盡力超過對方，所以期權回報的支付條件也就變得更加精確和更加難於理解了。到了20世紀末，高等師範學校的精英們， 也就是那些經過訓練的、對規範數學有著法國特色興趣的數學家們，在法國的銀行裡創造出了最受歡迎的期權產品。他們所銷售的特殊期權是掛鉤一個股票籃子的期權，只是籃子裡股票的成分隨時間而持續變化。舉一個例子，隨著在上一年度表現最佳的股票被剔除出去，這個籃子裡成分股票的數量每年都在減少。就像在任何一樁生意裡一樣，銷售人員喜歡量身定制和複雜性這兩樣東西，因為你不但可以為此收取更多的費用，而且對於客戶來說也更難以評估出產品每一個單獨特性的價值。產品複雜了，還使得競爭對手更難以複製。 各種產品的變形不斷湧現。乘著這股創新潮流的勢頭，同時也在推波 207
寬客人生| My Lite as A Quant 助瀾的，就是彼得•菲爾德靈感一現、冒險一試創辦的《風險》雜誌。每個月我們都要翻一翻這本雜誌，看看裡面的行業新聞、各種訊息以及量化分析的文章。這是期權行業裡第一本印在光紙上的雜誌，充滿了廣告和裝飾圖案。這本雜誌面向的是量化分析領域的實務工作者，而不是學者或是基金經理。它拋棄了《金融研究》這類學術期刊那令人窒息的僵化格式， 所以學者們和實務工作者們都很喜歡《風險》這本雜誌。費希爾也曾充滿欽佩地對它發表評論。在20 世紀90年代初期的連續幾年裡，每一期《風險》雜誌都會刊登關於最新的特結構型產品的資訊以及如何對其估價的熱點文章。不久之後，《風險》雜誌就開始組織昂貴的關於特期權的培訓班。這是一個聰明的套利機會，他們組織一些投資銀行的寬客去聽另一些投資銀行的寬客的講座，從中收取費用，然後揣進腰包。 其他一些期刊後來也陸續間世。國際金融工程師協會作為一個新出現的寬客專業化組織，也確定了一套教育課程，適合用來培訓寬客。現在， 越來越多的大學感受到了對金融工程師的需求，為了滿足那些願意花錢來學習數量金融的人的要求，於是相關的教科書和金融工程碩士學位課程進修班，並開始大量出現。1985年我進入華爾街的時候，這裡還只是個業餘選手的天下，是一個充斥著來自於其他領域的經過崗前再就業培訓的人的臨時棲身之所，而且流動性很強，這些人只要學東西快、能夠求解公式、 可以獨立編寫程式就可以了。那時你必須自學期權理論，而且只有寥寥幾本教科書來幫助你—傑諾、魯德、考科斯和魯賓斯坦撰寫的那些教科書就是我能獲得的僅有一些教材。每年我去參加的唯一一個衍生產品會議就是由美國證券交易所主辦的年度春季會議。而到了20世紀90年代未期， 就有了幾十個碩士學位課程班，幾百場專業會議，以及上千種的書籍。物理學家和數學家們，要麼是找不到學術職位，要麼是對學術界的政治和報酬感到厭煩和不滿，越來越想在華爾街找到一份工作。 實務工作者們的量化生活，在以前是那種自學的業餘選手們快樂隨意的領地，而現在正在變成一門學科、一樁生意和一種職業。同時，它也變得有一點無趣了。 208
14. 黑暗中的笑聲波動率“徽笑曲線”令人困惑之處布萊克一肖爾斯公式之外：研究期權局鄱波動率模型的競賽很恐發現正確的模型寬客人生|My Life as A Quant 我第一次聽到“微笑曲線”是在1990年12月份，從戴夫•羅傑斯那裡知道的，他是高盛在東京的首席期權交易員。我曾經一度經常飛往東京，給我們在那裡的交易員帶去風險管理工具的最新版本，並且瞭解一下他們還需要什麼新的模型和軟體。東京股市跟紐約股市不一樣，中午就收盤了。收盤後交易員們就不再那麼精神高度緊張，出去吃午飯，銷售人員則會出去見客戶，這也正是輕鬆的談話時間。當我們聊天的時候，戴夫讓我看了他用來關注掛鉤日經225指數的期權產品價格的電腦螢幕。他指出了在日經指數期權價格中一個奇怪的不對稱的地方—虛值①看跌期權的價格，出人意料地大於其他期權的價格。 所有人把這種不對稱性稱為“微笑”或是“彎曲”。起初，它看上去只是有點有趣罷了，是一個在我們容忍範圍內的特殊的不尋常之處。但接下來，當我再深人思考時，我意識到“微笑曲線”的存在跟布萊克和肖爾斯所建立的有20年曆史的期權理論完全不一致。而且，如果佈菜克一肖爾斯公式是錯誤的話，那麼一隻期權的價格相對於它的基礎指數變化的預期敏感度，也就是所謂的“8”是錯誤的。這樣一來，所有使用佈菜克一肖爾斯模型裡面的“S”進行對沖的交易員，對他們的期權組合所做的對衝就都是不正確的。