這樣完整的計算工作時，定義一個先驗目標呢？我們將在這本書的第二部分看到有越來越多的證據表明，這種方法甚至可以應用於最複雜的行為過程。 7.3 瑪爾、進化、模組：前景戴維•瑪爾認為一個研究區域性神經迴路執行的可供選擇的辦法，就166 是要尋找一條更機能主義的途徑。他說，應該先定義大腦要完成的模組化目標，然後再去發展這些目標在數學上的描述。這些模組化的數學描述可以作為行為學和生理學研究的指導。 對這一方法有兩個重要的反對意見。第一，現在還不清楚如何使神經功能模組化。如果我們所選擇的規模大於大腦實際使用的規模，我們將找不到完成模組計算的機制。我認為這是非常正確的批評，但是它可以透過實驗來解決。現在已經有大量的證據表明大腦是以模組方式運作的。固然，我們需要知道怎樣去更有效地識別模組，但是隻要模組存在，瑪爾的方法在實驗上就是可行的。瑪爾的方法所面臨的第二個主要的批評是，還不清楚進化是否可以被認為是一個為了足夠有效地實現計算而構建神經系統的過程，以使計算目標成為神經生物學分析中的一個始點。 儘管如此，一個對眾多系統的分析表明神經過程在完成計算目標時通常是非常有效的，從我們已知的情況來看，特定的目標至少可以定義什麼是動物實際所做的事。事實上，可以認為當生物體被發現背離這些最優目標時，我們也就成功地識別出古爾德和列萬廷所描述的那種種族和結構上的限制。從這個角度看，最優路徑的進化論定義可以被看成是識別種類和結構限制的重要工具。在某種意義上神經科學的主要計算目標可以被描述成是對產生這些限制的神經生物學機制的探尋。 勒內•笛卡兒的鉅著《論人》是這樣開始的： 這些人像我們一樣是由精神和軀體組成的。我必須先為你描述一下軀體，而後單獨地描述精神，最後我才會告訴你這兩個自然體是怎樣結合併統一成人的…… 我假設他們的軀體只是一座雕塑，一個完全被上帝創造的，像我們162 一樣的地球上的機器，因此他不僅給了我們外部的形態和身體上所有部位的顏色，也安置了讓我們行走，進食和呼吸等一切必需的部分。（笛 • 135•
決策、不確定性和大腦.神經經濟學卡兒，1664） 笛卡兒試圖揭示物質世界中的物質材料是如何被用來製造像人一樣行為的事物的。瑪爾讓我們反向思維，不是從物質出發，而是從物質可以解決的問題出發，然後提出這些途徑是怎麼完成的。只有這樣才能真正理解神經系統的工作原理！ 瑪爾之所以設想過這種途徑，是因為他是一位電腦科學家而不是一個生物學家。對於生物學家來說，函式方法一直是受到質疑的。我們怎麼能肯定我們理解了生物過程的功能呢？但是最近一些生物學家開始提出，我們可以開始研究和理解功能的意義。神經系統的目標是最大限度地包容生物體的適應性。適應性最終又被開普勒、伽利略和拉普拉斯 （Laplace）描述的控制行星運動的物理規則限制。如果動物需要在昏暗中看到物體，桿狀細胞就必須捕捉到光子。它們所面臨的問題可以被量子力學描述，而桿狀細胞實際上有效地解決了它們所面對的量子力學問題。 對一個認知神經科學家來說，瑪爾的正規化提出了這樣一個問題，即根據進化論，我們是否可以用嚴格的數學工具去定義全域性的行為目標呢？是否我們可以用實驗的方法來區分和分析動物們用來完成進化目標的神經生物模組？正如我們在本書的第二部分將要看到的，今天許多神經生物學家都相信這是可能的。作為一條途徑，它使我們能夠解決軀體和精神的二元性，或者反射和意識的二元性，重塑我們看待神經系統的方式。 • 136•
行為和實驗經濟學經典譯叢決策、不確定性和大腦——神經經濟學第二部分神經經濟學醬醬第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法 8.1 行為的目標在上一章，我引用了戴維•瑪爾的論述：“透過搞清楚需要被解決的問題的本質來理解一種演算法，比探究該問題被具體表達的機制（及硬體）更為快捷。”在本書的前半部分，我極力論證了兩個重要且相互關聯的論點。第一， 我認為理解行為和大腦之間關係的所有經典方法全部來源於笛卡兒的研究工作，而且與理解行為所要解決的問題相比，我用更多的篇幅論述瞭如何定義一個能夠產生該行為的最小綜合性機制。 第二，我認為由於確定性數學（為了描 171 • 139•
172 決策、不確定性和大腦——神經經濟學述物質世界中可預測的因果關係而建立的數學體系）的發展，我們關於最小綜合性神經迴路由什麼構成的觀念已基本形成。 20世紀70年代後期，數學家、神經生物學家戴維•瑪爾對這些經典觀點中的第一個——對行為的生理學研究應該設法確定能夠解釋最簡單行為的最小綜合神經迴路—明確地提出了質疑。瑪爾認為，為了理解行和大腦之間的關係，必須考慮行為的目的。然而，瑪爾的方法卻存在諸多問題，其中有兩個非常突出。第一，神經學家怎麼會希望用嚴格的數學術語來定義行為的目的，這一點尚不明確；第二，神經系統內部處理資料的模組的有無如何與定義在抽象數學基礎之上的目標產生聯系，這一點也不明確。在前一章中我曾提到，有一種方法可能最有希望，即設法用進化論術語定義行為目標，然後利用生理學工具來識別、 理解並界定實現這些目標的神經生物模組。 替代最小複雜性：內在適應度從更基本的角度上說，所有行為的目標必然是用感覺資料和對現實世界結構的已有知識來產生適應性的運動反應。神經系統的最終目的必然是透過形成運動反應，產生最適合於生物體的內在適應度。當然， 動物體能達到多高水平的內在適應度，以及產生這一水平的適合度所依賴的機制，都會受到物種和結構上的限制。不過從進化論的角度看，我們可以具體說明行為的目的和大腦。行為的目的是為了做出正確選擇， 選擇一種行為過程以使生物體基因程式碼得到最大保留。 什麼是正確的選擇呢？行為和達爾文適應性是如何聯絡起來的？這是一個很複雜但並非沒有頭緒的問題。通常情況下，簡單的、從外表上可以觀察到的變數，例如對光子進行計數的效率，與適應性是緊密相連的。在某些情況下這種聯絡可能很不明顯，但正如我所希望的，這一點在後面的幾章中會逐漸變得清晰起來——識別由適應性聯絡起來的目標和行為並不存在概念上的障礙。 為了說明這一點，我們假設存在一個簡化的世界——透過一系列簡明的確定性方程可以對其進行全面的描述，並且生存於其中的生物體的遺傳適應性也很容易計算出來——唯一有生命的白球生活在沒有生命的檯球桌面上，在每一張檯球桌上都棲息著一個白球。為了論述的方便， 我們再假設每張檯球桌上還有四個無生命的色球，它們隨機地分佈在桌面上，各自都佔據著一席之地。設想白球可再生的適應性由一種很直接的方式來決定：能夠用最快的速度將桌面上的色球全部清理掉的白球將 • 140•
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法會繁衍出最多的後代，也就是說，清理桌面越快，白球的適應性越好。 我們也可以給這些白球施加一定的限制，比如它們只能以固定的初始速度沿直線運動（見圖8—1）。？ 圖8—1 一個完全確定的檯球世界因為這些檯球的運動必須遵循牛頓力學的定律，並且我們還設定了這些虛擬生物體行為和適應性之間的聯絡，所以我們就有可能把白球行為的進化論目的完整地表示出來。這些白球的神經系統將會利用說明色球位置的感官輸入和儲存的物理學原理來表述，演算出一套運動方式以便儘快地清理桌面。白球的神經系統需要選擇一個初始運動，按照固定的初始速度沿唯一正確的方向出發。這一運動方向會使白球與一個或多個色球發生接觸，產生一系列可預見的、確定的碰撞。透過仔細分析所有可能的第一、二、三、四種運動方式，俯視著這一臺球世界的我們完全有可能預先為白球面臨的問題確定一個最優的解答。就像自然科學家們具有研究白球運動的優勢一樣，我們也可以考察面對色球各種各樣的分佈，白球的行為距它可能達到的最優解有多大的差距。從生理學層面上對白球進行研究，我們又可以考察白球如何利用其感覺運動神經系統達到我們從行為角度觀察到的精確程度。 瑪爾曾經意識到了可以透過這種方式將神經系統定義為目標驅使的體系，但是卻沒有在建立一個能夠描述行為目標的模式上投人足夠的精力。而進化論則提供了這樣一個模式，它指出所有行為的最終目標只有一個—最大化生物體的內在適應度。檯球的例子體現出了這種方法的 • 141•
