bd』金翼夫都 A-部活窮木 1科學中的事實和臆測 2 5 11 21 22 31 32 41 42 51 52 61 62 3 23 33 43 53 63 14 24 34 44 54 64 5 15 25 35 45 55 65
內容簡介本書以生動的語高介紹了二十世紀以來科學中的一些重大的進展。書中光漫談-些基木的數學知識，然後用一些有趣的出喻，闡述了愛因斯坦的相對論和凹維時空結構，井討論了人類在認識微觀世界（如基本粒子、基因）和宏觀世界（如太陽系，星系等）方面的成就。 本書可供廣大具有中等文化水平的讀者閱讀。 - George Gamow ONE,TWO,THREE，•INFINTTY The Viking Press, 1964 從一到無窮大科學中的享實和隱測 ［美〕G.蓋莫夫客歇永心譯斜學*藏社出版北京頓陽門內大街137號中國科學院開判印刷廠印重新整理華書店北京發行所發行冬地新華書店經售 * 1978.年11月第一頁點：77×1022 1/32 198區4：12原第一衣引出 F站：* 裝：223，02 印數：553,631-$55430 統一蘆號：13031•8-1 本社書歲：1198-13-28 定價： 1.80 元從一到無窮大科學中的事實和隱測 ［美〕G.蓋莫夫著鬆永寧譯斜學蛋滋社目錄第一部分做做數字遊戲 ⋯ 第⋯章大數⋯.⋯.. 第二部分空間、時間與愛因斯坦•••••••⋯••••••••…..37 第三章空間的不尋常的性質第四章四維世界…… 第五章時空的相對性第三部分微觀世界• 第六章下降的階梯 ⋯ 第七章現代鍊金術 ⋯ 第八章無序定律⋯⋯ 第九章生命之謎 •⋯••••••-- 第四部分宏觀世界… 第十章不斷擴充套件的視野第十一章 “創世”的年代⋯ 詳後記•… 1 1 22 37 58 76 •••••102 ⋯：102 ⋯132 •168：205 •237 •237：264 ••307 •i•
丶 - 2+2-4 第一部分做做數字遊戲第一章大數 1.你能數到多少？ 有這麼一個故事，說的是兩個貴族決定做計數遊戲一誰說出的數字大誰贏。 “好，”一個貴族說，“你先說吧！” 另一個絞盡腦汁想了好幾分鐘，最後說出了他所想到的最大數字：“三”。 現在輪到第一個動腦筋了。苦思冥想了一刻鐘以後，他表示棄權說：“你贏啦！” 這兩個貴族的智力當然是不很發達的。再說，這很可能只是一個挖苦人的故事而已。然而，如果上述對話是發生在原始部族中，這個故事大概就完全可信了。有不少探險家證實，在某些原始部族裡，不存在比三大的數詞。如果問他們當中的一個人有幾個兒子，或殺死過多少敵人，那麼，要是這個數字大於三，他就會回答說：“許多個。”因此，就計數這項技術來說，這些部族的勇士們可要敗在我們幼兒園裡的娃娃們的手下了，因為這些娃娃們竟有一直數到十的本領呢！ •1、
現在，我們都習慣地認為，我們想把某個數字寫成多大， 就能寫得多大—戰爭經費以分為單位來表示啦，天體間的距離用英寸*來表示啦，等等—只要在某個數字的後面接上一串零就是了。你可以一直這樣寫下去，直到手腕發酸為止。 這樣，儘管目前已的宇宙”中所有原子的數目已經很大，等於300,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000,000 000,000,000,000,000,000,000,000.000,000,000,000,000 但是，你還可以寫出比這更大的數目來。 上面這個數可以改寫得短一些，即成 3 × 107， 在這裡，10的右上角的小號數字74 表示應該寫出多少個翻。 換句話說，這個數字意味著3要用10乘上 4次。 但是在古代，人們並不知道這種簡單的“算術簡示法”。