而布萊克一肖爾斯模型中最核心的內容就是所給出的複製和對沖的方法。因此，微笑曲線就在護佑期權交易的理論屏障上捅開了一個雖然小但很深的洞。假便是佈菜克一肖爾斯模型錯了，那麼什麼是正確的可以用來對沖期權的“8”呢？ 在20世紀90年代，微笑曲線最初只是股票期權裡面的一個特殊之處，後來也影響到其他市場，只是在每個市場上的表現形式略有不同。理解“”成了縈繞在我以及很多我同時代的寬客同行腦海中的主要事情。 ① 虛值（out-of-money）期權是指，期權的內在價值為負值或是在未來膜約時可能出現虧損的期權。其中期權的內在價值（intrinsic value）是指現在執行期權能給持有人帶來的收益，也即標的證券的價格和期權執行價格之間的差額。——譯者注 210
14）黑暗中的笑聲| 它是一個恰好位於期權交易和期權理論交點上的不尋常的現象。我花了大量精力試圖對其進行建模。 滿腔熱情、雄心勃勃地開始工作，讓我覺得好像又回到了物理領域， 急急忙忙地要成為發現某件重要而且有趣的事情的“正確”模型的第一人。我幻想著構造出一個受所有人歡迎的模型，這個模型將會取代布萊克一肖爾斯模型。但是，事情沒有我想的那樣簡單。在之後的10年裡， 我知道了在金融建模領域，“正確性”是一個比我曾經以為的還要模糊的概念。 在金融建模這項事業裡，你反覆學到過的內容中有一件就是計量單位的重要性。你永遠希望證券價格的報價能夠使它們可以方便地與其相對價值進行比較。 舉例來說，當你簫要比較債券的價值的時候，它們的價格並不能提供充分的資訊，因為每隻債券都有不同的到期日和利息票率。因此，你標出的是它們的收益率。一隻債券的收益率可以對這隻債券能為你帶來多少回報提供一個估計值，而不用考慮它的利息票率和到期日。你可能不知道一只98美元的折價債券到底是不是比一隻105美元的濫價債券好，但是你肯定知道，在其他條件相同的情況下，一隻收益率為5.3%的債券不如一只收益率為5.6%的債券有吸引力。這種把價格轉換成收益率的過程，本身就是一個模型，盡是一個簡單的模型。對於瞭解價格來說，這是一個簡便的方法，也是朝著估算價值邁出的良好的第一步。 在期權領域也同樣如此，單靠價格並不能充分地衡量價值。想要判斷出在一個兩平①看跌期權上花300美元到底是不是比在一個虧損嚴重的處值看跌期權上花40美元更合算，是不可能的。一個更好的衡量期權價值的指標就是這個期權的內含波動率 （implied volatility）。布萊克一肖爾斯模型把股票期權看成是同股票回報的未來波動率掛鉤的賭博。這隻股票波動越劇烈，這個賭博就越有可能獲利，因此，你在它上面花的錢也就應該越多。你可以應用模型把一隻期權的價格轉化成股票肯定會表現出來的未來波動率，從而使這隻期權的價格具有可比性。這個衡量指標就被稱為這只期權的“內含波動率”。也可以說，這是從期權的角度來看股票的未來波動率。 ① 兩平（at-the-money〉期權是指不具有內在價值和日後腰約時既不會盈利也不會虧損的期權。—譯者注 211
寬客人生|My Life as A Quant 布萊克一肖爾斯模型是市場的標準。當那天在東京，我坐在戴夫身旁時，他的電腦螢幕上顯示的就是用佈菜克一肖爾斯模型得出的內含波動率所報出的價格。甚至在今天，雖然已經沒有人相信佈菜克一肖爾斯模型是估算期權價值的最優方法，而且技術手段更高超的交易員們有時候會應用更加複雜的模型，但是由佈菜克一肖爾斯模型得出的內含波動率仍然是報價方面的市場慣例。 一骰來說，期權的流動性不如股票，所以內含波動率的市場資料也就不夠細化，只是基本準確。儘管如此，戴夫指給我看的，就是我已經隱隱約約有所察覺的，即在內含波動率上有一個劇烈的彎曲，從而使得三個月期的低執行價格期權的內含波動率，比同樣三個月期的執行價格更高的期權的內含波動率要大得多。你可以從圖14.1中看出這種不對稱性的大概樣子。這種偏向一邊的形狀，儘管一般被稱為“微笑”，但其實更多的是一種“傻笑”。 22 21 20 19 率 18 （%）17 1615141987年股災前 13 12 90 91 T 92 93 94 95 %6 97 98 99 100 101 102 103 104 以當時日指數點位的百分比表示出的執行價格圈14.1 在1994年後期，日經指數三個月期期權的一個典型的內含波動率的“微笑曲線”形狀。虛線部分所表示的是在1987年服災之前，通常是不彎曲的形狀。 在把內含波動率作為你的價值衡量指標時，低執行價格的看跌期權就是最貴的日經指數期權。1987年10月19日這一天，股市裡面的任何人都可以很容易地猜出為什麼。當全球股票市場自那天開始跳水，投資者對股市瞬間大幅下跌的可能性始終記憶猶新。因此他們願意花錢保護他們的投資安全。而虛值看跌期權就是最好的也是最便宜的保險。經歷了1987年 212
