數量從
92 資料、模型與決策：管理科學篇 Objective Function Value = Variable DC EC DNC ENC Constraint 1 2 3 4 5 6 20320.000 Value 240.000 160.000 240.000 360.000 slack/Surplus 0.000 0.000 200.000 40.000 0.000 0.000 Reduced Costs 0.000 0.000 0.000 0.000 Dual Prices -19.200 -2.800 0.000 0.000 -5.000 -2.000 圖4-2 用管理科學寂軟體求解市場調查問題 1 000增加到1001，目標函式值會減少（總訪問成本將增加）19.20美元。因此，19.20美元就是要進行額外的一次訪問時所增加的成本，它也是將訪問數量從1000減少到999時能夠節省的成本。 值為200的剩餘變數，由約束條件3表明，將要訪問的無兒童家庭的家庭數量比要求的多200個。 類似地，值為40的剩餘變數，由約束條件4表明，夜間訪問的家庭數量比日間多40個。約束條件5 和6中剩餘變數的零值表明，成本更高的夜間訪問的家庭數量已達到最小值。事實上，約束條件5的對偶價格-5.000表明，如果必須要在夜間比要求的最小數量多訪問一個家庭（有兒童），那麼總訪問成本會增加5美元。類似地，約束條件6的對偶價格-2.000 表明，如果必須要在夜間比要求的最小數量多訪向一個家庭（無兒童），那麼總訪問成本會增加2美元。 4.2 財務應用在財務管理中，線性規劃常被用於資本預算、製造或購買決策、資產分配、證券組合選擇、財務規劃和許多與此相關的問題中。在本節中，我們將描述一個證券組合選擇問題和一個有關提前退休的專案融資問題。 4.21 投資組合投資組合選擇問題所涉及的情況是財務經理從多種投資中選擇一些具體的投資方案，如股票和債券。共同基金經理、信用合作社、保險公司以及銀行經常遇到這樣的問題。投資組合選擇問題的目標函式通常是使預期收益最大化或風險最小化。約束條件通常表現為對允許的投資型別、國家法律、公司政策、最大准許風險等方面的限制。我們可以透過使用各種數學規劃方法建立模型進而求解。在本節中，我們將用線性規劃模型來求解投資組合選擇問題。 假設現在有一家坐落於紐約的威爾特共同基金公司。它最近透過變現工業債券獲得了 100 000 美元的現金，並正在為這筆資金尋找其他的投資機會。根據威爾特目前的投資情況，公司高階財務分析師建議新的投資全用於石油、鋼鐵行業或政府債券上。該分析師還具體確定了5個投資機會，並預計了它們的年收益率。表4-3展示了各種投資及相應的年收益率。 威爾特的管理層提出以下的投資方案： 1. 在任何行業（石油或鋼鐵）的投資不得多於50000美元。 2.對政府債券的投資至少相當於對鋼鐵行業投資的25%。
第4 章線性規劃的應用 93 3. 對太平洋石油這樣高收益但又高風險的投資專案，投資額不得多於對整個石油行業投資的60%。 這筆可使用的100000美元資金應以怎樣的投資方案（投資專案及數量）來分配呢？以預期收益率最大化為目標，並根據預算和管理層設定的約束條件，我們可以透過建立此問題的線性規劃模型來求解。求解的結果將為威爾特公司的管理表4-3 威爾特共同基金公司的投資機會投資物件預期年收益率（%） 大西洋石油 7.3 太平洋石油 10.3 中西部鋼鐵 6.4 Huber 鋼鐵 7.5 政府債券 4.5 層提供建議。 設 A——投資於大西洋石油的資金數； P——投資於太平洋石油的資金數； M——投資於中西部鋼鐵的資金數； H——投資於 Huber 鋼鐵的資金數； G—一投資於政府債券的資金數。 利用表4-3提供的預期收益率，我們得出投資收益最大化的目標函式： max 0.073A+0.103P+0.064M+0.075H+0.045G 設可用的100 000 美元資金的約束條件為： A+P+M+H+ G=100 000 在任何行業（石油或鋼鐵）的投資不得多於50000 美元的約束條件為： A +P≤50 000 M + H≤50 000 對政府債券的投資至少相當於對鋼鐵行業投資的25%的約束條件為： G≥0.25（M+H）或-0.25M-0.25H+G≥0 最後，對太平洋石油投資額不得多於對整個石油行業投資的60%的約束條件為： P≤0.60 （A+P）或-0.6A+0.40P≤0 加人這些非負約束後，我們得到了威爾特公司完整的線性規劃模型： max 0.073A +0.103P+0.064M + 0.075H +0.045G s.t. A + A+ P+ P M+ H+ M + H - 0.25M- 0.25H+ -0.6A+ •0.4P G = 100 000 ≤ 50 000 ≤ 50 000 G≥ 0 0 可用資金石油行業最大投資額鋼鐵行業最大投資額政府債券太平洋石油 A,P,M,H,G≥0 非負約束這個線性規劃問題的最優解決方案見圖4-3。表44展示了資金如何在各種證券中分配。注意，最優解決方案顯示投資結構應包含除中西部鋼鐵外所有的投資機會。此投資組合的預期年收益為8000 美元，即8%的總年收益率。 最優方案顯示了約束條件3的對偶價格為零。原因是， 鋼鐵行業的最大投資額是一個非束縛性約束：對其50 000 對可獲得資金的約東條件的對偶價格給增添的投資資金的收益率提供了資訊。 美元的限制額的增加，並不能提高目標函式值。事實上，此約束條件的鬆弛變數表明，目前鋼鐵行業的投資額是10000美元，它低於50000美元的投資限額。其他約束條件的對偶價格都是零，表明它們都是束縛性約束。 約束條件1的對偶價格 0.069表明，為投資組合每多提供1美元，目標函式值將增加 0.069美元。 如果能以低於6.9%的成本獲得更多資金，管理者應考慮取得它們。但是，如果可以透過在別處的投資（並非這5種證券）獲得高於6.9%的收益，那麼管理者們應質疑將全部100000 美元的資金投於這個投資組合中是否明智。
94 資料、模型與決策：管理科學篇 Objective Funct ion Value = Variable A P M H G Constraint 2 3 4 5 8000.000 Value 20000.000 30000.000 0.000 40000.000 10000.000 Slack/Surplus 0.000 0.000 10000.000 0.000 0.000 圖 4-3 使用管理科學象軟體解決威爾特公司的問題 Reduced Costs 0.000 0.000 0.011 0.000 0.000 Dual Prices 0.069 0.022 0.000 -0.024 0.030 其他對偶價格的解釋類似。注意約束條件4 的對偶價格是負數，-0.024。這表明右端係數每增加一個單位的值，將給目標函式帶來0.024 美元的損失。這對於最佳投資組合而言，即如果威爾特公司每多投資1美元於政府債券，那麼總的收益將減少 0.024美元。為了弄清楚這個減少值發生的原因，注意約束條件1的對偶價格，可以知道，投資於該組合的資金的邊際收益率是6.9% （平均收益率是8%），投資於政府債券的邊際收投資大西洋石油太平洋石油 Huber 鋼鐵政府債券總計預期年收益8 000 美元總年收益率=8% 表4-4 威爾特公司的最佳投資組合數量（美元）預期年收益率（美元） 20 000 1 460 30 000 3 090 40 000 3000 10 000 450 100 000 8 000 益率是4.5%。因此，每投資1美元於政府債券的成本是投資組合的邊際收益率與政府債券的邊際收益率的差值：6.9% -4.5% = 2.4%。 要注意的是，最佳解決方案顯示中西部鋼鐵不應該被包含在此投資組合中（M=0）。 M的相關成本下降0.011告訴我們，在認為改變對中西部鋼鐵的投資是明智之舉之前，中西部鋼鐵的目標函式的係數應先增加0.011，這樣的話中西部鋼鐵的年收益率應該是：0.064+ 0.011 = 0.075。這使得這個投資組合與現在所用的Huber 鋼鐵投資選擇一樣令人滿意。 最後，對威爾特公司線性規劃模型做簡單的修改（即我們將每個右端係數的值都除以 10000）， 就可以得出投資於每種證券的資金的數量大小。這樣投資於任意大小的投資組合中每種證券的資金數量將由變數的最優值得出。 註釋與評論 1.威爾特公司問題的最佳解決方策說明應將20000美元投資於大西洋石油。如果大西洋石油每股賣75美元，那麼我們就必須購買2663股。購買分數股票遇到的困難只能讓我們用可分配的資金去購買最大的整數部分值的股票（即266股大西洋石油）。這種方法不會違背預算約東條件，但它會使解決方案不再是最佳的。但如果證券數量很大，這種變動是很微小的。在有些案例中，分析寡認力決策變數必須汐整數，問題必須被構造成一個整數線性規劃模型。整教規劃是第8章所討論的問題。 2. 財務投資組合理論強調在風險和收益之間獲得平衡。在威爾特公司問題中，我們明確考慮了目標函式的收益，而風險則由所選的約束條件來控制。這確保了石油業與鋼缺業之間的多樣性，以及第4章線性規劃的應用 95 政府債券與鋼鐵業間投資的平衡。 4.2.2 財務計劃線性規劃已經用於各種財務計劃的實施中。專欄4-2描述瞭如何利用線性規劃制定融資決策，使租賃結構最最佳化。 專欄42 實踐中的管理科學使用線性規劃尋求最佳租賃結構 GE 基金 （GE Capital）是通用電氣公司的一個資產為700億美元的子公司。作為全國最大和提供金融服務最多的公司之一，CE 基金同時在國內和國際市場開展租賃業務，包括電信、資料處理、工程建設、汽車隊、卡車隊和商用飛機的租賃。GE 基金的分析家們開發了一個最佳模型，以幫助分配和安排槓桿租賃的資金與債務的償還期。它可作為公司的租賃財產分析軟體的一個可選擇部分。 槓桿租賃旨在為經濟壽命最少為5年的高資金支出的資產提供融資服務。槓桿租賃代表了出租人 （資產所有者）、承租人（資產使用者）與貸款人（提供50% ~80% 出租人購買資產成本的無追索權貸款）間的協議。無追索權貸款的貸款人在違約時，不能向出租人要求償還。GE 基金在這種安排中作為出租人，能夠要求所有權並且實現因扣除折舊費所帶來的所得稅優惠。這些扣除通常能減少在租賃的前幾年中的稅款，從而減少納稅義務。美國大約85%的金融租賃都是槓桿租賃。 在槓桿租賃的最簡單形式中，其結構問題可以使用線性規劃模型來表達。出租人的稅後現金流的線性規劃模型考慮了現金收入、貸款的借入與償還及所得稅。約東條件用來確保與IRS 原則一致，並使租貨定製化，以適應出租人與承租人的需求。目標函式中可輸入定製的模式，也可從預設的列表中選擇。通常，目的是將承租人的成本（表現為租金支付的淨現值）最小化，或將出租人的稅後收益最大化。 GE 基金找到了一種可用於單個投資者租賃結構的最佳化方式。對與這些交易最有關的部門的研究表明，這種最佳化方法產生了大量的收益。這一方式為GE 基金贏得了交易量 100萬美元到2000萬美元的單個投資者交易。 資料來源：基於 C.J. Litty， "Optimal Lease Structuring at GE Capital，" Interfaces （May/June 1994）：34-45. Hewlitt 公司建立了一項提前退休計劃，作為其公司重組的一部分。在自願簽約期臨近時，68位僱員辦理了提前退休手續。因為這些人的提前退休，在接下來的8年裡，公司將承擔以下責任，每年年初支付的現金需求如下表所示（單位：1000美元）： 年份 1 2 3 4 s 現金需求 430 210 222 231 240 6 195 7 225 8 255 公司的財務人員必須決定現在應準備多少錢，以便應付為期8年的支出計劃。該退休專案的財務計劃包括政府債券的投資及儲蓄。對於政府債券的投資限於以下3種選擇： 鐨券價格（美元） 利率（%） 1 1 150 8.875 2 1 000 5.500 3 1350 11.750 到期年數（年） 5 6 7 政府債券的面值是1000美元，這意味著儘管價格不同，在到期時，也都要支付1000美元。表中所示的利率是基於面值的。在制定這個計劃時，財務人員假定所有沒有被投資於債券的資金都被投資於儲蓄，且每年都可以獲得4%的利息。 我們定義如下決策變數：
資料、模型與決策：管理科學篇 F—退休計劃所形成的8年期債務所需的總金額； B，一 -在第1年年初買人的債券1的單位數量； B一 -在第2年年初買人的債券2的單位數量； B，- -在第3年年初買人的債券3的單位數量； S.- -在第；年年初投資於儲蓄的金額（i=1，2， ⋯，8）。 目標函式是求出滿足退休計劃帶來的8年期債務所需資金的最小值，即 min F 這類財務計劃問題的重要特點是必須為每年的計劃水平做出約束。大體上，每個約束條件都採用下面的形式： 年初可使用資金-投資於債券與儲蓄的資金=該年的現金支付 F給出了第1年年初可使用的資金數量。已知債券1當前價格為1150美元，且投資以1000美元為單位來計算，則購買B，單位債券1的總投資金額為1.15B」。同理，債券2和3的總投資金額為1B2 和1.35B。相應地，第1年用於儲蓄的金額為S」。利用這些結果和已知的第1年的支出義務430，我們可以寫出第1年的約束條件： F-1.15B，-1B，- 1.35B，- S， =430 第1年對債券的投資只能在第1年進行，而且債券將持至有效期滿。 在第2年年初可利用資金包括債券1面值的8.875%的收益，債券2面值的5.5%的收益，債券3面值的11.75% 的收益和4%的儲蓄收益。第2年用於儲蓄的金額為§，已我們不考慮未來對債券的投資，是因為債券未來的價格依賴於利率的高低，而且不能提前得知。 知有210的負債，可得第2年的約束條件如下： 0.088 75B， +0.055B+0.117 5B， +1.04S， -S=210 第2年同理，第3年到第8年的約束條件分別如下： 0.088 75B， +0.055B+0.117 5B，+1.04S- S， =222 第3年 0.088 75B. +0.055B+0.117 5B， +1.04S，- S， =231 第4年 0.088 75B，+0.055B+0.117 5B +1.04S.- S， =240 第5年 1.088 75B， +0.055B+0.117 5B， +1.04S， -S。 =195 第6年 1.055B+0.1175B， +1.04S-S， =225 第7年 1.117 5B，+1.04S， - S。=255 第8年要注意的是，第6年的約束條件顯示出債券1提供的可用資金是1.088 75B，係數1.088 75B，反映了在第6年可獲得的債券1在第5年的面值加上利息的值。同時，因為債券在第5年到期，在第6 年年初就可以使用，所以變數B，不會出現在第7年和第8年的約束條件中。債券2的解釋類似，它在第6年年末到期，則其面值和利息之和在第7年年初可以使用。另外，債券3將會在第7年年末到期， 其面值和利息之和在第8年年初可以使用。 最後，注意第8年約束條件中的變數S。。退休基金的負債在第8年年初結束，因此我們預期5。為等，並且沒有資金用於儲蓄。但是如果第7年的債券收入加上儲蓄利息超過了第8年的現金需求255， 公式中將會有Ss。所以，S。是一個剩餘變數，它反映了在8年的現金需求被滿足後所餘下的資金數量。 這個包含12個變數和8個約束條件的線性規劃問題的解見圖44。得到的目標函式值為 1 728.793 85，那麼總的滿足退休計劃帶來的8年期負債的投資為1728.79385美元。分別用1 150美元，1000美元和1350美元作為每種債券的現價，我們可以將這了種債券的最初投資額總結成下表： 價券購入數量投資類 B1 =144.988 $1 150 x144.988 =$166 736 2 B，=187.856 $1 000 ×187.856 =$187 856 Bg =228.188 $1 350 ×228. 188 =$308 054