決策、不確定性和大腦—神經經濟學部分特徵，使我們可以定義並檢驗行為的效率。也許這一隨便舉出的例子能夠向我們揭示的最有意義的事情就是，神經系統的整體功能可以概括為依進化適應度進行決策。當然並不總是像我們前面所做的那樣，可以透過演繹的方法闡明行為和適應度之間的關係。在某些情況下一 —例如考察動物採集食物的效率時——我們可以得出行為和適應度之間的關系較強的推斷結果。而在其他情況下這種聯絡則可能是間接的，我們需要以實驗的方式來對其進行確認。但是正如我們在下一章中將要看到的，實現這種確認的技術已經發展得比較完善了。 達爾文曾經指出，自然選擇使動物的適應度向著更高的方向演進， 它將倖存的生物體推向具有最大適應度的狀態。作為神經系統的產物， 行為對適應度的提高做出了自己的貢獻，因此也必然被進化過程所塑造。這樣進化過程就為神經系統確定了一個目標——最大化內在適應 175 度，神經系統的功能就可以被定義為選擇並執行能夠最大化內在適應度的行為。 瑪爾曾經指出：“透過搞清楚需要解決的問題的本質來理解一種算法，比透過研究使該問題被體現的機制（及硬體）更快捷。”我想要強調的是，在整體意義上可以認為神經系統的功能就是做出決策。決定如何在針刺時將手撤回來，決定向哪一個方向運動，在看到一大片運動的光斑時決定將視線轉向左方還是右方，都是神經系統做出的決策，這些決策都是進化過程的產物。按照這種表示方法，即便是笛卡兒提出的反射也可以被看作是神經系統在面對一個很簡單的、為生物體確定一個明確目標的問題時做出的決策。 對確定性模型的替代：機率論如果我們用進化論的術語把神經系統的功能表述為決策，那麼似乎有必要制定一個建立在這一思想之上的概念基準，從而利用該基準對最大化內在適合度的最佳決策過程進行嚴密的定義。依靠這些基準我們就可以對行為做出經驗上的衡量。 遺憾的是，基準依賴於確定性數學的經典例子——如白球這個例子，可能不是神經系統必須面對的具有典型性的決策。我們之所以對白球的神經系統目標進行比較簡單的描述，是因為我們假設白球處於具有可預知性的牛頓體系之中，並且我們具有關於那個世界狀況的完全的知識。在這些約束下，我們就可以用簡單的確定性方程計算出最佳運動反應。現實中的動物會經常遇到這些問題嗎？對我們想要理解的生物體進 • 142•
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法行研究時，我們有多大的可能按照瑪爾數學的精度，用確定性數學方程確定一個行為的目標呢（見圖8—2）？ 176？ 圖8—2 檯球世界中認識論的不確定性設想白色檯球對周圍世界僅具有有限知識，而且它只能看見球桌上距離自己一英尺範圍內的色球。這樣的話，知識的不完備會使確立最佳反應更加困難。如果白球不知道全部不動球的位置，那麼單憑簡單的確定性工具，它是不可能計算出最佳的解決方案的。在存在較大不確定性的任何領域，不管確定性工具是多麼的先進，它們都不可能確定出最優反應。在現實世界中並沒有類似的確定目標的方法，我們又怎能期望將瑪爾的方法應用於行為的研究上呢？ 在接下來的幾章中，我將指出，在實踐中這一問題對於瑪爾的方法來說至關重要，甚至比模組理論和進化理論提出的問題更重要（或者內在適應度理論）。如果對確定性世界具備完全知識，那麼要明確計算目標就會相當容易，但是我們對現實世界的狀態很難完全瞭解。所以，選擇某種運動反應（以做出決策），從而最大化不確定條件下的適應度就成了神經系統所面臨的真正挑戰。 本章餘下的內容將探討這個問題。這一問題要求數學家和生理學家 177 們發明一些工具，從而可以用來設計不確定問題的解決方案。正如我們將看到的一樣，自17世紀以來，在不確定條件下尋求最優的解決方案已經成為經濟理論家們所面臨的中心問題了。因此，當我們試圖得到在不確定的世界中識別行為目標的工具時，經濟學家的數學技巧將成為重點。 • 143
決策、不確定性和大腦——神經經濟學 8.2 不確定性、價值和經濟學笛卡兒提出的確定性反射的思想讓我們將神經生物學研究的重點集中在對確定性現象的確定性反應上。然而，就在笛卡兒及其同事選擇了確定性數學方法作為主要的研究工具，並且利用這些工具最終建立了神經生物學的同時，數學上誕生了一個分支學科——也許是因為笛卡兒主要關注確定性反射問題的緣故，在接下來的3個世紀裡，這個分支學科對生理學幾乎沒有產生任何影響。最初該數學分支主要著眼於對不確定性事件進行簡單描述，不久之後成了在不確定條件下給決策建模的通用工具。正是這一系列的思想，逐漸成為現代經濟學的核心。 本書的觀點是，當前神經生物學所面臨的基本侷限是我們沒有成功地將機率論充分地融合到我們用來理解大腦的方法中去。到了17世紀中葉，數學發展成兩個相互聯絡卻各成體系的領域：確定性數學和機率理論。由於笛卡兒把確定性工具看成研究行和大腦的主要工具，所以之後的神經生物學家一般都遵循這一傳統。在理解人們、市場和公司是怎樣做出有效決策這個問題上，機率理論已經成為主要工具。然而，概率理論同神經功能之間的關係，直到今天在很大程度上還沒有被探究。 在本書餘下的篇章裡，我想讓大家瞭解的一個事實就是，包括機率論在內的有關如何決策之類的數學理論，將會成為理解行和大腦之間 178 關係的核心方法。這是因為要理解行為和大腦之間的關係最主要是要理解決策的制定。為了解釋為什麼包括我在內的很多人都相信這個事實， 我們有必要回顧一下機率論的歷史，並檢驗一下機率論同“做決策”之間的密切關係。 機率論的誕生擲一粒共有6個面的骰子，雖然我們事先並不知道骰子落地後哪一面會朝上，但是卻知道2點向上的機率為1/6。不過，令人驚訝的是， 在啟蒙運動之前這並非一個盡人皆知的道理。早在古代，人們就已經開始玩擲骰子以及其他靠運氣定勝負的比賽了，但是直到17世紀不管是數學家還是平民百姓，都不知道如何正式地描述、量化或預測不確定性事件。 儘管伽利略及其同事在理解確定性天文現象的問題上取得了巨大進 • 144•
