賭癮疫苗曾有人問何鴻燊，有什麼要勸告世人的，賭王告誡說：“不賭即是贏。” 人類都進入21世紀了，仍有國民痴迷於賭博，不能自已，廣東等地不得不採取收緊澳門通行證簽註措施。 大量的賭家不停賭下去，就構成了一個大的行為基數，賭場就是靠大數法則賺取穩定的利潤。 如果，你看透了賭博背後的機率法則，每次下注，還會有那麼刺激嗎？ 如果，人人都懂機率，那麼人人都是職業賭家，全世界賭場都將歇業。 賭場之所以能夠存在，就是因為大批機率盲的存在。 只有科學的機率知識，才能消解與生俱來的賭博衝動，這樣的心理防線才是牢不可破的。 從本質上認識賭場，就如同接種了賭博疫苗，從此有了抗病態賭博的免疫能力。 為什麼“久賭神訕輸” 久賭神仙輸，常贏必出術。如果不作弊，賭家幾乎沒有常贏的機會。賭神，多數是靠運氣卻自以為理解了賭博奧妙的人。 賭場恆贏，並不是因為更精通作弊的技術，就算是正規的合法賭場，賭客也註定久賭必輸。 根本原因有四： 1. “莊家的錢”效應。有不計其數的業餘賭家有著和新郎樣的心態， 71
賭客信條—你不可不知的行為經濟學贏錢的情況下，即使牌差也敢下注，這叫“莊家的錢”效應。這些業餘賭家的這一心理偏差，是賭場最主要的利潤來源。 2.莊家優勢。有涉及賭家與賭場對賭的賭戲，其規則是讓賭場佔有輕微優勢，令賭場的期望收益率略為大於零，只要長期玩下去，贏家必是賭場。 正如薩繆爾森所言，博彩業本質上是娛樂業。賭家是在遊戲，娛樂付費，是應該的。輸錢，天經地義。 3. 賭家相信的是運氣，賭場相信的是數學。這是愚昧與科學的對決。一位賭家曾經問數學家帕斯卡，為什麼他總是輸，帕斯卡回答：“你在賭桌旁邊的時間太長了。”帕期卡的回答雖然簡單，卻是真理。 4.大數法則。我們在第6章討論。 72
LAW or LITTLE NUMBERS 第6童小數法則 —無視先驗機率大教淶對是財璠恆久鵝太賺似的雞斑很共。
第6章小數法則地球上每一秒鈡都會有一個傻瓜產生。 —肖曼•巴納姆癘氣所中，必加短命之人；凶歲所著，必飢虛耗之家。 ——-王充《論衡》 二戰時的一個冬夜，德軍轟炸莫斯科。有一位教統計學的老教授出現在防空洞裡，以前他從不屑幹鑽防空洞的。他的名言是：“莫斯科有800萬人口，憑什麼會偏偏炸到我？” 老教授的出現讓大家甚感訝異，問他怎麼會改變決心的。 教授說：“是這樣的，莫斯科有800萬人口和一頭大象，昨天晚上，他們炸到了大象。” 大數法則一位數學家調查發現，歐洲各地男嬰與女嬰的出生比例是22:21，只有巴黎是25:24，這極小的差別使他決心去查個究競。最後發現，當時的巴黎的風 75
賭客信條——你不可不知的行為經濟學尚是重女輕男，有些人會丟棄生下的男嬰，經過一番修正後，依然是22:21。 中國的歷次人口普查的結果也是22:21。 人口比例所體現的，就是大數法則。 大數法則（Law of large numbers） 又稱“大數定律”或“平均法則”。在隨機事件的大量重複出現中，往往呈現幾乎必然的規律，這類規律就是大數法則。在試驗不變的條件下，重複試驗多次，隨機事件的機率近似於它的機率。 大數法則反映了這世界的一個基本規律：在一個包含眾多個體的大群體中，由於偶然性而產生的個體差異，著眼在一個個的個體上看，是雜亂無章、 毫無規律、難於預測的。但由於大數法則的作用，整個群體卻能呈現某種穩定的形態。 