） 24 22 20 18 16 14 12 10 24 22 20 18 16 14 12 10 0.0 500 550 執行價格 600 0.8 650 1.0 0.2 0.4 0.6 到期日（年） 圖14.3 內含波動率曲面。（a）在標準的佈菜克一肖爾斯模型中的情況。 經過改進的布萊克一肖爾斯模型中的情況，這時波動率沿到期日軸隨時間而變化。 （b）在 214
14 | 黑暗中的笑聲| 我們知道佈菜克一肖爾斯模型對股價的變化進行了過於簡化的處理。 模型假定，股價從它現在的數值以一種緩慢的、隨機的、持續不斷的方式向未來擴散出去，很像是從點著的香菸頂端冒出的煙霧在屋子裡擴散的樣子。離香菸頂端近的地方煙霧的濃度就大，離香菸頂端越遠則越稀疏，也就是說在一個點上的煙霧濃度代表了一個煙霧顆粒未來將會擴散到那裡的可能性。而在布萊克一肖爾斯模型中，一個相似的陰影則描繪了，股價在未來某一個時點將會到達未來某個特定數量值的可能性。圖14.4表示的就是佈菜克一肖爾斯模型中，一隻股票股價可能性的霧狀圖。霧狀圖裡面的陰影部分越淺，表示股價未來越不可能到達那個位置。用一個單獨的引數來代表股票的波動率，習慣上用希臘字母“。” 表示，它就決定了擴散的程度和陰影沿縱軸部分的寬度。股票的波動性越強，則陰影部分就越寬。 股票價格波動率為。的擴散 100 美元時間今天圖14.4 布萊克一肖爾斯模型中的一個簡單的擴散。陰影區域表示的是一隻現在價格為100美元的股票，其未來價格的可能範圍。時間過去的越多，未來價格的不確定性就越強。陰影部分顏色越深，價格就越有可能到達那個區城。 儘管簡化處理是建模的精髓，但是佈菜克一肖爾斯模型對霧狀陰影部分的擴散給出的描述，限定性太強了。首先，股價並不必需以一個恆定不變的波動率來進行擴散，股價在有些時候要比其他一些時候擴散的速度快。第二點，也是更重要的一點，有時候股價根本就不會發生擴散。圖 14.4中所示的擴散，是一個緩慢的、持續不斷的過程，在這個擴散的過程中，股價從 100美元運動到99美元，要經過這兩個價位之間所有可能的 215
寬客人生：My Life as A Quant 價位。然而，1987年股災的時候，情況並不是這樣的。在那一天，道瓊斯指數就像是踩在彈簧上的一個興奮的孩子，直線下跌了500點。 從東京回到紐約以後，我開始跟量化策略小組的同事伊拉傑•卡尼和埃裡克斯•伯爾吉爾一起合作。我想對布萊克一肖爾斯模型進行拓展，使得其剛好足夠包含“微笑曲線”的情況。“剛好足夠”永遠就是目標。一個模型只是一個模型。你想要去做的就是抓住現象的本質，而不是事件本身。實事求是地講，在佈菜克和肖爾斯所假設的簡單的股價演化過程中， 新增上一些複雜性，簡直是太簡單了，但是沒有經過調整的複雜性是毫無意義的。 對於股票投資者來說，最害怕的莫過於再出現一次1987年那樣的股災，於是我們就在布萊克一肖爾斯模型中加入了這種可能性。這並不是什麼新東西，默頓早在20世紀70年代中期，在他的所謂“跳空擴散模型” （jump-diffusion model）中就已經做過這項工作了。而作為我們工作的開始部分，我們做的還沒有他精細。我們只是在股價恆定不變的擴散度上引人了一個新的特徵值——個小機率事件p，即股價可能會有一個相當大的下跌幅度J。圖14.5所顯示的就是描述這一可能性過程的陰影圖。如圖所示的是股價現在可能出現的兩種情形：一個是先下跌，幅度為J，之後以波動率oH進行擴散，而因為股災之後人們的愈後興奮狀態，所以這時的波動率會比較大；第二個，也是更為可能的，以一個正常的、低幅度的波動率o_持續地擴散。 我們跟別人不一樣的地方在於，我們假設小機率事件p是以1個百分點為順序排列的，暗含的意思是，在期權存續期內，市場應該是根據發生股災可能性的百分比來進行分配的。我們選擇讓『H 大約比oL大40個百分點，這一考慮是在將直覺和對股災後續效應的體驗結合起來以後做出的。 這樣一來，我們的模型就只有兩個未知引數了—在發生股災情形下的跳空幅度J，和與正常執行方式相聯絡的波動率OL。這樣就只比布萊克一肖爾斯模型多了一個引數，布萊克一肖爾斯模型只包含有一個單一的波動率。我們讓模型產生的期權價格跟兩個內含波動率相匹配，這兩個內含波動率分別是一個兩平期權和一個虧損5%的看跌期權的波動率，這兩個波動率就界定出了一個三個月期的“微笑曲線”的形狀。我們以這種方式對引數進行調整。在一個接近10%水平的正常波動率oL和一個股價下跌幅 216