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法展，但是對數學和運氣—一或機會（來自阿拉伯語的叫法）——之間的關係仍然無人研究。從某個角度看，機率論誕生的意義可謂相當重要。 自然現象表現出不可預知性，僅僅是因科學家們沒有完全理解潛在的自然過程，這就是早期科學方法的整個前提。對培根和他的同事來說， 科學就是一個不斷髮現自然規律的過程，而這些自然規律可以將這個不可預知的世界簡化成數學規則和嚴格的決定論。 在具有嚴格確定性的世界中，最佳決策可以簡化為選擇可行方案從而最大化個人所得。不管是選擇高報酬率工作，還是採用能夠達到更高精度的立體視角系統，有效決策在具有完全確定性的世界中是非常簡單的：計算每種行為的成本和收益，找出最優的可行方案並付之行動。通過將不可預知的世界簡化成具有完全確定性的世界，笛卡兒及其同事拓寬了這類智慧決策問題研究的範圍。 正當年輕的笛卡兒在法蘭西北部接受耶穌會士的教導時，有關世界 179 具有確定性本質的思想處於一片爭論之中。笛卡兒生於 1596年，那一年剛好是馬丁 •路德（Martin Luther） 去世的第50年，路德所倡導的基督教改革已經動搖了西方社會的根基。路德和其他新教思想家認為， 如果上帝萬能且無所不知，那麼他對未來也必定瞭如指掌。如果任何人對將來的一切都完全瞭解，那麼未來的事情必然是預先決定的，從根本上講世界也必然是一個確定性世界，這在新教神學家看來似乎無可爭議。大部分新教團體都在此前提下推出了自然的終點，所謂自然的終點是指上帝肯定事先就知道誰會被救贖而上天堂，誰會受詛咒而下地獄。 正當世界具有完全確定性的觀念開始影響那些正在發展科學方法的歐洲人時，教會開展了一場大規模的針對新教改革的清除運動。這一運動是由彌撒協會倡導的，該協會是由羅馬教皇保羅三世於1545年創辦的。在這場反改革的浪潮中，有一個自稱為耶穌會的宗教團體發展成為天主教世界中佔據主導地位的驅動理性的力量。耶穌會士嘗試為啟蒙運動時期的天主教教義提供一個智慧中心，同時也努力對新教改革中的過度反權威行為做出反應。關於決定論，耶穌會士主張不應把每個人的命運看作預先決定了的，恰恰相反，人的命運是不確定的。他們認為，上帝的神聖恩惠允許人們按照自己的行動決定自己的命運。對於耶穌會士來說，確定性世界這一概念只是自由意志的表象，他們認為自由意志的實踐才是能否獲得救贖的關鍵。 對於耶穌會士所主張的每個人的命運皆是自由意志的產物這一說法，天主教內部的一些神學派別表示反對，認為耶穌會士在同新教改革 • 145
180 181 決策、不確定性和大腦——神經經濟學的鬥爭中走得太遠了。這場哲學爭論的中心人物就是佛蘭德神學家康那理斯 •詹森（Cornelius Jansen）。17世紀早期，詹森就認為耶穌會士已經使教會背離了聖•奧古斯丁的神學制度，所以教會應該回歸奧古斯丁的原旨，其中包括奧古斯丁信仰的“上帝，而非人的自由意志，決定誰能得救”。對詹森主義者來說，新教徒的主張才是正確的，即世界是確定的。所以在教會內部，關於世界是否是確定的這一話題的激烈爭論一直從16 世紀晚期持續到 17世紀早期。到了17世紀晚期，詹森主義者同耶穌會士的這場爭論在法國達到了白熱化的程度。正是在這一背景下，笛卡兒接受了耶穌會士的教導。 雖然笛卡兒無意捲入這場爭論而決定前往荷蘭生活，但是他的研究必然受到了這場神學爭論的影響。17世紀早期，笛卡兒一直主張宇宙可以視作一個精巧的鐘表結構——具有高度確定性的機械裝置。所有的自然現象，甚至動物的行都可以視為時鐘般有規律的行為表現，而這些行為都可以用確定性數學加以研究。在《論人》中，他認為，只有人類的靈魂才擁有可以表達耶穌會士老師們認為的對拯救人類至關重要的自由意志的能力。 詹森主義在法國的思想中心位於皇港修道院，這是一個以17世紀法國安託萬•阿爾諾（Antoine Alnauld）的智慧家族為中心的團體。17 世紀的大部分時間裡，這一傑出家族和皇港裡的朋友極力維護詹森主義以對抗耶穌會士的壓制，但是並未取得成功。不過，作為詹森主義的衛道者，他們最偉大且最持久的影響，大概是他們成為了反建制思想的中心。 17世紀上半葉，正值法國政治和思想不斷髮生動亂的多事之秋。 這些持非確定性世界觀的耶穌會士視那些信奉決定論的詹森主義為邪教異端，而此時由於紅衣主教黎塞留 （Cardinal Richelieu's）的掌權，以及隨後的投石黨之亂，使法國陷入動盪。正是處在這個社會政治風雨飄搖，同時對宇宙的確定性本質進行深刻爭論的背景下，機率論這一數學分支學科首先被一名年輕的詹森主義數學家發展起來了，這個人就是布萊斯 •帕斯卡 （Blaise Pascal）（見圖8—3）。 帕斯卡生於法國一箇中上階層家庭，青年時期就展現出了傑出的數學才能，16歲就發表了一篇關於圓錐截面的論文。幾年後，帕斯卡的姐姐傑奎琳（Jacqueline）在皇港做修女，正是她將這位反對偶像崇拜的年輕數學家引入了那個圈子。然而，直到25歲，在帕斯卡成為阿爾諾和其追隨者組成的詹森主義團體的一位密友之前，就已經開始著手對 • 146•
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法圖8—3 布萊斯 •帕斯卡資料來源：赫爾頓圖片社，IHO00636。 解決不確定事件的數學方法進行研究了。 1653年9月，帕斯卡受邀同幾位紳士結伴旅行，他們分別是羅尼茲（Roannez）公爵（帕斯卡的資助人）、梅雷（Mere）爵士和明頓 （Minton）紳士——-明頓紳士是教堂中頗受歡迎的名人。旅途中，梅雷爵士向帕斯卡提出了一個賭博難題，即所謂的“點問題”或“賭金分配問題”。這一問題說的是，兩個人採用連續擲硬幣的方式來賭博，每人的賭資是50個金路易。如果首先有4次正面朝上，那麼梅雷爵士贏得全部賭注100個金路易；如果首先有4次反面朝上，則公爵贏得全部賭注100個金路易。但是連續拋5次硬幣之後遊戲突然被中斷了，此時出現了2次反面，3次正面。也就是說差一次正面梅雷就將獲勝， 而公爵再有兩次反面也將獲勝，那麼此時應該怎樣分配這100個金路 • 147 182
183 決策、不確定性和大腦——神經經濟學易呢？ 對我們來說，根據每人獲勝的機率函式對100個金路易進行分配再自然不過了。但是在1653年，“Probabilite” 這個單詞還沒有我們今天所用的“機率”這個單詞的意思。在1653年，一個事件之所以成為可能，是由於它是某位權威人士的意見。在心臟里加熱將導致血管擴充這件事之所以成為可能，就是因為笛卡兒認為事實如此。事實上，在某種想法被認為是可行的同時，它又是錯誤的，這種現象在當時是相當普遍的。儘管當時並不存在具有當今含義的“機率”一詞，但是當梅雷爵士向帕斯卡提出這個問題時，他對這個問題的處理方式與我們相似。即應按每個參與者在之後投幣中獲勝的可能性大小來分配賭金。那麼怎樣才能知道，每個參與者在這個靠運氣定勝負的遊戲中獲勝的可能性大小呢？ 梅雷爵士提出這一問題後，人們就提出很多方法以解決這個賭金分配問題，但事實上，沒有人能夠提出一套數學上的解決方法。當然沒有人能夠解釋我們怎樣才能實際地預測每位參與者獲勝的以數字表示的可能性。大約400年之後，此時反改革運動和投石黨引起的政治動盪已經過去很多年了，這個問題看起來真是簡單至極：接下來拋硬幣時，會出現兩種可能性相等的結果：正面朝上，則梅雷爵士獲勝；反面朝上，則是平局，須再拋一次。此時每個參與者獲勝的可能性相等。總的看來， 爵士有75%的機會獲勝，而公爵為25%，所以他們應該按75/25這一比例分配賭金。雖然這種邏輯顯而易見，但是對梅雷爵士以及他的朋友來說，這一邏輯在那時是不可知的，甚至是不可想象的。 帕斯卡對這個問題似乎很著迷。他希望不但可以解決這個問題，而且要發展一種基於經典幾何學的數學方法來解決與這個問題相類似的一般形式的問題。約一年之後，也就是1654年，帕斯卡對這一問題依然興趣不減，於是他開始和皮埃爾•德•費瑪透過信件來探討這個問題。 皮埃爾•德• 費瑪（Pierre de Fermat）是一名數學家，不久之後便死於決鬥，因其未完成的理論在幾個世紀後名聲大噪。費瑪和帕斯卡之間的書信主要是關於“點問題”的內容，以下這封帕斯卡當年寫給費瑪的信幾乎被公認為是機率論誕生的標誌。 1654年7月29日尊敬的閣下： 我幾乎和你一樣迫不及待了，雖然我還躺在床上，但是我忍不住要告訴你：昨夜當我收到卡爾加維（Carcavi）紳士送來的信時，對您信 • 148•