這種方法是距今不到兩千年的某個佚名的印度數學家發明的。 在這個偉大發明——這確實是一項偉大的發明，儘管我們一般意識不到這一點—一出現之前，人們對每個數位上的數字， 是用專門的符號反覆書寫一定次數的辦法來表示的。例如， 數字8732 在古埃及人寫來是這樣的： *本書中經常使用英制長度單位，如英里，英尺、英寸等，它們與公制的換算關係如下： L英里=1.609公里， 1英尺二30.48釐米， 1英寸=2.54釐米。 讀者們對這種單位要多加以注意，另外，英制單位的進位也較複雜 （如上英尺一12英小），因此也須加以注意。一-者 1）這是指目前用最大的望遠鏡所能探測到的那部分字能。 •2
而在凱撤（Julius Catsar）*的衙門裡，他的辦事員會把這個數字寫成 MMMMMIMMMDCCXXXII 這後一種表示法你一定比較熟悉，因為這種羅馬數字直到現在還有些用場——表示書籍的卷數或章數啦，各種表格的欄次啦，等等。不過，古代的計數很難得超過幾幹，因此，也就沒有發明比一千更高的數位表示符號。一個古羅馬人，無論他在數學上是何等訓練有素，如果讓他寫一下“一百萬”，他也一定會不知所措。他所能用的最好的辦法，只不過是接連不斷地寫上一千個M，這可要花費幾個鐘點的艱苦勞動啊圖 1）。 在古代人的心目中，那些很大的數目字，如天上星星的顆數、海里游魚的條數、岸邊砂了的粒數等等，都是“不計其數” MMMMMMMMM 螞擋腩M MMMMMMTAMMMMMM MMMMMMMMM 圖1 凱撤時代的一個古羅馬人試圖用羅馬數字來寫“一百萬”， 牆上掛的那塊板恐伯連“十方？寫不下 *凱撒（公元100-14年）是古羅馬統治者。—譯者就象“5”這個數字對原始部族來說也是“不計其數”，只能說戰“許多”一樣。 阿基米德（Archimedes），公元前三世紀大名鼎鼎的大科學察，曾經開動他那出色的大腦，想出了書寫巨大數字的方法。在他的論文《計砂法》中這樣寫著： 有人認為，無論是在敘拉古*，還是在整個西西里島， 或者在世界所有有人煙和無人跡之處；砂子的數目是無窮的。也有人認為，這個數目不是無突的，然而想要表達出比地球上磅粒數目還要大的數字是做不到的。很明顯，特有這種觀點的人會更加肯定地說，如果把地球想象成一個大砂堆，並在所有的海洋和洞穴裡裝滿砂子，一直裝到與最高的山峰相平，那麼，這樣堆起來的砂子的總數是無法表示出來的。但是，我要告訴大家，用我的方法， 不但能表示出佔地球那麼大地方的砂子的數目，甚至還能表示出佔據整個宇宙空間的砂子的總數。 阿基米德在這篇著名的論文中所提出的方法，同現代科學中表達大數目字的方法相類似。他從當時古希臘箅術中最大的數“萬”開始，然後引進一個新數“萬萬”（億）作為第二階單位，然後是“億億”（第三階單位）、“億億億”（第四階單位）， 等等。 寫個大數字，看來似乎不足掛齒，沒有必要專門用幾頁的篇幅來談論。但在阿基米德那個時代，能夠找到寫出大數字的辦法，確實是一項偉大的發現，使數學向前邁出了一大步。 為了計算填滿整個宇宙空間所的砂子總數，阿基米德首先得知道宇宙的大小。按照當時的天文學觀點，宇宙是一個嵌有星星的水晶球。阿基米德的同時代人，著名的天文學 *敘拉古是古代的城市國家，位於義大利西西里島東南椰。一一譯者家，薩摩斯*的魺里斯塔克斯 （Aristarchus）**求得從地球到天球面的距離為10,000,000, 000斯塔迪姆，即約為 1,000， 000,000英里”。 網基米德把天球和砂粒的大小相比，進行了一系列足以把小學生嚇出夢魘症來的運算，最後他得出結論說： 很明顯，在阿里斯塔克斯所確定的天球肉所能裝填的砂子粒數，不會超過一千萬個第八階單位”。 