如何應對小機率的大規模事件投資組合理論背後的風險減損公式依賴於眾多嚴格但卻缺乏依據的前提。首先，這些公式均假設價格變動在統計上是相互獨立的……第二個假設認為，價格變動的分佈模式符合標準的鐘形曲線（正態分佈）。 財務資料是否完全符合這些假設呢？當然，永遠也不可能。 —伯努瓦•B. 曼德布羅特（Benoit B.Mandelbrot） 摘自《華爾街上的分形遊走》（A Multifracta/ Walk down Weall Street） 一文 200多年以來，儘管很多世界最知名的學者一直在研究聖彼得堡問題，但迄今為止，卻依然沒有得到任何公認的一致性答案，無疑，這一事實可以說明：即便是成長股也不可能提供滿意的解決方案。 —大衛•杜蘭德（David Durand） 摘自《成長股與聖彼得堡悖論》（Growth Stocks and the Petersburg Paradox）一文團魔鬼投發學伯努利的挑戰那些資深投資者引以豪的是，他們總能以適當的價值去評判金融性權益。這種能力恰恰是投資的核心：事實上，市場不過是針對未來權益進行現金交易的載體而已，反之亦然（未來權益也是市場進行現金交易的載體）。 那麼，這裡就有一個評定現金流價值的問題，即：拋擲一個均勻的硬幣，按照獲得正面和反面的情況計算收益（虧損）。如果落地時正面向上，你可以得到兩美元，遊戲就此結束。如果背面向上， 重新拋擲。如果第二次拋擲的結果是正面向上，你得到4美元，遊戲結束；如果背面向上，再次拋擲。每增加一次拋擲，只要正面向上，你的回報翻一番（即：$2， $4，$8，$16-•⋯），然後進入下一輪， 直到正面向上時結束。那麼，你參加這個遊戲願意支付的費用是多少呢（也就是你最終可能得到的回報）？ 1738年，數學大師伯努利家族的成員之一，丹尼爾•伯努利 （Daniel Bernoulli）"第一次在俄羅斯皇家科學院上提出這個問題。 這個被稱為“聖彼得堡悖論” （the St. Petersburg Paradox）的伯努利遊戲對古典理論提出了挑戰，該悖論認為，參與者參與遊戲願意支付的費用應該是他能得到的期望值。顯然，這個遊戲的期望值是無限的，每一輪的收益期望值應該是1美元（獲得收益的概率為1/2，則每一輪的收益為兩美元，或者說：1/2×$2，1/4×$4， 264
1/8×$8，以此類推）。因此，總的收益期望值為： 期望值=1+1+1+1+ ∞ 顯而易見，哪怕只是花20美元，也不會有幾個人願意參與這樣的遊戲。伯努利試圖用貨幣的邊際效應理論來解釋這個悖論。他認為，我們願意支付的數額是現有資源數量的函式——你擁有的資源數量越多，願意支付的費用也就越多。但是，伯努利的解釋並不非常完美。在超過兩個半世紀的時間裡，聖彼得堡悖論一直讓哲學家、數學家和經濟學家們倍感困惑。 除了哲學上的內涵之外，其他研究也無一例外地為投資者揭示了兩個極具體的觀點。第一個觀點認為：股票市場收益率的分佈並不符合傳統金融理論的假設前提。這一有悖常理的觀點對風險管理、市場有效性理論以及個股選股都有著非常重要的意義。 第二個觀點與成長股的估價有關。對於一個擁有超額小機率收益的企業，你願意支付多少成本去購買它的股票呢？在價值遷徙瞬息萬變、收益不斷增長的市場形勢下，這個問題似乎更具有緊迫性和現實性。 正態分佈捉襟見肘資產價格分佈對基金經理來說有著重要的現實意義。傳統金融理論假設，股票價格變動服從正態分佈——也就是著名的鐘形曲線。 