花瓶是由分子組成，每個分子都不規律地劇烈震動。你可曾見過一只放在桌子上的花瓶，突然自己跳起來？ 電流是由電子運動形成的，每個電子的行為雜亂而不可預測，但整體看呈現一個穩定的電流強度。 一個封閉容器中的氣體，它包含大量的分子，它們各自在每時每刻的位置、速度和方向，都以一種偶然的方式在變化著，但容器中的氣體仍能保有一個穩定的壓力和溫度。 某個人乘飛機遇難，機率不可預料，對於他個人來說，飛機失事具有隨機性。但是對每年100萬人次所有乘機者而言，這裡的100萬人可以理解這100 萬次的重複試驗，其中，總有10人死於飛行事故。那麼根據大數法則，乘飛機出事故的機率大約為十萬分之一。 這就為保險公司收取保險費提供了理論依據。對個人來說，出險是不確定的，對保險公司來說，眾多的保單出險的機率是確定的。 76
第6章小數法則根據大數法則的定律，承保危險的單位越多，損失機率的偏差越小，反之，承保危險的單位越少，損失機率的偏差越大。因此，保險公司運用大數法則就可以比較精確地預測危險，合理保險費率。 小刀鋸大樹賭客久賭必輸的另一個秘密，即大數法則。 賭王何鴻燊剛剛接手葡京賭場的時候，業務蒸蒸日上。賭王居安思危，請教“賭神”葉漢：“為什麼這些賭客總是輸，長此以往他們不來賭怎麼辦？” 葉漢笑道：“這世界每天都死人，你可見這世上少人？” 葉漢的回答甚妙，道出了一條無論是保險公司、賭場還是騙徒，都信仰的法則———大數法則。 賭場本質上是一種溫和的“機率場”，機率法則非常明顯。一直玩下去， 大數法則的作用就會日益顯現出來。 前面我們說過，莊家在規則上佔有少許優勢，玩的次數越多，這種優勢越能顯現出來。 久賭神仙輸，賭聖也不行。 一天，一位沙特王子入住葡京酒店。 王子找到賭王，說：我就和你玩一把擲硬幣。出正面我給你50億美元，出反面你的賭場歸我。 賭王呵呵一笑：這個遊戲固然公平，但不符合我們博彩業的行事法則。我們開賭場不做一錘子買賣，而是小刀鋸大樹。如果你真的想玩， 我們就玩擲骰子，1000下定輸贏。你贏了，可以把我的產業拿走，我贏 77
賭客信條——你不可不知的行為經濟學了，只收你20億。 沙特王子無奈，只好退出賭局。 這個故事是虛構的，旨在說明大數法則之於賭場的意義。 開賭場不做一錘子買賣，而是“小刀鋸大樹”。 所以，賭場最歡迎的是斤斤計較、想碰一下運氣的散客，他們雖然下注謹慎，卻構成了龐大的行為基數。這種客人會給賭場老闆帶來幾乎線性的穩定收益，是賭場最穩定的收入來源，這是大數法則在起作用。 還有一種是一擲千金、豪氣干雲的大賭客，他們的下注額若在賭場的風險控制範圍，也很難從賭場贏錢，會成為賭場的VIP客戶。 假如有一個超級賭客，比如上面虛構故事中的沙特王子。他的賭注超過了普通賭客的幹倍萬倍，這會導致賭場收益的大幅震盪，極端情況下可能導致賭場破產。 因此，全世界所有賭場都會設定最高的投注限額。賭場設最低及最高的投注限額，即便“新郎行運一條龍”的事故發生，也不至於讓賭場虧太多。 這樣，賭場老闆就可以安心睡覺了。 所有的VIP加起來，等於莊家和客人玩了一場長期遊戲，大數法則依然有效。 賭場最不歡迎的，是深諳各種規則，處心積慮地想佔賭場便宜的職業賭客。賭場背後稱這種人為“無賴”。 “撞騙”的數理依據你是否收到過這類簡訊： 請直接把錢打到工商銀行卡號6220219•••謝文軍 78