14|黑暗中的笑聲| 股災的投資者們，亡羊補軍似的願意花錢購買保險，以避免再次遭受曾讓他們痛苦的風險。到1990年的時候，所有股票市場上都出現了相似的 “微笑曲線”或“彎曲”。與此相對照的是，在1987年以前，掉以輕心的、不經世事的期權市場對所有的執行價格都樂於承受差不多相同的內含波動率，就如圖14.1中用虛線表示的。 並不是只有3個月期期權的內含波動率出現彎曲。相似的影響在任何到期日的期權上都是可以發現的，也就是說，內含波動率不但隨著執行價格的不同而變化，也隨著到期日的不同而變化。我們於是把內含波動率在時間和執行價格這兩個維度上的雙重變化，畫成了一個維內含波動率曲面。圖14.2表示的是一個標準普爾500指數期權的曲面圖。這個曲面同收、益率曲線一樣，每一分鐘、每一天都在持續不斷地變化。 （%） 24 22 20 18 16 14 12 10 24 22 20 18 16 14 12 10 500 0.0 550 執行價格 600 0.6 0.8 0.2 0.4 到期日（年） 650 1.0 圖14.2 1995年中期，標準普爾500指數期權的一個典型的內含波動率曲面。 這種帳篷狀的曲面對於任何地方的理論家來說都是一個挑戰。布萊克一肖爾斯模型不能對此做出解釋。佈菜克一肖爾斯模型對一個指數或一只股票在未來所有時間都設定了一個單一的波動率，因此，產生的永遠是一個沒有起伏的、平坦的、也沒有什麼特點的曲面，如圖14.3a所示。如果對佈菜克一肖爾斯模型做些調整，使得未來指數的波動率跟現在的不一 213
寬客人生|My Life as A Quant 樣，即使你做到最好，得到的結果也只是一個沿時間方向傾斜的曲面，如圖14.3b所描繪的那樣。而沿著時間和執行價格這兩個垂直方向都發生變化，卻是一個令人困惑的地方。經典的布萊克一肖爾斯模型出了什麼錯？ 什麼樣的新模型可以對這種曲面給出可能的解釋？ （a） 24 22 20 18 16 14 12 10 24 22 20 18 16 14 12 10 0.0 500 550 執行價格 600 0.8 650 1.0 0.2 0.4 0.6 到期日（年） （b） 24 22 20 18 16 14 12 10七 500 24 22 20 18 16 14 12 10 0.0 550 執行價格 600 0.8 650 1.0 0）.2 0.4 0.6 到期日（年） 圖14.3 內含波動率曲面。（a）在標準的佈菜克一肖爾斯模型中的情況。（b）在經過改進的佈菜克—肖爾斯模型中的情況，這時波動率沿到期日軸隨時間而變化。 214
14| 黑暗中的笑聲| 我們知道佈菜克一肖爾斯模型對股價的變化進行「過於簡化的處理。 模型假定，股價從它現在的數值以一種緩慢的、隨機的、持續不斷的方式向末來擴散出去，很像是從點著的香菸頂端冒出的煙霧在屋子裡擴散的樣子。離香菸頂端近的地方煙霧的濃度就大，離香菸頂端越遠則越稀疏，也就是說在一個點上的煙霧濃度代表了一個煙霧顆粒未來將會擴散到那裡的可能性。而在佈菜克一肖爾斯模型中，一個相似的陰影則描繪了，股價在未來某一個時點將會到達未來某個特定數量值的可能性。圖14.4表示的就是佈菜克一肖爾斯模型中，一隻股票股價可能性的霧狀圖。霧狀圖裡面的陰影部分越淺，表示股價末來越不可能到達那個位置。用一個單獨的引數來代表股票的波動率，習慣上用希臘字母 “a”表示，它就決定了擴散的程度和陰影沿縱軸部分的寬度。股票的波動性越強，則陰影部分就越寬。 股票價格波動率為心的擴散 100 美元 •時間今天圖14.4 佈菜克一肖爾斯模型中的一個簡單的擴散。陰影區域表示的是一隻現在價格為100美元的股票，其未來價格的可能範圍。時間過去的越多，未來價格的不確定性就越強。陰影部分顏色越深，價格就越有可能到達那個區城。 儘管簡化處理是建模的精髓，但是佈菜克一肖爾斯模型對霧狀陰影部分的擴散給出的描述，限定性太強了。首先，股價並不必需以一個恆定不變的波動率來進行擴散，股價在有些時候要比其他一些時候擴散的速度快。第二點，也是更重要的一點，有時候股價根本就不會發生擴散。圖 14.4中所示的擴散，是一個緩慢的、持續不斷的過程，在這個擴散的過程中，股價從100美元運動到99美元，要經過這兩個價位之間所有可能的 215