由於該假設在大多數條件下都具有足夠的精確度，因此，投資者可以利用這一假設進行基本的機率統計。例如，對於一個符合正態分布的樣本，我們可以確定總體平均值，並利用特徵值表達偏離該平均值的可能性。 但是，大多數自然狀態—包括人為的股票市場——並不符合 266 科學與奧雜住理諗魔鬼投資學正態分佈的概念。很多自然系統都具有兩個特徵：小規模構成要素在數量上日漸增加，且外形相同的構成要素以不同的規模分佈於系統之中。比如說，一棵樹有一個大樹幹以及很多小樹枝、更小的樹枝…⋯小樹枝在外形上與相對較大的樹枝基本相同。也就是說，這些系統具有分形性（Fractal）®。和正態分佈不同的是，任何平均值都無法恰當地表述一個分形系統的實際特徵。圖26.1 從形式上對正態分佈系統和分形系統的差異進行了對比，並說明了代表相關數據的機率函式。 使用正態分佈表述金融市場之類分形系統的特徵很可能是非常危險的。但理論家和實踐家依然在樂此不疲地使用著這個工具。正態系統和分形系統之間的差別最終歸結為機率和回報。分形系統具正態系統樣本概率回報樣本分形系統回報（對數） 圖26.1 正態系統和分形系統的機率密度函式資料來源：拉里 •利博維奇（Larry S. Licbovitch） 和丹尼爾•謝爾（Danicla Scleurle），《分形與混沌的兩個啟示》（Tio Lessons from Fractaks and Chaos）一文。 266
有不符合正態分佈的少量大幅觀測值。最經典的事例就是1987年的股市大跌。市場收益率在一天內下跌幅度超過20%的機率微乎其微（假設收益率的分佈符合正態分佈），在實踐中更是幾乎力零。 同時，股票市值也達到了令人窒息的兩萬億美元。 對比正常情況下的拋硬幣遊戲和聖彼得堡遊戲，同樣也可以說明這一點。假設硬幣落地時正面向上，你可以得到兩美元，如果背面向上，你什麼也得不到。遊戲的期望值為1美元，這也是你為參加這個公平賭博而願意支付的費用。筆者對100萬輪擲硬幣試驗進行了模擬，每輪擲100次，並把回報額繪製在圖26.2上。正如你所期望的一樣，我們得到了一個近乎完美的正態分佈。 之後，筆者對100萬次聖彼得堡遊戲的結果進行了模擬，並繪制了該遊戲的分佈圖（見圖26.3）。在該分佈圖上，我們可以看到， 儘管基本過程是隨機的，但結果的分佈卻符合冪率法則。例如，在一次遊戲中，得到兩美元的機率50%，得到4美元以下回報的概率為75%。按照這個機率，30輪的試驗可以實現的最大回報為11 億（230）美元，但是，我們只有在11億次試驗中才有可能有一次實現如此驚人回報的機會。因此，分形系統的特徵體現為大量的小規模事件和極少的大規模事件。此外，在聖彼得堡遊戲中，每次遊戲的收益額也是不穩定的，因此，任何平均值都無法準確描述遊戲的長期結果。 那麼，股票市場的收益是否也具有分形特徵呢？伯努瓦•曼德布羅特指出，只要延長或縮短代表價格序列的水平座標軸—相當於加快或減慢價格的變化速度，價格序列就會表現出顯著的分形特徵。罕見的大幅度價格變動分散在眾多小幅度的價格變動之間，與此同時，價格變動曲線的形狀也極為相似，只是在比例上有所不同而已（例如，每日收益、每週收益或每月收益）。曼德布羅特把這第4部分科學與氮雜性理論 267
