美國土木工程師學會1951年發表了一篇題為《水庫的長期庫容量》的短論文，此時，旋風計算機專案還剛起步，傑伊·福里斯特也還沒有開始研究經濟的穩定性問題。那篇短論文的作者是水文學者H·E·赫斯特，他自1907年以來一直在為尼羅河大壩專案工作。從這篇文章的標題來看，它與福里斯特後來所發展的經濟週期模型之間應該沒有什麼瓜葛，然而，實際上它們之間是有聯絡的。赫斯特最初的目的是找出計算大壩庫容量的方法。然而，水庫系統所發生的情況和我們所遇到的經濟中的庫存量問題之間，存在著有趣的相似性——就像福里斯特的遊戲那樣。 赫斯特的問題實際並不簡單。最重要的是預測來自流域內的每條河流與每個湖泊的洩水量的自然波動情況。顯然，這裡有許多統計問題，包括降雨量、徑流量以及支流的來水量等。赫斯特描述了自1904年以來的洩水量，但是，他如何能夠確信這麼有限時間段的情況也能代表未來呢？一旦大壩決堤，那會發生什麼樣的災難呢？ 肥尾問題大多數具有統計學基礎知識的人可能一開始就會面臨類似這樣的簡單問題： 自然現象一般符合高斯分佈——即所謂的鐘形曲線分佈。洩水量也必定符合這種分佈，現在已經有超過40年的觀測值，就很容易計算出其均值和標準差。把這些引數代入高斯分佈方程，就可以計算出任何超出臨界水平的波動的可能性。 解決方案就是這麼幹淨利落而且簡單明瞭。但是，赫斯特知道還是有問題，因為許多自然現象與高斯分佈比較起來，存在比期望的高點還要高的“肥尾”。這就意味著存在出現極端結果的傾向。 赫斯特相信自然系統一般有三個特徵。第一，存在正向反饋。從這個意義上說，任何初始的隨機事件都有“自我放大”的傾向。這能夠解釋事件趨向極端結果的問題。第二，存在意外的成分。第三，存在某些阻斷趨勢演化的“斷路器”。他發明了一個簡單的卡片遊戲來演示這類行為，而這個遊戲的結果表明肥尾問題確實存在。此後，他決定發明一個數學方法來檢驗具有這種行為的系統，他把這種方法稱為“重標定域”分析。他採用了三個基礎變數和一個常量： N，觀測值的個數，例如天數、年數或者其他。 R，在所記錄的N個觀測值中最高值與最低值之間的距離（“域”）。 S，標準差，即每個觀測值與所有觀測值的均值之間的平均差異。 a，一個常數，表示所調查的任何自然案例的個體特徵。 而後，他介紹了下面的關係式： R/S=（a×N）H 方程中的“H”揭示了系統中存在的反饋現象。正常的高斯分佈的“H”值為 0.5。具有無限負向反饋系統的“H”值為0，而具有無限正向反饋系統的“H”值則為1。赫斯特用這套方法對許多自然系統的行為作了檢驗，發現多數的“H”值高於0.5。換句話說，多數自然系統具有較強的正向反饋過程，因此存在肥尾問題。 貝諾·曼德伯另一位受到肥尾問題困擾的科學家是貝諾·曼德伯。當赫斯特正在埃及， 臨近日暮小酌一番，或者遠眺開羅滿是灰塵的街景之時，曼德伯可能正在趕往位於美國約克鎮高地IBM公司的高科技研究中心。曼德伯涉足各種數學問題，無意中發現了與赫斯特完全一樣的問題：在大多數令人驚奇的地方存在著肥尾現象。哈佛大學的亨德里克·霍撒克的辦公室黑板上就有這樣一個例子。1960年，曼德伯被邀請來這裡作一次演講，當他走進霍撒克的辦公室時，他注意到黑板上畫著帶有兩個肥尾的鐘形曲線。霍撒克解釋說，這個圖形表示棉花價格變化的統計分佈。 在某種程度上，棉花可以作為理想的統計測試物件，因為其每天的價格資料都是準確的，而且可以追溯的歷史很長。曼德伯演講結束後離開的時候，帶走了一個箱子，其中裝有霍撒克用來記載棉花資料的計算機卡片。後來，他又從農業系拿到了更多資料，這些資料包括1900年以來的棉花價格變化情況。透過對這些資料的分析，他發現不管是每日資料還是月度資料，都存在肥尾分佈的現象。