寬客人生|My Life as A Quant 價位。然而，1987年股災的時候，情況並不是這樣的。在那一天，道瓊斯指數就像是踩在彈簧上的一個興奮的孩子，直線下跌了500點。 從東京回到紐約以後，我開始跟量化策略小組的同事伊拉傑•卡尼和埃裡克斯 •伯爾吉爾一起合作。我想對布萊克一肖爾斯模型進行拓展，使得其剛好足夠包含“微笑曲線”的情況。“剛好足夠”永遠就是目標。一個模型只是一個模型。你想要去做的就是抓住現象的本質，而不是事件本身。實事求是地講，在布萊克和肖爾斯所假設的簡單的股價演化過程中， 新增上一些複雜性，簡直是太簡單了，但是沒有經過調整的複雜性是毫無意義的。 對於股票投資者來說，最害怕的莫過於再出現一次1987年那樣的股實，於是我們就在佈菜克一肖爾斯模型中加人了這種可能性。這並不是什麼新東西，默頓早在20世紀70年代中期，在他的所謂“跳空擴散模型” （jump-diffusion model）中就已經做過這項工作了。而作為我們工作的開始部分，我們做的還沒有他精細。我們只是在股價恆定不變的擴散度上引人了一個新的特徵值—-—個小機率事件p，即股價可能會有一個相當大的下跌幅度J。圖14.5所顯示的就是描述這一可能性過程的陰影圖。如圖所示的是股價現在可能出現的兩種情形：一個是先下跌，幅度為J，之後以波動率oH 進行擴散，而因為股災之後人們的愈後興奮狀態，所以這時的波動率會比較大；第二個，也是更為可能的，以一個正常的、低幅度的波動率oz持續地擴散。 我們跟別入不一樣的地方在於，我們假設小機率事件p是以1個百分點為順序排列的，暗含的意思是，在期權存續期內，市場應該是根據發生股災可能性的百分比來進行分配的。我們選擇讓OH 大約比oL大40個百分點，這一考慮是在將直覺和對股災後續效應的體驗結合起來以後做出的。 這樣一來，我們的模型就只有兩個未知引數了—在發生股災情形下的跳空幅度J，和與正常執行方式相聯絡的波動率OL。這樣就只比佈菜克一肖爾斯模型多了一個引數，佈菜克一肖爾斯模型只包含有一個單一的波動率。我們讓模型產生的期權價格跟兩個內含波動率相匹配，這兩個內含波動率分別是一個兩平期權和一個虧損5%的看跌期權的波動率，這兩個波動率就界定出了一個三個月期的“微笑曲線”的形狀。我們以這種方式對引數進行調整。在一個接近10%水平的正常波動率oL和一個股價下跌幅 216
141黑暗中的笑聲| 股票價格 100美元以正常的、低幅度的波動率心擴散股災：-次下跌、以小機率事件p表示 100美 J 股災之後，以高波動率 GH 擴散 •時間今天圖14.5-只股票未來可能價格的變動範圍，未來可能的價格可以是先下跌一次， 然後再擴散，陰影部分顏色越深，價格就越有可能處於那一區城。 度』是25%的情況下，我們發現可以製造出一個如圖14.1所示的“微笑曲線”的形狀。 我們模型的思路是這樣的：在這隻期權的存續期內，日經指數大約會有1%的可能性下跌25%。這就是什麼你要為一隻虛值看跌期權多付好多錢。我們接下來使用模型估算出這隻期權的8值，即必需的對沖率以便消除掉指數帶來的風險。我們也使用模型對更加不具流動性或更加特的期權估價，這些期權正變得越來越時髦——比如說界限期權——這些期權的價格對小機率事件和跳空的幅度是高度敏感的。我們想讓我們的交易員在市場上尋找那些市場價格同用我們的模型算出的價格顯著不同的期權。他們就可以買進那些價格明顯低估的期權而賣出價格高估的期權，寄希望於這些價格偏離的期權最終會迴歸到我們模型計算出的價位，從而賺取利潤。 儘管我們的跳空模型抓住瞭解釋“微笑曲線”的一個本質原因，但是說到底這個模型還是太粗糙了。從模型角度看，在未來的每天上午，東京 217