第6章小數法則這叫“撞騙”，是一種傳統騙術。版本甚多，比如寄中獎信、打中獎電話、發電子郵件。 也就是騙子像沒頭蒼蠅一樣亂撞，“有棗沒棗打一杆子”或許能“瞎貓撿個死老鼠”。 是不是覺得騙子很蠢？但騙徒的行為卻是合乎統計原理的，在數理上是被支援的。 只要發出的簡訊足夠多，其成功率非常穩定，合乎大數法則。 福建的某個小鎮，眾多鄉親都從事這個行當，簡訊群發器在這個偏遠小鎮非常普及。當警察抓獲了這批刁民後，奇怪的是，過了很長時間了，居然還有人不斷地往查獲的卡上匯錢。 有人曾做過統計，類似這種垃圾簡訊，每發出一萬條，上當的人有七到八個，成功率非常穩定。人過一百，形形色色。一萬個人裡面，總會有幾個 “人精”，幾個笨蛋，這是可以確定的。當然，也肯定會有幾個愛惡作劇的人。 有人收到這種簡訊，會忍不住打電話調戲騙子。 究其根源，都是由於大數法則的作用。在社會、經濟領域中，群體中個體的狀況千差萬別，變化不定。但一些反映群體的平均指標，在一定時期內能保持穩定或呈現規律性的變化。 大數法則是保險公司、賭場、撞騙的騙徒，賴以存在的基礎。 廣結善緣大數法則不僅是保險精算中確定費率的主要原則，它還是推銷員的制勝之道。 大數法則用在業務員的人脈管理上，就是結識的人數越多，預期能夠帶來的商業機會的比例越穩定。 比如說，一個推銷員給自己定下任務，每年結識300個客戶或潛在客戶， 79
賭客信條——你不可不知的行為經濟學並把關係維繫好。那麼，三年後，他就有接近1000個“樣本”。 如果100個客戶裡會有3個長期客戶，三年後，他就有大約30個能給他帶來穩定收益的老客戶。 歐洲有位大亨，每年都定下目標，要與1000個人交換名片，並與其中的 200個人保持聯絡，與其中的50個人成為朋友。 鳥瞰紅塵，人海茫茫中，卻均勻地分佈著你的貴人。 無視樣本大小 30多年前的一個下午，在芝加哥的一間咖啡館裡，特韋斯基和約翰•杜伊教授在悠然地喝著咖啡。特韋斯基貌似無心地問： 有兩家醫院，在較大的醫院每天都有70個嬰兒出生，較小的醫院每天有20個嬰兒出生。眾所周知，生男生女的機率為50%。但是，每天的精確比例都在浮動，有時高於50%，有時低於50%。 在一年的時間中，每個醫院都記錄了超過60%的新生兒是男孩的日子，你認為哪個醫院有更多這樣的日子？ 我們知道，大數法則需要很大的樣本數才能發揮作用，基數越大，就越穩定。隨著樣本的增大，隨機變數對平均數的偏離是不斷下降的。所以，大醫院更穩定。這一基本的統計概念顯然與人們的直覺是不符的。 杜伊先生果然鑽進了圈套，他認為較大的醫院有更多超過60%的新生兒是男孩的日子。 一個整天向學生灌輸大數法則的教授，自己居然不相信大數法則！ 普通人又如何呢？ 特韋斯基後來把這個問題做了嚴格的實驗。22%的受試者認為較大的醫 80
