1. 時間是第四維關於第四維的概念經常被認為是很神秘、很值得懷疑的。 我們這些只有寬度，厚度和高度的生物，怎麼競敢奢談什麼四維空間呢？從我們三維的頭腦裡能想象出四維的情景嗎？一個四維的正方體或四維的球體該是什麼樣子呢？當我們說的兄“想象”-頭鼻裡噴火、尾上披鱗的巨龍、或一架翼上設有游泳池和兩個網球場的超級客機時，實際上只不過是在頭腦裡：繪這些東西果真突然出現在我們面前時的樣子。我們描繪這種圖象的背景，仍然是大家所熟悉的、包括•切普通物含——連同我們本身在內-一的三維空間。如果說這就是 “想緣”這個詞的含義，那我們就您象不了出現在三維空間背景上的四維物體是什麼樣子了，正如固我們不可能將一個三維物體壓進一個平面那樣，不過H慢，我們確實可以在平面上畫出三維物體來，因而在某種意義，可以說是將一個三維物體壓進了平面。然而，這種壓法可不是用水壓機或諸如此類的物理力來實現，而是川“兒何投影”的方法進行的：用這兩種方法將物體（以馬為例）壓遊平正的差別，可以立即從圖24 上看出來； H類比的方法，現在我們可以說，盡符不能把-個四維物體完完全全“壓進”三維空間，但我們能夠討論各種四維物體在三維空”1中的“投影”.不這要記住，四維物體在三維空間中的投影是立體圖形，如間二維物體在平面上的投影是二維 •58• •
圖24 把一個二維物體“壓”進二維平面的兩種方法。左圖是錯誤的，右圖是正確的圖形一樣。 為了更好地理解這個問題，讓我們先考慮一下，生活在平面上的二維扁片人是如何領悟三維立方體的概念的。不難想象，作為三維空間的生物，我們有一個優越之處，即可以從二維空間的上方、即第三個方向上來觀察平面上的世界。將立方體“壓”進平面的唯一的方法，是用圖25所示的方法將它“投影”到平面上。旋轉這個立方體，可以得到各式各樣的投影。觀察這些投影，我們那些二維的扁片朋友就多少能對這個叫做“三維立方體”的神秘圖形的性質形成某些概念。他們不能“跳出”他們那個面象我們這樣看這個立方體。不過僅僅是觀看投影，他們也能說出這個東西有八個頂點、十二條邊等等。現在請看圖26，你將發現，你和那些只能從平面上捉摸立方體投影的扁片人一樣處於困難的境地了。事實上，圖中那一家人如此驚愕地研究著的那個古怪複雜的玩藝兒，正是一個四維超正方體在我們這個普通三維空間中的投影”。 1）更確切地說，圖26所示的是四維超正方體的三維投影在紙面上的投影。 • $9
座25 二維扁片人正諒許地觀察著三維立方體在他們這個世界上的投影圖26 四維空閱的來客！這是一個四維超正方體的正投影仔細端詳這個形體，你很容易發現，它與圖25中令扁片人驚訝不止的圖形具有相同的特徵：普通立方體在平面上的投影是兩個正方形，一個套在另一個裡面，並且頂點和頂點相連；超正方體在一般空間中的投影則由兩個立方體構成，一個套在另一個裡面，頂點也相連。數一數就知道，這個超正方體 • 60
共有16個頂點、32條稜和24個面。好一個正方體呀，是吧？ 讓我們再來看看四維球體該是什麼樣的。為此，我們最好還是先看一個較為熟悉的例子，即一個普通圓球在平面上的投影。不妨設想將一個標出陸地和海洋的透明球投射到一堵白牆上（圖27）。在這個投影上，兩個半球當然重疊在一起，而且，從投影上看，美國的紐約和中國的北京離得很近。 但這只是個表面印象。實際上，投影上的每一個點都代表球上兩個相對的點，而一架從紐約飛到北京的飛機，其投影則先移動到球體投影的邊緣，然後再一直退回來。儘管從圖上看來， 兩架飛機的航線相重合，但如果它們“確實”分別在兩個半球上飛行，那是不會相撞的。 圖27 圓球的平面投影這就是普通球體平面投影的性質。再發揮一下想象力， 我們就不難判斷出四維超球體的三維投影的形狀。正如普通圓球的平面投影是兩個相疊（點對點）、只在外面的圓周上連線的圓盤一樣，超球體的三維投影一定是兩個互相貫穿並且. 外表面相連線的球體。這種特殊結構，我們早在上一章討論過了，不過那時是作為與封閉球面相類似的三維封閉空間的例子提出的。因此，這裡只需再補充一句：四維球體的三維投影就是上一節講到的兩個沿整個外表皮長在一起的蘋果。 •6．
