127 漢高祖劉邦本人並不是一位很傑出的軍事家，他直接指揮的戰役經常失利，韓信說他最多隻能指揮十萬人馬。但劉邦最後能夠打敗項羽，組織建立起漢王朝，完成統一中國的大業。這是為什麼呢？從軍事才能來說，劉邦確實不如項羽。但項羽採取了孤家寡人的政策，不善於用人，他的智力再強，得不到放大，畢竟是有限的，不能在相同的歷史條件下把國家組織起來。劉邦儘管沒有很大的軍事指揮和管理國家的才能，但他善於用人，他選擇了張良、蕭何、韓信這樣一批人才，在他周圍形成一個組織核心，透過這些人去打天下、 治天下，這樣他的智力就大大地增強了。歷史上所有有組織才能的大政治家，都是知人善任，善於透過組織核心放大自己選擇能力的。 自組織現象還可以用來達到一些很有意義的目的，比如實現所謂“超級放大”。 基本粒子的相互作用過程任何顯微鏡都不能放大到可供我們觀察的程度。兩種化學性質相同而只是結構左旋右旋不同的分子，目前的任何顯微鏡都不能區別它們。這時就需要一種超級放大器。一個自組織系統就可以充當這種超級放大器。 基本粒子的相互作用過程可以透過觀察在作用過程中蛻變出來的粒子運動軌跡來了解。如果能設計一個自組織系統，把那些蛻變出來的粒子作為這一系統的組織核心，而這系統在數量上又是自繁殖的，即由這一核心引發成長起來的新組織在數量上是不斷增大的，一直到我們可以看見的地步，那麼我們就能根據這個系統形成的大組織形態來判斷基
128 控制論和科學方法論本粒子的相互作用，這就成了一個超級放大器。目前觀察基本粒子相互作用的最主要的三種儀器：威爾遜雲室，氣泡室和乳膠照片，都是按這一原則製成的。 對左右旋不同的分子也可用類似的方法觀察區別。在這裡採用的自組織系統是分子自己的結晶過程。先製成左右旋不同分子的過飽和溶液，當其自組織的結晶過程成長出肉眼可觀察的晶體時，就可以透過光學性質對它們區別和研究了。 除了自組織系統外，在系統工程中常見的系統還包括最佳控制系統、自適應控制系統及隨動系統等。其中最佳控制系統亦稱最優控制系統，它是使選取的目標函式在所限定的條件下達到“最好”的自動控制系統。自適應控制系統是能夠適應環境條件變化而自動調整系統引數或特性的自動控制系統。隨動系統亦稱跟蹤系統，它是用來精確地跟隨或重複某種過程的一種自動調節系統。各種系統的研究都廣泛地使用了數學工具。目前，系統理論已經滲人社會科學，在那裡系統理論充分顯示了它處理複雜問題的特長。 所第四章質變的數學模型科學是反覆無常的，她喜歡年輕人⋯…她偏愛令人頭暈目眩的胡思亂想的人，她被反叛者和革命家的精神所迷住。 無名氏我們討論了系統的形成、穩定和崩潰，也討論了舊系統結構被新系統結構取代的趨勢。但是，在系統演化的歷史上，還有一個重要的環節：新系統結構是如何取代舊系統結構的？或者說，系統結構演化的方式如何？這個問題，人們早就注意到了，即事物的新質態是如何取代舊質態的？因事物性質由系統結構決定，所以新質態如何取代舊質態正和結構演化方式相關。這不僅是科學家感興趣的課題，也是哲學家關心和爭論著的問題。這一章我們將在前面系統穩定討論的基礎上，運用國外數學界近年發展起來的突變理論， 對此展開深入的研究。 長期以來，在學術界流行著一種觀點，似乎認為質態之間的轉化一定要透過飛躍來實現。我們利用系統演化理論對這個問題進行研究，就可以發現質態的轉化既可以透過飛躍來實現，也可以透過漸變來實現。我們在這裡還將根據系
130 控制論和科學方法論統穩態結構對識別自然現象是飛躍還是漸變提出一個新的判定原則，並對質變過程中關節點、矯枉過正和極端共存等現象發生的規律性進行探討。我們認為突變理論和系統論為研究質態的轉化提供了數學模型，對發展質變數變規律有重大意義。 4. 1 哲學家和數學家共同的難題事物由一種質態向另一種質態的轉化，通常被稱為質變。事物的變化到了一定的限度，到了一定的關節點，平滑連續的過程會中斷，新的質變會以不連續的方式突然出現。 多少個世紀以來，這種突變現象弄得人們眼花繚亂，它們往往悖於常理而成為人們認識中最不可捉摸的部分。這類現象早就引起了哲學家和科學家的興趣，並且始終成為一個有重大爭議的哲學課題。 哲學上關於質變問題的爭論，長期以來集中在一個焦點上：質變究竟是透過飛躍還是透過漸變來實現的？人們篩選出成打的例子來作為自己的論據，結論卻大不相同，它們基本上可以歸納為三大派意見。 第一種可以稱為“飛躍論”。他們認為從一種質態往另一種質態的轉化必然是一種突變、一種飛躍，漸進過程必然要中斷，出現一個區別兩種質態的關節點，以不連續的方式完成從舊質往新質的過波。他們最常舉的例子包括暴力革命，材料的斷裂，臨界質量以上的核反應，經濟危機的爆發以及水在常壓下的沸騰等等。