第4章線性規劃的應用 97 Objective Punction Value = Variable F B1 B2 B3 S1 S2 S3 S4 $5 S6 S7 S8 Constraint •------ 1 2 1728.79385 7 8 Value 1728.79385 144.98815 187.85585 228.18792 636.14794 501.60571 349.68179 182.68091 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 slack/surplus ••-- - ----- 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 Reduced Costs 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 0.06403 0.01261 0.02132 0.67084 Dual Prices -1.00000 -0.96154 -0.92456 -0.88900 -0.85480 -0.76036 -0.71899 -0.67084 圖4-4 用警理科學案軟體對 Hewlitt 公司現金需求的問題求解該方案還表明，636 148美元（見S」）將在第1年年初用於儲蓄，剛開始公司可用1728 794 美元選擇具體的債券和儲蓄投資，而且可以用餘下的錢來滿足退休計劃第1年的現金需求。 圖4-4中的最佳方案顯示了決策變數S」、S、S；、S，都大於零，這說明在前4年，每年都需要投資於儲蓄。但是，由債券所得的利息加上債券到期的收人將滿足從第5年到第8年的計劃現金需求。 對偶價格在這一應用中得到了有意義的闡釋。每個式子在這個應用中，對偶價格可被看做現金的右端係數值對應著該年應支付的金額。注意，對偶價格為需求中的每1美元瑰值的負值。例如，第8 負數，表明在任意一年中減少支付都將是有利的，因為這樣年每支出1美元的現億為0.67084美元。 退休計劃帶來的負債的總支付金額將更少。同樣，對偶價格說明支出的減少若出現在起初幾年將更為有利，而且年數越往後，獲利將越少。因此，如果 Hewlitt 公司在後面的年份中仍必須支付等量的金額，那麼透過減少在前幾年的現金支付需求，它將獲利更多。 註釋與評論 1.Hewlitt 公司問題的最佳解決方案中出現了144.988、187.856、228.188 的分數單位的政府債券。然而，分數單位的債券實際上是不存在的。如果我們慎重地將它們四捨五入為145、188 和229單位的話，那麼退休計劃帶來的8年期負債所需的總資金需求額大於目標函教所指出的總資金額（約為 1254美元）。而由於涉及大量資金，四捨五入法將提供一個司行的方案。如果需要的最優解為整數的話，那麼將用到第8章的整數規劃法。 2.我們內在假設政府債券的利息是每年支付的。類似於國債的投資實際上是每6個月就支付一次利息。在這樣的情況下，該模型可以被修改為每期長為6個月，且每6個月支付一次利息或現金的形式。
98 資料、模型與決策：管理科學篇 4.3 生產管理應用在許多生產和運營管理中，都用到了線性規劃的方法，包括生產時間安排、人員分配、存貨控制和生產能力計劃等。在這一節中，我們將介紹製造或購買決策、生產時間安排和勞動力分配等問題。 4.3.1 製造或購買決策我們用線性規劃來決定一個公司生產幾種零件時，每種應分別生產多少，又應該從外部購買多少。像這樣的決策我們稱之為“製造或購買決策”。 Janders 公司經營多種商用和工程產品。最近，Janders公司準備推出兩款新的計算器，其中一款用於商用市場，名為“財務經理”；另一款用於工程市場，名為“技術專家”。每款計算器都由3種零部件構成：一個基座，一個電子管，一個面板（即外蓋）。 兩種計算器使用相同的基座，但電子管和麵板則不同。所有的零件都可以由公司自己生產或從外部購買。零部件的生產成本和採購價格見表4-5。 Janders 的預測師們指出市場將需要3000臺表4-5 Janders 計算冊零配件的生產和採購價格財務經理和2000臺技術專家。但是，由於生產能單位成本（美元） 力有限，公司僅能夠安排200個小時的正常生產尋部件製造（正常時間） 釆購時間和50個小時的加班時間用於計算器的生產。 基座 0.50 0.60 加班時間要每小時多支付給員工9美元的津貼， 財務經理電子管 3.75 4.00 即額外的成本。表46顯示了各零部件所分得的技術專家電子管 3.30 3.90 生產時間（單位：分鐘）。 財務經理面板 0.60 0.65 Janders 的問題是決定每種零部件有多少單位技術專家面板 0.75 0.78 由自己生產，多少單位從外部購買。我們定義決策變數如下： 表4-6 Janders 計算器零部件每單位的生產時間 BM——生產的基座數量； 尋部件生產時間 BP—購買的基座數量； 基座 1.0 FCM！ -生產的財務經理電子管數量； 財務經理電子管 3.0 FCP- -購買的財務經理電子管數量； 技術專家電子管 2.5 TCM- -生產的技術專家電子管數量； 財務經理面板 1.0 TCP -購買的技術專家電子管數量； 技術專寮面板 1.5 FTM- -生產的財務經理面板數量； FTP—購買的財務經理面板數量； TTM—生產的技術專家面板數量； TTP—購買的技術專家面板數量。 還需要增添一個決策變數，用於決定安排多少小時的加班時間： 0T加班時間。 目標函式是將總成本最小化。成本包括生產費用、採購費用和加班費用。使用表4:5 中的單位成本和每小時9美元的加班費，我們可以寫出目標函式： min 0. 5BM +0.6BP +3.75FCM +4FCP +3.3TCM +3.9TCP +0.6FTM +0.65FTP +0.75TTM +0.78TTP +90T 前5個約束條件確定了為了滿足生產3000臺財務經理和2000 臺技術專家所需的各種零部件的數量。總共需要5000單位基座，而其他等部件的數量依賴於具體的計算器的需求。這5個約束條件是： BM +BP =5 000 基座 FCM + FCP =3 000 財務經理電子管第4 章線性規劃的應用 99 TCM + TCP =2 000 技術專家電子管 FT+FTP=3 000 財務經理面板 TTM+TTP =2000 技術專家面板需要兩個約束條件用於保證不會超出正常工作時間和加班時間。第一個約束條件限定了50個小時的加班時間，即： 0T≤50 第二個約束條件闡明瞭所有零部件所需的總的生產時間必須小於或等於總的生產能力，包括正常工作時間和加班時約東條件左右兩端應使用相同的計量單位，本例中用的單位是分鐘。 間。200個小時的正常時間的生產能力為：60 x200 = 12 000 分鐘。實際所需的加班時間是未知的，所以我們將加班時間寫作600T 分鐘。利用表4-6中的生產時間，我們可以得到： BM +3FCM +2. 5TCM + FTM +1.5TTM≤12 000+600T 將決策變數加班時間移到左端，可得生產約束條件： BM +3FCM +2. STCM + FTM + 1.5TTM-600T≤12 000 對於 Janders 公司的製造或購買問題，所有帶非負的決策變數的完整的模型是： min 0. 5BM + 0.6BP +3.75FCM +4FCP +3.3TCM+3.9TCP +0.6FTM +0.65FTP +0.75TTM +0.78TTP +90T 3.t. BM + BP = 5 000 基座 FCM + FCP= 3 000 財務經理電子管 TCM + TCP = 2 000 技術專家電子管 FTM + FTP= 3 000 財務經理面板 TTM + TTP = 2 000 技術專家面板 OT≤ 50 加班時間 BM +3FCM +2. STCM + FTM +1. STTM -600T≤12 000 生產能力這個包含11個變數，7個約束條件的線性規劃問題的最優解決方案如圖4-5所示。它說明了該公司所需要的全部5000單位基座，667單位財務經理電子管和2000單位技術專家電子管應由其自行生產。而餘下的2333單位財務經理電子管，所有的財務經理面板和所有的技術專家面板應由外部購買。 加班生產是不必要的，與這個最佳製造或購買計劃有關的總成本是24 443.33美元。 敏感度分析還提供了關於未使用的加班時間的新資訊。減少的費用一列顯示了在考慮加班生產前，加班津貼必須每小時減少4美元。也就是說，如果加班津貼為每小時9-4=5（美元）或更少， Janders 公司會考慮用加班時間生產的零部件代替採購的零部件。本章末的問題12要求你考慮當 Janders 公司的加班津貼降低後，新的最佳生產方案是什麼。 約束條件7中關於生產能力的對偶價格是0.083，它表明每增加1小時的生產能力所帶來的價值是：0.083×60~5（美元）。約束條件7的右端係數範圍表示這個結論在正常時間增長至19000分鐘或316.7小時前是有效的。 敏感度分析還表明，外部供貨者的價格變化能夠影響最佳解決方案。例如，目標函式 BP的係數的最優範圍是0.583到無窮大。如果基座的採購價格為每個0.583美元或更多，那麼基座的購買數量仍然為零。但是當採購價格低於0.583美元時，Janders公司將開始購買而非生產基座配件。類似地， 透過敏感度分析也能得到其他零部件的購買價格範圍。 註釋與評論對於生產能力的對偶價格（約東條件T），在Janders公司問題中的正確解釋是，每增加1小時的生產時間的價值是0.083 ×60=5（美元/小時）。因此，公司願意在每小時正常工作時間的成本上加上
100 資料、模型與決策：管理科學篇每小時5美元的津貼，這已包含在產品的生產成本中。因而，如果正常工作時間的成本為每小時18美元，那麼Janders 公司將願意支付每小時18+5 =23（美元）的價格安排加班生產。 Objective Function Value = Variable -1-、 EM BP FCM FCP TCM TCP FIM FTP TIM TTP 3T Constraint 1 2 24443.333 Value Reduced Costs ---------- -- --~~- 5000.000 0.000 0.000 0.017 666.667 0.000 2333.333 0.000 2000.000 0.000 0.000 0.392 0.000 0.033 3000.000 0.000 0.000 0.095 2000.000 0.000 0.000 4.000 Slack/Surplus Dual Prices 0.000 -0.583 0.000 -4.000 0.000 -3.508 0.000 -0.650 0.000 -0.780 50.000 0.000 7 0.000 0.083 OBJECTIVE COEFEICIENT RANGES Yariable. BM No Lower Limit BP 0.583 FCM 3.700 FCP 3.900 Ta No Lower Limit TCP 3.508 FIM 0.567 FTP No Lower Limit TI 0.655 TTP No Lower Limit or 5.000 Current Vadue 0.500 0.600 3.750 4.000 3.300 3.900 0.600 0.650 0.750 0.780 9.000 UeperLimit 0.517 No Upper Limit 3.850 4.050 3.692 No Upper Limit No Upper Limit 0.683 No Upper Limit 0.875 No Upper Limit RIGHT HAND SIDE RANGES constraint Lower Limit •--- -'----- 0.000 2 666.667 3 0.000 4 0.000 5 0.000 6 0.000 7 10000.000 Current Value --•-- 5000.000 3000.000 2000.000 3000.000 2000.000 50.000 12000.000 Upper Limit -•---- 7000.000 No Upper Limit 2800.000 No Upper Limit No Upper Limit No Upper Limit 19000.000 圖45 使用管理科學求軟體解決 Janders 公司的製造或購買問題 4.3.2 生產計劃線性規劃最重要的應用之一是安排多個時期的計劃，比如生產計劃。根據生產計劃的最優解決方第4章線性規劃的應用 101 案，經理人員能夠在一定的時間段（幾星期或幾個月內）為一個或多種產品制定一個高效率低成本的生產計劃。其實，生產計劃問題也可以看做是未來某個時期的生產調配同題。經理必須決定生產水平，使公司能夠滿足生產需求，在受到生產能力、可用人工以及儲藏空間等限制的同時，還要使生產成本最小。 利用線性規劃解決生產計劃問題的好處之一是，生產計劃問題是週期性的。一個生產計劃必定是為當月制定的，然後下個月又制定一次，再下個月又制定一次，如此週而復始。看看每個月的問題， 生產經理就可以發現，雖然生產需求已經發生了變化，但生產次數、生產能力、儲藏空間等限制大致還是一樣的。因此，生產經理基本上可以按照前幾個月的管理方法解決同樣的問題，生產計劃的一個總的線性規劃模型可能會被頻繁使用。一旦這個模型被確定下來後，經理只需要在特定的生產期間提供當期的需求量、生產量等有關資料就可以了，並且可重複運用線性規劃模型制定生產計劃。 讓我們來看看 Bollinger 電子公司的案例，該公司為一寮主要的飛機引擎製造商生產兩種不同的電子元件。飛機引擎製造商在接下來的3個月裡都會通知 Bollinger 電子公司的銷售辦公室，告知其每個星期對元件的需求量。每個月對元件需求量的變化可能很大，這要視飛機引擎製造商所生產的引擎類型而定。表4-7是剛剛收到的關於接下來3個月的訂單。 接到訂單後，需求報告被呈送到生產控制部表4-7 Bolinger 電子公司接下來3個月的需求計劃門。生產控制部門必須制定出接下來3個月的組元件件生產計劃。為了制定出生產計劃，生產經理必 322A 須弄清楚以下幾點： 802B 4月 1 000 1 000 $月 3 000 500 6月 $ 000 3 000 1.總生產成本； 2. 庫存持有成本； 3．改變生產水平的費用。 接下來，我們將介紹 Bollinger 電子公司如何建立公司的生產和庫存線性規劃模型，以使公司總成本最小。 在建立模型過程中，我們用x表示m月生產的產品i的單位量。在這裡，i=1或2，m=1，2或 3；i=1 指的是322A元件，i=2 指的是802B元件，m=1指的是4月份，n=2指的是5月份，m=3 指的是6月份。用雙重下腳標註的目的是確定一個更具有描述性的符號。我們可以簡單地用x。代表3 月份生產的產品2的單位量，但是x2更具有描述性，它直接確定用變數代表的月份和產品。 如果生產一個322A元件的成本為20美元，生產一個802B元件的成本為10美元，那麼目標函式中的總生產成本部分為： 總生產成本=20x11+20x2 +20xi3+10x21 +10xz2 + 10%23 每個月每單位產品的成本是一樣的，所以我們不需要在目標函式里包括成本；也就是說，不管選擇的生產計劃是怎樣的，總成本也會保持不變。換句話說，生產成本不是相關成本，在制定生產計劃的決策時無需考慮。但是如果每個月單位產品成本是變化的，那麼單位產品成本就必須包含在目標函式裡。對於 Bollinger 電子公司的問題來說，不管這些成本是否包含在裡面，它的解決方案都是一樣的。 我們把它們包括在裡面，這樣所有與產品有關的成本都會出現在目標函式中。 為了把相關的庫存成本加入到模型中，我們用來代表產品；在第m月末的庫存量。Bollinger 電子公司已經決定，每月的基本庫存持有成本佔生產成本的1.5%，也就是說，0.015 ×20=0.3（美元/ 322A元件），0.015×10=0.15（美元/802B元件）。在利用線性規劃制定生產計劃時使用的一個普逾假設是，每月末的庫存近似等於整個月的平均庫存水平。按照這種假設，我們將目標成本中的庫存函效與出： 庫存成本 =0.305 + 0.30812 +0. 305i3 +0. 155z1 +0.155zz +0. 155z8 為了把由於每個月生產水平的變化所帶來的成本融入模型，我們需要額外定義兩個變數： 1—在m月的時候必需的總生產水平的增加量； D，在m月的時候必需的總生產水平的減少量。 在評估完解僱、流動和轉崗培訓所花的費用以及其他的與生產水平波動相關的費用所產生的影響後，