同樣地，用這種類比的方法，我們能夠解答許多有關四維形體其他性的問題。不過，無論如何，我們也決不能夠在我們這個物理空問內“想象”出第四個獨立的方向來。 但是，只要再多思考一下，你就會意識到，把第四個方向看得太神秘是毫無必要的。事實上，有一個我們幾乎每天幫婆用的字眼，可以用來表示、並且也的確就是物理世界的第四個獨立的方向，這個字眼就是“時間”。時間經常和空間一起被用來描繪我們周圍發生的事件。當我們說到宇宙間發生的任何事情時，無論是說在街上與老朋友邂逅，還是說遙遠星體的爆炸，一般都不只說出它發生在何處，還要說出發生在何時。因此，除表示空間位置的三個方向要素之外，又增添了一個要素一——時間。 再進一步考慮考慮，你還會很容易地意識到，所有的實際物體都是四維的：三維屬於空間，一維屬子時間。你所住的房屋就是在長度上、寬度上、高度上和時間上伸展的。時間的伸展從蓋房時算起，到它最後被燒燬，或被某個拆遷公司扒掉，或因年久而坍塌為止。 不錯，時間這個方向要素與其他三維很不相同。時間間隔是用鐘錶量度的：嘀嗒聲表示秒，哨檔聲表示小時；而空間間隔則是用尺子量度的。再說，你能用一把尺子來量度長、 寬、高，卻不能把這把尺變成一座鐘來量度時間；還有，在空間裡你能向前、向後、向上走，然後再返回來：而在時間上卻只能從過去到將來，是退不回來的。不過，即使有上述區別，我們仍然可以將時間作為物理世界的第四個方向要素，不過，要注意別忘記它與空間不大一樣。 在選擇時間作為第四維時，採用本章開頭所提到的描繪四維形體的方法較為便當。還記得四維形體，比如那個超正方體的投影是多麼古保吧？它居然有16個頂點、32條梭和 •62、
L 24個面！難聖圖26上的那些人會那麼瞠目結舌地瞪著這個幾何聖物了。 不過，從這個新觀點出發，一個四維正方體就只是一個存在了一段時間的普通立方體。如果你在5月1日用12根鐵絲做成一個立方體，一個月後把它拆掉。那麼，這個立方體的每個頂點都應看做沿時間方向有一個月那麼長的一條線。你可以在每個項點上掛一本小日曆，每天翻過一頁以表示時間的程序。 28 現在要數出四維形體的稜數就容易了。在它開始存在時有12條空間樓，結束時還有這樣12條”，另外又有描述各個頂點存在吋間的8條“時間樓”。用同樣方法可以數出它有16 個頂點：5月1日有8個空間頂點，6月1日也有8個。用同樣方法還能數出面的數目，請讀者自已練習數一數。不過 1）如果你不明白這一點，你可以設想有一個正方彩，它有四個頂點和四條邊。把官沿與四條這垂直的方向（第三個方向）移動一段等於邊長的離，就又多出四條邊了。 • 63