法老與經濟週期曼德伯對兩種動態性質作了區分： ·“諾亞效應”或者“無限方差綜合徵”。很小的移動被暴力阻斷，由於干擾而造成不連續的跳躍。 ·“約瑟夫效應”或者“H光譜綜合徵”。它是指價格按照趨勢移動的內在傾向，像赫斯特所描述的那樣。 他看到棉花的價格變動反映了這兩種效應，部分出於偶然，部分出於必然。當經濟系統受到外在的、沒有預見到的事件擺佈的時候，就會發生諾亞效應。至於約瑟夫效應，用曼德伯的話來說，當“統計相關性緩慢衰退”的時候，就會出現這種效應。約瑟夫效應意味著，在時間持久的情況下，每個觀測值在統計上依賴於此前的若干觀測值。在為這種動態性質選擇名稱時，仍然是《聖經》給了他靈感： “約瑟夫效應”這個術語，當然是來自於《聖經》中7個豐年與7 個歉收年的故事。法老一定很清楚長久以來尼羅河水量每年的高低變化，所以其變化表現出很強的長期依賴性以及類似經濟週期的形態， 但是其中含有或明顯、或隱匿的正弦曲線成分。 計算機困惑曼德伯並不是唯一探究非線性行為的科學家。在麻省理工學院，氣象學家愛德華·洛倫茨曾經在電子管計算機上編制程式來模擬天氣預報。這臺“皇家麥克比”計算機完成了一項所有計算機都非常擅長的工作：鏈式計算。首先，他輸入每天天氣狀況的資料，例如風速、氣壓、溫度和溼度。在輸入這些資料之後，皇家麥克比就會計算出第二天的天氣情況資料，然後再利用這些資料來計算第三天的天氣情況，依此類推。只需大約一分鐘的時間，皇家麥克比就能夠模擬24小時的天氣變化情況。 1961年的一天，也就是在同一個機構的傑伊·福里斯特開始研究系統動力學之後5年，洛倫茨看著計算機的模擬結果，卻後悔過早將其中斷了。於是他決定繼續這項模擬，這就需要作一小段的重複計算，以檢查、確認它是對上次模擬的繼續。為此，他把資料列印出來，並把每天的資料仔細地複製到計算機中。然後，他讓計算機開始模擬運算，自己下樓喝咖啡去了。一小時之後他回到屋子，發現了頗為奇怪的事情：兩次計算的重複部分，實際上並沒有像原本所設想的那樣出現重疊。系統中的每一部分完全是預先決定好的： 輸入的資料和方程式都是他自己控制的，而且在兩次運算中也是完全相同的。但是模擬結果出現了差異，開始的時候很小，後來就很大。哪兒出錯了呢？ 問題在於列印紙張的尺寸。這張紙上僅能列印三個小數位，因為沒有空餘的地方列印更多的小數位。他把僅僅帶有三位小數的數字複製到計算機的程式中，儘管程式的執行實際上只有六個資料。因此，重複部分計算結果出現差異是因為初始資料是帶有四位小數的數字。他對此想得越多，越是覺得難以置信：顯然，無法進行長期的天氣預報，除非知道帶有四個甚至更多小數位的溫度之類的氣象資料。如果某個地方某天的溫度是21.563攝氏度，或者如果它實際上就是21.563975攝氏度，那我們還是不足以知道長期的氣象狀況。要想獲得全部這類資料，並且是覆蓋全球的資料，那絕對是不可能的。 沒考慮要引起公眾的注意，洛倫茨便把他的觀察結果發表在《大氣科學雜志》上，文章的題目是《確定性非週期流》。 如果有人讀過這篇文章，他們並不會覺得大驚小怪。在此後的10年時間裡，它被其他作者引用的次數還不到10次。但是，在1972年，馬里蘭大學物理科學與技術研究所的一位科學家看到了這篇文章，感到非常興奮。他把文章複製下來並且發給所有對此有興趣的人。有一天，他把文章發給了在同一個機構工作的數學家詹姆斯·約克。約克理解這個資訊的重要價值：長期不可預測性可能是非線性系統的內在性質。1975年，他發表了關於這個主題的論文。這篇文章刊載在知名的《美國數學月刊》上，題目就是誰也無法忽略的 《週期3意味著混沌》。 後來，人們採用文章標題的最後一個詞來表述那些確定的，但又複雜而不可預測的現象。當我們用標準的統計方法來檢驗系統行為時，它表現出隨機性，但實際上它也具有確定性——因此根本沒有隨機性的系統，所以通常就用“確定性混沌”來描述它。 蝴蝶效應洛倫茨1979年發表了一篇論文，題為《可預言：一隻蝴蝶在巴西扇動翅膀會在得克薩斯引起龍捲風嗎？》。很顯然，他也在向約克學習。如果以讀者作為衡量成功的標準，那麼他這一次成功了。混沌這個概念變得流行起來，科學家們也開始研究無所不在的混沌現象。