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法中論述的賭注分配方法簡直佩服得五體投地。 相比骰子方法，我更青睞這個“點”方法。我已經看見好幾個人發現了“骰子”這個解決方法，而最初向我提出這一問題的梅雷爵士就是其中之一。但是不管是羅勃瓦爾（Roberval）紳士還是梅雷爵士，他們都沒能找到這些 “點”的確切的值（帕斯卡的真正意思是指確切的機率值，他當時甚至缺少表達這個意思的詞），也無法求出，以至於我發現只有我知道這個比例⋯⋯ 應該怎樣確定每位參與者應該得到的賭金呢？例如有兩個人參與一個“三點”（三次正面或三次反面）遊戲，其中每人下注32枚金幣。下面是我對這個問題的近似解決方案。 假設參與者1已經贏了兩點，參與者2贏了1點，在這種情況下， 他們要再玩一次，如果參與者1贏得這一次，他就大獲全勝，即贏得 64 枚金幣，如果參與者2獲勝，比分就變力2:2。如果此時他們倆都同意放棄，那麼每人將拿回各自最初所下的賭金，即每人32枚金幣。 尊敬的閣下，現在讓我們考慮一下，如果參與者1獲勝，則獲得 64 枚金幣；若輸，則獲得32枚金幣。因此，如果他不願意冒險再賭一次，而是想要放棄的話，他就會說：“我肯定至少得到32枚金幣，因溝即使我輸了這一次，我仍會獲得32 枚金幣；但是另外32 個也許歸你也許歸我，我們機會均等。所以我們應將這 32 枚金幣平分，連同我已經肯定得到的那32枚全部歸我。”如果是這樣的話，他將得到 48枚金幣， 而另外那個人得到16枚。（Pascal, 1623-1662） 接下來幾頁，帕斯卡對這一問題的數學方法做了進一步擴充套件，甚至寫出了某些條件下相關的機率表。在這封信中唯一的最重要的收穫是， 我們發現帕斯卡研究的出發點與我們截然不同。雖然帕斯卡按照與我們相同的方法討論問題，但是他對機率隻字未提。恰恰相反，他把所有事件全部簡化成一套確定的結果或者均等的機會。接下來的更復雜的概率都是建立在這些簡單的基礎上的。在此基礎上，帕斯卡推出了一組公式，這組公式可以描述等機率事件是怎樣進行組合，從而產生不均等的複合機率的。正是機率既可以組合又可以比較這個觀念使得西方思想界發生了根本的變革。 帕斯卡的思想立刻在整個歐洲產生了巨大的影響。隨後不到十年的時間中，荷蘭天文學家克里斯蒂安 •惠更斯（Christiaan Huygens）已經完成了一部機率論方面的初等教材。在50年中由於帕斯卡的洞察力， 從人身保險業到彩票業等一切事情都發生了改變。保險業不再採用任意 • 149• 184
185 決策、不確定性和大腦——神經經濟學的政策評估的方法了，因為這種方法被證明有損於保險公司的利益，而是改用保險精算表和數學上的風險的衡量方法。除此之外，帕斯卡還認為對機率論的理解不僅會影響到數學的教學和風險的計算，而且必定會影響到從神學到人類決策的所有事情。機率論必將對人類決策產生影響，這一認識大概是帕斯卡最大的貢獻了。 同安託萬•阿爾諾以及其他皇港成員交談時，帕斯卡提出了現在被稱為“上帝存在性”的帕斯卡賭注。雖然直到帕斯卡死後，有關這一“賭注”的文章才得以發表（作為他的基督教辯解文——《沉思錄》—的一部分），但是17世紀50年代後期，皇港成員對帕斯卡的機率性觀點已經非常熟悉了： “上帝或者存在，或者不存在。”我們會傾向哪一個呢？那些（基於確定性數學工具的）邏輯推斷不可能解決這一問題⋯•旋轉的硬幣究竟會倒向正面還是反面呢？你賭哪個？那些（基於確定性方法的）邏輯推斷不可能做出選擇，也不可能進行證偽…… 但是你必須賭，必須做出決定，別無選擇。那麼你會選哪個呢？我們來看看，既然必須做出選擇，那麼可以看看哪個給你的利益最小⋯⋯ 這個遊戲中，如果正面表示上帝存在，我們可以衡量一下得失。我們可以對以下這兩種情況評估一下：贏則全得，而輸卻無所失，那麼不要猶豫，賭上帝存在。 “但是如果（要放棄一生的罪過），這樣的話我也許賭得太大了。” 我們可以想想，因為得失機會相等，如果你拿地球上缺乏道德規範的一生去賭具有上帝賜福的兩輩子，那麼你就可以一搏（即使你並不確定怎樣選擇），但是如果你贏得是上帝賜福的三輩子呢？…⋯如果你迫於無奈必須選擇，在得失機會相等的遊戲中你不冒生命危險去賭上帝賜福的三輩子是不明智的。但那畢竟有來世的生命和幸福，如果真是這樣的話，即使機會無限，只要其中有一個使你受益，那麼賭一次仍然是正確的選擇⋯⋯因此在得失機會相等的遊戲中，如果賭注（或可能損失的） 是有限的但所獲的獎勵是無限的時，我們的論據就具有無限的分量。 （Pascal,1670） 阿爾諾及其周圍的人意識到，比起微積分的發明，帕斯卡在不確定性或隨機世界所做的事情毫不遜色。帕斯卡試圖弄明白怎樣將對得失的估計與對未來事件的可能性的估計結合起來從而確定何種行為方案可以產生最優結果。阿爾諾及其合著者皮埃爾•尼科爾（Pierre Nicole）在 • 150•
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法 1662年出版了《邏輯或思維的藝術》一書，與笛卡兒的《論人》恰逢同年，在這本書的最後章節裡，他們（很可能是在帕斯卡的幫助之下） 從邏輯聯絡的角度表達了這樣的思想： 對於我們參與的事件，我們可能會促成它們或者在某種意義上我們會小心翼翼以免暴露自己或避開它們。但是許多人偶爾會有這樣的錯覺：所有更具欺騙性的事情對於他們來說顯得更合理。這是因為他們只對他們所希望的回報或害怕的損失的大小和重要性有所考慮，而對發生這些回報和損失的可能性或機率卻漠不關心。 上述推理的不足之處在於，為了決定該做什麼從而獲得好處或避免損失，我們既要考慮好處和損失本身，又要考慮它們發生或者不發生的機率，而且當把它們綜合到一起時，我們還有必要從幾何學的角度對它們所佔的比例進行審查。為了說明這個道理，請看下面的例子。 在一種遊戲中有10個人，每人向茶壺中放入1克朗，1人贏而9 人輸。那麼每個人都有丟失1克朗的風險，同時也有贏得9克朗的機會。若我們僅考慮他們的得失本身，顯然每個人都具有優勢。但是我們必須另外還考慮到每人贏取9克朗而只冒著輸掉1克朗的風險，這樣每人輸掉1克朗的可能性將會是贏得9克朗的可能性的9倍。因此誰都有希望贏得9枚銀幣，當然也可能輸掉1枚，但是輸1枚的可能性十之有九，而要贏得9枚只有1成把握。這樣看來這場遊戲絕對公平。 這些考慮顯得比較簡單，實際上如果我們不進一步探討的話，情況的確如此。但是我們能夠把它們用在更重要的事情上。我們從中得到的主要收穫是：它們可以使我們更加理性地看待希望和恐懼。例如，許多人一聽到雷聲就驚恐萬分。如果雷聲會讓他們想到上帝、死亡和幸福， 那麼倒無可厚非。但是如果僅僅是因為害怕被閃電擊斃而惴惴不安的話，那麼顯然是不合情理的。因為每200萬人中最多有一人死於此種方式。甚至可以說，這種死法是所有殘忍的死法中最不具有普遍性的。所以面對某種傷害所表現出來的恐懼不僅要與傷害的嚴重性相稱，還要與這件事發生的可能性相稱。正如幾乎沒有比被閃電擊斃更少見的死法， 也幾乎沒有什麼事情比被閃電擊斃更令我們害怕的了，尤其是當恐懼對倖免於難無濟於事的時候更是如此。（Arnauld and Nicole,1662） 我曾在本章前一部分指出，對於任何執行於不確定世界中的神經系統，識別最大化適應度的行為是存在問題的。帕斯卡曾經說過“理性” 不可能對這些問題做出決定，確定性數學工具也不可能確定最優的行動 • 151• 186