第6章小數法則院有更多這樣的日子，而56%的受試者認為兩個醫院有相等的可能性，僅22% 的受試者正確地認為較小的醫院會有更多這樣的日子。 小數法則大數法則是統計學的基本常識，有人稱為“統計學的靈魂”。大數法則雖然威力無窮，普通人卻因其貌不揚而忽視。 針對人們在思考時常常無視大數法則的現象，特韋斯基提出了“小數法則”的概念。“小數法則”不是什麼定律或法則，而是一種常見的心理誤區。 用錯誤的心理學“小數法則”代替了正確的機率論大數法則，這是人們賭博心理大增的緣由。 小數法則是一種心理偏差，是人們將小樣本中某事件的機率分佈看成是總體分佈。人們在不確定性的情形下，會抓住問題的某個特徵直接推斷結果，而不考慮這種特徵出現的真實機率及與特徵有關的其他原因。 小數法則是一種直覺思維，很多情況下，它能幫助人們迅速地抓住問題的本質推斷出結果，但有時也會造成嚴重的偏差，特別是會忽視事件的無條件機率和樣本大小。 做生意，不要相信“小數法則” 愛因斯坦說：“上帝不擲骰子”。對上帝來說，一切都是確定的。 大數法則就是一種先驗機率，而天生是“機率育”的人類，卻直覺地相信“小數法則”。 噹噹網的創辦人俞渝女士，曾在一個叫做《創業百問》的電視節目中， 81
賭客信條——你不可不知的行為經濟學和郭廣昌這樣討論—- 郭總剛才講的，5個合夥人，15年可以同步進步，這事我覺得違反自然規律。這個團隊有人進步有人退步，有人進的多，有人退的少，這在經濟學上來講是一大數法則。 以剛才描述的現象，在我聽來，是一個小數法則的現象，小數法則裡頭有這種神話，而這種神話發生在你身上，那你很幸運，但是我覺得在其他正在建立團隊的人身上，去同樣複製可能性很小。我覺得做企業， 一定要看大數法則⋯… 小貼士： 大數法則是一種統計定律；小數法則是一種心理偏差。 大數法則是一種科學，小數法則是一種迷信。 大數法則是中性詞；小數法則是貶義詞。 股神大哥的預測模式行經濟學家馬修•拉賓曾假設：如果你是一位投資者，你親見一位基金經理在過去兩年中的投資業績好於平均情況。你是否就會得出這位經理要比一般經理優秀的結論？ 冒馬修•拉賓（Matthew Rabin），2001 年度 “克拉克獎”獲得者，“克拉克獎”俗稱“小諾貝爾經濟學獎”，是由美國經濟學會評選的。它是經濟學界除諾貝爾經濟學獎外的另 -項重要獎項。 82
第6章小數法則然而真實的統計意義非常微弱。讓我們來看看股神大哥的預測模式。 第一週發10000條簡訊，股神大哥預言某支股票的漲跌。其中5 000 條說某隻股票漲，5000條說跌。 第二週股神大哥向其中說對的5000人再發一簡訊，其中2500條說某隻股票漲，2500條說某隻股票跌。 第三週他再向說對的2500人發簡訊，其中1250條說某隻股票會漲， 1250條說某隻股票會跌。 最後有1250人，發現這位股神大哥連續3次說對某隻股票的漲跌，簡直太崇拜了。其中有500人真的把錢交給他投資了。當然，如果賺錢是要分成的。 股神大哥拿到錢後會做什麼呢？他會給這500個不同的賬戶各買一隻股票，儘量讓這些股票各不相同。一段時間過後，股票有的漲，有的跌。 如果一個人的賬戶買了一隻漲的股票，他對股神阿貓就會更加信賴，甚至還會追加投資。 假如碰到一個大牛市，大部分時間裡，大部分股票上漲機率大大超過下跌。因此，股神大哥的這種模式是非常有錢途的。 假如來了個大熊市，大部分股票在大部分時間下跌超過上漲，股神大哥也是不用負責，大不了退出江湖而已。 賭客謬誤小數法則的經典表現就是“賭客謬誤”。 李太太一連生了五個女兒。 李太太：希望我們下一個孩子是男孩。 李先生：親愛的，都生了五個女兒了，下一個肯定是兒子。 83