寬客人生「My Life as A Quant 交易所開始交易，然後決定要麼是瞬間興奮地大幅下跌，要麼是平心靜氣地擴散，這種對事物的認識仍然過於簡單。現在回過頭來看，也許當時我們本應該加入一個關於可能的跳空幅度和跳空時間的分佈。但是跳空極少發生，而且因為有關跳空分佈的資料非常匱乏，所以我們就不得不做出很多末經證實的假設，這樣就感覺不夠嚴謹了。不管對還是錯，我們寧願要一個約束性更強的模型，這個模型的引數透過與所觀察到的期權價格進行調整，就可以被完全固定下來。當然，10年以後，更加細化的“微笑曲線”跳空一擴散模型又變得受歡迎了。 我們最初的“微笑曲線”模型在高盛的風險套利小組裡還真的找到了使用者，在那裡精明能幹的交易員把關於交易的知識和量化的方法融合在一起，從事高層次的賭博。有一些套利交易員專門關注併購交易，在這些交易中，收購方常常會以大大超過目標公司股票當時價位的價格，面向公眾提出收購目標公司股票的要約。如果監管機構批准了這筆併購交易，目標公司的股價就會跳升至收購公司報出的收購價。在這時之前，股價反映出的就是對於這筆交易完成的可能性的預期。在這些情況下，我們的跳空模型就可以給出一個理論上準確的答案，於是風險套利交易員們就會偶爾使用這個模型，來看一看他們對於這筆併購交易獲得批准的可能性的預期， 是否跟目標公司現在的股價所暗示出來的跳空機率相同。 與此同時，從1991年年中直到1993年初，伊拉傑和我以及量化策略小組裡面的其他人暫時轉向了一個更為緊迫的問題，就是改進我們的風險管理系統來處理數量不斷增多的特殊期權交易。 不幸的是，我們在特殊期權上研究的越多，我們碰到“微笑曲線”這個問題也就越多。每當我們使用佈菜克一肖爾斯的理論框架對櫃檯組合中的特殊期權估價的時候，我們所使用的是一個對更加簡單的標準期權都會求出錯誤結果的模型，是一個跟“微笑曲線”不一致的模型。這是不行的——如果一個模型連簡單的東西都會搞錯的話，那麼你就不能放心用它來處理複雜的情況了。如果開始的時候美國宇航局的一個計算機程式連地球和火星繞太陽旋轉的軌道都不能準確預報出，那麼你也就不能相信這個程式可以預報出從地球向火星發射的一個行星探測器的飛行軌道。 正確的起點是找到這樣一個模型，用它求出的結果跟所有標準期權的市場價格相一致，跟全部的內含波動率曲面相一致。只有這時，在這個模 218
14！黑暗中的笑聲| 型被正確地調整以後，你使用它來計算一隻特殊期權的價值才是明智的。 那麼我們怎樣才能找到一個適合所有曲面的模型呢？ 我回憶起我們當初發展出的BDT 模型。在20世紀80年代中期，固定收益期權領域曾經經歷了一次相似的危機——一線工作者們使用一個像拉維模型那樣的收益率擴散模型來計算任何單一債券期權的價值，但是感覺並不好用，因為這個模型求出的值不能同時滿足收益率曲線上的所有國債的價格。而 BDT模型就是對這一難題的一個可能的解決方案。 我們有在固定收益領域工作的背景，這對於進人股票衍生領域是一個巨大的優勢。伊拉傑和我認識到在債券及其收益率與期權及其波動率之間存在如下的相似性： • 債券價格的報價是使用當期的長期收益率值，這一數值反映的是市場對未來短期利率的預期。 •期權價格的報價是使用當期的長期內含波動率值，這一數值反映的是市場對未來短期波動率的預期。 我們的想法是建立一個後布萊克一肖爾斯模型，使用這個模型可以讓我們從當期的波動率曲面中倒推出市場對未來短期波動率的預期。我們並不確定怎樣來做，但是我們知道這個領域需要一個更好的模型，而且模型的發現者也會因此獲得回報。整個 1993年，我們感覺就好像是在跟不知名的競爭者在賽跑，看誰能先發現這個模型。 伊拉傑和我都是二項式期權模型的強烈崇拜者。這一個簡單的、獨特的、但相當準確的模型，可以根據一個未來股票價格的網狀樹來進行期權理論的計算。在一個二項式樹狀圖裡，價格像國際象棋棋盤上的騎士一樣移動，橫向沿時間方向向前一次一步不連續地移動，縱向沿價格方向或上或下一次移動一格。二項式樹狀圖很好畫，而且以一種起起伏伏的方式，模擬出真實的價格或指數的變化。隨著棋盤上的網格逐漸變得越來越細小，價格的變化也就越來越連續了——實際上，它們就開始擴散了一這時，二項式期權模型就變得越來越等同於佈菜克一肖爾斯模型。二項式網狀樹就是期權理論裡面的費曼圖，畫起來簡單，使起來容易，可以用來很好地模擬一個簡單的交易策略或是推匯出估價模型。即便是那些我們經常要面對的、對數學概念和方法不熟悉的交易員們也能理解它。二項式網狀樹最初是由威廉姆•夏普在布萊克和肖爾斯完成他們的論文之後不久發明 219