這裡要注意，阿基米德心目中的宇宙的半還要比現代科學家們所觀察到的小得多。十億英里，這只不過剛剛超過從太陽到土星的距離。以後我們將看到，在望遠鏡裡，宇宙的邊緣是在5,000,000,000,000,000,000,000英里的地方，‘要填滿這樣一個已被觀測到的宇宙，所需要的砂於數超過 1010粒（即1的後面有100個零）。 這個數字顯然比前面提到的宇宙間的原子總數3 X107 大多了，這是因為宇宙間並非塞滿了原子。實際上，在一立方米的空間內，平均才只有一個原子。 要想得到大數目字，並不一定要把整個宇宙倒滿砂子，或進行諸如此類的劇烈活動。事實上，在很多乍一看來似乎很簡單的問題中，也常會遇到極大的數字，儘管你原先決不會想到，其中會出現大於幾千的數宇。 *薩摩斯是希臘的一個島。—譯者 ** 阿里斯塔克斯是公元三世紀的希臘天文學家。一譯者 1）斯塔迪姆是古希臘的長度單位。1斯塔迪姆為606英尺6英寸，成188 米。 2）用我們既在的數學表示法，這個數字是： 一千萬第二階第三階第四粉 （10,000,000） × （100,000,000） × （100.000,000） ×（100,000,000）× 第五階第六階第七階第八階 （100,000,000） ×（100,000,000） × （100,000,Q00） × （100,000, 000） 也可以簡寫成 10”（即在1的後面有63個翠）。 •5•
有一個人曾經在大數目字上吃了虧，那就是印度的舍罕王（Shicham）。根據古老的傳說，舍罕王打算重賞象棋*的發明人和進貢者、宰相西薩 •班•達依爾（Sissa Ben Dahir）o這位聰明犬臣的胃口看來並不大，他跪在國王面前說：“陛下， 請您在這張棋盤的第一個小格內，賞給我一粒麥子；在第二個小格內給兩粒，第三格內給四粒，照這樣下去，每一小格內都比前一小格加一倍。陛下啊，把這樣擺滿棋盤上所有64格的麥粒，都賞給您的僕人罷！” “愛卿，你所求的並不多啊。”國王說道，心裡自己對這樣一件奇妙的發明所許下的慷慨賞諾不致破費太多而臘喜。”你當然會如願以償的。”說著，他令人把一袋麥子拿到寶座前。 計數麥粒的工作開始了。第一格內放一粒，第二格內放兩粒，第三格內放四粒，•••還沒到第二十格，袋子已經空了？ .' L 圖2 機敏的數學家門薩•班宰相正在向印度的舍罕王請求賞賜 *這裡的象棋指的是國際象棋。蔡個棋盤由 64個小方格組成的正方形。雙方的棋子（每力16個，包括王一枚，王后一枚、仕兩枚、馬兩枚、豐兩枚、卒八枚）在格內移動，以消滅對方的王為勝。棋盤的形狀可參見插： 圖2：—洋者 •。
1 一袋又一袋的麥子被扛到國王面前來。但是，麥粒數一格接一格地增長得那樣迅速，很快就可以看出，即便拿來全印度的糧食，國王也兌現不了他對西薩•班許下的諾言了，因為這需要有18,446,744,073,709,551,615 顆麥粒呀！ 這個數字不像宇宙間的原子總數那樣大，不過也已經夠可觀了。1蒲式爾*小麥約有5，000,000顆，照這個數，那就得給西薩•班拿來四萬億蒲式爾才行。這位宰相所要求的， 竟是全世界在兩千年內所生產的全部小麥！ 這麼一來，舍罕王發覺自己欠了宰相好大一筆債。要嘛是忍受西薩•班沒完沒了的討債，要嘛是乾脆砍掉他的腦袋。 據我猜想，國王大概選擇了後面這個辦法。 另一個由大數目字當主角的故事也出自印度，它是和“ 界末日”的問題有關的。偏愛數學的歷史學家鮑爾（Ball）是這樣講述這段故事的？； 在世界中心貝拿勒斯**的聖廟裡，安放著一個黃銅板，板上插著三根寶石針。每根針高約1腕尺（1腕尺大約合20英寸），象韭菜葉那祥粗細。梵天***在創造 1）這位聰明的宰相所要求的沒子粒數可寫為 1+2+2+2+2*+：+20+2。 