14|黑暗中的笑聲| 股票價格 100 美元以正常的、低幅度的波動率o擴散股災；一次下跌，以小機率事件 P表示 100美股災之後，以高波動率 OH 擴散）時間今天圖14.5 一隻股票未來可能價格的變動範圍，未來可能的價格可以是先下跌一次， 然後再擴散。陰影部分顏色越深，價格就越有可能處於那一區城。 度了是25%的情況下，我們發現可以製造出一個如圖14.1所示的“微笑曲線”的形狀。 我們模型的思路是這樣的：在這隻期權的存續期內，日經指數大約會有1%的可能性下跌25%。這就是為什麼你要為一隻虛值看跌期權多付好多錢。我們接下來使用模型估算出這隻期權的8值，即必需的對沖率以便消除掉指數帶來的風險。我們也使用模型對更加不具流動性或更加特的期權估價，這些期權正變得越來越時髦—比如說界限期權—這些期權的價格對小機率事件和跳空的幅度是高度敏感的。我們想讓我們的交易員在市場上尋找那些市場價格同用我們的模型算出的價格顯著不同的期權。他們就可以買進那些價格明顯低估的期權而賣出價格高估的期權，寄希望於這些價格偏離的期權最終會迴歸到我們模型計算出的價位，從而賺取利潤。 儘管我們的跳空模型抓住瞭解釋“微笑曲線”的一個本質原因，但是說到底這個模型還是太粗糙了。從模型角度看，在未來的每天上午，東京 217
寬客人生| My Life as A Quant 交易所開始交易，然後決定要麼是瞬間興奮地大幅下跌，要麼是平心靜氣地擴散，這種對事物的認識仍然過於簡單。現在回過頭來看，也許當時我們本應該加人一個關於可能的跳空幅度和跳空時間的分佈。但是跳空極少發生，而且因為有關跳空分佈的資料非常匱乏，所以我們就不得不做出很多未經證實的假設，這樣就感覺不夠嚴謹了。不管對還是錯，我們寧願要一個約東性更強的模型，這個模型的引數透過與所觀察到的期權價格進行調整，就可以被完全固定下來。當然，10年以後，更加細化的“微笑曲線”跳空一擴散模型又變得受歡迎了。 我們最初的“微笑曲線”模型在高盛的風險套利小組裡還真的找到了使用者，在那裡精明能幹的交易員把關於交易的知識和量化的方法融合在一起，從事高層次的賭博。有一些套利交易員專門關注併購交易，在這些交易中，收購方常常會以大大超過目標公司股票當時價位的價格，面向公眾提出收購目標公司股票的要約。如果監管機構批准了這筆併購交易，目標公司的股價就會跳升至收購公司報出的收購價。在這時之前，股價反映出的就是對於這筆交易完成的可能性的預期。在這些情況下，我們的跳空模型就可以給出一個理論上準確的答案，於是風險套利交易員們就會偶爾使用這個模型，來看一看他們對於這筆併購交易獲得批准的可能性的預期， 是否跟目標公司現在的股價所暗示出來的跳空機率相同。 與此同時，從1991年年中直到1993年初，伊拉傑和我以及量化策略小組裡面的其他人暫時轉向了一個更為緊迫的問題，就是改進我們的風險管理系統來處理數量不斷增多的特殊期權交易。 不幸的是，我們在特期權上研究的越多，我們碰到“微笑曲線”這個問題也就越多。每當我們使用布萊克一肖爾斯的理論框架對櫃檯組合中的特殊期權估價的時候，我們所使用的是一個對更加簡單的標準期權都會求出錯誤結果的模型，是一個跟“微笑曲線”不一致的模型。這是不行的—-如果一個模型連簡單的東西都會搞錯的話，那麼你就不能放心用它來處理複雜的情況了。如果開始的時候美國宇航局的一個計算機程式連地球和火星繞太陽旋轉的軌道都不能準確預報出，那麼你也就不能相信這個程式可以預報出從地球向火星發射的一個行星探測器的飛行軌道。 正確的起點是找到這樣一個模型，用它求出的結果跟所有標準期權的市場價格相一致，跟全部的內含波動率曲面相一致。只有這時，在這個模 218