要記住，其中有一些面是這個普通立方體的普通正方形面，而其他的面則是由於原立方體的稜由5月1日伸展到6月1日而形成的“半空間半時間”面。 這裡所講的有關四維立方體的原則，當然可以應用到任何其他幾何體或物體上去，無論它們是活的還是死的。 具體地說，你可以把你自己想象成一個四維空間體。這很象一根長長的橡膠棒，由你出生之日延續到你生命結束之時。遺憾的是，在紙上無法畫出四維的物體來，所以，我們在圖 29上用一個二維扁片人為例來表現這種想法。這裡，我們所取的時間方向是和扁片人所居住的二維平面垂直的。這幅圖只表示出這個扁片人整個生命中一個很短暫的部分，至於整個過程則要用一根長得多的橡膠棒來表示：以嬰兒開始的那一端很細，在很多年裡一直變動著，直到死時才有固定不變的形狀（因為死人是不動的），然後開始分解。 間囧 29 如果想要更準確些，我們應該說，這個四維棒是由為數眾多的一束纖維組成的，每一根是一個單獨的原子。在生命過程中，大多數纖維聚在一起成為一群，只有少數在理髮剪指甲時離去。因為原子是不滅的，人死後，屍體的分解也應考慮為各 •64
纖維絲向各個方向飛去（構成骨骼的原子纖維除外）： 在四維時空幾何學的詞彙中，這樣一報表示每一個單獨物質微粒歷史的線叫做“時空線”。同樣，組成一個物體的一來時空線叫做“時空束”。 圖30是一個表示太陽、地球和彗星的時空線”的天文學例子。如同前面所舉的例子一樣，我們讓時間軸與二維平面（地球軌道平面）垂直。太陽的時空線在圖中用與時間軸平行的直線表示，因為我們認為太陽是不動的”。地球繞太陽運動的軌道近似於圓形，它的時空線是一條圍繞著太陽時空線的螺旋線。彗星的時空線先靠近太陽的時空線，然後又遠離而去。 我們看到，從四維時空幾何學的角度著眼，字宙的歷史和閻太陽」 吲笑間 1946.1.1中午圖 30 1）這裡原來應說“時空束”軟汐給當。不過從天文學角度來看，恆墨和行是都可看做點 2）實際上，太陽對恆星來說是運動的。因此，如果選用星座作為標準，太陽的時空線將向一個方問傾斜。 • 65•
拓撲圖形融洽地結合成一體；要研究單個原子，動物或恆星的運動，都只需考慮一束糾結的時空線就行了。 2.時空當量要把時間看作和空間的三維多少有些等效的第四維，會碰到一個相當困難的問題。在量度長，寬、高時，我們可以統統. 用同一個單位，如1英寸、1英尺等。但時間既不能用英寸， 也不能用英尺來量度，這時必須使用完全不同的單位，如分等： 或小時。那麼，它們怎樣比較呢？如果面臨一個四維正方體， 它的三個空間尺寸都是1英尺，那麼，應該取多長的時間間隔，才能使四個維相等呢？是1秒，還是1小時，還是一個月？ 1小時比1英尺長還是短？ 乍一看，這個問題似乎毫無意義。不過，深人想一下，你就會找到一個比較長度和時間問隔的合理辦法。你常呀人家說，某人的住處“搭汽車只消二十分鐘”、某某地方“乘火車五小時便可到達”。這裡，我們把距離表示成某種交通工具走過這段距離所需要的時間。 因此，如果大家同意採用某種標準速度，就能用長度單位來表示時間間隔，反之亦然。很清楚，我們選用來作為時空的基本變換因子的標準速度，必須具備不受人類主觀意志和客觀物理環境的影響、在各種情況下都保持不變這樣一個基本的和普遍的本質。物理學中已知的唯一能滿足這種要求的速度是光在真空中的傳播速度。儘管人們通常把這種速度叫做 “光速”，但不如說“物質作用的傳播速度”更恰當些，因為任何物體之間的作用力，無淪是電的吸引力還是重力，在真空中傳播的速度都是相同的。除此之外，我們以後還會看到，光速是一切物質所能具有的速度的上限，沒有什麼物體能以大於光速的速度在空間運動。 • 6⑤ +