寬客人生|My Life as A Quant 的，後來義被約輸•考克斯、馬克•魯賓斯坦和史蒂夫•羅斯巧妙地進行了詳細闡述。隨著期權理論家變得越來越專業化，學歷越來越高，二項式期權模型成了一個不好意思拿來使用的低端工具，但是我們仍然認為這一模型非常有用。 因此，我們嘗試以一個指數期權價格的二項式網狀樹為嚮導，提煉出市場對於術來短期波動率的看法，如圖14.6所示。樹狀圖的左端表示的是現在的指數點位。從端點向上或向下移動一格表示的是未來指數可能的變化。一般的二項式樹狀圖會做出一個關鍵的假設，即網狀樹上的所有移動都是以相同數量的百分比進行的。在未來的任何時間，在未來的任何•個點位，也不管指數是向上還是向下，都以相等的百分比擴大或收縮。用技術語言來講就是，指數的回報具有一個恆定不變的波動率， 這個波動率在整個網狀樹裡處處完全相同，在未來的每一個時間和點位上點點全都一樣。這種指數波動率的恆定不變在佈菜克一肖爾斯模型裡面，就導致了由此產生的平坦的內含波動率曲面，而這個曲面跟期權市場的實際並不一致。 伊拉傑和我發展出了一個關於未來指數點位的樹狀圖的替代形式。我們在一張可移動的橡膠板上重畫了通常形式的波動率恆定不變的二項式網狀樹，然後再把它延展並扭轉成如圖14.7所示的樣子。在這個經過變形的樹狀圖上，每一個節點上指數變化的大小就會不同，代表著一個變化著的波動率，這個波動率的數值在每一個節點都不一樣。用理論家們的行話指數點位執行價格時間圖14.6 左圖是一個關於未來指數變化的二項式樹狀圖。未來每一次移動的百分比全都相等，代表著一個恆定不變的指數波動率。右圖就是相應的內含波動率曲面的形狀。 220
141黑暗中的笑聲| 指數點位時間執行價格圖14.7 左圖是一個未來指數變化的內含二項式網狀樹。未來每一個百分比的移動都對應著一個區域性波動率，這個波動率隨指數點位的下跌而上升。那麼，從右邊的肉含波動率曲面中，能推匯出內含二項式網狀樹的形狀嗎？ 來說就是，指數具有一個變化著的區域性波動率（local volatility）。我們用 “區域性波動率”來表示指數在未來某個特定的點位和時間上的短期波動率。圖14.6中恆定不變的或完全相同的波動率，跟圖14.2中市場上的帳篷狀內含波動率曲面並不一致。我們認為，肯定存在一個內含二項式網狀樹 （implied binomial tree），其區域性波動率可以被選用來匹配市場上的內含波動率曲面。我們希望這個內含二項式網狀樹看上去能像圖14.7 中的網狀樹，在圖14.7中，隨著指數下跌，指數的區域性波動率上升，反之則反是，以此來表示出波動率曲面隨執行價格變化而變化的情況。 想象出這樣一棵網狀樹很容易。給區域性波動率在網狀樹上的變化制定出一套規則，然後再用文字把它描述出來，就更容易了。假如真有這樣一棵網狀樹，你就可以用它來計算很多種不同期權的價格，然後繪出它們的內含波動率曲面。我們可以看出，挑選出一個區域性波動率，其變化能產生出一個看似真實的波動率曲面，這一想法是有可能實現的。但是我們面對的最終問題卻是我們正在做的工作的逆過程。我們需要從市場提供的內含波動率曲面出發，從中推匯出能表示這個曲面的唯一的區域性波動率。內含波動率曲面只是最初的目標，如果你能從中提煉出一個唯一的內含二項式網狀樹的話，那麼我們所設想的全部過程就將形成一個真實的理論。 1993年整整一年，當我們在量化策略小組繼續把大部分時間用來設計更加複雜精美的風險管理系統的同時，我們還在反覆思考“微笑曲線”。 在空閒的時候，我們就對內含二項式網狀樹進行微調，但對圖14.7中所示 221
寬客人生|My Life as A Quant 的波動率曲面和我們希望它能暗含的網狀樹之間是否真的存在一個唯一的關係，仍然不確定。我們知道能從網狀樹走到波動率曲面，但哪一條是從曲面走到網狀樹的無可置疑的路徑呢？我們與戴夫•羅傑斯和他的交易員們討論了這個問題，因為我們用橡膠板來表示相似性，所以他們總是把橡膠板上的網狀樹稱為彈性樹（flexible tree）。我們設計了彈性樹的各種版本，用它們來對各種不同的期權定價和對沖，但因為我們總是忙著給交易部門提供軟體支援，所以在唯一性的問題上沒有傾注全力。 曲面和網狀樹之間的關係讓我想起了30年前我在哥倫比亞大學當研究生時候聽到過的馬克•卡獲所作的講座，他講的內容是怎樣從聲音中聽出一隻鼓的形狀。