賭客信條——你不可不知的行為經濟學李先生對嗎？ 眾所周知，擲硬幣正、反面出現的機率為50%，在擲硬幣遊戲中，如果前幾次大多數出現正面，那麼很多人會相信下一次投擲很可能出現反面。這就是賭客謬誤 （gambler's fallacy），也是很多賭客信心大增的原因。 賭客謬誤的產生，是因為人們錯誤地詮釋了“大數法則”的平均律。投資者傾向於認為大數法則適用於大樣本的同時，也適用於小樣本。 賭博是隨機事件。 一枚硬幣，連出三把都是正面，那麼下一把出反面的機率仍然不會大於50%。 從理論上講，硬幣也好，骰子也好，既沒有記憶，也沒有良心，機率法則支配一切。 隨便到一家合法的賭場，就能看到這種賭客“猜反正”的現象： 連輸幾次就該贏了連出幾次紅就感覺該出黑了連出幾次莊就以為該出閒了連出幾張小牌肯定該出大牌了 …•-** 這是很多賭客感覺能戰勝莊家的理論依據，甚至很多有學問的賭徒寫的 “賭經”，都明顯帶有這種錯誤。 你可曾見賭客拿本子記錄百家樂出閒和莊？賭癮甚至可以讓一個天資平庸的賭徒變成統計學教授。 連拋100下硬幣，會一直出正面嗎在《黑天鵝》一書中，作者尼古拉斯•塔勒布向兩個虛構人物請教一個問 84
第6章小數法則題。一個是“肥佬湯尼”，一個粗俗的，靠投機鑽營致富的傢伙，一個是博士約翰，一位誠實的學者。 尼古拉斯：假設硬幣是絕對公平的。連續丟擲99次，每次都得到正面。我下一次得到反面的機率有多大？ 約翰博士：“超簡單！當然是50%，因為你假設硬幣是絕對公平的。” 尼古拉斯：“湯尼，你認為呢？” 肥佬湯尼：“很顯然，不會超過1%。” 尼古拉斯：“為什麼？我最初假定硬幣是公平的，每面都有50%的機率。” 肥佬湯尼：“這遊戲是不公平的，這枚硬幣裡一定做了手腳。誰相信所謂“50%”的說法，他要麼是個草包，要麼是個大草包。” 尼古拉斯：“但約翰博士說是50%。” 肥佬湯尼趴在在尼古拉斯耳邊小聲說：“我在銀行當保安的時候， 就曾經和這類傻瓜做同事，你可以利用他們賺大錢。” 肥佬湯尼認為，在硬幣連拋99次，每次都得到正面的情況下，絕對均勻的假定是虛構的。而約翰博士的回答可能代表了教科書的標準答案。 在某個聚會場合，筆者曾向朋友Jay 請教過這個問題。 一枚絕對均勻的硬幣，絕對公平地擲出。連續99次都是正，接下來要再擲出一次，你認為出正的機率大，還是出反的機率大？ A. 出正機率大 B.出反機率大 C.各佔50% Jay是英國某著名大學的計量金融學博士，他很謹慎地選擇了C。 此時，另一位朋友插進話來，非常確定地選擇C。 筆者問：“為什麼呢？” 這位朋友說：“因為我是教統計學的老師，並且這種事件，歷史上真的 85
賭客信條——你不可不知的行為經濟學曾經發生過。” 筆者：“那些錢幣應該是兩面都是正吧？” 教統計學老師：“嘿嘿，是的。” 這位講師朋友所謂的曾經發生的事件，是一般機率課上都會講到的一個典故。 宋朝大將狄青受命平叛。當時朝廷中主和、妥協派勢力頗強，狄青所部亦有些將領怯戰。 狄起兵祭旗，他手棒100枚銅錢，對眾將士說，如果我扔下的100枚銅錢都是正面朝上，則必定是上天恩賜，讓我們大勝而歸。 許多將軍都勸狄青不要這樣做，狄青堅持。當他把100枚銅錢扔到地上時，眾將士都不相信自己的眼睛，奇蹟發生了，100枚銅錢全正面朝上。於是，士氣大振。 狄青令人將100枚銅錢釘在地上，派重兵把守，若有人翻動銅錢， 格殺勿論。 