187 決策、不確定性和大腦神經經濟學方案。事實上，帕斯卡與其皇港的同事是第一批完全理解這一事實的歐洲人。與那些對不確定性的存在只知皮毛的早已作古的思想家不同，他們提出，不但可以量化不確定性，而且還可以把每種可能結果的機率與從這一結果得到的預期回報結合起來，結果是任何可能的行動方案的期望值。他們認為最優行動方案是可以使期望值最大化的行動方案。 這是啟蒙運動中最主要的見識之一。甚至在存在較大不確定性的情況下，照樣可以確立最優行動方案。雖然在存在不確定性的情況下，要確立最優選擇必須藉助機率論，但是這是可能的。 我們很容易把這一認識擴充套件到瑪爾的問題上來。如果神經系統的目標是產生運動反應，而這種運動反應可以使生物體產生最大可能的內在適應度，那麼在存在不確定性的情況下，神經系統的目標必然是為了產生最高的預期內在適應度。 《波爾一羅亞爾邏輯》面世後 100多年時間中，機率論研究進展穩定。如何計算、檢驗、組合機率都同時得到了發展。這個不斷取得進步的數學方法可以用於對未來的不確定事件進行描述，不管是人的死亡時間，還是在輪盤賭中取勝的可能性。雅各布•伯努利（Jakob BernoulIi） 在他的名著《推測技巧》中編入了這種知識的大部分內容。這本書在其死後才得以出版（Bernoulli，1713）。“機率論的演算法”——菜布尼茲曾這樣讚歎帕斯卡所取得的成就—很快就得到了廣泛的應用，它不僅可以描述不確定的未來事件發生的可能性，而且還可以作為一種在既定的不確定情形下選擇最優行動方案的方法。 帕斯卡的思想：將價值同機率結合起來 20世紀前半葉，機率論成為了估計具有不確定性結果的未來事件的可能性的工具。對於解決如何選擇不確定條件下的最優結果這一問題，機率論取得了巨大的成功，因為它賦予了未來事件的可能性以數字形式表達的值。在此基礎上，帕斯卡和阿爾諾又進行了進一步的研究。 他們開始將關於事件可能性的資訊同該事件對選擇者的價值結合起來進行思考。帕斯卡完成這一結合的公式很簡單：把某事件的機率同用貨幣——如金路易—表示的該事件的價值相乘，透過這種方法求出預期價值。於是，最優決策就可以簡化成這樣一種技巧，這種技巧能夠確立可產生最大預期價值的行動方案。 為了弄清這一公式，考慮一個抽彩給獎法，花50美元即可參加， 而且有50%的可能贏得100美元。為了計算這次抽彩的預期價值，你 • 152
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法可以做一個簡單的乘法運算，將取勝機率（此例為50%，即0.5）同可能贏得的注碼（這裡為100美元）相乘。可以知道，這次抽彩的預期價值為50美元。因為這次抽彩的成本為50美元，所以其淨預期價值為 0。如果你可以玩無數次，那麼其中有一半的次數可以贏得100美元， 另一半的次數則輸掉50美元。整體而言，遊戲結束時，你的錢應該和開始時一樣多。現在考慮如下一種情況：你要麼必須選擇參加上述的抽 188 彩給獎法，要麼選擇另外一個—在這個賭局中，你也必須下注50美元，但是有6%的機會可以贏得1000美元。顯然後一例子中的預期價值等於60美元，而且參加這一賭局僅花50美元，這表明平均每局都可以淨得10美元。預期價值理論告訴我們，選擇後一遊戲的參與人平均會比選擇前者的參與人更加有錢。不僅如此，它還可以告訴我們到底可以多多少錢。預期價值理論還提供了確切的數學方法，這種方法可以將未來結果出現的機率同其所能提供的價值結合起來，這樣就可以對用這些貨幣計量的行為選擇的價值做出評價。這種貨幣是金路易也好，銀幣也罷，甚至內在適應度的單位都適用。但是這種方法僅僅是核心發現之一，它並不是現代經濟理論建立的基礎。 隨著預期價值理論被廣泛應用和理解，雅各布的侄子尼古拉斯•伯努利（Nicholas Bernoulli）（同樣有重要影響的瑞士數學家約翰之子） 首次對從這一理論推出的奇怪的悖論進行了正式論述。【21考慮如下情況： 我有一枚質地均勻的硬幣，可以讓你向我一次性付費而參加下面的遊戲。拋這枚硬幣，如果首次為正面朝上，那麼我付你2美元；如果是反面朝上，就不用付給你錢。那麼這次拋幣的預期價值就是2×0.5，即1 美元。但是如果你輸了（即反面朝上），就繼續拋硬幣。如果這次是正面，我將付你4美元。此時第一次出現反面，第二次出現正面的機率為 0.25，在這種情況下我不得不付4美元。所以第二次拋幣的預期價值也是1美元。但是想象一下，如果第二次還是反面，我會同意再擲一次。 如果這次是正面的話，我將付你8美元（發生這種情況的機率為 0. 125），而且此次拋幣的預期價值也將是1美元。假如我同意一直拋下去直到你贏，不管哪一面先出現，那麼誰都可以推出這一遊戲的預期價值是無窮大的。因為每次拋幣的預期價值都為1美元。1加1，加1， 再加 1…⋯最終得到預期價值無窮大。 換句話說，為了能同我玩這個遊戲，不管掏多少錢你應該都願意。189 如果我說你給我500美元，就可以跟我玩這個遊戲，那麼根據預期價值理論，你應該表示同意。當然你可能只贏1美元，卻輸掉499美元。但 • 153•
190 決策、不確定性和大腦—神經經濟學是在有些情況下（雖然很少出現），如果連續出現20次反面之後才出現正面，那麼你就會贏的盆滿缽盈（大約100萬美元）。實際上，我將你的進入費用限制在500美元並不合理。為了玩這個可以產生無窮大預期價值的遊戲，我本可以向你索取任何數量的錢財。 可是，自從那個聖彼得堡的遊樂場場主發現這一悖論以來，只有少數人願意付幾元錢來玩這個遊戲。實際上，如果你問問，為了參加這個賭局人們願意花多少錢，答案通常是4美元。怎麼會是這樣呢？預期價值理論預測，為了能玩這個遊戲，理性決策者願意傾其所有。實際上， 幾乎沒有人願意掏出比4美元更多的錢了。人們的決策同預期價值理論怎麼會如此大相徑庭呢？ 評價方法的重要進步：伯努利 18世紀早期，這個被人們所瞭解的聖彼得堡悖論成了機率論研究中的一大熱點。歐洲所有的數學家都極力想知道為什麼會出現這種現象，這是否意味著機率論本身—我們對每次擲硬幣出現的結果進行計算所用的機率論是錯誤的呢？直到1738年，這一悖論才被尼古拉斯的弟弟—丹尼爾•伯努利（Daniel Bernoulli）解決。 丹尼爾提出了一個有趣且新穎的建議。他贊成預期價值理論可以預測出數學上的預期價值這一觀點。透過對未來結果發生的機率和用貨幣表示的報酬進行準確的計算，是不難做到這點的。但是，他認為這種觀點向人們提出了不合理的要求。預期價值理論暗含地假定人們對風險無動於衷。考慮一下在以下兩種抽彩給獎法中做出選擇。抽彩給獎法 A 有100%機會贏得100萬；抽彩給獎法B有50%機會贏得200萬。既然這兩個抽彩給獎法的預期價值相等，因此任何決策者都應該會對這兩個抽彩給獎法一視同仁。可是幾乎所有人都更加偏好抽彩給獎法A。丹尼爾把這種現象歸因為，人類都是理性的、謹慎的，因而不願冒險參加獎勵為200萬的抽彩給獎法。 按照丹尼爾的思路，我們可以進一步考慮一個更典型的情況。想象一下，現在你飢餓難耐，而且此時已經很晚了，如果現在你有兩種機會可以選擇，一是有100%的可能性贏得50個土豆條，二是有50%的可能性贏得100個土豆條。面對此種情況，我的朋友肯定會選取肯定贏得 50個土豆條的機會，而不願冒險以至於一無所獲，繼續流浪。我們可以透過增加獲勝機率為50%的抽獎法的支付，直到我的朋友發現兩種抽獎法對他來說具有相同的吸引力，從而評價我的朋友對風險的厭惡程 • 154．