102 資料、模型與決策：管理科學篤 Bollinger 電子公司估計每個月生產水平增加一個單位時，新增的成本是0.50美元，生產水平下降一個單位使相應成本減少0.2美元。因此，我們可以寫出目標函式的第三部分： 生產水平波動引發的成本 =0.501，+0.50/+0.50l+0.20D，+0.20D，+0.20D， 注意，這裡由生產水平波動引發的成本是透過m月的產量和m-1月的產量計算出來的。在其他的生產計劃的應用中，這個波動成本可能是由機器工作時間或人工工時決定的。 把所有的成本加起來，就可得到完整的目標函式： min 20x1+20x2 +20x13 + 10x21 + 10x22 + 10x23 +0.305 1 +0.30812 + 0. 30513 +0. 153z1 + 0. 505z2 +0. 15323 +0.501， +0. 50l+0.50l+0.20D， +0.20D+0.20D， 現在我們來考慮約束條件。首先我們必須保證生產計劃滿足顧客的需要。由於已經裝箱的產品可能來自於當月的生產，也可能來自於前幾個月的庫存，所以需求變成： 前期月份的期末庫存＋當月生產量＋本月期末庫存=本月需求假定前3個月生產計劃期的期初庫存量是500單位的322A元件和200單位的802B元件。這兩種產品在第1個月（4月份）的需求都是1000單位，那麼滿足第1個月需求的約束條件是： 500 +x11-S1 =1000 200+*21-521 =1000 將常數移到等式右邊，得： X11-S11 =500 X21-521 =800 類似地，在第2個月和第3個月的產品需求必須滿足以下約束條件： 第2個月： S11 +312 -512 =3 000 S21 +422 -522 =500 第3個月： S1a +213-518 =5000 Szz +Xzs - 528 =3 000 如果公司對庫存量還有其他規定，即3個月期的期末庫存量最小為400單位的322A元件和200單位的802B元件。我們還將加上兩個約束條件： $19≥400 S2s ≥200 假設我們關於機器生產能力、人工和庫存能力的額外資訊如表4-8所示。元件322A 和元件802B 對機器、人工和庫存能力要求資訊如表4-9所示。為了反映這些限制，以下的約束條件是必需的： 機生產能力約束： 0.10x1 +0.08x1 ≤400 第1個月 0.10x12 + 0.08x22 ≤500 第2個月 0.10xg +0.08*n ≤600 第3個月人工約束： 0.05x11 +0.07x2 ≤300 第1個月 0.05x:2 +0.07*2≤300）第2個月 0.05x1s+0. 07*n ≤300 第3個月庫存能力約束： 2511+3821 ≤10 000 2512 +3822 ≤10 000 2513 +383 ≤10 000 第1個月第2個月第3個月 1
第4章線性規劃的應用 103 月份 4月 5月 6月表4-8 Bolinger 電子公司的機靜生產能力、人工和庫存能力機靜生產能力（小時） 人工（小時） 400 300 500 300 600 300 庫存能力（平方英尺） 10 000 10 000 10000 元件 322A 802B 表 4-9 元件322A 和元件802B對機器、人工和庫存能力要求機靜（小時/單位） 人工（小時/單位） 0.10 0.05 0.08 0.07 庫存（平方英尺/單位） 2 3 我們必須加上一組約束條件用於保證1。和D。能反映出m月生產水平的變化。假定3月是新生產週期開始前的一個月，3月份的產量是1500單位的322A元件和1000單位的802B元件，總產量是 1 500+1000 =2 500 （單位）。那麼透過以下關係，我們可以得到4月份的產量變化： 4月份產量-3月份產量=變化量利用4月份產量變數x和x21，以及3月份的2500單位，我們得到： （xiu +x2i）-2 500=變化量注意，這個變化量可以是正數，也可以是負數。變化量是正數，反映總體生產水平是增加的；反之，則表示總體生產水平是下降的。我們可以用4月份生產增長量1，和生產減少量D，來確定4月份的總產量變化的約束條件： （x： +xa）-2500=1.-D， 當然，在一個月裡生產量不可能同時出現下降和上升，因此，1，與D，將有一個為0。如果4月份需要3000單位產量，則1，為500，D、為0。如果4月份需要2200單位產量，則1，為0，D，為300。這種用兩個非負變數！，和D，之間的差值來表示生產量水平變化的方法允許總生產量的變化值為正或負。但如果只用一個單一的變數來表示生產量水平的變化，那麼變化值只能為正數，因為它有非負的約束條件。 在5月份和6月份，我們可用同樣的方法（始終用當月總生產量減去上個月的總產量）得到生產計劃期的第2個月和第3個月的約束條件： （X2 +*22）-（X11 +821）=1-D （*）3+42s）-（X12 +*z）=1，-D 將變數放到等式左邊，常量放到右邊，得到一組完整的生產約束條件： Xi1 +421 -1，+D， =2 500 一Xu-Xzl + X12 +822 -4+D2=0 -Xiz-Xzz +X1s +x2s-1+D，=0 這個初看起來只有2種產品和3個月期的生產計劃的簡單問題現在演變成有18個變數，20個約束條件的線性規劃問題了。注意，在這個問題上，我們只考慮一種機器工序，一種人工要求，一種庫存區域。實際上，生產計劃問題通常是包含若干工序，若干勞動力級別，若干庫存區域的問題，這就要求使用大規模的線性規劃模型。比如說，一個包括12個月的生產時間，100單位生產量的生產計劃問題將會有1 000多個變數和約束條件。 圖4-6顯示了 Bollinger 電子公司的最優生產計劃方案。表4-10是一份基於最優方案的管理報告。 考慮一下表4-10顯示的每月生產量和庫存的變化。回用於生產計劃的線性規劃模型通常很想一下，元件802B 的庫存費用是元件322A 的一半。因此，大。當問題率涉到較多的產品、機器和時可能正如大家所預料的那樣，元件802B在第1個月（4月間段時，會有成千的決策變數和約東條件。 份）的時候會大量生產，繼而有庫存以備未來幾個月的需為大規模的模型收纂資料比把模型公式化要。元件322A則只在需要的時候生產，只有很少的一部分或是用計算機求解都耗費時間。
104 資料、模型與決策：管理科學篇 Objective Function Value = Variable X11 ×12 ×13 X21 ×22 X23 $11 $12 $13 S21 s22 $23 I1 I2 I3 D1 D2 D3 Constraint 1 2 3 4 5 6 8 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 225295.000 Value -~-~---- 500.000 3200.000 5200.000 2500.000 2000.000 0.000 0.000 200.000 400.000 1700.000 3200.000 200.000 500.000 2200.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Slack/Surplus ~------一 11：- 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 150.000 20.000 80.000 100.000 0.000 40.000 4900.000 0.000 8600.000 0.000 0.000 0.000 田4-6 使用管理科學寂軟體解決 Bolinger 電子公司的問題 Reduced Costs 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.128 0.172 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.072 0.700 0.700 0.628 Dual Prices -20.000 -10.000 -20.128 -10.150 -20.428 -10.300 -20.728 -10.450 0.000 0.000 0.000 0.000 1.111 0.000 0.000 0.000 0.000 0.500 0.500 0.428 1 會被納入庫存。 由於總產量的變化會引起成本的變化，所以模型會盡量減少月份間產量的變化。實際上，成本最小的生產計劃要求4月份有500單位的總產量增量，5月份有2200單位的總產量增量。5月份5200 單位的產量水平一直持續到6月份。 該報告中關於可用機器工時這一部分顯示，在3個月內機器的生產能力是充足的。但是，勞動力在5月份則被完全利用（在圖46中，約束條件13中的鬆弛變數為0）。其對偶價格顯示，在5月份第4 章線性規劃的應用 105 每增加一單位人工工時，目標函式將會提高（成本會減少）1.11美元。 這個包括2種產品，3個月生產時間的線性規劃模型對於我們制定成本最小的計劃提供了非常有用的資訊。在更大的生產系統裡，變數和約束條件更多，以至難以用手工操作，這時用線性規劃模型進行以節省成本為目標的生產計劃規劃， 則有相當大的優勢。 專欄4-3例示瞭如何運用多階段大型線性規劃模型來解決生產計劃和分銷的問題。 專欄4-3 實踐中的管理科學象樂士公司的最最佳化生產、庫存以及分銷家樂士公司是全球最大的穀類食品製造商， 同時也是全球便利食品的主要生產商之一，產品包括 Kellog g'sPop-Tarts 和Nutri-Grain 等。家樂士公司在六大洲、19個國家的生產基地製造40多個不同系列的穀類食品。公司已將市場擴充套件到全球的160 多個國家，僱員已超過15600人。單單只在各類業務領域，家樂士公司運用其90多條生產線和180條包裝箱線來協調其生產的80多種產品。 活動表4-10 針對 Bollinger 電於公司的問題安排生產時的最小費用 4月 5月 6月產部元件322 A 元件802 B 總計 500 2 500 3 000 3200 2000 5 200 5 200 0 5 200 月末庫存元件322 A 元件802 B 0 1 700 200 3200 400 200 可用機器工時計劃（小時） 鬆弛（小時） 250 150 480 20 520 80 可用人工工時計劃（小時） 鬆弛（小時） 200 100 300 0 260 40 可用庫存區域計劃（平方英尺） 5 100 10 000 鬆弛（平方英尺） 4 900 0 1 400 8 600 總生產、庫存以及正常工作的成本=225 295美元用線性規劃模型來安排生產計劃和分銷工作，家樂士公司有一個較長的歷史。其中家樂士計劃系統（KPS）是一個大型的，多階段的線性專案。KPS 的操作版在一週之內可以對生產、庫存和分銷做決策。該系統的主要目標是在滿足預期需求的前提下最小化成本。約東條件包括生產線能力、包裝線能力和滿足安全庫存的需要。 KPS的正式版本可用以建立月度生產預算、產能擴張及合併的決策。正式版本最近用於指導生產能力的整合，其結果是每年節省了3500萬~4000萬美元的成本。由於上述成功，家樂士公司已經將 KPS 系統運用於其北美的業務，正打算將 KPS 系統引入拉美，並正在研究開發一個全球的KPS模型。 資料來源：基於 G.Brown,J. Keegan, B. Vigus, and K. Wood， "The Kellogg Company Optimizes Production, Inventory and Distribution，" Interfaces （Novermber/December 2001）：1-15. 4.3.3 勞動力分配° 當生產經理們必須就一個特定的規劃時期做出包括員工需求在內的種種決策時，勞動力分配同題時有發生。勞動力分配通常有一定的彈性，並且某些員工至少會被分配到不止一個部門或中心去工作。就像一些員工被安排在兩個或更多的崗位上進行交叉培訓。例如，銷魯人員可以在商店之間相互調職。在下面的應用中，我們將說明如何運用線性規劃做決策，它不僅能決定最優生產組合，而且也可用以決定勞動力的最佳分配。 McCorick 製造公司生產兩種產品，每單位相應產品的利潤分別為10美元和9美元。表4-11顯示了生產每單位產品的人工需求和4個部門中被分配到每個部門的員工總可用時間。假設每個部門的可用時間是固定的，那麼我們可以用以下決策變數把 McCormick 公司的問題歸結為一個標準的生產組合 aesignment，分配，指派。這裡根據上下文譯作分配，而第7章中譯作指派，兩種稱謂沒有本質區別，只是出於使用習慣對其略加區分。——譯者注
106 資料、樸型與決策：管理科學篇線性規劃問題： P—產品1的產量； P—產品2的產量。 則線性規劃問題為： max 10P：+ S.t. 表4-11 9P 部門 1 0.65P，+0.95P， ≤6 500 0.45P， +0.85P，≤6 000 1.00P， +0.70P， ≤7000 3 4 McCormick 公司每單位產品的人工小時數和總體可用時間單位人工小時產品1 產品2 0.65 0.95 0.45 0.85 1.00 0.70 0. 15 0.30 總可用時間 6 500 6000 7000 1 400 0.15P， +0.30P≤1400 P，，P.≥0 圖4-7顯示了該問題的最佳解決方案。需要5744單位的產品1和1795單位的產品2，總的利潤為73590美元。採用該方案，部門3和4的能力得到了充分利用，相應地，部門1和2分別有1062 和1890小時的鬆弛時間未得到充分利用。我們可以預期，如果調整一下勞動力分配，生產組合則也將變化，總的利潤也會增長，那麼，部門1和2中的鬆弛時間也會轉移到當前生產時間得到充分利用的部門中去。但是，也許生產經理對勞動力在4個部門間怎麼分配並不很有把握。我們下面詳細闡述這個包括決策變數的線性規劃模型，它除了使產品組合的總利潤最大化之外，還能進一步決定最優的勞動力分配。 Objective Function Value = Variable 73589.744 Value Reduced Costa P1 P2 Constraint ••--- 5743.590 1794.872 Slack/Surplus 0.000 0.000 Dual Prices 1 2 •E 1061.538 1889.744 0.000 0.000 0.000 0.000 8.462 10.256 圖 4-7 在不允許轉移勞動力的情況下使用管理科學軟體解決 MCCormick 公司的問題假定 MeCormick公司有一個交叉的培訓計劃， 允許一些員工在部門間調職。由於交叉培訓的優勢，一部分員工和工時可以從一個部門轉移到另原鬱門一個部門。比如，交叉培訓允許的轉移方案見表 4-12。表的第一行顯示，屬於部門1的某些員工表4-12 交叉培訓能力和生產能力資訊交叉培訓後允許轉到的部門 1 2 3 4 是是是最大可轉移時間有交叉培訓的技能，這使他們能被調任到部門2 或3。右邊的一列顯示了在當前這個生產計劃期 - 2 3 4 1 是是是是 400 800 100 200 內，部門1最多可以轉移出400小時的工作時間。 部門2、3、4的轉移方案類似。 當勞動力分配具有彈性時，我們並不知道每個部門應該分配多少工時，或是應轉移多少工時。為了計算這些變化，我們需要在模型中增加決策變數。 b，—分配給第；個部門的工時（i=1，2,3,4）； “—部門i轉給部門j的工時。