在數學上，這類每一個數都是前一個數的固定倍數的數列叫做幾何級數 （在我們這個例子裡，這個倍數 2）。可以證明，這種級數所有各項之和， 等於固定倍數（在本例中為2）的項數次方冪（在本例中為64）減去第一項 （此例中為12所得剎的差除以固定倍數與1之差。這就是 264-1 =20-1， 直接寫出結果來就是 18,446,744,073,709,551,615。 2） 引自 W.W.K.Ball, Mathmatical Recreatons ond Essays（數學抬年7）. * 蒲式爾是歐美的容量單位（計算穀物專用）。1蒲式爾約合35.2升.— 譯者 **貝拿勒斯是佛教的聖地，位丁印度北部。—譯者 •**梵天是印度教的主神。—評者界的時候，在其中的一根針上從下到上放下了由大到小的六十四片金片。這就是所謂梵塔。不論白天黑夜，都有一個值班的僧假按照梵天不漁的法則，把這些金片在三根針上移來移去：一次只能移一片，並且要求不管在哪一根針上，小片永遠在大片的上面。當所有六十四片都從梵天創造世界時所放的那根針上移到另外一根針上時，世界就將在一聲霹靂中消滅，梵塔、廟宇和眾生都將同歸於盡。 圖3是技故事的情節所作的畫，只是金片少畫了一些。你不妨用紙板代表金片，拿長釘代替寶石針，自己搞這麼一個玩具。不難發現，按上述規則移動金片的規律是：不管把一片移到另一根針上，移動的次數總要比移動上面一片增加一倍。第一片只需一次，下一片就按幾何級數加倍。這樣，當把第六十四片也移走後，總的移動次數便和西薩•班•達依爾. 所要求的麥粒數一樣多了！！ 把這座梵塔全部六十四片金片都移到另一根針上，需要多長時間呢？一年有31，558,000秒。假如僧侶們每一秒鐘. 移動一次，日夜不停，節假日限常幹，也需要將近5800億年才能完成。 把這個純屬傳說的寓言和按現代科學得出的推測對比一下倒是有意思的。按照現代的宇宙進化論，恆星、太陽、行星 （包括地球）是在大約三十億年前由不定形物質形成的。我們還知道，給恆星，特別是給太陽提供能量的“原子燃料”還能維持100—150億年（見“創世的年代”一章）。因此，我們太陽 1） 如果只有七片，則需要移動的次數為 1+2+2+2+=2-1= 2×2×2×2×2×2×2-1= 12. 當金片為六十四片時，需要移動的次數則為 24-1 = 18,446.744,073,709,551,615. 這就和西薩•班，達依爾所要求的麥粒數格同了。 • 8 • •
- 圖3一個僅侶在大佛象前解決“世界末日™的問題。為了省事起見，這裡沒有爾出六十四片金片來系的整個壽命無疑要短於二百億年，而不象這個印度傳說中所宣揚的那樣長！不過，傳說畢竟只是傳說啊？ 在文學作品中所提及的最大數字，大概就是那個有名的 “印別行數問題”了。 假設有一臺印刷機器可以連續印出一行行文字，並且每一行都能自動換一個字母或其他印刷符號，從而變成與其他行不同的字母組合。這樣一架機器包括一組圓盤，盤與盤之間象汽車里程錶那樣裝配，盤緣刻有全部字母和符號。這樣， 每一片輪盤轉動一週，就會帶動下一個輪盤轉動一個符號。紙卷張透過滾筒自動送入盤下。這樣的機器製造起來沒有太大的困難，圖4是這種機器的示意圖。 現在，讓我們開動這架印刷機，並撿查印出的那些沒完沒了的東西吧。在印出的一行行字母組合當中，大多數根本沒有什麼意思，如： 49233322222• •9•