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法度。100%的機會得到50個土豆條與50%的機會得到多少個土豆條具有相同的吸引力呢？150個？200個？還是400個？我的朋友通常表示， 比起肯定可得50個土豆條的那個遊戲，我們稍稍偏愛於有50%可能性得到200個土豆條的那個遊戲。正如伯努利所提出的，在心理上200個土豆條的價值大概相當於50個土豆條的兩倍。 現在讓我們做進一步探討：減少這兩個抽彩給獎法的支付價值。在 100%可得到5個土豆條和50%可得20個或者15個或者12個土豆條的這些抽彩給獎法中，你會選哪個？對於50%可得12個土豆條的賭局和 100%可得5個土豆條的賭局，幾乎所有人都一樣中意。雖然在心理上 200個土豆條的價值只是50個土豆條價值的兩倍，但是12個土豆條的心理價值卻是5個土豆條心理價值的兩倍。伯努利指出了這點，並得到結論：任意所得在心理上的價值的增長速度慢於數學上價值的增長速度。 丹尼爾最終得到了這樣的觀察結論：比起那些一無所有的窮人，富人—在這個例子中指那些擁有幾袋子土豆條的人—更願意冒險。比起那些一無所有的窮人，擁有5袋土豆條的人更可能冒險選擇上述 50%機會贏取 150個土豆條的賭局。 對丹尼爾來說，所有這些觀察結論都顯示了這樣一個道理，即所得的心理價值同所得的數學價值是兩個不同但又相互聯絡的概念。伯努利指出，人們並不是像帕斯卡、阿爾諾和他的叔叔雅各布所認為的那樣， 根據預期價值理論來進行決策，而是根據選擇的預期效用理論來進行決策。按丹尼爾所說，預期效用是由“所得”的機率和其效用（而不是價值）計算出來的。丹尼爾公式中價值和效用的關係對聖彼得堡悖論所強調的數學價值和心理價值之間的不同點做出了說明。 有了這些觀察結果，丹尼爾需要創造一種可將價值和效用聯絡起來的簡單形式，而利用二維的平面圖就可以表示價值同效用之間的關係。 首先，這種形式必須能說明50的心理價值的兩倍等於200的心理價值 （在土豆條抽彩給獎法的例子中）；其次，丹尼爾還必須說明，富人比窮人更願意為了一定的錢財而冒險。為了說明這兩點，丹尼爾提議可以把價值和效用的關係看成一條平面圖表中的凹曲線，還可以把期望所得按一定比例換算成選擇者淨值。丹尼爾認為人類效用曲線看起來與這個圖完全相似，後來的研究對他的這個結論提出了質疑，但是他的這一見解仍然是決策論的一大特徵，也是現代經濟學的核心。對人們來說，1美元的效用不會甚至根本不是一成不變的，相反，效用似乎是以一種更為 • 155
192 決策、不確定性和大腦一 —神經經濟學複雜的方式增長，而且可以反映出選擇者的淨財富（見圖84）。 25 50 馬鈴薯片的數量圖8—4 馬鈴薯片的效用函式 100 伯努利的效用論代表著一個巨大的飛躍，而且此飛躍實際上不在純機率論的領域。從純理論的角度來講，丹尼爾•伯努利的效用論在測試未來事件發生的可能性時，仍然是依賴於拋硬幣組合或關於生死的保險精算表。然而，丹尼爾提出，人們在做決策時，總是先估計那部分價值令自己當前狀況改善的機會有多大，而不是這部分的絕對價值。這一結論從直覺上看似乎是正確的。只要口袋裡面不是空空如也，那麼多一塊土豆條或者少一塊土豆條都無所謂。 機率論的重要進步：貝葉斯和拉普拉斯 18世紀中期之前，機率論（顯著地不同於評價理論—如預期效用理論）幾乎全部集中於對諸如賭博、投硬幣、預期壽命等這些具有不確定性的未來事件的可能性的估計上。這類可能性估計常被稱為“偶然機率”，其中“偶然”一詞源於拉丁文 “aleator”—投幣機賭博的意思。從法律上講，偶然（投機）性契約指那些當簽約人面臨未來不確定性事件時，可以免遭損失或者獲取賠償的契約。人身保險就是這樣的例子。 準確地說，偶然不確定性事件指一種可能性事件，帕斯卡曾預言它將成“機率論的演算法”的研究主題。不管世界是否真正具有確定性——就像笛卡兒和伽利略所希望的那樣——我們通常不知道將來會發生什麼。我並不知道某個特定的人將於何時死去，也不清楚拋起的硬幣 • 156•
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法落地後是正面朝上還是反面朝上。但是帕斯卡的機率理論可以用來模擬這類事件。到了18世紀下半葉，有兩個人進一步革新了機率論的演算法， 這是因為，這兩個人意識到，機率論不僅可以用來估計未來事件的可能性，而且還可以對過去事件的可能性進行估計。雖然這一點看似微不足道，但是卻改變了歐洲人對機率數學的思考方式，同時也為更加正式的決策理論開創了新局面。 考慮一種不確定情況，這也是英國牧師托馬斯•貝葉斯（Thomas Bayes）和法國數學家皮埃爾• 西蒙 • 拉普拉斯（Pierre Simon Laplace）極大的興趣所在：當時一位天文學家短時間內連續6次對木星的地平緯度進行測量，從而得到6個不同的值。木星有唯一的地平緯度，但是我們卻得到了6個並不完全準確的值，且各不相同。我們可能要問，哪個才最可能是木星的真實地平緯度呢？正是由於托馬斯• 貝葉斯的發現——在他去世後於 1763年出版成書—才使得機率論能夠回答這類問題。貝葉斯認為，如果知道了由天文學家的儀器所引起的誤差的分佈，那麼就可以在數學上推出最可能的木星的真實海拔值了。 有一點需要指出的是，這類機率不存在任何偶然的成分。因此在進行測量時，木星肯定有一個真實的海拔值。不確定性僅僅源於我們知識的不足。在這個例子中，我們所面臨的限制全部都是認識論上的。此外，貝葉斯還指出，機率論不僅可以用來描述偶然不確定事件，還可以用以描述認識論上的不確定事件。 托馬斯• 貝葉斯遺憾的是，我們對貝葉斯的生平知之甚少，只知道他是一位生活在鄉下的新教神學家，同時也是位不信國教的牧師，而且不是英國教會中的一員。他生前只有兩部著作：一本神學著作《神的善行》（或《嘗試證明神的命令和統治的主要目的是使人類幸福》），以及一本數學著作 《流動學說導論—數學家針對分析學家異議的辯護》，在這本數學著作中，針對哲學家喬治 • 貝克萊（George Berkeley）主教對牛頓微積分學的質疑，他進行了辯護。貝葉斯去世之後，他的朋友，也是他的遺囑執行者理查德•普萊斯（Richard Price）在其論文中發現了一篇名 “論如何利用或然性理論解決問題”（Essay Toreards Solving a Problem in the Doctrine of Chances）的手稿。普萊斯於 1763年將這份手稿交給了皇家學會，憑藉這篇手稿，貝葉斯獲得了巨大的聲譽。 如今在數學界，貝葉斯的名字依然如雷貫耳，而我們竟然對他所知 • 157• 198