第4 章線性規劃的應用 107 增加了決策變數b，62，6，6，後，我們寫出4個部門的生產能力約束條件如下： 0.6SP， +0.95P，≤b， 0.45P， +0.85P.≤b 1.00P， +0.70P.≤b， 0.1SP，+0.30P≤b。 我們把決策變數放在不等式的左邊，那麼該線性規劃的現在約東條件的右端系教就是決策變 4 個約束條件變成了： 黃。 0.6SP， +0.95P2-b， ≤O 0.45P，+0.85P -b ≤0 1.00P， +0.70P -6 ≤O 0.15P， +0.30P -6，≤0 最終被分配到各部門的工時是由一系列的勞動力平衡等式決定的，也就是說某個部門的工時是由最初分配到該部門的時間加上由其他部門轉移到該部門的工時，再減去從該部門轉移至其他部門的工時。以部門1為例，我們用下面的式子來決定勞動力的分配： 6，=（部門1最初的工時）＋（轉移到部門1的工時）-（從部門1轉移出的工時） 表4-11表明，最初分配到部門1的工時是6 500小時。我們用轉移決策變數‘來表示轉移到部門 1的工時，“表示從部門1轉移出的工時。表4-12顯示，涉及到部門1的交叉培訓被限定在只能從部門4轉移過來（變數ba）並且只能轉移到部門2、3中去（變數112或11s）。這樣，我們就能夠表示出部門1的總的勞動力分配了： 0，=6 500 +61- 12把勞動力轉移決策變數放到等式左邊，我們可以得到勞動力平衡等式或者說約束條件如下： 我們必須把對4個部門的約束都寫成這種形式。因此，接下來的部門2，3和4 的勞動力平衡約束也可以加入到模型中了。 62 12 -ha2 + as + 4 =6000 0s-h13-523 +b34 =7 000 0.-524- b34 + bal +ha2 =1400 最後要注意的是，由於表4-12所示每個部門可轉移的時間是有限的，所以模型中必須加上4個甜門的轉移量的約束條件。額外的約束條件分別是： biz +his≤400 23 +½24 ≤800 ≤100 + 2≤200 完整的線性規劃模型有2個生產決策變數（P，和P），4個部門的勞動力分配變數（6」，b，b3 解決方案。 透過交叉培訓和勞動力轉移，McCormick 公司的利潤從一般來說，變化勞動力的分配模式可 73 590 美元增加到84011美元，增加了10421 美元。如果以在以下幾種情況運用：生產產品的原材部門1有400個小時轉移到部門3，部門2有651個小時轉料分配、生產產品的機器時間分配和店鋪稱到部門3，149個小時轉移到部門4，這時的最優產品組或銷售場所的銷售人員的分配。 合是6825單位的產品1和1751單位的產品2。4個部門將相應提供6 100，5200，8 051和1549小時的工作時間。 如果經理能靈活地給不同部門分配人力資源，使勞動力空閒的時間減少，提高勞動力利用率，那麼增加企業的利潤是可能實現的。本章的線性規劃模型是按利潤最大化的原則安排各部門的員工人數
108 資料、模型與決策：管理科學篇 Object ive Function Value = Variable 1----~ P1 P2 B1 B2 B3 B4 T12 T13 T23 724 T34 T41 T42 Constraint 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 84011.299 Value -~- 6824.859 1751.412 6100.000 5200.000 8050.847 1549.153 0.000 400.000 650.847 149.153 0.000 0.000 0.000 Slack/surplus ----•-- ----- 0.000 640.113 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 100.000 200.000 圈48 用管理科學來軟體解決 McCormick 公司的問題 Reduced Costs ••-- 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 8.249 0.000 0.000 0.000 0.000 7.458 8.249 Dual Prices 0.791 0.000 8.249 8.249 0.791 0.000 8.249 8.249 7.458 8.249 0.000 0.000 和工時的。 4.4 混合問題當一個經理必須決定怎樣混合兩種以上的資源來生產一種以上的產品時，混合問題就產生了。在這些情況下，最終產品中包含資源中一種以上的基本成分，而且成品包含一定比例的各種資源。在實際應用中，管理層必須決定每種資源的購買量，以在成本最低的情況下滿足產品的規格以及生產該產品的需求。 混合同題經常發生在石油行業（如混合原油以生產辛烷汽油），化工行業（如用混合化學品製造化肥和除草劑），食品行業（如混合各種原料生產軟飲料和湯劑）。在這一節，我們將介紹怎樣將線性規劃應用到石油行業的一個混合同題中去。 Grand Strand 石油公司為美國東南部獨立的加油站生產一般規格和特殊規格的汽油。Grand Strand 石油公司精煉廠透過合成3種石油成分來生產汽油產品。這些汽油以不同的價格出售，而且這3種石油成分的成本也不同。公司想透過決定一種混合這3種石油成分以生產兩種汽油產品的方案來獲得最大的產品利潤。 現有的資料顯示，一般規格汽油的價是1.00美元/加侖，而特規格汽油是1.08美元/加侖。 在當前的生產計劃期內，Grand Strand 石油公司可以得到的那3種石油成分每加侖的成本和總量見表第4章線性規劃的應用 109 4-13。 Grand Strand 石油公司的混合問題就是要決定一般規格汽油和特殊規格汽油的每種石油成分的用量分別為多少。對應於表4-13 中可用的石油成分的總量的最佳方案應能實現公司的總利潤最大化。產品規格見表4-14，而且最少要生產10 000 加侖的一般規格的汽油。 石油成分 1 2 3 表4-13 Grand Strand 石油公司混合問題的成本和供給量單位成本（美元） 0.50 0.60 0.84 最大供應量（加侖） $ 000 10 000 10 000 我們定義決策變數如下： *，石油j裡面含有成分i的含量，i=1，2 表4-14 Grand Strand 石油公司混合問題的具體要求或3表示對應的石油成分1，2或3， 產品並且一般汽油規格j=，特殊汽油規格一般規格汽油的 =p。 則6個決策變數為： x一般規格汽油中成分1的用量； 特姝規格汽油 x，一般規格汽油中成分2的用量； X-一 -一般規格汽油中成分3的用量； 規格最多30%威分1 最少40% 威分2 最多20%成分3 最少25%成分1 最多40%成分2 最少30%威分3 -特殊規格油中成分1的用量； Xzp特殊規格汽油中成分2的用量； *sp—特殊規格汽油中成分3的用量。 各種汽油的總產量等於透過使用那3種石油成分所生產的量。 總產量為： 一般規格汽油=X，+X2，+2， 特殊規格汽油=X+*3p+*3p 每種石油成分使用的加侖數也可用類似的公式計算出。 總共使用的石油成分： 成分1=%in+tip 成分2=*2，+$2p 成分3 =X，+*3p 我們透過找出這兩種汽油產生的總收人和3種成分的總成本的不同來建立我們的目標函式。一般規格汽油的加侖總量乘上它的價格1美元/加侖，特殊規格汽油的加侖總量乘上它的價格1.08 美元/加侖，而總共使用的每種石油成分乘上每加侖的成本（見表4-13），我們就得到了目標函式： max 1.00（Xi +Xi， +2，） +1.08 （Xip +*3p +*3p） -0.50（x1+*ip）-0.60（X2，+*2p）-0.84 （X， +8，） 合併同類項，目標函式變為： max 0.50x， +0.40x3， +0. 16x， +0.58xjp +0.488p + 0.2423p 3種石油成分在總量上的約束條件是： Xi， +4ip≤5 000 成分1 *2，+42≤10000 成分2 Xs， +X3p≤10 000 成分3 對於表4-14 中的產品規格，有6個約束條件。第一條產品規格表明了成分1不能超過一般規格汽油總加侖數的30%，即： X， ≤0.30（x1，+*2.+*g，） 將所有約束變數移到左邊，常數移到右邊，得： 0.70x，-0.30x2， -0.30x5，≤0
110 資料、模型與決策：管理科學篇表4-14 中第二條產品規格有以下約束： X，≥0.40 （x，+X2，+83.） 因此有： -0.40x， +0.60x2，-0.40x，≥0 類似地，我們根據表4-14寫出剩下的4個混合規格的約束條件： -0.20x1，-0.20x2， +0.80x，≤0 +0.75xp-0.25*zp-0.25xgp≥0 -0. 40xjp+0.60xzp - 0. 40x3p≤0 -0.30xip-0.30x2p +0. 70xg，≥0 至少生產10000加侖一般規格汽油的約束條件如下： Xi +X2，+8，≥10000 於是包括6個決策變數和10個約束條件的完整的線性規劃模型如下： max 0. 50x，， +0.40x， +0. 16x， +0.58xip +0.48x3p +0.24x3p s.t. Xi + Xip Xzn 0.70x， -0.30x2，-0.30x3r -0.40x，+0.60x2，-0.40x3， -0.20x， - 0.20x2， +0.80x3， Xsr ≤ S 000 + Xzp ≤10 000 + *5p≤10 000 0 ≥ 0 0 0.75x - 0.25*2p-0.25xgp ≥ 0 -0.40x， +0.60x2p -0.40x；，≤ 0 -0.30xip- 0.30xzp +0.70xgp≥ 0 ≥10000 Grand Strand 石油公司混合問題的最優解決方案見圖4-9。最優方案提供了9300 美元的利潤（見表4-15）。最優混合生產策略顯示，應生產10000加侖的常規汽油。常規汽油由8 000加侖的成分2和 2000加侖的成分3混合製成。而15 000加侖的特殊規格汽油由5 000加侖的成分1，2000加侖的成分 2 和8000 加侖的成分3混合製成。 表4-15 Grand Strand 石油公司混合問題的最優解決方案每種成分的加侖數（所佔比例） 汽油合計一般規格特殊規格成分1 0（0%） 5 000（33.33%） 成分2 8 000（80%） 2 000 （13.33%） 成分3 2000（20%） 8 000（53.33%） 10 000 15 000 我們下面對圖4-9中的松馳變數和剩餘變數進行解釋。如果約束條件a是一個小於等於形式的， 鬆弛變數可以被解釋為實際用的石油成分加侖數小於石油成分的總數。例如，約束條件4的鬆弛變數是3000，它反映了在生產過程中，使用成分1的加侖數比其可用於生產常規汽油的最大加侖數低 3 000加侖。如果約束條件 a是大於等於形式的，一個剩餘變數顯示了某成分使用的加侖數高於其最低使用量的數值。例如，約束條件5 中的剩餘變數4000，它反映了使用成分2生產10000加侖常規汽油時，成分2的使用量高於其最小使用量4000加侖。 註釋與評論在混合問題裡，一種定義決策變數的簡便方法使用用行表示原材料而用列表示產品的短陣。例第4 章線性規劃的應用 111 如，在Grand Strand 石油公司的混合問題中，我們可以定義決策變數如下： 最終產品一般規格瓷油特殊規格汽油成分1 Xir Xip 原材料成分2 X2r X2P 成分3 X3T *3p 這種做法有兩個優點：（1）對於任何混合問題，它提供了一種定義決策變數的系統的方法。 （2）它根據決策變數與原材料、產成品及其他部分之間的關係，為決策變數提供了一種視覺化的形象。 Objective Function Value= Variable -- -1---- X1R X2R X3R X1P X2P X3P Constraint 1-1---- 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9300.000 Value 0.000 8000.000 2000.000 5000.000 2000.000 8000.000 4000.000 0.000 1250.000 4000.000 3500.000 0.000 Reduced Costs ---- 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Dual Prices ----------------- 0.580 0.480 0.240 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 -0.080 圖 4-9 使用管理科學寮軟體對 Grand Strand 石油公司混合問題求解 4.5 資料包絡分析資料包絡分析（DEA）是線性規劃的應用之一，它被用來衡量擁有相同運轉目標單位的相對效率。例如，DEA被應用於快餐行業相同生產鏈出口中。在本節的案例中，DEA被用於分辨那些需要集中研究解決方案的效率低的出口。另外，DEA 也廣泛用於辨別醫院、銀行、法庭和學校等的相對效率。在這些應用中，每個組織或機構中的所有運轉單位在同一系統中的運營情況將會得到檢驗。專欄 4-4 描述了一個知名的國有銀行如何運用DEA來分析其哪個分支機構的運營效率低下。 專欄44 實踐中的管理科學銀行分支機構的效率一個全國知名的銀行想提高其分支機構的運營效率。在4個主要城市的182 個分支機構，被選為研究物件。該銀行將使用資料包絡分析模式來決定哪些分支機構的運營效率不高。 資料包絡分析模式一個一個地比較了與其他分支機構相對應的實際運營效率。一個缺乏效益的機構需要更多資源來取得與效益最好的分支機構相同的產出。效益最好的機構被 DEA 定義為100%效率 （E=1.00）。不大有效率和之效益的機構被評為低於100%效率（E<1.00）。
112 資料、模型與決策：管理科學篇每個分支機構的輸入量為等量全職出納員總數、等量全職非出納員總數、總停車空間、ATM 總數和對每個顧客的廣告投入。輸出量則為貸款總數（直接的、間接的、商業和權益貸款）、存款總數 （支票存款、活期存款和大額存單）、每個客戶的平均存款額和季度客戶調查中的客戶滿意度。透過6 個連貫的李度來收集資料，從而評定所有分支機構這段時間的運營情況。 DEA線性規劃模型的解決方案顯示，182個分支機構中有92 個是完全高效的，只有5個分支機構低於70%效率，且有大約25%的機構效率被評定為80% ~90%。DEA 挑出那些相對效率不高的機構， 並提供給這些機構如何提高效率的方法。透過重點關注那些低效的機構，銀行能夠找出既能減少輸入童的投入，而又沒有大幅度減少服務質量和數量的方法。另外，DEA 分析方法使管理層對能使分支機構效率更高的因素有一個更好的瞭解。 資料來源：基於：B. Golany and J. E. Storbeck， " A Data Envelopment Analysis of the Operational Efficiency of Bank Branches. Interfaces （May/June 1999）：14-26. 大多數機鉤的運營單位都有多種投入要素，如員工規模、工資水平、運轉時間和廣告投入等，同時也有多種產出要素，如利潤、市場份額和增長率等。在這些情況下，當投入量轉化為產出量時，一個經理是很難知道哪個運營單位是效率低下的。在這一特領域裡，資料包絡分析被認為是一種有效的管理工具。下面我們就運用DEA 來評估4家醫院的效率。 4.5.1 評價醫院的績效大眾醫院、學校醫院、鄉鎮醫院和國家醫院的行政管理人員聚在一起，商量如何互相幫助，提高各自醫院運營效率的方法。一個諮詢專家提議採用 DEA 來衡量各家醫院的運營單位相對於其他醫院的相對效率。最後，3個輸人量和4個輸出量的評定被提了出來： 3個輸入量： 1. 全職非主治醫師的人數； 2. 物料消耗額； 3. 可用的病床數。 4 個輸出量： 1.開診日的藥物治療服務； 2. 開診日的非藥物治療服務； 3.接受過培訓的護士數目： 4.接受過培訓的實習醫師數目。 一-年裡這4家醫院的輸人量和輸出量的統計見表4-16 和表4-17。現在我們來看看 DEA如何運用這些資料來分析哪些醫院相對效率低下。 表4-16 4 醫院的年資源消耗（輸人） 榆入量全職非主治醫師物料消耗額（1000美元） 可用的病床數（1000） 醫院大眾 285.20 123.80 106.72 學校 162.30 128.70 64.21 鄉鎮 275.70 348.50 104.10 210.40 154.10 104.04 4.5.2 DEA 方法概述在該 DEA 應用中，要建立一個線性規劃模型來評定各家醫院的運營狀況。為了描述建模的過程， 我們首先建立一個用於求出鄉鎮醫院相對效率的模型。 