物理學家們把這樣的問題稱為逆散射 （inverse-scattering） 問題，因為雖然大多數的物理模型都是從物理定律出發推出結果，但是逆散射問題卻是相反的。舉牛頓的引力理論為例，這個理論從太陽和行星之間的萬有引力定律出發，推匯出行星運動的軌道。而逆散射問題則是倒過來進行的——在知道現象的條件下，他們會問，什麼樣的定律會產生這樣的現象？想象一下，比如說，天文學家們發現地球的運動軌道出現了某個奇怪的擾動。那麼在萬有引力定律中發生了什麼樣的變化能夠對此做出解釋呢？ 我們試圖尋找從波動率曲面中推匯出一個唯一的內含二項式網狀樹的方法就是一個逆散射問題。這種方法在金融建模中比在物理中更為典型。 在物理中，一個理論定律的漂亮與優雅，以及產生它們的直覺，常常極具說服力，而且為解釋現象提供了一個自然的起點。而金融作為一個更像是社會科學而不是自然科學的領域，很少有漂亮的理論，更不會有極具說服力的理論，於是我們別無選擇只有採取現象學的研究方法。更為經常的是，人們從市場資料入手，調整模型以適應資料。這種調整也是一種逆散射的研究方法，而且也正是我們在構造內含二項式網狀樹的努力中所試圖做到的。 1993年末某日，我訪問了我們在倫敦的交易部門，在那裡我還在《風險》雜誌的一次會議上就特殊期權作了一個演講。在會議間歇，我見到了 《風險》雜誌的新編輯格雷厄姆 •庫珀，還碰到了約翰•赫爾。在交談之中，我跟他們說了伊拉傑和我一直在鑽研的這個問題。格雷厄姆和約翰告訴我，他們曾經聽說位於倫敦的帕雷巴斯資本市場集團的布魯諾•杜佩爾 222
14|黑暗中的笑聲| 和加州大學伯克利分校的金融學教授馬克•魯賓斯坦一直在研究同一個問題。馬克•魯賓斯坦就是最初波動率恆定不變的二項式網狀樹模型的共同推導者之一。我擔心我們的研究成果會被洩給競爭對手，於是就趕緊給在紐約的戴•羅傑斯打電話，很快就得到了他的許可，可以在公開場合間接提到伊拉傑和我已經做了的工作。我急忙返回酒店，快速在演講稿的文件裡新增了一些幻燈片，來描述我們的內含二項式網狀樹研究方法。我做完演講之後，格雷厄姆邀請我就這一研究成果給《風險》雜誌提交一篇稿件，而約翰聽到我描述我們的網狀樹時，有時候用“彈性網狀樹”，有時候用“內含網狀樹”，就不斷暗示我要用“內含網狀樹”。 伊拉傑和我看到競爭者緊緊跟在後面，就又急切地重新投入到證明我們網狀樹的唯一性問題上。通常，我們把一天中的大多數時間花在改進交易部門的交易模型上，以應付給新的結構型產品定價和設計交易軟體的要求。每當我們從給部門的後援支援工作中擠出了一點時間，就又忙於重新制定方案，要從內含二項式網狀樹未來的每一個節點上推匯出唯一的區域性波動率。 我們從假定的某一天如圖14.2所示的市場內含波動率曲面人手，繪出了一個如圖14.8的二項式網狀樹。網狀樹中，在每一個指數點位和未來時點上的每一個陰影三角形代表一個不同的區域性波動率，波動率的大小用陰指數點儀最初的指數點位時間留14.8 一個有著變化的區域性波動率的內含二項式網狀樹，網狀樹中的陰影三角形代表著區域性波動率。 223
寬客人生|My Life as A Quant 影部分的深淺表示。指數點位越高，對應的波動率就越低（顏色越淺）； 指數點位越低，對應的波動率就越高（顏色越深）。但是到底有多淺、到底有多深，難道不是必須由你做出選擇來跟圖 14.2中初始的內含波動率曲面相一致嗎？這就是問題所在。 圖14.8中的區域性波動率是網狀樹的一個區域性特性，是在每一個單獨的小的內部三角形中被放大了的波動率。相反，圖14.2中的內含波動率則是一個整體特性，是從3萬英尺遠的地方對所有的內部三角形寬角度來看出波動率。我們把一隻期權的內含波動率看成是在期權存續期內，指數將會經歷到的所有區域性波動率的平均值。 考慮一個期權，它的到期日和執行價格同圖14.9 中的網狀樹裡面位於倒數第二列的手電筒所處位置的時間點和指數點位相對應。它的內含波動率的數值就取決於位於右側那一列的陰影三角形的那些區域性波動率的數值，這一列陰影三角形就是在期權存續期內，指數可能朝著期權執行價格方向橫向移動所經過的區域性波動率區域。假設存在一個×射線源可以照亮網狀樹內所有位於右側帶狀陰影三角形區域內的區域性波動率，那麼把位於手電簡位置上的期權的到期過程想象成這個射線源的想法是很有幫助的。 相似的有，在圖14.10中的網狀樹裡，執行價格位於提燈位置上的期指數點位最初的指數點位時間圖 14.9一隻期權的內含波動率照亮位於網狀樹右側帶狀區域內的區域性波動率， 這隻期權的到期日和執行價格位於圓弧之上。 224