決策、不確定性和大腦——神經經濟學寥寥，這真是令人驚訝不已。例如，我們不知道為什麼他在死之前被選為皇家學會會員。實際上，現存的唯—張貝葉斯遺像甚至並不是他本 194 人的。歷史上的貝葉斯幾乎完全是一個難解的謎團。對與他同時代的人們來說，所有這一切並沒有什麼令人特別吃驚的地方。在貝葉斯死後發表在《倫敦皇家學會哲學彙刊》上的手稿直到拉普拉斯在10年後重新發現它以前也幾乎沒有任何影響。 貝葉斯的見識相當深邃。他意識到，我們對很多事情僅具備不完全或不準確的知識，所以儘管有些事情真的發生了，但是由於我們知識的有限性，使得它們仍然具有不確定性。而貝葉斯首先認識到，運用數學上的逆機率的完全形式，可以推斷出那些事件的最有可能的值或者是它們的性質。［3］ 貝葉斯定理為解決這類認識論上的不確定性的基本統計方法奠定了基礎。貝葉斯定理透過下面的方式做到了這一點：在給定某人有效的觀測結果的情況下，它將對世界所有可能的過去狀態的機率預測過程置於嚴格的數學基礎上。通俗地講，貝葉斯定理讓我們提出了以下問題：我已經以多大的頻率觀察到了世界處於狀態 x，當前的感覺資料與世界確實處於狀態 x的關係如何，如果這些方面的知識都給定時，那麼精確地說，世界到底有多大可能真的確實處於狀態 x呢？ 由於貝葉斯定理非常重要，所以我想暫時離題一會，舉一個顯示該定理的數學如何發揮作用的相對完整的例子。想象一下，如果你是一隻猴子，當兩個不在中心的光點同時變亮時，你被訓練去注視其中的一個，這個例子和第5章中所舉的例子是一樣的。然而，在這個實驗中， 我們透過改變中心固定光點的顏色來暗示兩個偏離中心位置的靶子光點哪一個（左邊的還是右邊的）是你在這次實驗中的目標。如果你能確定你的目標是哪一個靶子光點，然後注視它，你就可以得到一個葡萄乾作為獎賞。但是中心光點的顏色（或者更準確地說是中心刺激所發出的光的波長）可能是100個不同的色度（或波長）中的任何一個。那麼我們就可以對這一任務進行貝葉斯式的描述了。首先我們可以說會有兩種可能的狀態：一種是眼睛向左看從而得到獎賞，一種是眼睛向右看從而得到獎賞（見圖8-5）。 196 這兩種狀態可以用數學術語定義為w」和ce2。狀態ve」表示眼睛向左看（或飛快掃視）將得到獎勵，而狀態z02表示眼睛向右看將得到獎勵。觀察100次後，不管中心目標的顏色如何，在全部實驗裡眼睛向左看得到獎勵的機率是25%，眼睛向右看而得到獎勵的機率75%。根 • 158•
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法據上述觀察，我們可以說，狀態w」發生的先驗機率（記作P（z」））為 0.25，狀態w2的先驗機率為 0.75。 如果世界是狀態1， Palw） 如果世界是狀態 W Plilw）） 195 機率密度波長 m，的總機率 =0.25 IF： A：注視一個給定波長的可能性 Pla.lw）P（w） 波長 W，的總機率=0.75 P（alw，）P（n） 率概波長 B：在給定環境狀態下注視一個給定波長的機率 P（A） 波長波長 C：不考慮環境狀態時注視一個給定波長的先驗機率 P（alw，）P（ws）P（A） Plal M）Plw，）/P（） 波長 D：當你處在特殊環境狀態下，作為波長函式的後驗機率圖8-5 貝葉斯定理為了使先驗機率對這種狀態的估計更加準確，接下來我們必須考慮中心固定刺激的顏色，還要考慮刺激的顏色與每種狀態之間的關係。為 • 159•
197 決策、不確定性和大腦——神經經濟學了做到這些，我們需要繪製一張圖，該圖表示當世界處於狀態w」時我們將得到某個特定的刺激波長（在此我們稱之為入）的機率。圖8-5A 描繪了該情形下的機率密度函式。1這一函式表示當分別處於狀態t0」和狀態 ze02時每個入值所對應的機率。我們稱之為入在狀態w」下的條件概率密度函式，記作 P（alte1）。 接下來，為了利用圖8—5A 的這兩幅圖得到我們看到的給定波長入和環境也處於給定狀態這兩個事件同時發生的機率，我們必須對這些圖進行調整，因為從總的機率上說環境不是處於狀態w_就是處於狀態 202。要做到這點，我們可以把曲線上每一點的值與那種狀態的先驗概率相乘。這樣左邊的曲線就變成了 P（Alw1）P（w1），這裡的 P（w1）指處於狀態w1時的先驗機率。注意圖8—5B 是透過將圖8—5A 按照一定的比例調整得到的。 最後，我必須確定不管環境處於何種狀態，任意給定的入值會有多大的可能性出現。要做到這點，我們只需要把我們看到的波長處於某個特定的入值的次數加總起來，然後畫出針對所有入值的機率密度函式， （不管哪種行為會受到獎勵），如圖85C所示。 現在我們可能會問，當我們觀察到一個給定的光的波長時，在這個實驗中，眼睛向左看得到獎勵（即處於狀態w1）的機率是多少，而眼睛向右看得到獎勵（即處於狀態w2）的機率又是多少。為了計算出這些機率的值，我們可以用圖85B中的曲線除以圖85C中的曲線， 這樣就可以得到兩條同時出現在圖85D 中的曲線。透過這種方法， 就可以把在特定狀態下觀察到的特定波長的機率調整為我們已經觀察到的波長入的全機率，這也是由下面的公式所表達的貝葉斯定理的精髓： 在給定入的當前值的情況下，ve_的機率 P（tarla）= P（alwen）E2n） P（A） 如果用文字重新表述貝葉斯定理，那麼上述公式的含義就是，在觀察到某個特定的顏色時眼睛向左看得到獎勵的機率就是：實驗中向左看時中心刺激恰好是這個顏色的機率乘以向左看得到獎勵的機率，然後再除以曾觀察到這一特定顏色的機率。這一結果通常被稱為後驗機率，原則上這一機率給出了對這個可能性做出的最優估計。從這個例子中，我們可以發現貝葉斯定理的抽象美：它提供了一個數學工具，該工具可以用來對某—事件發生的機率做出最具有可能性的估計。沒有其他方 • 160•
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法法——不管多麼複雜—能為不確定事件發生的可能性做出更加準確的估計了。貝葉斯定理之所以稱得上是一個偉大進步，是因為沒有一個對不確定結果出現的可能性進行估計的決策過程比對該機率的貝葉斯估計更準確。貝葉斯定理可以把認識論上的不確定性減小到最低水平，並可以指出這種狀態的機率。 皮埃爾 •西蒙•拉普拉斯貝葉斯早已得到了一種可以對過去事件的可能性進行計算的最佳方法，但是拉普拉斯對此並不知情，他在1772年開始對逆機率產生興趣， 並且在對天體力學孜孜以求的同時，也對現代機率論的發展做出了很多貢獻。回憶一下第2章，我們可以知道，在他那個時代的所有主要的思想家中，拉普拉斯稱得上是擁有最徹底的機械決定論世界觀的人。在對天體力學的研究中，他得出了這樣的結論：宇宙的方方面面都是事先決定了的。後來拉普拉斯還得出了下面的結論：一位智慧超群的人從原則上說可以透過及時縱覽整個宇宙的狀態，然後再加上他對物理學的數學定律的完全知識，就可以絕對準確地預測世界在未來任何時間所處的狀態。簡言之，拉普拉斯傾向於相信未來沒有什麼不確定的事情。 這對拉普拉斯來說也許是非常關鍵的一步，因為這使他可以從一個截然不同的角度看待偶然性和認識論上的可能性。在拉普拉斯看來，人們不知道拋向空中的硬幣落地後是正面朝上還是反面朝上，這的確是真實的情況，但是在拉普拉斯看來，這是由於人們認識上的侷限性造成的，並不是因為存在根本的偶然性的緣故。拉普拉斯所說的那位智慧超群的人會知道硬幣被拋後每一個分子的位置。我們必須假設—也許拉普拉斯也是這樣認的—根據這些資料，那位智慧超群的人就可以預測出硬幣會以什麼方式落地。如果這個世界真的具有完全確定性，那麼在我們看來是偶然發生的未來事件之所以具有不確定性，是因為我們對未來世界的狀態瞭解不夠，對物理定理也所知不足的緣故。對拉普拉斯來說，未來的不確定性並不存在根本的偶然性，存在的只是對過去和未來在認識論上的或多或少的不確定性。這一思想尤為重要，因為對拉普拉斯來說，這意味著過去事件的不確定性同未來事件的不確定性並非截然不同。先驗機率和後驗機率代表了哲學上相類似的認識論問題。 從這一基礎出發，拉普拉斯也嘗試建立一個最優的估計過去或未來事件的可能性的體系。而且，在他偶遇到發表於《倫敦皇家學會哲學匯刊》上的貝葉斯的論文之前，他就已經得出了一套邏輯嚴謹的結論。盡 • 161• 198