首先，透過利用一個線性規劃模型，我們以4 家醫院的輸人量和輸出量為基礎建立：一個假設合成第4章線性規劃的應用 113 表4-17 4 寮醫院每年提供的服務（輸出） 醫院輸出量開診日的藥物治療（1000） 開診日的非藥物治療（1000） 接受過培訓的護士數目接受過培訓的實習醫師數目大眾 48.14 43.10 253 41 學校 34.62 27.11 148 27 鄉鎮 36.72 45.98 175 23 國窾 33.16 56.46 160 84 的醫院。透過將4家醫院的輸出量彙總，求得一個相應的加權平均數作為合成醫院的輸出量，而4家醫院的輸入量的加權平均數則作為合成醫院的輸入量。在該線性規劃模型的約束中，合成醫院所有的輸出量必須大於等於鄉鎮醫院的輸出量。如果合成醫院的輸人量小於鄉鎮醫院的輸入量，則表示合成醫院以較少的輸人獲得相同或更大的輸出量。在這個案例裡，模型顯示合成醫院比鄉鎮醫院有更高的效率。換句話說就是，被評定的醫院比合成醫院效率要低。由於合成醫院是建立在4家醫院的基礎上，所以被評定的醫院比合成醫院低效，就可以認為比其他的醫院也低效。 4.5.3 DEA 線性規劃模型在計算合成醫院的輸人量和輸出量時，我們必須定義每家醫院的權重，為此我們用到了以下決策變數： 20。大眾醫院輸入量和輸出量對應的權重； W. 一學校醫院輸入量和輸出量對應的權重； w。—鄉鎮醫院輸人量和輸出量對應的權重； 2.—-國家醫院輸人量和輸出量對應的權重。 DEA 方法要求權重之和為零，所以第一個約束條件是： W。+W。+W。+8.=1 大體上，每個 DEA線性規劃模型都有一個約束條件，就是運營單位的權重之和為1。 正如前面所說的，合成醫院的輸出量是由4家醫院輸出量的加權平均數決定的。例如，在輸出量評定1中，合成醫院開診日的藥物治療服務是： 合成醫院開診日的藥物治療服務=（大眾醫院開診日的藥物治療服務）10。 +（學校醫院開診日的藥物治療服務）w。+（鄉鎮醫院開診日的藥物治療服務）20。+（國家醫院開診日的藥物治療服務）4. 將表4-17中的資料代入後，我們得到以下計算式： 合成醫院開診日的藥物治療服務 =48.14w.+34.622。+36.72w。+33.16w. 對於其他輸出量的評定方法與此類似。圖4-10 為計算結果。 另外，我們還需要一個約束條件使模型符合邏輯，即合成醫院的輸出量必須大於等於鄉鎮醫院的輸出量。所以有以下約束條件： 合成醫院輸出量≥鄉鎮醫院的輸出量由於鄉鎮醫院開診日的藥物治療服務是36.72，那麼相對應的約束條件是： 48.142。+34.62W。 +36.722。+33.1610，≥36.72 類似的，我們可以得到另外3個輸出量評定的約束條件： 43.10w。+27.11w。 +45.98w.+56.461，≥45.98 非藥物治療 253w。+148W。+ 175W.+ 16010，≥175 護士 41w：+ 27w。+ 23w.+ 84w.≥23 實習醫師這4個輸出量約束條件需要用一個線性規劃模型求解權重，使得合成醫院的每個輸出量都大於等於鄉鎮醫院的輸出量。因此，如果能夠找到一個滿足約束條件的解決方案，那麼合成醫院的輸出量將
114 資料、模型與決策：管理科學篇 W W. W。 大氽您脘非貨物治療尖習醫頻 48.14 43.10 253 41 宗校醫脘藥物治療非藥物治療實習醫師 34.62 27.11 148 27 鄉鎮醫院藥物治療非藥物詒療國家醫陔藥物冶療實習醫師 36.72 45.98 175 23 實馬醫師 133.16 156.46 160 84 48.14w。+34.62w，+36.72w.+33.16w， 43.10w。+27.l1w，+45.98w+56.46w。 253w.t148w.+ 175w.+ 160w， 41wp+ 27w。+ 23w+ 84w 合成醫院藥物治療非藥物治門實習醫師圖4-10 4 寮醫院與合成醫院的輸出量評定之間的關係大於或至少等於鄉鎮醫院的輸出量。 接下來，我們需要考慮約束條件，以構建關於合成醫院各個輸入量和可使用的資源總量之間關係的模型。有一個約束條件是3個輸入量都必須滿足的，它就是： 合成醫院的輸入量≤合成醫院可以用的資源總量對於每個輸入量，合成醫院的輸人量是由相對應的4家醫院的輸人量加權平均得到的。因此，在輸入量1中，合成醫院的全職非主治醫師人數是： 合成醫院的全職非主治醫師人數=（大眾醫院的全職非主治醫師）20。＋（學校醫院的全職非主治醫師）w。+（鄉鎮醫院的全職非主治醫師）10。 +（國家醫院的全職非主治醫師）10。 將表4-16 中全職非主治醫師的資料代人後，我們得到合成醫院的全職非主治醫師數為： 285.20w。+162.30w.+275.70w.+210.40w. 透過類似的計算，我們得到另外兩個輸入量的表示式，如圖4-11 所示。 W. W. 森水醫院金校醫院鄉鎮醫院興粥樂院 285.20 162.30 123.80 金期弭主汾醫腑物苻換耗類可用的金脘床位數 106.72 128.70 64.21 聳啊非主袷醫頻物科消耗辨匯用的使院末位數 275.70 348.50 104.10 全職非主冶醫師秘料消粍皺可用的住院床位數 210.40 154.10 104.04 全職迮噩治醫師物料消粍額可用的住院床位費合成醫除金學非主治醫康竊桫消耗趐呼用節住統床位事 285.20w，+162.30w，+275.70w，+210.40w， 123.80w。+128.70w，+348.50w.+154.10w， 106.72w+64.21w，+104.10w，+104.04is 圖 4-11 4 案醫院輸入量與合成醫院輸入量之間的關係為了構建輸入量約束的公式，我們必須寫出每個約束條 DEA 模型的邏輯就是，一種合成能否件的右端係數。首先要注意的是，右端係數的值代表合成醫在取得相同的或者更多的輸出量的同時， 院可用的資源量。在DEA 方法中，這些右端係數值是鄉鎮只需更少的輸入量。如果合成能夠實現上醫院輸入量數值的一個百分比。因此，我們又引人下面這個述效果的話，那麼被評定的機構則是相對決策麥量： 效率低下的。
第4 章線性規劃的應用 115 E—鄉鎮醫院可以提供給合成醫院的輸入量比例。 為了說明E在DEA 方法中的重要性，我們給出了怎樣得出合成醫院的全職非主治醫師數的表達式。表4-16反映了鄉鎮醫院使用的全職非主治醫師數是275.70，因此，275.70E 是合成醫院的全職非主治醫師數。假如E=1，則合成醫院的全職非主治醫師數是275.70，與鄉鎮醫院的全職非主治醫師數相同。然而，當E>1時，合成醫院的全職非主治醫師數大於鄉鎮醫院可提供的數量；當區<1時， 合成醫院的全職非主治醫師數小於鄉鎮醫院可提供的數量。由於E決定了合成醫院可得到的資源總量，所以我們稱E 為效率指數。 現在我們可以寫出對於合成醫院可得到的全職非主治醫師數的輸人量約束： 285.20w。+162.30w。+275.T0w.+210.40w，≤275.70E 透過類似的方法，我們可以寫出藥物治療服務和可用的病床數的約束條件。首先，使用表4-16 中的資料，我們注意到這些資源可提供給合成醫院的總量分別是348.50E 和 104.10E。因此，藥物治療服務和可用的病床數的約束條件是： 123.80w。 +128.70w。 +348.50w。+154.10w，≤348.50R 服務 106.72W。+64.21w。+104.10w。+104.042.≤104.10E 可用的病床數如果能找到E<1的解決方案，那麼合成醫院並不需要像鄉 DEA 模型的目標函式總是最小化E。 鎮醫院那麼多的資源就能得到相同的輸出量。 被評定的鄉鎮醫院是相對低效的，因為最 DEA的目標函效就是要得到儘可能小的E值，也就是優解中它的E值小於1。這也表明取得同樣使合成醫院的資源用量最少。因此，目標函式是： 輸出，合威醫院只需要更少的輸入資源量。 min E DEA 關於效率的結論是建立在目標函式E 值最優的基礎上的。決策規則如下： 如果E =1，則合成醫院需要與鄉鎮醫院相同的輸入量資源，因此沒有證據表明鄉鎮醫院是低效的。 如果E<1，則針對於同樣的輸出，合成醫院比鄉鎮醫院需要更少的輸入量資源，因而合成醫院更高效，鄉鎮醫院相對低效。 評定鄉鎮醫院效率的DEA線性規劃模型由5個決策變數和8個約束條件組成。完整的模型如下： min E 3. t. 10.+ W.+ W.+ w.=1 48.14w， + 34.622。+ 36.72W。+ 33.16w0.≥36.72 43.10w. + 27.11w. + 45.98w + 56.46w.≥45.98 253w.+ 148w.+ 175w。+ 160w.≥175 41w。+ 27%.+ 231.+ 841，≥23 -275.70E +285.20w，+ 162.30w。 +275.70w。+210.40w.≤0 -348.50E +123.80w。+ 128.70w。+348.50w。+ 154.10w，≤0 -104.10E+106.728。+64.21w。 +104.10w。+104.04w，≤0 E，W，W。，W.，W.≥0 注意，在該模型的公式中，因為E是一個決策變數，所以我們在3個含有E 的約束條件中，把含有E 值的變數移到了公式的左邊。 該模型的最優解決方案見圖 4-12。我們首先看到目標函式顯示了鄉鎮醫院的效率得分是 0.905。 這個分數告述我們合成醫院獲得與鄉鎮醫院相同的輸出量，只需使用鄉鎮醫院90.5%的輸入量資源。 因此，合成醫院是高效的，DEA 分析也得出鄉鎮醫院是相對低效的。 從圈4-12可以看出，合成醫院的數值是由大眾醫院（w0。=0.212）、學校醫院（w。=0.260）和國家醫院（w.=0.527）的加權平均數構成的。合成醫院的每一個輸人量和輸出量都是由這3家醫院的加權平均數得到的。 鬆弛/剩餘變數列提供了另一些關於合成醫院和鄉鎮醫院效率的資訊。特別是合成醫院的每個輸
116 資料、模型與決策：管理科學篇 Objective Function Value = Variable E WG WU WC WS Constraint 1 2 34567 8 0.905 Value 0.905 0.212 0.260 0.000 0.527 Slack/Surplus 0.000 0.000 0.000 1.615 37.027 35.824 174.422 0.000 Reduced Costs 0.000 0.000 0.000 0.095 0.000 Dual Prices ---~ 0.239 -0.014 -0.014 0.000 0.000 0.000 0.000 0.010 圖 4-12 使用管理科學來軟體對鄉鎮醫院問題進行資料包絡分析解答出量至少都擁有與鄉鎮醫院相同的數值，還能提供多於鄉鎮醫院1.6個護士的培訓和37個實習醫師。 約束條件8中的鬆弛變數為零，表示合成醫院使用了大概相當於鄉鎮醫院90.5% 的病床數。而約束條件6和7則反映了合成醫院使用了少於相當於鄉鎮醫院90.5%的全職非主治醫師和物料消耗額。 合成醫院明顯比鄉鎮醫院高效，由此我們證實了鄉鎮醫院比這組醫院中的其他醫院都要低效。給出 DEA 分析結果，鄉鎮醫院的行政管理人員應該檢查其運營情況，以決定其資源怎樣才能得到高效運用。 4.5.4 DEA 方法小結為了用資料包絡分析方法來衡量鄉鎮醫院的相對效率，我們利用線性規劃模型構造了一個基於4 家醫院輸人量和輸出量的合成醫院。這種 DEA 方法能解決類似的其他問題。當我們想衡量各種運營單位的效率時，我們得用線性規劃方法構造一個類似於鎮醫院效率問題的模型。下面將一步步介紹如何構造其他型別的 DEA應用問題的模型。注意，我們要衡量相對效率的運營單位在下面被表述為第j個運營單位。 第一步：定義決策變數與權重（與運營單位一一對應），它們決定合成運營單位的輸人量和輸出量。 第二步：寫出一個所有權重之和為1的約束條件。 第三步：對每個輸出量，都有一個約束條件：即合成運營單位的輸出量都要大於等於第j個運營單位的輸出量。 第四步：定義一個決策變數E，它將決定第j個運營單位提供給合成運營單位的可用的輸入量。 第五步：對每個輸入量，都有一個約束條件：即合成運營單位的輸人量小於等於其可用的資源單位數量。 第六步：列出目標函式，即min E。 註釋與評論 1.我們必須記住DEA 分析的目的是確定相對效率較低的運營單位，這個方法並不能辨別出哪個運營單位相財高效。因為效率指數E=1，我們不能得出某單位相對高效的結論。事實上，任何有最大第4 章線性規劃的應用 117 產出的單位也不能被認為是相對低效的。 2. DEA 方法只能顯示一個單位相對低效。像一個單位有最大產出的同時，消費最少的情況也可能發生。但這樣的極端情況在現實中很少見。 3.在涉及實施一組大的運營單位的 DEA 方法時，實踐者發現大約有50%的運營單位可被認為是效率低下的。將相對缺之效率的單位與對合成單位有貢獻的單位相比，可以幫助我們理解如何改善那些相對缺乏效率單位的運營。 4.6 收入管理收入管理涉及到管理固定的易壞庫存品的短期需求，從而使組織有獲得最大收人的潛力。這種方法（原先由美洲航空公司開發）首先用於決定出售多少張因提前預訂而享受的折扣票以及按全價出售多少張票。透過制定出售折扣票和全價票的最優策略，航空公司可以在增加每次航班的平均乘客數的同時，使出售兩種混合的座位票價的收人最大化。現在，幾乎所有的主要航空公司都採用這種形式的收入管理。 雖然在航空業中，收人管理法取得了巨大的成功，但在其他的產業中運用收入管理還是不久前的事。現代系統的範圍已經擴大到包括定價策略、超額定價策略、短期供應決策以及非易壞資產的管理等。收入管理的運用領域涉及酒店、房屋租賃、汽車出租、遊輪舵線以及高爾夫球場等。專欄4-5討論了國家汽車出租公司是怎樣實行收入管理的。 專欄45 實踐中的管理科學國象汽車出租公司的收入管理 20世紀90年代中期，國家汽車出租公司（National Car Rental）在幾乎破產的恢復過程中開發了用線性規劃和其他分析模型來幫助管理汽車出租的能力、價格以及預訂的收入管理系統。該系統的目標是開發確認未實現的收入機會、改善資源利用狀況以及為公司增加更多收入的程式。 管理科學模型在該公司的收入管理中扮演了極為重要的角色。例如，用於控制汽車出租時間長度的線性規劃模型，能確認在服務級別的限制下過度預訂的最優級別的過度預訂模型，以及允許在低價車需求過大時使用高價車的計劃升級演算法。 另一個模型在每一個汽車到達的日子結算租車時間，這可以使收入最大化。定價模型被用於透過細分商務與閒暇旅行的市場來管理收入。例如，根據閒暇旅行者比商務旅行者更願意妥協以及逗留一個週末的實際情況來調整費用。 實行收入管理系統使國家汽車出租公司恢復盈利。在應用該系統的5年內，收入管理使公司收入增加了5600萬美元。 資料來源：基於：M. K. Geraghty and Ernest Johnson，“Revenue Management Saves National Car Rental. ”Interfaces 27.no. 1 （January/February 1997）：107-127 開發一項收人管理系統是耗時且昂貴的，但其所帶來的潛在收益是很實際的。例如，美洲航空公司開發的收人管理系統每年可為其帶來將近10億美元的增量收入。為了描述收人管理的基本原理， 我們將用一個線性規劃模型來為閒暇航空公司（一家區域性航空公司，為匹茲堡、紐瓦克、夏洛特、 默特爾比奇和奧蘭多提供航班服務）制定收人管理計劃。 閒暇航空公司有兩架波音 737-400飛機，一架停駐在匹茲堡，另一架停駐在紐瓦克。兩架飛機的經濟倉都能有132個座位。每天早上停駐在匹茲堡的飛機飛往奧蘭多，中途停靠夏洛特；停駐在紐瓦克的飛機飛往默特爾比奇，中途同樣停靠夏洛特。晚上，這兩架飛機都飛返其駐地。為了使該問題更合理，我們將注意力限制在早晨的匹茲堡一夏洛特、夏洛特一奧蘭多、紐瓦克一夏洛特以及夏洛特一默特爾比奇這幾條航線上。圖4-13詳細說明了閒暇航空公司的通勤狀況。