14！黑暗中的笑聲| 型被正確地調整以後，你使用它來計算一隻特殊期權的價值才是明智的。 那麼我們怎樣才能找到一個適合所有曲面的模型呢？ 我回憶起我們當初發展出的BDT模型。在20世紀80年代中期，固定收益期權領域曾經經歷了一次相似的危機——一線工作者們使用一個像拉維模型那樣的收益率擴散模型來計算任何單一債劵期權的價值，但是感覺並不好用，因為這個模型求出的值不能同時滿足收益率曲線上的所有國債的價格。而BDT 模型就是對這一難題的一個可能的解決方案。 我們有在固定收益領域工作的背景，這對於進人股票衍生領域是一個巨大的優勢。伊拉傑和我認識到在債券及其收益率與期權及其波動率之間存在如下的相似性： •債券價格的報價是使用當期的長期收益率值，這一數值反映的是市場對未來短期利率的預期。 •期權價格的報價是使用當期的長期內含波動率值，這一數值反映的是市場對未來短期波動率的預期。 我們的想法是建立一個後佈菜克一肖爾斯模型，使用這個模型可以讓我們從當期的波動率曲面中倒推出市場對未來短期波動率的預期。我們並不確定怎樣來做，但是我們知道這個領域需要一個更好的模型，而且模型的發現者也會因此獲得回報。整個 1993年，我們感覺就好像是在跟不知名的競爭者在賽跑，看誰能先發現這個模型。 伊拉傑和我都是二項式期權模型的強烈崇拜者。這是一個簡單的、獨特的、但相當準確的模型，可以根據一個未來股票價格的網狀樹來進行期權理論的計算。在一個二項式樹狀圖裡，價格像國際象棋棋盤上的騎士一樣移動，橫向沿時間方向向前一次一步不連續地移動，縱向沿價格方向或上或下一次移動一格。二項式樹狀圖很好畫，而且以一種起起伏伏的方式，模擬出真實的價格或指數的變化。隨著棋盤上的網格逐漸變得越來越細小，價格的變化也就越來越連續了——實際上，它們就開始擴散了一這時，二項式期權模型就變得越來越等同於布萊克一肖爾斯模型。二項式網狀樹就是期權理論裡面的費曼圖，畫起來簡單，使起來容易，可以用來很好地模擬一個簡單的交易策略或是推匯出估價模型。即便是那些我們經常要面對的、對數學概念和方法不熟悉的交易員們也能理解它。二項式網狀樹最初是由威廉姆•夏普在布萊克和肖爾斯完成他們的論文之後不久發明 219
寬客人生| My Life as A Quant 的，後來又被約翰•考克斯、馬克•魯賓斯坦和史蒂夫•羅斯巧妙地進行了詳細闡述。隨著期權理論家變得越來越專業化，學歷越來越高，二項式期權模型成了一個不好意思拿來使用的低端工具，但是我們仍然認為這一模型非常有用。 因此，我們嘗試以一個指數期權價格的二項式網狀樹為嚮導，提煉出市場對於未來短期波動率的看法，如圖14.6所示。樹狀圖的左端表示的是現在的指數點位。從端點向上或向下移動一格表示的是未來指數可能的變化。一般的二項式樹狀圖會做出一個關鍵的假設，即網狀樹上的所有移動都是以相同數量的百分比進行的。在未來的任何時間，在未來的任何一個點位，也不管指數是向上還是向下，都以相等的百分比擴大或收縮。用技術語言來講就是，指數的回報具有一個恆定不變的波動率， 這個波動率在整個網狀樹裡處處完全相同，在未來的每一個時間和點位上點點全都一樣。這種指數波動率的恆定不變在布萊克一肖爾斯模型裡面，就導致了由此產生的平坦的內含波動率曲面，而這個曲面跟期權市場的實際並不一致。 伊拉傑和我發展出了一個關於未來指數點位的樹狀圖的替代形式。我們在一張可移動的橡膠板上重畫了通常形式的波動率恆定不變的二項式網狀樹，然後再把它延展並扭轉成如圖14.7所示的樣子。在這個經過變形的樹狀圖上，每一個節點上指數變化的大小就會不同，代表著一個變化著的波動率，這個波動率的數值在每一個節點都不一樣。用理論家們的行話執行價格時間團14.6左圖是一個關於未來指數變化的二項式樹狀圖。未來每一次移動的百分比全都相等，代表著一個恆定不變的指數波動率。右圖就是相應的內含波動率曲面的形狀。 220
14|黑暗中的笑聲| 時間執行價格圖14.7 左圖是一個未來指數變化的內含二項式網狀樹。未來每一個百分比的移動都對應著一個區域性波動率，這個波動率隨指數點位的下跌而上升。那麼，從右邊的內含波動率曲面中，能推匯出內含二項式網狀樹的形狀嗎？ 來說就是，指數具有一個變化著的區域性波動率（local volatility）。我們用 “區域性波動率”來表示指數在未來某個特定的點位和時間上的短期波動率。圖14.6中恆定不變的或完全相同的波動率，跟圖14.2中市場上的帳篷狀內含波動率曲面並不一致。我們認為，肯定存在一個內含二項式網狀樹（implied binomial tree），其區域性波動率可以被選用來匹配市場上的內含波動率曲面。我們希望這個內含二項式網狀樹看上去能像圖14.7 中的網狀樹。在圖14.7中，隨著指數下跌，指數的區域性波動率上升，反之則反是，以此來表示出波動率曲面隨執行價格變化而變化的情況。 想象出這樣一棵網狀樹很容易。