199 決策、不確定性和大腦—神經經濟學管拉普拉斯可能並不是第一個推匯出貝葉斯理論的人，但是他獨特的世界觀卻使他意識到這一定理的重要性。正是由於拉普拉斯，現代機率論和決策理論才得以誕生，當然貝葉斯的遠見卓識也發揮了相當重要的作用。 8.3 價值、機率和決策：現代經濟理論的基石我曾提到，從進化論的角度講，神經系統的目的必然是為了做出能夠最大化生物體內在適應度的決策。換句話說，如果我們知道運動反應同內在適應度是怎樣聯絡的話，那麼為了確定最佳運動反應，把感覺信息和已知的環境結構現狀結合起來的最佳方法是什麼呢？帕斯卡、伯努利、貝葉斯和拉普拉斯等人從現代經濟學理論的角度回答了這個問題。 從進化論的角度講，要明確這一目標需要計算生物體的每個可能的行動方案的效用值。然後利用貝葉斯定理對每個結果的機率進行估計。把這些資料點組合起來，就可以確定任何既定情況下的最優運動反應了。 對經濟學家來說，利用貝葉斯機率估計和效用函式這類工具，我們就可以確定理想的行為方案，或者如經濟學家所說的理性的行為方案。 在這一假設的基礎上，許多經濟學家進一步認為：該方法不僅可以用來確定最優的解決方法，而且也可以用來預測真實世界中人類的經濟決策行為。遺憾的是，要對經濟世界中的人類決策做出解釋，完全理性（這種方法通常被這樣稱呼）的作用很微弱。原因可能有很多，所有這些原因都是當代經濟學研究的主題。例如，人們似乎通常用與貝葉斯提出的效用函式相差甚遠的效用函式來評價他們的選擇。而且通常情況下人們似乎難以對機率做出準確的估計—-當然對這一觀點更是充滿爭議。所有這些觀測使一些經濟學家認為人類決策者只具有有限理性，正如經濟學家赫伯特•西蒙所提出的思想一樣（有關這方面的觀點，請參考西蒙 （1997））。 在本章的開頭，我曾引用了戴維•瑪爾的話：“透過搞清楚需要被解決的問題的本質來理解一種演算法，比探究該問題被具體表達的機制 （及硬體）更為快捷。”但是瑪爾所面臨的一個重要問題是嘗試精確定義動物正在努力解決什麼問題。對瑪爾來說，要定義這一問題可謂困難重重，主要是由以下兩個原因造成的：第一，對於瑪爾所用的確定性數學方法如何對現實世界中的不確定事件進行處理，我們並不清楚。第二， • 162•
第8章定義目標：擴充套件瑪爾的方法面對模組理論和進化論這兩大挑戰，神經系統是否還可以計算出現實問題的解決方法，這點似乎也同樣是不確定的。實際上，經濟學家已經觀察到，在許多抽象的情況下，人們只是按次優決策行事。這點似乎可以證明，從整體上講，進化並不能達到產生有效行為這個目的。 我相信，這一判斷忽略了“利用進化論和經濟理論可以完成什麼” 這一問題。利用有關理性選擇的經濟理論，我們可以為能夠用效用函式定義的、包含不確定性的問題找到最優的解決方法。原則上，貝葉斯定理為我們提供了一種可以得到最優統計估計的數學方法。而自然選擇的原理為我們提供了一種從理論上對效用函式進行完善的方法（也許在實證分析的意義上更為困難一些）。自然選擇會導致適應環境的生物體的存活數量最大化。根據生物經濟學的觀點，內在適應度的單位就是效用的單位。從進化論的意義上講，聯絡行為和大腦的問題可以簡化為：給定我們對當前世界所處的狀態和任何當前存在的不確定性的認識，何種行為方案才能使我們的適應度達到最大化呢？在下一章中我們將會看到，賦予了經濟學邏輯的計算方法在行為生物學家那裡已經成了一種非常有效的工具。從進化論的角度講，每個經驗上的邏輯推斷都使我們相信，動物的神經系統已經得到了進化，它們的神經系統可以高效率地解決它們所面臨的問題。如果真是這樣，經濟理論也許可以成為一種工具，以對神經系統基本功能的進化目標做出定義。 進化得到最優的解決方法還是最優的大腦？ 關於這一點，首先把一些事情解釋清楚至關重要。我並不認為任何大腦都可以最優地解決任何問題。相反，我認動物在其所處環境中表現出來的行為可以相當有效地達到最大化適應度的目標。而經濟學是一種用來對動物所面臨的問題，或者動物應該達到的目的做出定義的工具。正是憑藉神經系統的作用，動物才能在所處的環境中實現它的目標。 為了更清楚地解釋這個問題，請允許我引用一個認知生理學家蓋德• 吉熱澤 （Gerd Gigerenzer） 和他的同事的例子（吉熱澤、託德和 ABC 研究集團，2000）。考慮一下，有一個細菌，其所處環境中的食物隨機分佈，而且這些食物一直在運動。在這種不確定性下（服從均勻分布），如何發現食物這個問題的最優解決方案是什麼呢？答案是，細菌朝任意方向前行尋找食物。因為在這樣的環境結構中，細菌所選的任何一條隨機路經同任何其他隨機路徑的效果都是一樣的。所以對於該生物 • 163• 201
202 決策、不確定性和大腦——神經經濟學體來說，在面臨這種搜尋問題時——儘可能有效地聚斂食物以達到適應度最大化，最好的解決辦法就是隨機搜尋。為了達到這一目的而不斷進化的生物體的結構也許是相當簡單的。內部隨機過程會選擇一個運動方向，然後開始運動。為了獲得由該生物體所處環境界定的最優策略，不需要再多的東西了。當然，在食物以團狀聚集分佈的情況下，該生物體的這種行為就顯得比較拙劣了。在這種情況下，我們可以發現該細菌在一個食物團中只吃一會，然後又會朝另一個隨機方向尋找，而並沒有採取逗留在食物豐富的區域附近的策略。毫無疑問，在食物以團狀聚集分布的環境中覓食的細菌解決這種問題的效果欠佳，比起能較好地解決這一問題的細菌，其適應度較差。可是，如果動物所處環境中的食物是隨機分佈的話，它就能最優地解決這個問題。 從進化論的角度說，細菌的例子提供了一個利用經濟理論去考慮生物體如何做出有效行為的問題的情形。在這種情況下，我們可以把進化論效用函式看成這樣一個過程：在這一過程中，細菌所吃食物數量最多時，細菌的繁殖率達到最大。也就是說，在食物隨機均勻分佈的情況下，隨機搜尋是最優行，而且這種行為可以產生最佳適應性的細菌。 當然細菌對貝葉斯估計或適應度（效用函式）是一無所知的，也沒有任何的理由認為它對這些數學模型有絲毫的瞭解。這些模型描述了環境的特徵，而且能夠將對環境特徵做出準確反應的生物體與對環境特徵反應欠佳的生物體相比，最終達到更高的適應度。 8.4 小結從更深的層次上說，瑪爾認為我們需要理解大腦正在努力做什麼的建議可以被完全改寫。在一個充滿不確定性的世界中，對任何生物體來說，貝葉斯估計理論都是獲得對世界特性的最優估計的數學工具。效用函式是數學工具，該工具從進化論的觀點出發描述任何動物對其所處環境的不確定效能夠做出的最優反應的方式。經濟理論使我們能夠定義由環境引起的問題，同時它也使我們能夠確定實際中動物在多大的程度上精確解決了這些問題。 當然，也許有人會認為實際上動物在理解它們所面對的環境特徵時往往做得很差，因而這樣做對於瞭解神經系統的功能很難有什麼幫助。 在第7章我對這個問題做出了最初的回答：有大量的證據表明當我們能 • 164•