118 資料、模型與決策：管理科學篇紐瓦克熙茲堡航線I 航線2 爰洛持航線4 顏線3 奧蘭多歇特爾比裔留 4-13 閒暇航空公司的通勤狀況閒暇航空公司的機票有兩個價位等級：折扣票Q級以及全票Y級。預訂折扣票Q級必須提前14 天並且要在目的地城市停留週六一晚。可以在任何時候預訂全票Y級，且日後更改預訂機票不需要繳納任何罰金。為了決定閒暇航空公司可以為顧客提供的旅遊指南和不同的機票選擇，我們必須同時考慮每次航班的出發地、目的地以及機票等級。例如，可選的服務包括匹茲堡一夏洛特的Q級，紐瓦克一奧蘭多的Q級，夏洛特一默特爾比奇的Y級等。每一種服務都對應於一種“出發地一目的地一旅遊指南”的機票價格（ODIF）。閒暇航空釋出了5月5日的機票價格，並且對16種 ODIF 中的每一種顧客需求做了預測。這些資料都顯示在表4-18中。 喪4-18 閒暇航空公司 16 種 ODIF 的票價和需求資料 ODIF 出發地目的地票價籌級 ODIF 碼 1 2 3 5 7 8 10 E！ 12 13 14 15 16 匹茲堡匹茲堡匹茲堡匹茲堡匹茲堡匹茲堡紐瓦克紐瓦克紐瓦克紐瓦克紐瓦克紐瓦克夏洛特夏洛特夏洛特夏洛特夏洛特默特爾比奇奧蘭多夏洛特默特爾比奇奧蘭多夏洛特默特爾比奇奧蘭多夏洛特默特爾比奇奧蘭多獸特爾比奇默特爾比奇奧蘭多奧蘭多 Q Q Q Y Y Y Q Q Q Y Y Y Q Y Q Y PCQ PMQ P0Q PCY PMY POY NCQ NMQ NOQ NcY NMY NOY CMQ CMY c0Q coY 票價 （美元） 178 268 228 380 456 560 199 249 349 385 444 580 179 380 224 582 頇測需求 33 44 45 16 6 11 26 56 39 1S 7 9 64 8 46 10 假定在4月4日有一名顧客打電話到閒眼航空公司預訂一張5月5日從匹茲堡到默特爾比奇的Q 級機票。那麼閒暇航空公司是否該接受這個預訂呢？做決定的困難之處在於即使閒暇航空公司有剩餘第4章線性規劃的應用 119 的座位，公司也可能不希望接受這個268美元的Q級機票預訂，尤其之後該座位可能以456美元的Y 級機票賣出去。這樣，決定分別安排多少張Q級機票和Y級機票是非常重要的。閒眼航空公司的預訂系統必須考慮到這一點。 在建立關於閒暇航空公司用來確定每種機票的分配狀況的線性規劃模型時，我們需要定義16個決策變數，每一個變數與一種“出發地一目的地一旅遊指南”的機票價格相對應。用P代表匹茲堡， N代表紐瓦克，C代表夏洛特，M代表默特爾比奇，O代表奧蘭多，決策變數採用以下的形式： PCQ一匹茲堡一夏洛特航線的Q級座位數； PMQ-匹茲堡一默特爾比奇航線的Q級座位數； P0Q- —匹茲堡一奧蘭多航線的Q級座位數； PCY一匹茲堡一夏洛特航線的Y級座位數； NCQ— 一紐瓦克一夏洛特航線的Q級座位數； COY——夏洛特一奧蘭多航線的Y級座位數。 目標函式是使收人最大化。利用表4-18 中的資料，我們可以寫出該模型的目標函式，如下： max 178PCQ +268 PMQ +228P0Q +380PCY +456PMY +560POY +199NCQ +249NMQ+349N0Q +385NCY +444NMY +580NOY+179CMQ+380CMY+224C0Q +582COY 接下來我們必須寫出約束條件。有兩種型別的約束：能力約束和求約束。我們先考慮能力的約束條件。 考思圖4-13中匹茲堡一夏洛特的航線。波音737-400有132個座位。旅客在該航線上可能的目的地有3個（夏洛特，默特爾比奇，奧蘭多），機票級別可能有2個（Q和Y）。這樣 ODIF 就有6種選擇：（1）夏洛特一匹茲堡的Q級別；（2）匹茲堡一默特爾比奇的Y級別；（3）匹茲堡一奧蘭多的Q 級別；（4）匹茲堡一夏洛特的Y級別；（5）匹茲堡一默特爾比奇的Y級別；（6）匹茲堡一奧蘭多的 Y級別。 該航線的座位數應該是這6條航線座位數的總和。由於飛機只有132個座位，則有如下能力限制： PCQ + PMQ+ POQ+PCY+ PMY+ POY≤132 匹茲堡一夏洛特其他航線的能力限制與之類似，有如下的約束： NCQ + NMQ + NOQ + NCY + NMY + NOY≤132 紐瓦克一夏洛特 PMO + PMY +NMQ + NMY+ CMO+ CMY≤132 夏洛特一默特爾比奇 POQ +POY +NOQ + NOY + COQ+ COY≤132 夏洛特一奧蘭多需求的約束條件在需求預測的基礎上限制了每種 ODIF 的座位數。利用表4-18 中的資料，模型中必須有16 個需求約束條件。前4個如下： PCQ≤33 匹茲堡一夏洛特的Q級機票 PMQ≤44 匹茲堡一默特爾比奇的Q級機票 P00≤45 匹茲堡一奧蘭多的Q級機票 PCY≤16 匹茲堡一夏洛特的Y級機票完整的線性規劃模型由12個決策變數，4個能力約束和16 個需求約束條件構成，如下所示： max 178PCQ +268PMQ +228P00 +380PCY +456PMY+560POY +199NCQ+249NMQ+349N0Q+385NCY+444NMY +580NOY+179 CMQ+380CMY+224C00 +582COY s. t. PCO +PMO +POQ+PCY+PMY+ POY≤132 NCQ +NMO +NOQ+NCY +NMY+NOY≤132 匹茲堡一夏洛特紐瓦克一夏洛特
120 資料、模型與決策：管理科學篇 PMQ + PMY + NMQ + NMY + CMQ+CMY≤132 夏洛特一默特爾比奇 POQ + POY + NOQ + NOY + COQ+ COY≤132 夏洛特一奧蘭多 PCQ≤33 PMQ≤44 P0Q≤45 PCY≤16 PMY≤6 POY≤11 NCQ≤26 NMQ≤56 需求約束條件 N0Q≤39 NCY≤15 NMY≤7 NOY≤9 CMQ≤64 CMY≤8 C0Q≤46 COY≤10 PCQ, PMQ,POQ,PCY， ⋯，COY≥0 閒暇航空公司收入管理問題的最優解決方案如圖4-14所示。最優方案顯示最大收人是103103美元，其中 PCQ =33，PMQ =44,P0Q=22，PCY=16 等。這樣，為了使收入最大化，閒暇航空公司應該為匹茲堡一夏洛特的Q級分配33個座位，匹茲堡一默特爾比奇的Q級分配4個座位，匹茲堡一奧蘭多的Q級分配22個座位，匹茲堡一夏洛特的Y級分配16個座位，依次類推。 隨著時間的變化，預訂會使每種 ODIF 可用的座位數減少。比如，最優方案中分配給匹茲堡一默特爾比奇的Q級座位是44個。假設在5月5日飛機起飛的前兩個星期，所有的44個座位都出了。 現在，假設一個新的顧客打電話向閒暇航空公司預訂一個匹茲堡一默特爾比奇的Q級座位。那麼閒暇航空公司會接受這個新的預訂嗎，即使這已經超出了44 張的最優分配方案？匹茲堡一默特爾比奇的Q 級座位的約束條件的對偶價格將幫助閒暇航空公司的代理人做出決定。 約束條件6，PMQ ≤44，限定匹茲堡一默特爾比奇的Q 訂票處可透過對偶價格瞭解每個 ODIF 級座位可分配44個。在圖4-14 中，我們看到約束條件6的超額訂票的額外收入。 對偶價格是85美元，它告訴我們如果匹茲堡一默特爾比奇的Q級座位再多一個，收人會增加85 美元。這種收人的增加可作為 ODIF 票價的報價。一般來說，一種 ODIF 的報價可告訴閒暇航空公司的訂票處來說，當一個特定的ODIF 售完時再額外預訂一個座位的價值。 觀察圖4-14 中需求約束條件的對偶價格，我們看到最高的對偶價格（報價）是約束條件8的376 美元，PCY≤16。該約束條件對應於匹茲堡一夏洛特的Y級機票。這樣，如果分配給這條航線的16個座位全部售出的話，接受一個額外的預訂將會提供額外的376美元的收人。考慮到對收人的貢獻，訂票處很有可能接受這個額外的需求，即使這將導致飛機座位數的預訂過度。其他需求約束條件的對偶價格（報價）有約束條件20（COY）的358美元，約束條件10（POY）的332美元。這樣，夏洛特一奧蘭多的Y級以及匹茲堡一奧蘭多的Y級航線額外的預訂將是增加收人的最佳選擇。 一個收人管理系統必須像閒暇航空公司的收人管理系統那樣十分靈活，而且隨著預訂的狀態不斷進行調整。從概念上來說，當接受在其能力之內的ODIF預訂時，該線性規劃模型應該更新且變為同時獲得新的座位分配和改變了的報價資訊。但事實上，這是不現實的，因為其中牽涉到許多航線。但是，最優解決方案的報價和一些簡單的決策規則會使訂票處做出增加公司收人的決策。在一個階段需求資訊的基礎上，例如每天或每週，整個線性規劃模型可以更新，以產生新的座位分配方案和改變了第4 章線性規劃的應用 121 objective Function Value = Variable 103103.000 --- PCQ PMQ POQ PCY PMY POY NCQ NMQ NOQ NCY NMY NOY CMQ CMY cOQ COY Constraint 10 11 14 15 16 17 18 19 20 Value 33.000. 44.000 22.000 16.000 6.000 12.000 26.000 36.000 39.000. 15.000 7.000 9.030 31.000 8.000 41.000 10.000 Slack/Surplus •------ 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 23.000 0.000 0.000 0.000 0.000 20.000 0.000 0.000 0.000 0.000 33.000 0.000 5.000 0.000 Reduced Costs 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 Dual Prices ---- 4.000 70.000 179.000 224.000 174.000 85.000 0.000 376.000 273.000 332.000 129.000。.000 55.000 315.000 195.000 286.000 0.000 201.000 0.000 358.000• 圈4-14使用管理科學寂軟體對閒暇航空公司資源管理問題求解的報價資訊。 本章小結在這一章裡，我們列舉了大量的應用實踐，解釋怎樣利用線性規劃來輔助做出決策。我們構造並解決了市場營銷、理財以及生產管理等問題的模型，並詳細說明了如何將線性規劃運用到混合問題和資料包絡分析中。 本章的許多案例都是線性規劃運用的真實情況的微縮。在實際的應用中，同題不一定能如此簡單地描述出來，與問題相關的資料也不可能簡單地就獲取，同時，同題很可能涉及更多的決策變數和約束條件。但是，本章中對運用情況的詳細分析給出了將線性規劃運用到真實問題中去的一個良好的開端。
122 資料、模型與決策：管理科學篇專業術語 date envelopment analysis, DEA 資料包絡分析（DEA） 線性規劃的一種運用，用於衡量有相同的目標和目的的運營單位的相對效率。 hypothetical composite 假設合成有著相似目標的所有運營單位的投入和產出的加權平均。 efficiency index 效率指數單個運營單位提供給合成運營單位的可用資源的百分比。 問題提示：以下這些問題將會讓你更好地理解如何運用線性規劃模型去解決更廣泛的應用問題。對於每個問題， 你都應該建立一個線性規劃模型。同時，你也需要用一種線性規劃的軟體包去開發模型並得出問題的最終結果。 2. 哈特曼公司的管理層正試圖決定接下來的計劃期間內兩種產品中每一種的生產數量。下表提供了可用的勞動力、勞動力的效用和產品的盈利能力資訊。 產品（小時/單位） 部門可用的工時（小時） 1 2 A 1.00 0.35 100 B 0.30 0.20 36 C 0.20 0.50 50 每單位產品的利潤（美元） 30.00 15.00 a.為該公司的間題建立線性規劃模型；求解該模型，以決定兩種產品的最佳生產量。 b，在計算單位產品的貢獻毛益時，人工費用並不算在內，因此它被認為在接下來的計劃期間內是固定的。 但是，假設某些部門可以加班，你建議哪些部門加班？你願意為每個部門每小時支付多少加班費？ c假設部門A，B，C各可安排10，6，8小時的加班時間，費用分別為18美元，22.5美元，12美元。建立一個模型，用於決定加班後兩種產品的最優生產數量。最優生產數量是多少？加班後對利潤的貢獻是多少？你建議每個部門各加班多少時間？如果加班，對利潤的總貢獻增加多少？ 4. Hilltop 咖啡製造公司利用3種咖啡豆製造一種混合咖啡產品。每種咖啡豆每磅售價及可得磅數如下表所示： 公司以消費者測試來為咖啡定等級，級別範圍為0~100。高階別顯示高品質。該混合咖啡要達到的質量標準是：香味的消費者等級至少是75，味道的消費者等級至少是80。每一種咖啡豆（100%）的香味和味道等級如下： 咖啡豆每磅售價可得磅數咖啡豆 $0.50 500 $0.70 600 $0.45 400 2 3 香味簍級 75 85 60 味邋等級 86 88 75 假改混合咖啡的香味和味道屬性是混合用咖啡豆屬性的加權平均值。 a.製造1000磅達到質量標準的混合咖啡豆的最低費用是多少？ b.每磅混合咖啡的價格是多少？ c•確定該咖啡的香味和味道等級。 d.如果要生產額外的咖啡，每磅的預期費用為多少？ 6.G.庫茲父子公司製造兩種用於重型機械裝置的產品。兩種產品需經過兩個部門的製造過程。以下是兩種產品的生產時間及利潤貢獻的資料： 產品生產時間（小時） 單位利潤（美元） 2 25 20 A 部門 6 8 B部門 12 10 下一個生產週期內，公司有900小時的可用生產時間分配到兩個部門。找出一個生產計劃以及勞動力分配方案（分給各部門的勞動小時數），使該公司利潤最大。
第4章線性規劃的應用 123 8.克拉克鎮警察部門安排警察8小時輪班。換班時間是上午8:00，中午12:00，下午4:00，下午8:00， 午夜12:00以及早上4:00。一個警察可以從這些時間點開始上班，工作8個小時。在平時的工作運營中， 所需警察人數隨時段不同而不同。該部門的人事指南要求的最少值班人數如下所示： 時間段最少值班人數時間段上午8:00~中午12:00 5 下午8:00~午夜 12:00 中午12:00~下午4:00 6 午夜12:00~早上4:00 下午4:00~下午8:00 10 早上4:00~上午8:00 最少僱班人數 7 4 6 在8小時工作制下，確定在以上各個時間點上班的警察人數，以使需要的人數最少。（提示：使x， =上午 8:00上班的警察人數，x=中午上班的警察人數，依次類推。） 10. 海濱財務服務公司的一名投資顧問想要開發一個用於分配投資資金的模型。公司有以下4種投資選擇：股票、債券、共同基金和現金。該公司預估了在下一個投資期裡以上4 種投資的年收益率和相應的風險。風險是用介於0到1之間的一個指數來衡量的，更高的風險值意味著更大的波動性和不確定性。由於現金是一種貨幣市場資金，它的年收益較低，但同時它是無風險的。我們的目標是確定投資組合中每種選擇的資金比例，以使總投資組合的年回報最大化（針對於客戶所能承受的各個風險水平）。 總風險是所有投資選擇的風險之和。比如， 表1 一個客戶將40%的資金投資於股票，30%投資於債券，20%投資於共同基金，10% 投資於現金， 那麼他的總風險是：0.4 × 0.8+0.3 ×0.2+0.2x 0.3+0.1x0=0.44。有一名投資顧向將會與每名投賢者商討其投資目標並決定一個最大風險值。 投資股票債券共同基金現金年回報事（%） 10 3 4 1 對於一個謹慎的投貨者，量大風險值不超過0.3； 風險 0.8 0.2 0.3 0.0 對於一箇中度冒險的投資者，最大風險值介於0.3到0.5之間；對於一個偏愛冒險的投資者，最大風險值在0.S以上。 此外，對於所有的投資客戶，海濱財務服務公司還制定了特別的方針，這些方針如表1所示。 •對服票的投資不超過總資金的75%。 •對共同基金的投資不少於對債劵的投資。 • 對現金的投資介於總資金的10% ~30%。 8.假定某客戶的最大風險值是0.4，那麼最優投資組合是什麼？它的年收益率和總風險分別是多少？ b.假定某比較謹慎的客戶的最大風險值是0.18，那麼最優投資組合是什麼？它的年收益率和總風險分別是多少？ e.假定某一個比較好冒險的客戶的最大風險值是0.7，那麼最優投資組合是什麼？它的年收益率和總風險分別是多少？ d.參照。的結果，該客戶是否有興趣讓投資顧問增加對股票允許投資的最大比例或是減少對現金數量至少為10%比例的約束？請加以解釋。 e.相對於直接用投資資金的數量，即金額來表示決策變數，我們前面用投資比例來表示決策變數有什麼優勢呢？ 12.亞特蘭大海洋食品公司（ASC）是一家海洋食品的買家和分銷商，它將食品賣給整個東北海岸的飯店和海洋食品專賣店。ASC在紐約市有一個冷凍儲藏裝置，它作為主要分銷點的所有產品服務。ASC有一種冷凍的大型黑色的虎皮蝦產品，每16到20只就有1磅重。每個週六，ASC 都要按現有的紐約倉儲市場價格來購買或是出售虎皮蝦。ASC 的目標是以一個儘可能低的價格購進虎皮蝦，然後再以儘可能高的價格賣出去。ASC 目前有20000磅虎皮蝦的庫存，它每週可用的最大儲存空是100000磅。除此之外，ASC對接下來4 周虎皮蝦的價格估計奶下： 𪗆次 1 2 每磅價格 $6.00 $6.20 周次 3 4 每磅價格 $6.65 $5.55