14|黑暗中的笑聲| 權，照亮位於左側帶狀陰影三角形裡的區域性波動率。 執行價格位於手電筒位置的期權照亮網狀樹的一部分，而執行價格位於提燈位置的期權照亮另一部分。但是沒有一個單一的期權，既不是執行價格位於手電筒位置的期權，也不是位於提燈位置的期權，可以只照亮網狀樹裡的一個二角形，這個單一節點上的波動率也就是我們想找到的模糊的目標。 指數點位最初的指數點位時間團14.10一隻期權的內含波動率照亮位於網狀樹左側帶狀區域內的區域性波動率， 這隻期權的到期日和執行價格位於提燈的位置。 我們繼續努力。我們想得到一組期權，這組期權可以照亮剛好位於一個內部節點上的那些波動率。但是我們嘗試的每一個方案都失敗了—-對於處在一個唯一節點上的區域性波動率來講，看上去似乎沒有辦法了。 後來有一天，當我們在電子資料表格上琢磨一個五列的網狀樹模擬版本時，不可思議的事情發生了。這事情如此奇怪，以至於一連好幾分鐘我們都認為原因在於電子資料表格出了程式錯誤。我們幾乎是完全偶然地注意到，如果我們使用三個執行價格完全不同的期權來照亮網狀樹內部的時候，其中兩個期權的執行價格位置相鄰，位於前面，另外一個期權的執行價格滯後一個時間點—打個比方，如果我們從三個不同的角度發射×射線進入網狀樹內部的話—則只有這三個期權相對應的那個唯一的節點能被照亮，其他地方全都照不亮，如圖14.11所示。這一發現令人驚奇：我們已經找到了在唯一的一個節點上由期權的市場內含波動率所決定的區域性 225
寬客人生| My Lifc as A Quant （a） （b） （c） 圖14.11 三個期權怎樣才能照亮一個節點。（a）兩個執行價格相鄰的期權照亮位於它們左例的那些三角形。（b）到期日滯後一個時間點的單個期權在照亮所有位於前面的三角形的同時，還多照亮了一個三角形。（c）從後面到期的三角形中減去之前到期的三角形，就只剩下一個內部三角形被照亮了。 226
141黑暗中的笑聲！ 波動率的演算法，這些期權的執行價格位於三角形的三個頂點之上。 就這樣，我們一步一步地知道了怎樣找到每一個區域性波動率。我們可以從內含波動率網狀樹上挑出任意一個節點，從市場內含波動率曲面上找出環繞這個節點的三個期權的內含波動率值，然後就可以透過我們的演算法求出位於那個節點上的區域性波動率。用這種方式，一次求出一個節點的局部波動率值，我們就可以找出所有的區域性波動率。有了這些區域性波動率， 再加上區域性波動率所處的內含二項式網狀樹，我們就能夠對任何一隻指數期權進行估價和對沖，這一方法在一定意義上跟“微笑曲線”是一致的。 我們興奮異常，認為我們在期權定價領域實現了另一個重大突破，這一對佈菜克一肖爾斯模型的擴充套件使得模型本身跟實際一致起來。 我們並不是唯一興奮的人。馬克•魯賓斯坦和布魯諾•杜佩爾之前也花了一年的時間推匯出相似的佈菜克一肖爾斯模型的擴充套件形式。幾個星期以後，馬克在1994年1月的美國金融協會的會議上以“內含二項式網狀樹”為題發表了主題演講。幾年以後，我跟他交談的時候得知，他當時也意識到他取得了一個重大的突破。 差不多在同一時間，約翰•赫爾給我發來了一份布魯諾幾個星期以前在提交紡國際金融工程師協會的一次紐約會議的演講稿，內容就是關於他所發現的內含二項式網狀樹的。在這份演講稿中，布魯諾也宣稱已經找到了一個獨特的方法，可以從內含波動率中求出區域性波動率來。 我們中的每一個人——伊拉傑和我一起、馬克、布諾——分別獨立地用各具特點的方式解決了這個逆散射問題。伊拉傑和我已經習慣於和投資銀行界的人打交道，他們都是些數學能力不強的交易員、銷售員和客戶，所以我們儘可能地把我們的論文寫得簡單、清楚。我們想讓每一個讀論文的人能夠準確地知道如何構造他們自己的內含二項式網狀樹。我們一步一步地解釋怎樣構造網狀樹、怎樣根據一個給定的波動率曲面進行調整，而且我們用一個已經全部計算出數字結果的包括5個時間段的網狀樹作為例子進行說明，這樣每一個人都可以進行檢驗。 馬克的主題演講則過於注重推理，學術性太強，直觀性不夠，並且還涉及到了這個問題的歷史演變。他對於逆散射問題最初的解決方法集中在單一的一個到期日上，跟市場的內含波動率相一致，因此也就忽略了內含波動率曲面中所包含的一一些額外資訊。 227