｛ 第一次測定光速的嘗試是著名的義大利物理學家伽利略 •（Galileo Galilei）在十七世紀進行的。他和他的手在一個黑沉沉的夜晚到了佛羅倫薩*郊外的原野，隨身帶著兩盞有遮光板的燈，彼此離開幾英里站定。伽利略在某個時刻開啟遮光板， 讓一來光向助手的方向射去（圖31A）。助手已得到指示，一見到從伽利略那裡射來的光，就馬上開啟自己那塊遮光板。既然光線從伽利略那裡到達助手，再從助手那裡折回來都需要一定時間，那麼，從你利略開啟進光板時起，到看到助手發回的光線，也應有一個時間間隔。實際上，他也確笑觀察到一個小間隔，但是，當伽利略讓助手站到遠一倍的地方再做這個實驗時，間隔卻沒有增大。顯然，光線走得太快了，走幾英里路簡直用不了多少時間。至於觀察到的那個間隔，事實上是由於伽利略的助手不能在見到光線時立即開啟遮光板造成的—-這在今天稱為反應遲誤。 儘管伽利略的這項實驗沒有導致任何有意義的成果，但他的另一發現，即木星有衛星，卻為後來首次真正測定光速的實驗提供了基礎。1675年，丹麥天文學家雷默（Olaus Roemer） 在觀察木星衛星的蝕時，注意到木屋衛星消失在術星陰影裡的時間間隔逐次有所不同，它隨木星和地球之間的距離在各次衛星蝕時的不同而變長或變短。雷默當即意識到（你在研究圖31B以後也會看出），這種效應不是由於木星的衛星運動得不規則，而是由於當木星和地球距離不同時，所看到的衛星蝕在路上傳播所需要的時間不同。從他的觀測得出，光速大約為每秒鐘十八萬五千英里。難當初伽利略用他那套裝置則不出來了，因為光線從他的燈傳到助手那裡再回來，只需要十萬分之幾秒的時間啊！ *義大利城市名。一一譯者 •67
地球 （一月） 地 （上月木互 （k月） 圖31 不過，用伽利略這套粗糙的遮光燈所做不到的，後來用更精密的物理儀器做到了。在圖31C上，我們看到的是法國物理學家斐索（Fizeau）首先採用的短距離測定光速的裝置。它的主要部件是安在同一根軸上的兩個齒輪，兩個齒輪的安裝正好使我們在沿軸的方向從一頭看去時，第一個齒輪的齒對 • 68
冬著第二個齒輪的齒縫。這樣，一束很細的光沿平行於軸的方向射出時，無論這套齒輪處在那個位置上，都不能穿過這套齒輪。現在讓這套齒輪系統以高速轉動。從第一個齒輪的繼射人的光線，總是需要一些時間才能達到第二個齒輪。如果在這段時間內，這套齒輪系統恰好轉過半個齒，那麼，這束光線就能透過第二個齒輪了。這種情況與汽車以適當速度沿裝有定時紅綠燈系統的街道行駛的情況很類似。如果這套齒輪的轉速提高一倍，那麼，光線在到達第二個齒輪時，正好射到轉來的齒上，光線就又被擋住了。但轉速再提高時，這個齒又將在北束到達之前轉過去，相鄰的齒縫恰好在這適當的時刻轉來讓光線射過去。因此，注意光線出現和消失（或從消失到出現） 所相應的轉速，就能算出光線在兩齒輪間傳播的速度。為減低所需的轉速，可讓光在兩齒輪間多走些路程，這可以借勘圖 31C所示的幾面鏡子來實現。在這個實驗中，當齒輪的轉速達到每秒一千轉時，斐索從靠近自己的那個齒輪的齒縫間看到了光線。這說明在這種轉速下，光線從這個齒輪到達另一個齒輪時，齒輪的每個齒剛好轉過了半個齒距。因為每個齒輪上有五十個完全一樣的齒，所以齒距的一半正好是圓周的 1/100，這樣，光線走過這段距離的時間也就是齒輪轉一圈所用時間的1/100。再把光線在兩齒間走的路程也考慮進來進行計算，斐索得到了光速為每秒300,000公里或186,000英里這個結果，它和雷默考查木星的衛星所得到的結果差不多。 接著，人們又用各種天文學方法和物理學方法，繼兩位先驅之後做了一系列獨立的測量。目前，光在真空中的速度（常用字母：表示）的最令人滿意的數值是 -299,776公里/秒或一186,300英里/秒。 在量度天文學上的距離時，數字一般都是非常大的，如果 • 69