124| 資料、模型與決策：管理科學篇 ASC 希望建立.一個關於接下來4周的最優的“購買-儲存-銷售”策略。每週儲存1磅蝦的費用是0.15 美元，同時為了解決供給和需求不可預見的變化，管理層希望在第4週週末有25000磅的虎皮蝦的庫存。為 ASC建立一個最優的“購買-儲存-銷售”策略？預期這4周的總利潤是多少？ 14. 經典造船公司的生產經理必須確定接下來的4個季度生產多少“經典21模型”。該公司原有100艘經典21 的存貨，且4 個季度的需求是：第1季度2000艘，第2季度14000艘，第3季度23000艘，第4季度 4 000艘。第1、2季度的存貨需要支付每艘250美元的存貨費用；第3、4季度的存貨需要支付每艘300美的存貨費用。第1季度的生產費用是每艘10000美元；由於勞務和材料費的增加，這些費用以每季度 10%遞增。管理層強調第4 季度結束時必須至少有500艘的存貨。 a.構建一個線性規劃模型，用於確定一種生產計劃，使總費用最少，滿足每季度的需求，同時符合每季度生產能力和第4季度結束時的存貨要求。 b.求解a 中的模型，並建立一個表格顯示每個季度生產多少、季度末的存貨以及所涉及的費用。 c.解釋每個與滿足季度需求的約束相對應的對偶價格。在這些價格的基礎上，你能給生產經理什麼建議？ d.解釋每個與生產能力約束相對應的對偶價格。在這些價格的基礎上，你能給生產經理什麼建議？ 16.芬古森造紙公司生產用於加法器、臺式計算器和收銀機的捲紙。這些捲紙每卷長度為200英尺，寬度可為 1.5、2.5、3.5英寸。生產過程只能提供200英尺長和10英寸寬的捲紙。所以公司必須剪下捲紙以滿足所需的寬度。7種剪下方案以及每種方案造成的痕費如下表所示： 捲紙寬度剪下方寨浪費剪下方案 1.5英寸2.5英寸 6 0 3.5英寸 0 （英寸） 1 0 4 0 2 0 2 0 5 6 7 齤紙寬度 1.5英寸 2.5英寸 1 3 1 2 4 0 3.5英寸 1 1 浪費 （英寸） 1 0 0.5 4 0 0.5 3種產品的最小要求是： 捲紙寬度（英寸） 單位 1.5 1 000 2.5 2 000 3.5 4 000 日.若公司希望使生產的10英寸寬捲紙最少，則每一種剪下方案應處理多少這種捲紙？總共需要多少捲紙？ 總共有多少浪費（英寸）？ b. 若公司希望造成的浪費最少，每一種剪下方案應處理多少10英寸寬捲紙？總共需要多少捲紙？總共有多少浪費（英寸）？ c在a和b中看問題的角度有什麼不同？在這個案例裡，你偏好於哪一種目標？請加以解釋。什麼樣的情況下，另一種目標更有吸引力？ 18.匹茲堡附近的兩河石油公司用卡車向其經銷商運輸汽油。公司最近與位於南俄亥俄州的經銷商簽訂了提供汽油的合同。公司有600000美元資金可用於擴充其運油卡車隊。運油卡車有以下幾種型號： 卡車型號容量（加侖） 購買價（美元） 每月運營費，包括折舊（美元） 超級油車 5 000 67 000 550 常規油車 2 500 55 000 425 經濟型油車 1 000 46 000 350 公司估計該地區每月的需求是550000加侖汽油。由於卡車型號和速度不同，各種型號卡車的運送次數或者說每月往返次數也不同。估計超級油車每月可往返15次，常規油車是20次，經濟型油車是25次。在考慮到保養和可用司機的基礎上，公司希望為其車隊增加新車不超過15輛。除此以外，公司決定至少為短途、低需求的路線購買3輛經濟型油車。最後，公司不希望購買的超級油車的數量多於總新車數的一半。 日.若公司希望在月運營費用最少的情況下滿足汽油需要，每種型號的油車各應該購進多少輛？ b.若公司沒有要求至少購買3輛經濟型油車，也沒有限定超級油車的數量不得超過總新車數的一半，則每種型號的卡車應購進多少？
第4 章線性規劃的應用 125 20. 福德龍公司生產在汙水處理系統中使用的過濾箱。雖然公司的業務在增長，每個月的需求變化也很大。所以公司採用了兼職和全職員工的政策。雖然這種方法有很大的靈活性，但是它增加了公司的費用，並對員工計程車：氣有所影響。例如，若公司某個月需要增加生產，就必須僱用並訓練額外的兼職員工，於是費用增加了。若公司減少生產，勞動力需求必然變小，於是公司就遭遇了因解僱而增加的費用和低沉計程車氣。最好的估計是，若某個月比上月增加生產，則每件產品的費用將增加1.25 美元，減少生產則會使每件產品的費用增加1.00美元。2月份公司生產了10000個過濾箱，卻只賣出了7500個。現有存貨2500個。3、4和5 月份的銷售量預測分別是12000、8 000、15 000個。除此之外，公司有能力在任何一個月底有3000個過濾箱的存貨。管理層希望確定3、4和5月份的生產數量，以使每月因生產增加或減少而發生的總費用最小。 22. 城機械製造公司（TCM）製造苯乙烯泡棉杯、碟以及三明治和食物盒。下個星期的生產計劃表要求生產 80000個小三明治盒，80 000個大三明治盒，以及65 000個食物盒。在製造這3種盒子時，苯乙烯片將被融化以塑形成最終產品。這其中要使用3種機器：M1，M2，M3。M1能將苯乙烯片處理成寬度最大為12 英寸的產品，M2能處理成寬度最大為16英寸的，M3則能處理成寬度最大為20英寸的。小三明治盒需要寬度為10英寸的苯乙烯片，所以，3種機器都可以生產這種盒子。大三明治盒需要寬度為12英寸的苯乙烯片，所以，3種機器也都可以生產這種盒子。但是，食物盒需要寬度為16英寸的苯乙烯片，因此M1不能用於生產這種盒子。3種盒子在生產過程種都會產生廢料。這是由於苯乙烯在加熱和塑形過程以及最終產品的裝飾中會有損失。廢料數量的大小是由所生產的產品以及所用機器的型別決定的。下表顯示了每種機器上損失的苯乙烯（以平方英寸為單位）和產品組合。廢料可以再利用。 機器小三明治大三明治食物 MI 20 15 M2 24 28 18 M3 32 35 36 生產率也是由所生產的盒子和使用機器的型別決定的。下表顯示了每一種機器和產品組合的生產率（每分鍾生產件數）。下週的機器生產能力有一定限制。可用時間是M1 有35小時，M2 有35小時，M3有40小時。 機骼小三明治大三明治食物 MI 30 25 M2 45 40 M3 60 52 30 44 a.與再加工廢料相關的費用一直在增加，所以 TCM公司希望在達到下週生產計劃要求的同時，使廢料最少。構建一個線性規劃模型，用於確定最優的生產計劃。 b. 求解a中的模型以確定生產計劃。將會產生多少廢料？哪些機器（若有的話）會有剩餘生產能力？ 24. 默頓金融公司必須決定在接下來的4個期間中，用現有資金進行兩項投資（A和B）時每一項所佔的百分比。下表顯示了每一個期間可用的新資金數，以及進行每一項投資時必要的現金支出（負值）或者是投資收人（正值）。表格中的資料（以1000美元為單位）表示如果將任一期間可用的資金全部投資在A或B 上時，所花的費用或所得的收人。比如，如果獸頓公司決定將任一期間的資金全部投資在A 上，在第1階段公司會花費1000美元，第2階段花費800美元，第3階段要花費200美元，第4階段則有200美元的收人。 但是，要注意的是，如果默頓公司決定將總資金的80%投資給A時，現金支出或收入將是所顯示值的80%。 期間投資專案可用基金的新投資 A B 1 2 1 500 -1 000 400 - 800 500 - 200 4 100 200 - 800 -500 - 300 300 任一期間可用的資金即是該期間新的投資基金、貸款基金、每一期間的存款及A、B兩專案投資收人的和。 任一期間可用的資金可以用來償還貸款或前一期間的利息，用於儲蓄，支付A專案或是B專案的投資開支。
126 資料、模型與決策：管理科學篇假設每個階段的儲蓄利率是10%，每個期間的借人資金的利率是18%。令： S（t）—t期間的存款； L（t）—期間的新貸款資金。 這樣，在任一期間，前一期間的存款收人是：1.1S（t-1），前一期間貸款和利息的費用則是1.18L （t-1）。 在第4期間結束時，向A的預期投資現金值為3200美元（假設資金全投資在A上），而向B 的預期投資現金值為2500美元（假設資金全投資在B上）。第4期間結束時額外的收入和費用將是第4期間的存款收人減去貸款與利息的和。 我們定義決策變數如下： x，—A專案的投資比例； 4—B專案的投資比例。 例如，若x，=0.5，則在第1期間向A投資500美元，而剩下的所有現金以及期間結束時A的投資價值將與0.5相乘。向B投資時也是如此。該模型中必須包括約束條件（x≤1和*≤1），以確保投資百分比不超過100%。 如果在任一期間借人的現金不超過200美元，確定向A 和向B投資的比例，以及各期間的存款和借貸額，以使公司在第4期間結束時的現金值最大化。 26.在第4.5節中，我們用資料包絡分析法評價了4家醫院的相對效率。在表4-16及表4-17中分別給出了3種輸入量和4 種輸出量的資料。 8.用這些資料構造一個線性規劃模型，用於評價大眾醫院的工作情況。 b.下面是用軟體求得的最優方案。該方案是否顯示大眾醫院缺乏效率？ 目標函式值=1.000 變量值減少的成本 E 1.000 0.000 W. 1.000 0.000 W. 0.000 0.000 W. 0.000 0.331 w. 0.000 0.215 e.說明哪個或哪些醫院組成了用於評價大眾醫院績效的合成醫院。解釋原因。 28. 再次參照問題27所給的資料。 日.構建一線性規劃模型，用DEA 方法評價E 醫院的績效。 b.求解該模型。 c.E醫院是否相對缺乏效率？目標函式的值有什麼意義？ d.合威醫院是由哪些醫院組成的？能否給出一個一般的陳述，說明哪些醫院將與一個觖乏效率的單位組成合成醫院？ 30. 再次考慮第4.6 節中閒暇航空公司的問題。表4-18 中的預測代表了該航空公司對需求的最佳預測。但是由於需求不可能被完全精確地預測到，實際售出的每條航線的往返機票（ODIF）可能少於或多於預測。假設閒暇航空公司相信經濟情況改善了，原來的預測比實際值低。考慮到這種可能性，閒暇航空公司正打算將停駐在匹茲堡和紐瓦克的波音737400用該公司在其他市場上可用的波音757-200代替。波音757-200的經拼艙可以容納 158 位乘客。 8.由於與其他市場安排相沖突，假定閒暇航空公司只能調到一架波音 757-200。這架飛機應該停駐在匹慈堡還是紐瓦克？請加以解釋。 b.根據你對同題a的回答，為ODIF確定一個新的分配方式。簡要概括使用一架波音757-200這種新的分配方式與圖4-14 中所示內容的主要區別。 c.假設現在有兩架波音757-200可以使用，為ODIF確定一個新的分配方式。簡要括使用兩架波音757200這種新的分配方式與圖4-14中所示內容的主要區別。 d.考患問題b中的解決方案。哪一種 ODIF 有最高的報價？怎樣理解這個報價？
第4 章線性規劃的應用 127 32. 漢森旅館是一家位於機場和會議中心附近的有96間客房的酒店。每當鄉鎮有會議和特別的事件發生時， 漢森旅館就會依據它的收人管理系統提高房價並接受客房預訂。一流巡洋艦所有者協會計劃在6月的第一個週末在路易斯維爾舉辦年會。為了能夠列席該年會推薦的酒店之一，漢森旅館同意以特定的價格為會議的參與者提供至少50%的客房。儘管大多數會議的參與者都要求預訂週五和週六兩晚入住，有些與會者還是隻會選擇週五或是週六住一晚。而不參加會議的顧客也有類似的要求。因此，有以下6種可能的預訂類型：參加會議的客戶/兩晚，參加會議的客戶/週五晚，參加會議的客戶/週六晚：一般客戶/兩晚，一般客戶/週五晚，一般客戶/週六晚。每一種預訂的成本如下所示（單位：美元）： 住兩晚住週五晚住岡六晚與會客戶 225 123 130 一般客戶 295 146 152 預計每種預訂需求如下（單位：美元）： 住兩晚住週五晚住週六晚與會客戶 40 20 15 一般客戶 20 30 25 漢森旅館希望確定對每種預訂型別分配多少客房，以使總收人最大化。 8，定義決策變數並描述目標函式。 b.為該收人管理應用構造一個線性規劃模型。 c.列出客房的最優分配方案和預期總收人。 d.假設在會議召開的一週，一般客戶/週六晚的預訂客房已經訂滿，這時候有一個非與會者打電話要求預訂週六晚的客房，那麼接受這個額外的預訂的價值至少是多少？ 案例問題1廣告戰火烈鳥烤肉飯店是一家位於佛羅里達的面向高消費階層的一家飯店。為了幫助計劃下一季度的廣告宣傳計劃，該飯店僱用了HJ廣告公司。飯店的管理層要求 HJ推薦如何將廣告預算分配在電視、廣播和報紙上。總的廣告預算費用是279000美元。 在與火烈鳥烤肉飯店管理層的一次會議上，印顧問提供了以下資訊：關於每種廣告媒體在行業內的宣傳率、每則廣告能達到的新受眾數以及各自的廣告成本。 廣告媒體每則廣告的意傳率每則廣告能達到的新受眾數成本（美元） 電視 90 4 000 10 000 廣播 25 2 000 3 000 報紙 10 1 000 1 000 宣傳率被視做衡量廣告對現有客戶和潛在新客戶的價值。它是影象、訊息反饋、可視和可聞形象等的函數。正如預料的那樣，最貴的電視廣告有最大的宣傳率，同時可到達最多的潛在新客戶。 在這一點上，以顧問指出，關於每種媒體的宣傳率和到達率的資料只在最初的幾次廣告應用中有效。例如電視，它的90的宣傳率和達到4000個潛在客戶的資料只在頭10次廣告中有效，10次以後，電視廣告的效用值會下降。顧問指出第10次以後播出的廣告，宣傳率降到5S，同時到達的潛在客戶數也降到1500。對於廣播媒體，上表中的資料在頭15次廣告中是有效的，第15次後，宣傳率降為20，能到達的潛在客戶數降為 1200。類似地，對於報紙，上表中的資料在頭20次廣告中是有效的，第20次後，宣傳率降為5，能到達的潛在客戶數降為800。 火烈鳥公司管理層接受了最大化各種媒體的總宣傳率作為這次廣告運動的目標。由於管理層很在意吸引新的客戶，因此希望這次廣告活動至少能到達100000個新客戶。為了平衡廣告宣傳活動以及充分利用廣告媒體， 火烈鳥公司管理團隊還採納了以下方針： •廣播廣告的運用次數至少是電視廣告的2倍； •電視廣告不能運用超過20次； • 電視廣告的預算至少為140000美元；