魘鬼投資羋 9.0% 率 4.0% 3.0% 2.0% 1.0% 圖26.2 規範的擲硬幣遊戲資料來源：筆者分析。 種財務收益對應的時間序列稱為“多重分形” （Multifractal），他之所以在“分形”（fractal）增加一個字首 “多重”（multi），主要是為了反映按時間進行調整這一思想。 在影響深遠、百讀不厭的《股市何以崩潰》（Why Stock Markets Crash）®一書中，地球地理學家迪迪爾•索尼特（Didier Somette）指出， 股票市場的價格分佈包括兩個不同的樣本總體：主體（能用標準理論模型化的部分）和尾部（依賴於完全不同的分佈機制）。索尼特對市場下跌趨勢的分析極有說服力地推翻了股票收益相互獨立的假設，這也是傳統金融理論的基石。他的研究為我們認識古典金融理論的缺陷提供了一個全新而深刻的視角。 聖彼得堡悖論與成長股投資聖彼得堡悖論還為我們認識成長股估價提供了一種工具。對於 268
這樣一種小機率事件——企業永久性地實現現金流高速增長，你願意支付的費用上限是多少呢？ 在1957年發表的經典論文《成長股投資與聖彼得堡悖論》 （Growth Stocks and the Petersburg Paradox）中，大衛•杜蘭德探討了這個問題。他主張對這個問題應採取極為謹慎的態度，並特別強調了均值迴歸的思想和建模方式。但是，如果說有什麼不同的話，那就是如何在當前的市場條件下對小機率的鉅額價值做出評判，所面對的挑戰根本就不是50年前的杜蘭德所能想象的。 例如，我們不妨探究一下 1980年～2004年期間完成首次公開上市（IPO）的近2000家技術類企業：在它們所創造的兩萬多億美元的財富中，5%的企業擁有其中的絕大部分財產。即使是在這些真正實現財富創造的少數企業中，也只有為數不多的幾家公司能創造出可觀的回報。在很多以“勝者為王、敗者為寇”為特徵的成長股市場中，對於未來的財富創造里程，我們幾乎沒有什麼理由認為 0 -5 -30 -35 5 圖26.3 10 15 回報（對數） 20 分形性的拋硬幣遊戲 24 29 資料來源：筆若分析。 第4部分科學與複雜性理論 269
飄魔鬼投資學還有比這更規範的正態分佈。 此外，相關資料還表明，在當今的美國企業中，投資經濟回報率的分佈範圍比以往更寬。因此，對於這些真正的財富創造者，他們所能期待的收益上限數額是以往任何時候都無法比擬的。和聖彼得堡遊戲一樣，雖然未來交易的絕大部分收益較穩定適中，但的確有某些收益是非常巨大的。那麼，期望值到底是多少呢？你為此願意付出的代價應該是多少呢？ 你的聖彼得堡悖論解決了嗎儘管聖彼得堡悖論已經有幾個世紀的歷史了，但它所帶給我們的啟示卻一如既往。在投資中，最大的挑戰在於如何把握小機率的大規模事件。遺憾的是，標準的規範型金融理論在這個問題上一直都一籌莫展。 ◎ 本章譯者注 ◎ ① 丹尼爾•伯努利（Daniel Bernoulli）：18世紀數學家。大數學家約翰•伯努利之子。1725年任俄國彼得堡科學院數學教授。1738年出版《流體動力學》，創立了“伯努利定理”等流體動力學的基礎理論。他曾10次獲得法國料學院頒發的獎金，貢獻涉及天文、重力、潮汐、磁學等多個方面。 ② 分形性（Fractal）：分形是一種具有自相似特性的現象、影象或者物理過程。也就是說，在分形中，每一組成部分都在特徵上和整體相似，只僅僅是在規模上逐漸減小而已。 ③《股市何以崩潰》（Why Stock Markets Crash）：作者為地球物理學家迪迪爾•索尼特。在本書中，作者透過總結多年對地震、全球變暖、人口統計學特徵和金融危機等現象的研究經驗，提出了一套簡明有力的，具有一般性的關於股市何時、怎樣，以及為什麼崩潰的理論。 270