給區域性波動率在網狀樹上的變化制定出一套規則，然後再用文字把它描述出來，就更容易了。假如真有這樣一棵網狀樹，你就可以用它來計算很多種不同期權的價格，然後繪出它們的內含波動率曲面。我們可以看出，挑選出一個區域性波動率，其變化能產生出一個看似真實的波動率曲面，這一想法是有可能實現的。但是我們面對的最終問題卻是我們正在做的工作的逆過程。我們需要從市場提供的內含波動率曲面出發，從中推匯出能表示這個曲面的唯一的區域性波動率。內含波動率曲面只是最初的目標，如果你能從中提煉出一個唯一的內含二項式網狀樹的話，那麼我們所設想的全部過程就將形成一個真實的理論。 1993年整整一年，當我們在量化策略小組繼續把大部分時間用來設計更加複雜精美的風險管理系統的同時，我們還在反覆思考“微笑曲線”。 在空閒的時候，我們就對內含二項式網狀樹進行微調，但對圖14.7中所示 221
寬客人生| My Life as A Quant 的波動率曲面和我們希望它能暗含的網狀樹之間是否真的存在一個唯一的關係，仍然不確定。我們知道能從網狀樹走到波動率曲面，但哪一條是從曲面走到網狀樹的無可置疑的路徑呢？我們與戴夫，羅傑斯和他的交易員們討論了這個問題，因為我們用橡膠板來表示相似性，所以他們總是把橡膠板上的網狀樹稱為彈性樹 （flexible tree）。我們設計了彈性樹的各種版本，用它們來對各種不同的期權定價和對沖，但因為我們總是忙著給交易部門提供軟體支援，所以在唯一性的同題上沒有傾注全力。 曲面和網狀樹之間的關係讓我想起了30年前我在哥倫比亞大學當研究生時候聽到過的馬克•卡茨所作的講座，他講的內容是怎樣從聲音中聽出一隻鼓的形狀。物理學家們把這樣的問題稱為逆散射 （inverse-scattering） 問題，因為雖然大多數的物理模型都是從物理定律出發推出結果，但是逆散射間題卻是相反的。舉牛頓的引力理論為例，這個理論從太陽和行星之間的萬有引力定律出發，推匯出行星運動的軌道。而逆散射問題則是倒過來進行的—在知道現象的條件下，他們會問，什麼樣的定律會產生這樣的現象？想象一下，比如說，天文學家們發現地球的運動軌道出現了某個奇怪的擾動。那麼在萬有引力定律中發生了什麼樣的變化能夠對此做出解釋呢？ 我們試圖尋找從波動率曲面中推匯出一個唯一的內含二項式網狀樹的方法就是一個逆散射問題。這種方法在金融建模中比在物理中更為典型。 在物理中，一個理論定律的漂亮與優雅，以及產生它們的直覺，常常極具說服力，而且為解釋現象提供了一個自然的起點。而金融作為一個更像是社會科學而不是自然科學的領域，很少有漂亮的理論，更不會有極具說服力的理論，於是我們別無選擇只有採取現象學的研究方法。更為經常的是，人們從市場資料入手，調整模型以適應資料。這種調整也是一種逆散射的研究方法，而且也正是我們在構造內含二項式網狀樹的努力中所試圖做到的。 1993年末某日，我訪問了我們在倫敦的交易部門，在那裡我還在《風險》雜誌的一次會議上就特殊期權作了一個演講。在會議間歇，我見到了 《風險》雜誌的新編輯格雷厄姆 •庫珀，還碰到了約輸•赫爾。在交談之中，我跟他們說了伊拉傑和我一直在鑽研的這個問題。格雷厄姆和約翰告訴我，他們曾經聽說位於倫敦的帕雷巴斯資本市場集團的布魯諾•杜佩爾 222
14|黑暗中的笑聲| 和加州大學伯克利分校的金融學教授馬克•魯賓斯坦一直在研究同一個問題。馬克•魯賓斯坦就是最初波動率恆定不變的二項式網狀樹模型的共同推導者之一。我擔心我們的研究成果會被洩露給競爭對手，於是就趕緊給在紐約的戴•羅傑斯打電話，很快就得到了他的許可，可以在公開場合間接提到伊拉傑和我已經做了的工作。我急忙返回酒店，快速在演講稿的檔案裡新增了一些幻燈片，來描述我們的內含二項式網狀樹研究方法。我做完演講之後，格雷厄姆邀請我就這一研究成果給《風險》雜誌提交一篇稿件，而約翰聽到我描述我們的網狀樹時，有時候用“彈性網狀樹”，有時候用“內含網狀樹”，就不斷暗示我要用“內含網狀樹”。 伊拉傑和我看到競爭者緊緊跟在後面，就又急切地重新投入到證明我們網狀樹的唯一性問題上。通常，我們把一天中的大多數時間花在改進交易部門的交易模型上，以應付給新的結構型產品定價和設計交易軟體的要求。每當我們從給部門的後援支援工作中擠出了一點時間，就又忙於重新制定方案，要從內含二項式網狀樹未來的每一個節點上推匯出唯一的區域性波動率。 我們從假定的某一天如圖14.2所示的市場內含波動率曲面入手，繪出了一個如圖14.8的二項式網狀樹。網狀樹中，在每一個指數點位和未來時點上的每一個陰影三角形代表一個不同的區域性波動率，波動率的大小用陰指數點位最初的指數點位時間圖14.8 一個有著變化的區域性波動率的內含二項式網狀樹，網狀樹中的陰影三角形代表著區域性波動率。 223