當狄青獲勝班師回，把銅錢收回時，有一些將士才發現，這100 枚銅錢兩面都是正面。 理解了賭客謬誤的人，會不會渾然不覺地犯一種“學者的謬誤”呢？這同樣是一種“小數法則”。 假設在某個場合，一個陌生的美女邀請你猜硬幣。她讓你猜，拋一次硬幣會出現反還是正？賭注為100萬元。 她發誓，她遞給你的硬幣是絕對均勻的。 你將信將疑地看著這位美女，怎麼證明她的話是實話呢？ 你說，在賭博之前先拋10次先驗證這枚硬幣。 於是在你連拋了9次硬幣，結果，這枚硬幣9次正面朝上。 你不幹了：“這核硬幣一定是動了手腳！” 這個陌生的女人又遞給你一本統計學教科書，書上說，拋10次，9 86
第6章小數法則次朝上，這種不平衡的結果發生的機率還是比較高的。 儘管你的疑心加重了，但你還是相信教科書不會錯的。 於是，你要求再拋100次硬幣來檢驗。 你拋了99次，每次都是正面朝上！ 這本統計學教科書又告訴你，100次拋擲中99次正面朝上的可能不是沒有，但其機率是如此徽小，以至於你費了好大勁兒才數清小數點後零的個數。 那麼，你會和她賭嗎？ 如果賭，你賭正面贏，還是賭反面贏？ 如果你賭正面贏，其實就等於認為這個硬幣出正面的機率大，你冤枉了一個從理論上講是誠實的女人。 延伸閱讀雅各布與大數法則雅各布•貝努利（Jacob BernoulTi） 1654年生於瑞士，他沒有遵照父親的意思去當律師或經商，而是自學成為了一名數學家。 雅各布生活的時代，是一個牛人輩出的時代。如約翰•阿布斯諾特，他是一位御醫，同時他還是一位業餘數學家。他對概率十分感興趣，用豐富的病例來闡述他的觀點。在他的一篇論文中，他研究了“20 雅各布貝努利 （Jacob Bemoulli） 87
賭客信條——你不可不知的行為經濟學歲的婦女是否有處女膜”的機率以及“20歲的花花公子沒得淋病” 的機率。 這種學術風氣，促使雅各布開始留意機率問題。雅各布和牛頓生活在同一時代，他有著貝努利家族傳統的自負心態，他認為自己和牛頓不相上下。1703年，雅各布•貝努利率先提出瞭如何從樣本中發現機率的問題。 雅各佈教授自己的弟弟約翰數學。約翰和雅各布一樣聰明，而且和他的哥哥一樣，他是個對名聲的追求近乎病態的人。 雅各布和弟弟約翰有一個習慣，就是對一個問題有競爭性地進行研究，並且在媒體中毫不留情地攻擊對方。 雅各布雖然發現了大數法則，但由於兄弟倆在科學問題上過於激烈地爭論，致使雙方的家庭也被捲入。雅各布死後，他的《猜度術》手稿被他的遺孀和兒子在外藏匿多年，直到1713年才得必出版，幾乎使這部經典著作的價值受到損害。 《猜度術》是雅各布•貝努利一生最有創造力的著作，在這部著作中，他提出了機率論中的“貝努利定理”，該定理是“大數法則” 的最早形式。 為了說明大數法則，雅各布假設了一個裝滿3000枚白色石子和2000枚黑色石子的罐子，不知道每個顏色的石子的數目。 我們從罐子中，按不斷增加的數目取出石子，並在將它們放回瓶子之前，記錄每枚石子的顏色。 如果我們取出越來越多的石子，最終我們會得到“接受必然的可能性”，也就是說，在實際事件上是必然的，但又不是絕對的必然——兩種顏色石子的比率是3:2。 雅各布的計算顯示，從罐子中取出2 555枚石子後，則有大於 1000/1 001的機率使其結果與真實結果（3:2）間的差異在2%之 88