用英里或公里表示，可能要寫滿一頁紙，這時，用速度極高的光速作為標準就很便當了。因此，天文學象說某顆星離我們5 “光年”遠，就象我們說某地乘火車需要5小時⋯樣。由於1 年合 31，558，000秒，1北年就等於31,558,000 ×299,776 9.460,000,000,000公里或5,879.000,000,000英里。採用“光年” 這個詞表示距離，實際上已把時間看作一種尺度，並用時間單位來量度空間了。同樣，我們也可以把這種表示法反過來，得到“光英里”這個名稱，意思是指光線走過1英里路程所需的時間，把上述數值代人，得出1光英里等於0.0000054秒。同樣， 1“光英尺”等於0.0000000011秒。這就回答了我們在上一節中提出的那個四維正方體的問題。如果這個正方體的三個空間盡度都是1英尺，那麼時間間隔就應該是0.0000000011秒。如果一個邊長1英尺的正方體存在了一個月的時間，那就應把它看作一根在時間方向上比其他方向長得非常多的四維棒了。 3. 四維空間的距離在解決了空間軸和時間軸上的單位如何進行比較的問題之後，我們現在可以問：在四維時空世界中兩點間的距離應該如何理解？要記住，現在每一個點都是空間和時間的結合， 它對應於通常所說的“一個事件”。為了弄清這一點，讓我們看看下面的兩個事件。 事件1：1943年7月28日上午9點21分，紐約市五馬路和第五十街交叉處一層樓的一家銀行被劫： 事件I：同一天上午9點36分，一架軍用飛機在霧中撞在紐約第三十四街和五、六馬路之間的帝國大廈第七十九層樓的墻上（圖32）。 這兩個事件，在空間上南北相隔十六條街，東西相隔半條街，上下根隔七十八層樓；在時間上相隔十五分鐘。很明顯> 寺
28 *月五為路爭北十九座路很緒鴻路升圖 32 表達這兩個事件的空間間隔不一定要注意街道的號數和樓的層數，因為我們可用大家熟知的畢達哥拉斯定理，把兩個空間點的座標距離的平方和開方，變成一個直接的距離（圖32右下角）。為此，必須先把各個資料化成相同的單位，比如說用英尺表達出來。如果相鄰兩街南北相距200英尺，東西相距 800英尺，每層樓平均高12英尺，這樣，三個座標距離是南北 3200英尺，東西400英尺，上下936英尺。用畢達哥拉斯定理可得出兩個出事地點之間的直接距離為
V3209+ 4002+9362 v 11,280,000== 3,360英尺。 如果把時間當作第四個座標的概念碗實有實際意義，我們就能把空間距離3360 英尺和時間脂離15分鐘結合起來， 得出一個表示兩事件的四維距高的數米， 按照愛因斯坦 （Albert Einstein）原來的想法，四維空間的距高，實際上只要把畢達哥拉斯定理進行簡單推廣傾可得到，這個距離在各個事件的物理關係中所起的作用，比單獨的空問距離和時間間隔所起的作用更為基本。 要把空間和時間結合起來，當然要把各個資料用同一種單位表達出來，正如街道間隔和樓可高度都用英尺表示一樣。 前面我們已經看到，只要用光速作為變換因子，這一點就很容易辦到了。這樣，15 分鐘的時間間隔就變成800,000,000,000 “光英尺”。如果對畢達哥拉斯定理作簡單的推廣，即定義四維距離是四個座標距離（三個空間的和一個時間的）的平方和的平方根，我們實際上就取消了空問和時間的一切區別，承認了空間和時間可以互相轉換。 然而，任何人——包括了不起的愛因斯坦在內——也不能把一根尺子用布遮上，揮動一下魔棒，再念念“時間來，空間去，變”的咒語，就變出一隻亮閃閃的新牌子鬧鐘來！（圖33） 因此，我們在使用畢達哥拉斯公式將時空結合成一體時， 應該採用某種不尋常的辦法，以便保留它們的某些本質區別。 按照愛因斯坦的看法，在推廣的畢達哥拉斯定理的數學表式中，空間距離與時間間隔的物理區別可以用時間座標的平方項前的負號來加以強調。這樣，兩個事件的四維距離可以表示為三個空間座標的平方和減去時間座標的平方，然後開平方。當然，首先得將時間座標化成空間單位。 因此，銀行搶劫案和飛機失事案之間的四維距離應該這樣計算： •72、 *