寬客人生| My Life as A Quant 影部分的深淺表示。指數點位越高，對應的波動率就越低（顏色越淺）； 指數點位越低，對應的波動率就越高（顏色越深）。但是到底有多淺、到底有多深，難道不是必須由你做出選擇來跟圖14.2中初始的內含波動率曲面相一致嗎？這就是問題所在。 圖14.8中的區域性波動率是網狀樹的一個區域性特性，是在每一個單獨的小的內部三角形中被放大了的波動率。相反，圖14.2中的內含波動率則是一個整體特性，是從3萬英尺遠的地方對所有的內部三角形寬角度來看出波動率。我們把一隻期權的內含波動率看成是在期權存續期內，指數將會經歷到的所有區域性波動率的平均值。 考慮一個期權，它的到期日和執行價格同圖14.9中的網狀樹裡面位於倒數第二列的手電筒所處位置的時間點和指數點位相對應。它的內含波動率的數值就取決於位於右側那一列的陰影三角形的那些區域性波動率的數值，這一列陰影三角形就是在期權存續期內，指數可能朝著期權執行價格方向橫向移動所經過的區域性波動率區域。假設存在一個X射線源可以照亮網狀樹內所有位於右側帶狀陰影三角形區域內的區域性波動率，那麼把位於手電簡位置上的期權的到期過程想象成這個射線源的想法是很有幫助的。 相似的有，在圖14.10中的網狀樹裡，執行價格位於提燈位置上的期指數點位最初的指數點位時間圖14.9一隻期權的內含波動率照亮位於網狀樹右側帶狀區城內的區域性波動率， 這隻期權的到期日和執行價格位於圓弧之上。 224
141黑暗中的笑聲| 權，照亮位於左側帶狀陰影三角形裡的區域性波動率。 執行價格位於手電筒位置的期權照亮網狀樹的一部分，而執行價格位於提燈位置的期權照亮另一部分。但是沒有一個單一的期權，既不是執行價格位於手電筒位置的期權，也不是位於提燈位置的期權，可以只照亮網狀樹裡的一個三角形，這個單一節點上的波動率也就是我們想找到的模糊的目標。 指數點位最初的指數點位時間圖14.10一隻期權的內含波動率照亮位於網狀樹左側帶狀區域內的區域性波動率， 這隻期權的到期日和執行價格位於提燈的位置。 我們繼續努力。我們想得到一組期權，這組期權可以照亮剛好位於一個內部節點上的那些波動率。但是我們嘗試的每一個方案都失敗了——對於處在一個唯一節點上的區域性波動率來講，看上去似乎沒有辦法了。 後來有一天，當我們在電子資料表格上琢磨一個五列的網狀樹模擬版本時，不可思議的事情發生了。這事情如此奇怪，以至於一連好幾分鐘我們都認為原因在於電子資料表格出了程式錯誤。我們幾乎是完全偶然地注意到，如果我們使用三個執行價格完全不同的期權來照亮網狀樹內部的時候，其中兩個期權的執行價格位置相鄰，位於前面，另外一個期權的執行價格滯後一個時間點—打個比方，如果我們從三個不同的角度發射X射線進入網狀樹內部的話——則只有這三個期權相對應的那個唯一的節點能被照亮，其他地方全都照不亮，如圖14.11 所示。這一發現令人驚奇：我們已經找到了在唯一的一個節點上由期權的市場內含波動率所決定的區域性 225
寬客人生| My Life as A Quant （a） （b） （c） 圖14.11 三個期權怎樣才能照亮一個節點。（a）兩個執行價格相鄰的期權照亮位於它們左側的那些三角形。（b）到期日滯後一個時間點的單個期權在照亮所有位於前而的三角形的同時，還多照亮了一個三角形。（c）從後面到期的三角形中減去之前到期的三角形，就只剩下一個內部三角形被照亮了。 226