洛倫茨的文章解釋了在巴西的一隻蝴蝶能夠決定6個月之後在其他某個地方是否會發生一場龍捲風。假使氣象學家掌握了這個世界的力量，而且決定把天氣預報作為人類生活的主要目標，把氣象站覆蓋到整個地球表面，每隔一英尺就設立一個小的氣象站並且延伸到大氣層之外——即使這樣，他們也無法進行長期的天氣預報。即使數十億個這樣的氣象站連續不斷地把資料傳送給一個巨型的中央計算機，這臺計算機安裝了完美的數學模擬軟體，它也還是不能作長期的預報。因為可能會有一隻蝴蝶在某兩個測量站點之間輕輕飛過，引起了一陣很微弱的風， 而氣象站無法對其足夠準確地加以記錄——而且未被記錄的空氣運動的影響會透過正向反饋機制得到放大，以判斷是否會發生一場龍捲風。至此，洛倫茨的觀點已經闡釋得很清楚：反饋系統對初始條件非常敏感——這個性質後來被稱為“蝴蝶效應”。 靠不住的東西不僅僅是經濟學和氣候學，生態學的反饋系統也臭名昭著。當羅伯特·梅 1971年設計一個模擬魚群數量的數學程式時，他遇到了一個奇怪的現象。他設計的方程式是為了計算一個魚群在不同的假設條件下會成長到多大。當他把所選擇的引數值輸入計算機時，模型對魚群生態系統的動態進行了模擬， 直到魚群數量達到某個固定水平時便逐漸穩定下來。如果他改變了引數，它又會在另一個新的均衡水平上穩定下來。 其中有一個變數是生育能力，就是魚生子的能力。如果生育力非常低， 魚群顯然會滅絕。在高生育力的情況下，它會達到不同的均衡點。奇怪的是，如果他輸入一個很高的生育能力數值，模擬的結果卻找不到均衡點，魚群數量處於無休止的波動狀態而沒有任何明顯的模式。造成這種混沌行為的一系列數學反饋可以用下面的方程式表示： X（n+1）=r×X（n）×（1-X（n）） 這個方程表示式非常簡單。左邊的意思是“下一期的X值”，這個下一期的X值要透過右邊的算式計算出來，它是常數r與當前的X值相乘，再與1減去當前X值的差相乘的結果。這種微小（而且非常簡單）的反饋機制在引數值很低的情況下會實現均衡，但在r值很高的情況下則會造成混沌。這很有趣， 不僅僅讓人覺得愉悅，而且在模擬許多動態系統時這種方程也是通用的，包括經濟學。就像一個大的DNA分子中的一個小小的基因，這種演算法隱藏在一個大的模擬方程中。除非用計算機對所模擬的系統作大量的因素分析，否則根本不會注意到它的影響。因此，正如查爾斯·巴貝奇早就預言的那樣，計算機真正給科學帶來了革命。 週期的同步許多剛開始思考經濟學問題的人當時並不是真正的經濟學家。魁奈和朱格拉兩人是醫生，薩伊、瓦爾拉斯以及帕累託是工程師，而紐科姆則是一位數學家與天文學家。如今，正是來自其他學科的人員在觸發混沌理論的研究。突然之間，我們發現世界各地的物理學家和數學家們正在作經濟模擬。 哥本哈根也在發生這樣的情形，在埃裡克·莫斯基爾德的領導下，一班人正在琢磨改進版本的福里斯特的經濟週期模型。他們想要研究週期的同步性是否可能導致經濟發生大蕭條，就像熊彼特和福里斯特所指出的那樣。考慮一下這種情況：如果存在幾種週期現象，那你就不能把總產出僅看成是單個振盪運動的加總，就像熊彼特在1935年所畫的圖形闡釋的那樣。可能的結果要比這複雜得多，因為每一種週期現象可能會與其他週期現象產生相互影響與幹擾。他們決定用康德拉季耶夫週期模型分別經受基欽和庫茲涅茨週期振盪的情況來檢驗這個假設。圖16-1說明了他們的康德拉季耶夫模型是如何變化的。 圖16-1 一個康德拉季耶夫週期的模擬結果，他們的康德拉季耶夫週期模型平均長度為47年，圖中的3條曲線分別表示產能、產量與訂單，其中訂單首先改變，而後是產量，最後是產能。 這個模型顯示了由於資本貨物部門的自我訂購（資本貨物生產部門自身訂購資本貨物，但存在著時滯）而使經濟系統具有內在的不穩定性。 這些研究者們現在繼續創造一個模型來模擬庫茲涅茨週期，結果發現周期的長度為22.2年。如果把庫茲涅茨週期疊加到康德拉季耶夫週期上，又會發生什麼情況呢？