圖4一臺剛剛印出一行莎士比亞詩句的自動印刷機或者 boobooboobooboo… 或者 zawkporpkossscilm• 但是，既然這臺機器能印出所有可能的字母及符號的組合，我們就能從這堆玩藝中找出有點意思的句子。當然，其中又有許多是胡說八道，如： horse has six legs and••（馬有六條腿，並且⋯） 或者 I like apples cooked in terpentin••. （我喜歡吃松節油炒蘋果⋯.）。 不過，只要找下去，一定會發現莎士比亞（William Shakespare）*的每一行著作，甚至包括被他扔進廢紙簍裡去的句子！ 實際上，這臺機器會印出人類自從能夠寫字以來所寫出 * 莎士比亞（1564—1616年），文藝復興時代的著名英國劇作家及詩人。一— 譯者 •10•
的一切句子：每一句散文，每一行詩歌，每一篇社論，每一則廣告，每一卷厚厚的學術論文，每一封書信，每一份訂奶單⋯⋯ 不僅如此，這架機器還將印出今後各個遜紀所要印出的東西。從滾筒下的紙卷中，我們可以讀到三十世紀的詩章，未來的科學發現，2344年星際交通事故的統計，還有一篇篇尚術被作家們創作出來的長、短篇小說。出版商們只要搞出這麼一臺機器，把它安裝在地下室裡，然後從印出的紙卷裡尋找好句子來出版就是了——他們現在所於的不也差不多就是這. 樣嘛！ 為什麼人們沒有這樣幹呢？ 來，讓我們算算看，為了得到所有字母和印刷符號的組合，該印出多少行來。 英語中有二十六個字母、十個數碼（0，1,2.••9）、還有十四個常用符號（空白、句號、逗號、冒號、分號、問號、驚號、 破折號、連字元、引號、省字號、小括號、中括號、大括號），共五十個字元。再假設這臺機器有六十五個輪盤，以對應每一印刷行的平均字數。印出的每一行中，排頭的那個字元可以是五十個字元當中的任何一個，因此有五十種可能性。對這五十種可能性當中的每一種，第二個字元又有五十種可能性，因此共有50 ×50-2,500種。對於這前兩個字元的每一種可能性，第三個字元仍有五十種選擇。這樣下去，整行進行安排的可能性的總數等於 65個 50x 50 X 50X•••×50 或者50”，即等於101。 要想知道這個數字有多麼巨大，你可以設想字宙間的每個原子都變成一臺獨立的印刷機，這樣就有3×107部機器同時工作。再假定所有這些機器從地球誕生以來就一直在工 •11
作，即它們已經工作了三十億年或10"秒。你還可以假定這些機器都以原子振動的頻率進行工作，也就是說，一秒鐘可以印出10行。那麼，到目前為止，這些機器印出的總行數大約是 3 × 10% × 102 × 10： =3×1006， 這只不過是上述可能性總數的三千分之一左右而已。 看來，想要在這些自動印出的東西里面挑逃點什麼，那確實得花費非常非常長的時間了！ 2.怎樣計數無窮大的數字上一節我們談了一些數字，其中有不少是毫不含糊的大數。但是這些巨大的數字，例如西薩•班所要求的麥子粒數， 雖然大得難以令人置信，但畢竟還是有限的，也就是說，只要有足夠的時間；人們總能把它們從頭到尾寫出來。 然而，確實存在著一些無窮大的數，它們比我們所能寫出的無論多長的數都還要大。例如，“所有整數的個數”和“一條線上所有幾何點的個數”顯然都是無窮大的。關於這類數字， 除了說它們是無窮大之外，我們還能說什麼呢？難道我們能夠比較一下上面那兩個無窮大的數，看看哪個“更大些”嗎？ “所有整數的個數和一條線上所有幾何點的個數，究竟哪個大些？”—這個問題有意義嗎？乍一看，提這個問題可真是頭腦發昏，但是，著名數學家康托爾（Georg Cantor）首先思考了這個問題。因此，他確實可被稱為“無窮大數算術”的奠基人o 當我們要比較幾個無窮大的數的大小時，就會面臨這樣一個問題：這些數既不能讀出來，也無法寫出來，該怎樣比較呢？這下子，我們自已可有點象一個想要弄清自己的財物中， 究竟是玻璃珠子多，還是銅幣多的原始部埃人了。你大概還記得，那些人只能數到三。難道他會因為數不清大數而放 •12 ‘.