14|黑暗中的笑聲| 波動率的演算法，這些期權的執行價格位於三角形的三個頂點之上。 就這樣，我們一步一步地知道了怎樣找到每一個區域性波動率。我們可以從內含波動率網狀樹上挑出任意一個節點，從市場內含波動率曲面上找出環繞這個節點的三個期權的內含波動率值，然後就可以透過我們的演算法求出位於那個節點上的區域性波動率。用這種方式，一次求出一個節點的區域性波動率值，我們就可以找出所有的區域性波動率。有了這些區域性波動率， 再加上區域性波動率所處的內含二項式網狀樹，我們就能夠對任何一隻指數期權進行估價和對沖，這一方法在一定意義上跟“微笑曲線”是一致的。 我們興奮異常，認為我們在期權定價領域實現了另一個重大突破，這一對佈菜克一肖爾斯模型的擴充套件使得模型本身跟實際一致起來。 我們並不是唯一興奮的人。馬克•魯賓斯坦和布魯諾•杜佩爾之前也花了一年的時間推匯出相似的佈菜克一肖爾斯模型的擴充套件形式。幾個星期以後，馬克在1994年1月的美國金融協會的會議上以“內含二項式網狀樹”為題發表了主題演講。幾年以後，我跟他交談的時候得知，他當時也意識到他取得了一個重大的突破。 差不多在同一時間，約瀚•赫爾給我發來了一份布魯諾幾個星期以前在提交紡國際金融工程師協會的一次紐約會議的演講稿，內容就是關於他所發現的內含二項式網狀樹的。在這份演講稿中，布魯諾也宣稱已經找到了一個獨特的方法，可以從內含波動率中求出區域性波動率來。 我們中的每一個人——伊拉傑和我一起、馬克、布魯諾——分別獨立地用各具特點的方式解決了這個逆散射問題。伊拉傑和我已經習慣於和投資銀行界的人打交道，他們都是些數學能力不強的交易員、銷售員和客戶，所以我們儘可能地把我們的論文寫得簡單、清楚。我們想讓每一個讀論文的人能夠準確地知道如何構造他們自己的內含二項式網狀樹。我們一步一步地解釋怎樣構造網狀樹、怎樣根據一個給定的波動率曲面進行調整，而且我們用一個已經全部計算出數字結果的包括5個時間段的網狀樹作為例子進行說明，這樣每一個人都可以進行檢驗。 馬克的主題演講則過於注重推理，學術性太強，直觀性不夠，並且還涉及到了這個問題的歷史演變。他對於逆散射問題最初的解決方法集中在單一的一個到期日上，跟市場的內含波動率相一致，因此也就忽略了內含波動率曲面中所包含的一些額外資訊。 227
寬客人生 | My Life as A Quant 而布魯諾在國際金融工程師協會的會議上所作的演講則是最讓人乾著急的。布魯諾作為一位法國人，喜歡使用規範的數學方法，並且在他那相當簡短的報告中，提出了一個用內含波動率曲面上跟區域性波動率位於同一個點的執行價格和到期日的斜率和曲率，來計算區域性波動率的優美公式。 他的文章不容易讀明白，而且我瞭解到的人裡面也沒有人可以肯定他的結論是正確的。有時候我想，他是故意弄得晦澀難懂，他沒有準確地揭示出到底是怎樣推匯出結論，卻堅決聲稱他的結論是正確的。 我們研究了布魯諾的報告，很快就發現他的簡明公式跟伊拉傑和我在一棵離散的網狀樹上發展出的結果是完全等價的。在他使用微積分的地方，我們用的是代數。儘管我們所做的工作並不重要，也並非主要，但是我們所扮演的角色，恰恰相當於費曼之於施溫格，或是布萊克和肖爾斯之於默頓。在我們論文的附錄中，我們重新推導了布魯諾的結論，增加了一個更加容易明白的證明以及對他工作的引述。 1993年12月底，布魯諾以及伊拉傑和我都向《風險》雜誌的格雷厄姆•庫珀提交了各自的論文。布魯諾的論文登載在1994年1月的《風險》 雜誌上，並被加上了一個編者按，說伊拉傑和我的論文將隨後刊登在2月的雜誌上。在1月的雜誌裡還包括了一篇格雷厄姆 •庫珀撰寫的一頁長的新聞稿，內容是關於馬克、布魯諾以及伊拉傑和我所做的工作，並把這項工作稱為新的“超級模型”，而且還頗為準確地分別點評了我們各自研究方法的優缺點。我們都恰到好處地被吹捧了一下。 在之後的幾年裡，我們到各地來回參加講座、會議。我在許多大學的金融系和商學院，在維也納期權交易所，在數不清的行業會議上演講。在日本、法國、瑞士、西班牙和義大利這些國家，經驗豐富的交易員們樂於學習量化理論，他們的銷售員們帶著我去見一撥又一撥的客戶。我們在蘇黎世和倫敦，在畢爾巴鄂和巴黎，在米蘭和慕尼黑，給大型團體客戶作長達一天的講座。這真是令人興奮！ 伊拉傑和我，以及1994年加入我們小組的另外兩名前物理學家邁克•卡莫和鄒喬，繼續對這一模型加以完善，並且使用這個模型來給特殊期權估價。我們還跟量化策略小組的兩名軟體工程師丹尼斯•厄金納和艾倫•巴科沃特合作，把這個模型嵌人交易部門的交易軟體中。最重要的是，我們努力把這個模型的數學特點概括成交易員能夠接受的、深人內心的認識。 228