128 資料、模型與決策：管理科學篇 •廣播廣告的預算最多不能超過99000美元； • 報紙廣告的預算至少為30000美元。 H同意在這些方針下開展廣告活動，並提出了怎樣將279000美元的預算分配在電視、廣播和報紙廣告中。 管理報告構建一個模型，確定火烈鳥烤肉飯店的廣告預算分配方案，確保你的報告中有以下討論： 1. 推薦一份關於電視、廣播和報紙廣告應各用多少次以及各種媒體的預算分配。列出廣告的總宣傳率並指出總的可以到達的潛在新客戶數。 2. 如果廣告預算增加10000美元，那麼總的宣傳率會怎麼變化？ 3.討論目標函式係數的變化範圍。該變化範圍揭示了推薦的解決方案對HJ的宣傳率係數有多敏感？ 4. 在審閱了田的推薦方案後，火烈鳥烤肉飯店的管理層想要知道若廣告活動的目標變為最大化到達的潛在客戶，則推薦方案會有什麼變化？在這個目標下構建媒體使用計劃模型。 5.比較一下問題1和4中的推薦方案。你對於火烈鳥烤肉飯店的廣告活動有何建議？ 案例問題3 紡織廠生產計劃° 斯考茲維拉紡織廠生產5種不同的織物。每種織物可由紡織廠裡38 臺紡織機中的任何一臺或多臺織成。 銷售部門對下個月的需求做出了預測。需求資料如表4-19所示，表中同時包括每碼織物的銷售價格、可變成本及購買價格。工廠全天運營，下個月運營30天。 表4-19 斯考茲維拉紡織廠的每月需求、銷傳價格、可變成本和購買價格織物需求（碼） 出鎯價格（美元/碼） 可變成本（美元/碼） 16 500 0.99 0.66 2 22 000 0.86 0.55 62 000 1.10 0.49 4 5 7 500 1.24 0.51 62 000 0.70 0.50 購買價格（薨元/碼） 0.80 0.70 0.60 0.70 0.70 工廠有兩種紡織機：帝備紡織機和常規紡織機。帝備紡織機更加多樣化，可用於生產與種織物。常規紡織機只能生產3種織物。工廠共有38臺紡織機，包括8臺帝備紡織機和30臺常規紡織機。各種紡織機生產各種織物的生產率如表4-20所示。從生產一種織物轉換生產另一種織物的時間可以忽略。 斯考茲維拉紡織廠用本廠生產或向另一紡織廠購買的織物滿足所有的需求。也就是說，由於紡織機性表4-20 斯考茲維拉紡織廠的紡織機生產率能有限制，無法在該紡織廠生產的織物將從另一家紡紡織機生產率（碼/小時） 織廠購買。每種織物的採購價如表4-19所示。 織物帝備紡織機常規紡織機管理報告 1 4.63 構造一個模型，為斯考茲維拉紡織廠制定一份生 2 4.63 產計劃，並確定需要向另一紡織廠購買各種織物的數 3 5.23 5.23 量。在你的報告中加入對以下問題的討論和分析： 4 5.23 5.23 1. 每種織物最終的生產計劃和對紡織機的安排。 s 4.17 2.預計總利潤。 4.17 3. 討論再增加1臺紡織機的價值。（工廠考慮購進注：織物1和2只能用帝備紡織機生產。 第9臺帝備紡織機。你估計新新增的這臺紡織機每月能創造多少利潤？） 4.討論目標函式係數的取值範圍。 5.討論使總費用最小化和總利潤最大化的兩種目標對應的模型的不同。（目標函式係數的取值範圍在這兩種模型中的含義有什麼不一樣？） 本案例根據 Jeffrey D.Camm, P. M. Dearing 和 Suresh K. Tadisnia （1987）的案例 the Calhoun Textile Mil 改寫。
第4 章線性規劃的應用 129 案例問題5 Cinergy 煤分配。 Cinergy 公司為位於印第安納、肯塔基及俄亥俄州的客戶發電並配送電力。該公司每年運作其燃煤及燃氣發電廠所需的燃料花費為7.25億~7.5億美元。發電廠所需的燃料中，92%~95% 為煤炭。Cinergy 公司有10 家燃煤發電廠，5家坐落在內陸，另外5家坐落在俄亥俄河上。有的工廠不止一套發電裝備。作為全美第七大燃煤單位，Cinergy 公司每年使用2800萬~2900萬噸煤，平均每天花費約200萬美元。 公司透過固定噸位或可變噸位合同從位於印第安納（49%）、西弗吉尼亞（20%）、俄亥餓（12%）、肯塔基（11%）、伊利諾斯（5%）及賓夕法尼亞（3%）的礦場購人煤炭。對於固定噸位合同，公司必須購買合同中指明的所有的煤炭；但對於可變噸位合同，公司可購買不超過合同最高限額數量的煤炭。煤從礦場運至 Cinergy 公司在印第安納、肯塔基及俄亥餓的發電廠裝置處。每噸煤炭的價格為19~35 美元不等，運輸費用為每噸1.50~5.00美元不等。 公司構造了一個模型，以確定每個發電單位需生產的電量〔以百萬瓦時（mWh）為單位〕及衡量發電單位的效率（以發熱率為標準）。發熱率是指生產千瓦時（kWh）的電力所需的BTU總量。 煤炭分配模型 Cinergy 公司利用了一個稱為煤炭分配模型的線性規劃模型來將其煤炭分配至各發電廠。該模型的目標是確定購買和向發電單位運送煤炭花費最少的方法。可提供的煤炭數量由公司與各個礦場的合同決定，各發電單位需要的煤炭數量由各廠需生產的電量間接決定。 加工煤嵗的費用，又稱附加費，根據煤炭的特性（溼度、含灰度、BTU、硫磺含量和可碾磨性）以及發電單位效率的不同而有所差異。附加費與運費包括在煤象的購買價裡，以決定購買和使用煤炭的總花費。 當前問題 Cinergy 公司剛簽了3份固定噸位合同和4份可變噸位合同。公司希望確定根據這些合同向5家發電單位配送煤炭時最節省費用的辦法。3份固定噸位合同資料如下： 供應商合同規定噸數價格（美元/噸） BTU（s/lb） RAG 350 000 22 13 000 皮伯蒂煤炭銷公司 300 000 26 13 300 美國煤炭銷售公司 275 000 22 12 600 例如，與RAG 簽訂的合同要求 Cinergy 公司以每噸22美元的價格購買350000噸煤炭；這種煤炭每磅可提供13000 BTU。 4 份可變噸位合同相關資料如下： 供應商康社公司麥普羅斯•河馬斯克公司酠丁頓採礦公司滑鐵盧公司合同規定噸數 200 000 175 000 200 000 180 000 價格（美元/噸） 32 35 31 33 BTU （s/ib） 12 250 12 000 12 000 11 300 例如，與康社公司簽訂的合同要求 Cinergy 公司以每噸32 美元的價格購買至少200000噸煤。這種煤崁每磅可提供 12250 BTU。 每家發電單位必須生產的電量總數及生產的發熱率如下： 發電單位生產電量（百萬瓦時） 邁阿巒福特＄號 550 000 邁阿密福特7號 500 000 別克傑德1號 650 000 東班德2號 750 000 效蒙1號 1 100 000 發熱率（BTU/幹瓦時） 10 500 10 200 10 100 10 000 10 000 感謝 Cinergy 公司 Thomas Mason 和 David Bossee 為本案例提供的幫助。
130 資料、模型與決策：管理科學篇例如，邁阿密福特5號單位必須生產550000千瓦時的電量，生產每千瓦時電力需要 10 500BTU。 每噸的運輸費及附加費如下： RAG 皮伯蒂煤炭銷售公司美國煤炭銷售公司康社公司賽普羅斯•河馬斯克公司阿丁頓採礦公司滑鐵盧公司邁阿密福特5號 5.00 3.75 3.00 3.25 5.00 2.25 2.00 邁阿密福特7號 5.00 3.75 3.00 3.25 5.00 2.25 2.00 運輸費用（美元/噸） 別克傑德1號 4.75 3.50 2.75 2.85 4.75 2.00 1.60 附加費（美元/噸） 別克傑德1號 10.00 11.00 15.00 11.00 10.00 6.00 11.00 東班德2號 5.00 3.75 3.00 3.25 5.00 2.25 2.00 茲畿1號 4.75 3.50 2.75 2.85 4.75 2.00 1.60 RAG 皮伯蒂煤炭銷售公司美國煤炭銷售公司康社公司賽普羅斯•阿馬斯克公司阿丁頓採礦公司滑鐵盧公司邁阿密福特5號 10.00 10.00 13.00 10.00 10.00 5.00 11.00 邁阿密福特7母 10.00 10.00 13.00 10.00 10.00 5.00 11.00 東班德2號 5.00 6.00 9.00 7.00 5.00 4.00 7.00 茲蒙1號 6.00 7.00 9.00 7.00 6.00 4.00 9.00 管理報告準備一份報告，總結你就CinergY公司的煤配送問題提出的建議。在你的報告中加人對以下問題的討論和分析： 1.決定需向各礦場公司購買多少煤及如何將煤炭分配給各發電單位。煤炭的購買、運輸、加工費用各是多少？ 2. 計算每個發電單位生產每百萬BTU（發電單位耗媒的衡量標準）的平均花費（以美元為單位）。 3.計算每個發電單位使用每百萬BTU（各單位使用煤炭中的能量效率的衡量標準）的平均花費。 4. 假設 Cinergy 公司以一個全買或全不買的買賣方式向美國煤炭銷售公司購買額外的80000噸煤炭，每噸價格30美元。Cinergy 公司應該購買嗎？ 5. 假設 Cinergy 公司得知從賽普羅斯•阿馬斯克公司購買的煤炭實際上每磅能提供13 000 BTU。Cinergy 公司應該更改預測計劃嗎？ 6. 透過貿易集團，Cinergy 公司得知，它可以以30美元/百萬瓦時的價格將50 000百萬瓦時的電銷售給電網或其他電力供應商。Cinergy 公司應該出售這些電嗎？如果應該，新增的電應由哪些單位發出呢？ 附錄4A Hewlitt 公司財務計劃的Excel求解在附錄2C中，我們演示瞭如何用Excel解決 Par公司的線性規劃問題。為了詳細說明Excel 如何解決更為複雜的線性規劃問題，我們演示如何解決第4.2節中Hewlitt 公司的財務計劃問題。 圖4-15顯示了Hewli 公司問題的工作表示式和求解過程。正如附錄2A所示，我們要做的是將解決問題所需的資料填人工作表的上方，規劃的模型建在工作表的下方。模型是由一些決策變數的單元格、目標函式的單元格、左端值的單元格、右端值的單元格和約束條件的單元格所組成。這些模型元件對應的單元格在圖中政有顯示，且決策變數的單元格周圍有黑框。描述性的標籤使工作表更有可讀性。 4A.1 建模資料與描述性標籤填入單元格 A1:GI2。圖中工作表下方包含 Excel Solver 所需的主要元素。 決策變最為決策變數預留的單元格是A17:L17，最優值（四舍五人到千分位）如下所示：F= 1 728.794,B， =144.988,B，=187.856,B， =228.188, S， =636.148, S =501.606, S， =349.682, S， =182.681，
第4章線性規劃的應用 131 Hewlitt Corporation Cash Requirements Yaar Cash Rqnt 430 2:0 222 23： 240 135 225 255 Price （$1000 1 15： Rate 0 08875 Years to Maturity/ Annual Savings Muttipte.. Bond 0055 Qp 1.04 _35 Modei S4 Funda S5 Cash Rams. $6 S7 S8 Cash Flow Constraints Year1 Year 2 Yaar 3 Y93 4 Year5 Year 6 Year 7 Year8 Not Cash Flcw：728791298 79 711606 501 606 571 582 349 682 24415.681 182.681 240 185 225 255 留4-15 Hewlitt公司的 Excel 求解 S， =S =S， =S=0。 目標函式公式=A17的值填入單元格B20，以反映所需總資金數。這只是決策變數F的值。最佳解決方案要求總資金數為1728 794美元。 左端億 8項約束條件的左端值代表年度淨現金流量。它們在G21:G28 中顯示。Cell G21 =E21 -F21（復制到G22:G28） 對於這個問題來說，一些左端值單元格引用了其他包括了公式的單元格。這些引用單元格為8年中 Hewlitt 公司各年現金流人與現金流出提供了參考。°這些單元格及公式如下： Cell E21 = A17 Cell E22 = SUMPRODUCT（＄E$7： $G$7， $B$17： $D＄17）+＄F＄10*E17 Cell E23 = SUMPRODUCT（$E$7：$G＄7， $B$17： $D＄17） + $F＄10*F17 Cell E24 = SUMPRODUCT（$E$7：$G$7， $B＄17： $D＄17） + ＄F$10*G17 Cell E25 = SUMPRODUCT（$E＄7：$G$7， $B＄17： $D＄17） + $F＄10*H17 Cell E26= （1+E7）*B17+F7*C17+G7*D17+F10*117 Cell E27 = （1+F7）*C17+G7*D17 + F10*J17 Cell E28 = （1+G7）*D17+F10*K17 Cell F21 = SUMPRODUCT （E6:G6,B17:D17）+E17 Cell F22 = F17 Cell F23 = G17 Cell F24 = H17 Cell F25 = 117 Cell F26 = J17 Cell F27 = K17 Cell F28 = L17 右端億 8項約束條件的右端值代表年度現金需求。它們在單元格121:128中顯示。 現金流人是數學模型各約束等式中正償的和，現金流出是各約束等式中負值的和。
132 資料、模型與決策：管理科學篇 Cell 121 = B5（複製到122:128） 4A.2 用 Excel 求解現在，我們可以用表中的資訊來求解 Hewlit 公司問題的最優解決方案了。以下步驟描述瞭如何用Excel 求解最優方案： 步驟1：選擇Tools 選單。 步驟2：選擇 Solver 選項。 步驟3：當 Solver Parameters 對話方塊出現時，在Set Cell框中填入B20；選擇 Equal to：min選項，在By Changing Cells 框中填入 A17:L17；選擇Add。 步驟4：當Add Constraint 對話方塊出現時，在 Cell Reference 框中填入 G21:G28；選擇=；在 Constraint框中真人 121:128；點選 OK。 步驟S：當 Solver Parameters 對話方塊出現時，選擇option 按鈕。 步驟6：當 Solver Options 對話方塊出現時，選擇 Assume Non-Negative；點選 OK。 步驟7：當 Solver Parameters 對話方塊出現時，選擇 Solve。 步驟8：當 Solver Results 對話方塊出現時，選擇 Keep Solver Solution；在Reports 框中選擇 Sensitiviy； 點選OK。 Solver Parameters 對話方塊如圖4-16所示。最優解決方案如圖4-15所示。敏感度分析報告如圖4-17所示。 $A$17：$$17 $G$21：$G$28 = $1$21：$1$28 Standard Simplex LP 圖 4-16 Hewlitt 公司問題求解引數對話方塊 Adustable Cts Final Cm $A$17 F $6$17 81 $C$17B2 $D$17 B3 E$12 S1 年$11S2 $G$17$3 $1$17$5 $U$11 S6 3LSTS8. Constrairts Name Reduced Cost Obleatlve CowmTicisnt 1728.783855 144 9881496 187 8558478 228.1879195 636.1479438 501.805712 349 681791 182 660913 0 0064025159 0 0012613604 0 0021318233 00670839383 Alowable hwcr串要串e Alowwbie Decrs 1E+30 0 067026339 0 013026775 0 0 012795531 0 020273774 C 0.022906851 0.749063022 0.109559907 005507386 0_0.143307365 0.056948823 0 210854 199 0:059039182 0413598622 0.061362404 1E130 0.004025159 1E*30_0.012813604 1E+30 0.021318233 1E+30 0 870839393 _Neme $G$22 Yeer 2 Fiow $G$23 Year 3 Fiow SG$24 Yeef 4 Fiow 29125. Yea 5Fkom $G$26 Yser & Flow $G$27 Yeer 1 Fiow $G$28 Year 8 Flow Final shado Yakse Prke 430 210 0961538462 222 0 924556213 231_0.888996359 240_0.854904191 195.0780364454 225 0718991202 255 0.670839393 Constraint R.H. Side 430 210 222 231 240 195 225 255 ARowable AHowable Ancrease DeCre我品. 1E+30 1728 793855 1E+30 661 5938616 1E+30 521.0098405 1E+30 383.6690626 1E+30 189.9881496 2149 927647 157 8558478 3027 962172 198 1879195 1583 881915 255 圖 4-17 Hewlitt公司問題的敏感度分析報告