‘. 棄比較珠子和銅幣數目的打算？根本不會如此。如果他足夠聰明，他一定會透過把珠子和銅幣逐個相比的辦法來得出答案。他可以把一粒珠子和一枚銅幣放在一起，另一粒珠子和另一枚銅幣放在一起，並且一直這樣做下去。如果珠子用光了，而還剩下些銅幣，他就知道，銅幣多於珠子：如果銅幣先用光了，珠子卻還有多餘，他就明白，珠子多於銅幣；如果兩者同時用光，他就曉得，珠子和銅幣數目相等。 康托爾所提出的比較兩個無窮大數的方法正好與此相同：我們可以給兩組無窮大數列中的各個數一一配對。如果最後這兩組都一個不剩，這兩組無窮大就是相等的；如果有一組還有些沒有配出去，這一組就比另一組大些，或者說強些。 這顯然是合理的、並且實際上也是唯一可行的比較兩個無窮大數的方法。但是，當你把這個方法付諸實用時，你還得準備再吃一驚。舉例來說，所有偶數和所有奇數這兩個無窮大水： 圖5 原始部族人和康托爾教授都在比較他們數不出來的數目的大小 •13
數列，你當然會直覺地感到它們的數目相等。應用上述法則， 也完全符合，因為這兩組數間可建立如下的一一對應關係： 135791113 15 I719等 1141111 24681012 14 16 1820等在這個表中，每一個偶數都與一個奇數相對應。看，這確實再簡單，再自然不過了！ 但是，且慢。你再想一想：所有整數（奇偶數都在內）的數目和單單偶數的數目，哪個大呢？當然，你會說前者大一些， 因為所有的整數不但包含了所有的偶數，還要加上所有的奇數啊。但這不過是你的印象而已。只有應用上述比較兩個天窮大數的法則，才能得出正確的結果。如果你應用了這個法則，你就會吃驚地發現，你的印象是錯誤的。事實上，下面就是所有整數和偶數的一一對應表： 12345678等 J 1111 246810121416等：按照上述比較無窮大數的規則，我們得承認，偶數的數目正好和所有整數的數目一樣大。當然，這個結論看來是十分荒謬的，因為偶數只是所有整數的一部分。但是不要忘了，我們是在與無窮大數打交道，因而就必須做好遇到異常的性質的思想準備。 在無窮大的世界裡，部分可能等於全部！關於這一點，著名德國數學家希爾伯特 （David Hilbert）有一則故事說明的再好不過了。據說在他的一篇討論無窮大的演講中，他曾用下面的話來敘述無窮大的似非而是的性質”： 1）這段文字從未印行過，甚至希爾伯特本人也米寫成文字，但是廣泛流傳著。本書引 R. Courant,The Com plcse Collecson of Hilber: Stonis.. +：14
-' 我們設想有一家旅店，內設有限個房間，而所有的房間都已客滿。這時來了位新客，想訂個房間。“對不起，” 旅店主說，“所有的房間部住滿了。”現在再設想另一家旅店，內設無限個房間，所有房間也都客滿了。這時也有一位新客來臨，想訂個房間。 “不成問題！”旅店主說。接著，他就把一號房間裡的旅客移至二號房間，二號房間的旅客移到三號房間，三號房間的旅客移到四號房間，等等，這一來，新客就住進了已被騰空的一號房間。 我們再設想一座有無限個房間的旅店，各個房間也都住滿了。這時，又來了無窮多位要求訂房間的客人。 “好的，先生們，請等一會兒。”旅店主說。 他把一號房間的旅客移到二號房間，二號房間的旅客移到四號房間，三號房間的旅客移到六號房間，等等， 等等。 現在，所有的單號房間都騰出來了。新來的無窮多位客人可以住進去了。 由於希爾伯特講這段故事時正值世界大戰期間，所以，即使在華盛頓，這段話也不容易被人們所理解*。但這個例子卻確實舉到了點子上，它使我們明白了：無窮大數的性質與我們在普通算術中所遇到的一般數字大不一樣。 按照比較兩個無窮大數的康托爾法則，我們還能證明，所有的普通分數（如號，32淨） 的數目和所有的數數相同。 把所有的分數按照下述規則排列起來：先寫下分子與分母之 •作者這句話說得比較含蓄，意思大概是說：本來這些概念就不好懂，再加上希爾伯特的國籍是德國—關國在世界火戰中的敵國，因此，這段話當時就更不易為美國人所接愛了。一～譯者 •‡5