14 | 黑暗中的笑聲| 我們考慮到他們所有的直覺都是建立在佈菜克一肖爾斯模型的基礎上的， 於是就發展出了一系列簡單的、近似的模型修正方法，交易員們用這些雖然不夠精確、但卻很實用的方法對布萊克一肖爾斯模型稍加改動，就可以得到內含二項式網狀樹了。 事實證明，向我們的交易員解釋這個模型比向客戶解釋要難得多。交易員很忙，他們的生活被盯盤、給銷售人員提供服務以及向討算機系統中輸入他們的交易條件這些事情給佔滿了。每天他們都要做上幾百筆或是幾千筆新的交易，為了確認他們部門的前颱風險管理系統和後臺儲存的公司會計賬目與記錄交易的主機之間所有的細節全部都準確無誤、相互一致， 經常要待到深夜。他們對他們生活中的自動計賬技術比對改進他們的定價技術更感興趣。 交易員在使用模型上面是有決定權的，他們可以使用他們想用的任何模型，而不需要理由或是證明。如果你想讓他們採用不同的對沖，那麼提供證明的重任就落到了你的頭上。交易員並不傻，只是有種能讓人感覺得出來的鄉下氣，他們不願意使用不理解的新模型。但不幸的是，他們也不願意花時間來理解。當交易員根本就沒有模型的時候，很容易讓他們使用最先得到的模型。一旦他們有了可以依靠的東西以後，讓他們接受對這個東西的改進就很難了。 所以，他們就是不放棄使用佈菜克一肖爾斯的單一波動率體系來對特殊期權估價，即使這個體系產生出的是一個平滑的波動率曲面。作為補償，他們把所有發明創造的精力和直覺都花在了挑選出一個“正確” 的單一波動率上面，然後用在一個錯誤的模型裡面。有一位資深交易員堅稱，即便內含二項式網狀樹模型是正確的，而佈菜克一肖爾斯模型是錯誤的，他還是永遠都能經過仔細思考得出相應的合適的單一波動率來，當這個單一波動率被用在錯誤的模型上時，不管怎麼說還是能得出一隻期權的正確價值來。因此有一天，我高興地發現確實有一些特殊期權，它們在內含二項式網狀樹中的正確價值完全超出了我們能從布萊克一肖爾斯模型中得到的取值範圍，也就是說，不管我們往布萊克一肖爾斯模型中輸人什麼樣的單一波動率都不可能得到期權的正確價值。對於這些期權來說，根本就不存在合適的單一波動率能夠從錯誤的模型中得出正確的答案。我帶著極大的興奮和些許復仇的快感，把這些例子展 229
寬客人生 | My Life as A Quant 示給交易員們。但這只是一個小小的勝利，因為它改能改變任何一個人的行為方式。 到了2000年，當我在高盛設法說服人們批准使用所有模型的時候， 潮流開始轉向。在高盛和它的競爭對手那裡，越來越多的交易部感覺到有必要提供出某個證明，以確認他們使用的模型對於他們面對的市場來說是合適的。儘管如此，在交易員和風險管理員之間的拔河比賽中，交易員通常力量更大。 1994年底的一天，交易員和寬客之間的緊張關係讓我做了件特別愚蠢的事情。那一天，我整天都在處理萬分緊急的、我提供不了的系統維護的要求。當天晚上，我乘坐一輛機場大巴到肯尼迪機場去趕一架前往維也納的飛機，根據日程安排我要在奧地利期權交易所的一次會議上就內含二項式網狀樹做一次演講。上飛機以後，我坐在公務艙靠近過道的座位上，總算是放鬆下來了。我被工作中無休無止的爭鬥弄得很洩氣，發誓我以後不能再被人支使來支使去了。 起飛之前，正當我放鬆的時候，一家三口在最後一分鐘上了飛機，坐到座位上，但是三個人全都不相鄰。這家人中的父親是個大約50歲的紳士模樣的人，坐在我右邊靠窗戶的座位，他兒子的座位與我正好編著一條過道，而他妻子坐得更遠，是在飛機前部的位子上。當我正瀏覽會議日程時，這位父親詢問飛機上的服務員是否有三個連在一起的座位可以讓他們一家三口坐。最後，在大約10分鐘的不成功的換位後，這位父親轉向我， 問我是否願意與他的兒子換一下靠過道的座位。而我當時因為成天被人支使來支使去的氣還沒消，再加上又想起了我給自己做出的“不再當老好人”的承諾，所以我決定就坐在機票上寫著的靠過道的座位上，我不會因為某個人而放棄這個座位的。於是我轉過頭，用不適當的堅定語氣說道： “對不起，我要坐在我現在的位子上。” 我們起飛前往維也納之後，我震驚於自己毫無意義的固執己見。我的座位和他兒子的座位都是靠過道的。我從不交換座位中得不到任何東西。 而更糟糕的是，我現在開始自責，我要和一個被自己根本沒必要拒絕的人坐在一起10個小時。隨著我在內心琢磨如何彌補我所做的事情，負罪感開始控制了我。 我一邊在內心的苦惱中掙扎，一邊繼續翻看會議日程。接著我就注意 230