他們做了試驗，結果發現康德拉季耶夫週期的長度自動拉長了大約40%，這樣每個康德拉季耶夫週期就與3個庫茲涅茨週期同步（見圖 16-2）。 他們還創造了一個模擬基欽週期的模型，計算機給出該週期長度的計算結果為4.6年。他們再次把基欽週期疊加到康德拉季耶夫週期上面進行試驗， 結果發現每個康德拉季耶夫週期自動與10個基欽週期同步。只要他們把固有的基欽週期長度設定在4.47～4.7年之間，就會完整地保持這個結果。但是， 當基欽週期長度超出這個區間的時候，同步性就變得更加複雜。他們還證明了這個同步過程對振盪幅度具有敏感性。圖16-3顯示了基欽週期長度保持在 4.6年時的同步情況。 圖16-2 康德拉季耶夫週期與庫茲涅茨週期之間的自動同步模擬。這個模擬由圖16-1中的康德拉季耶夫週期模型與一個設定時長為22.2年（這大致相當於典型的庫茲涅茨週期長度）的外部正弦曲線的振動合成。
圖16-3 康德拉季耶夫週期與基欽週期之間的自動同步模擬圖16-4 康德拉季耶夫與外部週期同步的拓撲空間。圖形顯示當具有不同振幅與期限的週期疊加時， 康德拉季耶夫模型是如何反應的。 在他們的實驗中，圖16-4所顯示的情況看起來完全不同於引入混沌理論之前所作的任何經濟模擬（而且可能用於心理學的測試——對作者來說，它看起來就像長頸鹿被帆船包圍著）。這幅圖形實際顯示的就是所謂的“拓撲空間”。科學家們再次將他們的康德拉季耶夫模型用每次設定的週期振幅與期限疊加成其他週期。他們一次次重複這樣的實驗，直到所設定的振幅與期限覆蓋了很廣的範圍。這個圖形中的橫軸表示週期的期限（從0到60年），縱軸表示振幅。圖形中的每一個點都是完整模擬的結果，陰影區域表示康德拉季耶夫模型與外部週期產生同步時的結合，白色區域則是發生混沌時的結合。每個陰影中所寫的比率則是每個康德拉季耶夫週期中所出現的外部週期的個數。 圖16-5 週期同步性的費根鮑姆瀑布讓我們看一下最後一幅圖形，見圖16-5，這是所有圖形中最奇特的一幅。它顯示的是多次計算的結果。其中，在每次實驗中，疊加的外部週期長達19.6年，但是每次計算的振幅（橫軸）都有一點改變。這幅圖中的縱軸刻度是實驗所發現的資本形成的最大值。圖形表明瞭如何從單一的答案演變成兩個、四個、八個等答案，而且最終出現了混沌。 混沌的主要含義混沌理論讓我們瞭解到非線性系統是如何執行的。它也啟迪我們在科學、工程、軟體程式設計等許多方面發展出新工具。這類系統最重要的特徵是： ·對初始條件極其敏感（愛德華·洛倫茨的“蝴蝶效應”）。這就意味著在長期預測方面存在著突出的障礙。 ·自相似性（曼德伯“肥尾”處於不同的尺度範圍內）。模型在不同的尺度範圍具有看起來相似的趨勢，但是永遠不會自我複製成完全相同的微小模型。 ·有多個吸引因素存在於某些引數間隔。在特定時間內，系統可能很容易有幾個穩定的解決方案，而隨機衝擊可能會將其從一個穩定位置推到另一個穩定位置。 混沌理論家的工作使我們對某些經濟與金融系統的性質有了基本的了解，這使我們更容易確定在各種不同的狀態下，哪一組實用預測工具是有效的。就經濟學的其他基本數學方法而言，系統動力學特別重要，例如在統計學、計量經濟學、神經網路與人工智慧方面。我們不妨想象一下，某人可能正在使用設定好的長期預測計量模型，現在我們運用混沌理論的工具來檢驗這個計量模型在政策空間內的行為，或許會發現它出現了混沌。在這種情況下，我們的結論可能是，要麼模型總體上是不正確的，要麼不能用它來預測這個系統。或者，它可能表明系統僅僅在某些邊界內才能被預測。系統動力學能使我們對要處理的問題有一種更好的感覺。 混沌的這類含義讓人有些難以置信。因此，當薩繆爾森在1939年揭開非線性動力學領域的面紗時，他無法作出預測（這也是由於缺少電子計算機）。當人們進行狂亂的投機時，他也沒有發現人們心裡在想些什麼。這個問題我們留到下一章來研究。 要想更好地理解經濟，就必須使用一種綜合的分析工具。下表對一些最重要的數量分析工具進行了簡明介紹： （續）