和為2的分數，這樣的分數只有一個，即一：然後寫下兩者之和為3的分數，即會和令；再讓下是兩者之和為介的，即子， 一。這樣做下去，我們可以得到一個無窮的分數數列，它包括了所有的分數（圖5）。現在，在這個數列旁邊寫上整數數列，就得到了無窮分數與無窮整數的一一對應。可見，它們的數目又是相等的！ 你可能會說：“是啊，這一切都很妙，不過，這是不是就意味著，所有的無窮大數都是相等的呢？如果是這樣，那還有什麼可比的呢？” 不，事情並不是這樣。人們可以很容易地找出比所有整數或所有分數所構成的無窮大數還要大的無窮大數來。 如果研究一下前面出現過的那個比較一條線段上的點數和整數的個數的多少的問題，我們就會發現，這兩個數目是不一樣大的。線段上的點數要比整數的個數多得多。為了證明這一點，我們先來建立一段線段（比如說1寸長）和整數數列的一一對應關係。 這條線段上的每一點都可用這一點到這條線的一端的距離來表示，而這個距離可以寫成無窮小數的形式，如 0.7350624780056 或者 0.38250375632.. 現在我們所要做的，就是比較一下所有整數的數目和所有可能存在的無窮小數的數目。那麼，上面寫出的無窮小數和小* 1）我們已經最定線聚長1寸，因此這些小數都小於1。 •16•
277 一這類分數有什麼不同呢？ 大家一定還記得在算術課上學過的這樣一條規則：每一個普通分數都可以化成無窮請環小數。如 2=0.6666⋯⋯ 3 =0:66， -0.428571 428571 428571-m0.42857io 我們已經證明過，所有分數的數目和所有整數的數目相等，所以，所有迴圈小數的數目必定與所有醯數的數目相等。但是， 一條線段上的點可不能完全由譜環小數表示出來，絕大多數的點是由不迴圈的小數表示的。因此就很容易證明，在這種情況下，一一對應關係是無法建立的。 假定有人聲稱他已經建立了這種對應關係，並且，對應關係具有如下形式： N 2 3 4 5 6 8 0.38602563078⋯⋯⋯⋯ 0.573507620 5 0 099356753 297⋯•⋯ 0.25763 2 00456• 0.0 0 05 3 20562••• 0.99035638567⋯⋯⋯ 05552273056 7 0.05277365642： ......•••.. 當然，由於不可能把無窮多個整數和無窮多個小數一個不漏地寫光，因此，上述聲稱只不過意味著此人發現了某種普遍規律（類似於我們用來排列分數的規律），在這種規律的指導下，他制定了上表，而且任何一個小數或遲或早都會在這張 • 17
表上出現。 不過，我們很容易證明，任何一個這類的聲稱都是站不住腳的，因為我們一定還能寫出沒有包括在這張無窮表格之中的無窮多個小數。怎麼寫呢？再簡單不過了。讓這個小數的第一小數位（十分位）不同於表中第一號小數的第一小數位， 第二小數位（百分位）不同於表中第二號小數的第二小數位， 等等。這個數可能就是這個樣子（還可能是別的樣子）： 非3非7非3非6非5非6非3非5等等 0 5 2 ¥ 4 0 7 1 2 這個數無論如何在上表中是找不到的。如果此表的作者對你說，你的這個數在他那個表上排在第一百三十七號（或其他任何一號），你就可以立即回答說：“不，我這個數不是你那個數，因為這個數的第一百三十七小數位和你那個數的第一百三十七小數位不同。” 