141黑暗中的笑聲| 到，坐在我右邊的這個人從他的手提箱中也拿出了一份相似的日程表開始翻閱。我又看了一眼他的臉龐，突然發現坐在我身邊的這個人居然就是連續時間序列金融模型的推導者、哈佛大學教授兼長期資本管理基金合夥人的羅伯特•默頓。我就是那天上午在閱讀有關跳空一擴散模型的時候，從他那本著名的《連續時間金融》的封面勒口上看到了他的照片。 我懷著羞愧之心扭頭轉向默頓，為自己的粗魯行徑道歉。而那時他的兒子已經睡著，沒有必要交換座位了，於是我們聊了幾個小時的期權定價模型的發展歷史。儘管默頓非常平易近人，但我還是因為表現出自己性格中令人討厭的那一部分而感到丟臉。在那次會議期間，我發現自己總是有意無意地躲著他和他的家人。我對自己發暫說，下一次我要在面對那些應該強硬對待的人時才表現強硬。 馬克、布魯諾，以及伊拉傑和我只是最早的一批使用區域性波動率來解決“微笑曲線”問題的理論工作者之一，同時還有其他人也有著相似的想法。特別值得一提的、給我留下深刻印象的是加拿大西蒙 •弗雷澤大學的一名以色列金融學教授艾維•比克所寫的一篇密切相關的論文。1994年 11月，我在紐約大學舉辦的一次名為“衍生產品：一種前沿技術”的會議上發言，聽到加利•甘斯梯紐評論說我們的模型使得期權定價更為準確， 從而使得市場也更具流動性。加里本人是一本期權教科書的作者。我聽到後頗受鼓舞。儘管我們的確很願意看到區域性波動率成為一個家喻戶曉的詞彙和教科書裡討論的主題，但是我也發現設計出一個真正成功的金融模型要比我曾經想象的更為艱難。 區域性波動率之所以是對佈菜克一肖爾斯模型的一個完善，就在於它能夠對“微笑曲線”做出解釋，但是它本身也確實存在三個不足。首先，我們的新模型沒有包含指數或股價跳空的可能，而現在大多數的市場參與者們把這種可能性視為決定極短期波動率“微笑曲線”形狀的主要因素。我們最初在嘗試給“微笑曲線”建模的時候其實曾經包含了這樣的跳空情形。但我們從來就沒有喜歡過包含跳空情況的模型—因為跳空缺口過大而且不連續，以至於不能被對沖，所以當你在模型中包含它們的時候，你就很難再保證跟佈菜克一肖爾斯模型之間的一致性。但跳空的情形又是真實存在的，所以忽略它們就使得我們的模型在與實際相符上面有所欠缺了。 231
寬客人生| My Life as A Quant 其次，是很難對內含二項式網狀樹進行調整。經常是當你嘗試著逐步向右延長構造出一個連續性更好的網狀樹，以求得更佳的計算準確性的時候，區域性波動率曲面就會出現劇烈的起伏，在曲面上不同位置的點就會表現出實際並不存在的波峰和波谷。我們後來研究出平滑這些波動的方法， 但是平滑波動又造成難以滿足交易部門所要求的自動產生內含二項式網狀樹的需要。產生這些波峰和波谷的部分原因就在於沒有包括跳空的情形。 而我們當時正在嘗試的卻是用一個穩定的擴散形式來給一個劇烈波動的現象建模，這就註定會使調整難以穩定。 最後一點，我們的模型沒有考慮波動率自身的隨機特性。幾年以後， 伊拉傑和我曾經試圖透過給區域性波動率加入隨機因素來完善我們的內含網狀樹模型，但是這一做法又使得調整和計算更加複雜和難以處理。 後來，我們發現用區域性波動率、跳空、隨機波動率，或者全部這三者的某個組合，都是可能得到一個“微笑曲線”的。因此，區域性波動率和內含網狀樹不是“微笑曲線”的“唯一”的模型。多年以後，在曼哈頓的一次宴會上談論起過去，馬克•魯賓斯坦和我都沮喪地嘲笑起我們曾經預期的和事物實際出現的兩者之間的不相吻合。 儘管如此，我最終還是很滿意的。伊拉傑和我是最早一批對一個新奇現象提出了一致模型的人中的兩個，我們創造出了一個新的理論框架和概念，而且我們身處華爾街，是在一線完成了這些工作，而不是在學術界裡某個悠閒的研究職位上做到的。這個模型就像其他所有模型一樣，有些簡單化，沒有講出故事的全部，但它還是一個可以被接受的、邏輯上一致的小世界，這個小世界抓住了股市波動的一個真實的本質特徵，即當市場下跌時，波動趨於增加。區域性波動率模型已經成為學術研究人員和實務工作者使用的標準工具庫的一部分。 在20世紀90年代，波動率的“微笑曲線”問題擴散到了幾乎所有其他的期權市場。不管在哪裡，只要存在對可能令投資者受損的大幅市場變化的恐懼——股市害怕下跌，黃金市場則擔心上漲，而對很多的貨幣市場和利率市場來說，下跌和上漲都不願意被看到——哪裡就會出現 “微笑曲線”和“彎曲”，而在對這些特徵中的至少某些特徵給出解釋的時候，我們的模型就會成為一個關鍵的工具。當新幹年來到的時候，隨著《風險》雜誌年復一年地把整場整場的研討會都貢獻給“微笑曲線” 232