圖33 愛因斯坦教授從來就不會來這一手，但他所做的比這還要強得多 32002 + 4002+9362- 800,000,000,0003。 第四項與前三項相比是非常大的，這是因為這個例子取自“日常生活”，而用日常生活的標準來衡量時，時間的合理單位真是太小了。如果我們所考慮的不是紐約市內發生的兩個事件，而用一個發生在字宙中的事件作為例子，就能得到大小相當的數字了，例如，第一個事件是1946年7月1日上午9 點整在比基尼島*上有一顆原子彈爆炸，第二個事件是在同一天上午9點10分有一塊隕石落到火星表面；這樣，時間間隔為540,000,000,000光英尺，而空間距離為650,000,000,000 英尺，兩者大小相當。 在這個例子中，兩個事件的四維距離是： 1（65 × 10:0） 一（54 ×10:0）2英尺=36×101英尺，在數值上與純空間距離和純時間間隔都很不相同了。 *比基尼島是太平洋西部的一個珊瑚島。—一譯者 • 73
當然，大概有人會反對這種似乎不太合理的幾何學。為什麼對其中的一個座標不象對其他三個那樣一視同仁呢？幹萬不要忘記，任何人為的描繪物理世界的數學系統都必須符合實際情況；如果空間和時間在它們的四維結合裡的表現確實有所不同，那麼，四維幾何學的定律當然也要按它們的本來面目去塑造。而且，還有一個簡單的辦法，可以使愛因斯坦的時空幾何公式看來跟學校裡所教的古老的歐幾里得幾何公式一樣美好。這個方子是德國數學家閔科夫斯基 （Hermann Minkovskij） 提出的，做法是將第四個座標看作純虛數。你大概還記得在本書第二章講述，一個普通的數字乘以v一1 就成了一個虛數；我們還講過，應用虛數來解幾何問題是很方便的。於是，根據閔科夫斯基的提法，時間這第四個座標不但要用空間單位表示，並且還要乘以V一1。這樣，原來那個例子中的四個座標就成了： 第一座標： 3200 英尺， 第二座標：400英尺， 第三座標：936 英尺， 第四座標：8×10"光英尺。 現在，我們可以定義四維距離是所有四個座標距離的平方和的平方根了，因為虛數的平方總是負數，所以，採用閔科夫斯基座標的普通畢達哥拉斯表式在數學上是和採用愛因斯坦座標時似乎不太合理的表式等價的。 有一個故事，說的是一個患關節炎的老入，他問自己的鍵康朋友是怎樣避免這種病的。 回答是：“我這一輩子每天早上都來個冷水浴。” “噢”前者喊道，“那你是改患了冷水浴病囉！” 如果你不喜歡前面那個似乎患了關節炎的畢達哥拉斯定理，那麼，你不妨把它改成虛時間座標這種冷水浴病。 由於在時空世界裡第四個座標是虛數，就必然會出現兩種在物理上有所不同的四維距離。 •74•
在上面那個紐約事件的例子中，兩個事件之間的空間距離比時間間隔小（用同樣的單位），畢達哥拉斯定理中根號內的數是負的，因此，我們所得到的是虛的四維距離；在後一個例子中，時間間隔比空間距離小，這樣，根號內得到的是正數， 這自然意味著兩個事件之間存在著實的四維距離。 如上所述，既然空間距離被看作實數，而時間間隔被看作純虛數，我們就可以說，實四維距離同普通空間距離的關係比. 較密切；而虛四維距離則比較接近於時間間隔。在採用閔科夫斯基的術語時，前一種四維距離稱為空距，後一種稱力時距。 在下一章裡，我們將看到空距可以轉變為正規的空間距離，時距也可以轉變為正規的時間間隔。然而，這兩者一個是實數，一個是虛數，這個事實就給時空互變造成了不可逾越的障礙，因此，一根尺子不能變成一座時鐘，一座時鐘也不能變成一根尺子。 •7