這麼一來，線上的點和整數之間的一一對應就建立不起來了。也就是說，線上的點數所構成的無窮大數大於（或強於）所有整數或分數所構成的無窮大數。 剛才所討論的線段是“1寸長”。不過很容易證明，按照 “無窮大數算術”的規則，不管多長的線段都是一樣。事實上， 1寸長的線段也好，1尺長的線段也好，1里長的線段也好，上面的，點數都是相同的。只要看看圖6即可明瞭，4B和AC為不同長度的兩條線段，現在要比較它們的點數。過AB的每一個點作BC的平行線，都會與AC相交，這樣就形成了一組點。 如D與 '，E與E，F與等。對AB上的任意一點，AC上都有一個點和它相對應，反之亦然。這樣，就建立了一一對應的關係。可見，按照我們的規則，這兩個無窮大數是相等的。 透過這種對無窮大數的分析，還能得到一個更加令人驚 $183
.91！ 10$ 1G 堅5 圖7 異的結論：平面上所有的點教和線段上所有的點數相等。為了證明這一點，我們來考慮一條長1寸的線段AB 上的點數和邊長1寸的正方形CDBF 上的點數（圖。 假定線段上某點的位置是0.75120386••⋯。我們可以把這個數按奇分位和偶分位分開，組成兩個不同的小數： 0.7108•• 和 0•5236⋯⋯• 以這兩個數分別量度正方形的水平方向和垂直方向，得出一個點，這個點就馴做原來線段上那個點的“對偶點”。反過來， 對於正方形內的任意一點，比如說由0.4835，•••••，0.9907 …••••這兩個數描述的點，我們把這兩個數摻到一起，就得到了線段上的相應的“對偶點”0.49893057 • •。 很清楚，這種做法可以建立那兩組點的一一對應關係。線啟上的每一個點在平面上都有一個對應的點，平面上的每一個點線上段上也有一個對應點，沒有剩下來的點。因此，按照康托爾的標準，正方形內所有點數所構成的無窮大數與線股上點數的無窮大數相等。 用同樣的方法，我們也容易證明，立方體內所有的點數和正方形或線段上的所有點數相等，只要把代表線段上一個點 • 19
的無窮小數分作三部分”，並用這三個新小數在立方體內找 “對偶點”就行了。和兩條不同長度線段的情況一樣，正方形和立方體內點數的多少與它們的大小無關. 儘管幾何點的個數要比整數和分數的數目大，但數學家們還知道比它更大的數。事實上，人們已經發現，各種曲線， 起插任何一種奇形怪狀的樣式在內，它們的樣式的數目比所有幾何點的數目還要大。因此，應該把它看作是第三績無究數列。 接照“無窮算術”的奠基者康托爾的意見，無窮大數是用希伯來字母N（讀作阿菜夫）表示的，在字母的右下角，再用一個小號數字表示這個無窮大數的級別。這樣一來，數目字（包括無窮大數）的數列就成為 1,2,3,4,5,NAN• 我們說“一條線段上有8，個點”或“曲線的樣式有成，種”，就和我們平常說“世界有七大洲”或“付撲克牌有五十四張”一樣。 在結束關於無窮大數的討論時，我們要指出，無窮大數的級只要有兒個，就足夠把人們所能想象出的任何無窮大數都包括進去了。大家知道，比，表示所有整數的數日，《表示所有幾何點的數目，；表示所有曲線的數目，但到目前為止，還沒有人想得出一種能用的來表示的無窮大數來。看來，頭三級無窮大數就足以包括我們所能想到的一切無窮大數了。因此，我們現在的處說，正好跟我們前面的原始部族人相反：他 1）例如，我們可把數字 0.735106822548312…… 分成下列三個新的小數： 0.71853⋯⋯ 0.30241-⋯ 0.56282⋯ • 20•
有許多個兒子，可刮數不過三；我們什麼都數得清，卻又沒有那麼多東西讓我們來數！ 55 所有整數私分就的救日線面.體上所有w啊點的栽豸所有r何曲找的就可 Xz 圖8無窮大數的頭三級 • 21+