第四章質變的數學模型 131 第二種可以稱為“漸進論”。他們認為在任何兩種質態之間不存在什麼絕對分明和固定不變的界限，不存在“非此即彼”的絕對有效性。一切對立都互為中介，一切差異都在中間階段互相融合。因此，不同質態之間的轉化，歸根結底是漸進的、連續的。他們的論據包括經濟復甦，燃料的緩慢氧化，水分的揮發，社會的改良，移風易俗以及生物進化等等。這一類變化很難找到一個可以明顯區別兩種質態的關節點，事物緩慢地、連續地完成舊質態向新質態的過渡。以這種轉化觀點構成自己進化論基礎的達爾文甚至傾向於贊同“自然界沒有飛躍”這句古老的格言。 這兩種意見相互對立，又都有各自的根據，長期以來相持不下。在很長一段時間裡，飛躍論曾被解釋成惟一正確的辯證轉化觀點。但是蘇聯學術界就語言學問題展開大討論的時候，以馬爾學派為代表的飛躍論暴露出它的弱點。語言的演化與暴力革命完全不同。它不是透過突然的飛躍，不是透過現存語言的突然消滅和新語言的突然創造，而是透過新質要素的逐漸積累和舊質要素的逐漸衰亡來實現的。這樣，就在理論上出現了一個矛盾，一方面不能放棄質變就是飛躍的原則，一方面又得承認質變在客觀上可以具有不同的進行方式。為了彌合這種理論上的矛盾，蘇聯學術界在批判馬爾學派的同時，提出了一個“爆發式飛躍和非爆發式飛躍” 理論。這個理論一方面繼續確認質變就是飛躍，一方面又把飛躍分為爆發式和非爆發式兩種。他們把像暴力革命這一類飛躍論所說的質變方式稱為爆發式飛躍，把語言的演化這一類漸進論所說的質變方式稱為非爆發式飛躍。
132 控制論和科學方法論這個“爆發式飛躍和非爆發式飛躍”理論代表了質變轉化方式中的第三種觀點，我們可以稱之為“兩種飛躍”論。這個理論對我國哲學界的影響很大。看起來，它似乎解決了質變的途徑問題，實際上只要認真地分析一下，就可以發現這個理論隱含著嚴重的邏輯困難，我們認為很有討論的必要。 飛躍就是質變呢，還是質變的一種方式？“兩種飛躍論” 認為：“舊質到新質的轉化就是發展中的飛躍。”這樣，先把質變跟飛躍定義成同一個東西，再來討論質變必須透過飛躍實現還有什麼意義呢？既然規定了質變就是飛躍，接下去的討論就相當於規定飛躍必須透過飛躍來進行，人們看不出這種討論有什麼價值。因此，我們認為首先必須把質變和質變進行的方式嚴格地區分開來，不能混為一談，否則在邏輯上就有同語反覆之嫌。 “兩種飛躍論”所遇到的不止是一種邏輯上的困難，概念的混亂反映了這個理論存在著一些根本性的缺陷。事情並不像某些人想像的那麼簡單，有關質態轉化的方式問題，看來是一個還未解決的哲學疑案。 有趣的是，在哲學家遇到麻煩的同時，飛躍現象也使數學家感到十分棘手。在數學領域裡，三百年以來，微積分所提供的方法圓滿地處理了那些連續、平滑的變化過程，但一旦遇到突變問題，已有的微分方程就往往碰到困難。有沒有可能建立一種關於突變現象的一般性數學理論來描述各種飛躍和不連續過程呢？提出這樣的問題似乎難以令人相信會得到什麼結果。且不談數學處理本身的複雜性，怎麼能設想自然界那些形形色色的突變會有本質上同一的變化方式，
第四章質變的數學模型 133 會就範於一種共同的數學模型呢？ 哲學和科學再一次匯流在一起，它們從不同的角度思考著同一個問題。終於，人們邁出了可喜的一步。1972年法國數學家雷內•託姆發表了第一部著作，把他的工作叫做突變理論。託姆經過嚴密的數學推導證明了一個有趣的結論：當條件變數小於4個時，自然界各種突變，只有7種基本的方式。它們分別被稱為折線型、尖點型、燕尾型、蝴蝶型、雙曲型、橢圓型以及拋物型。這個重大的發現轟動了數學界，有人稱之為牛頓和萊布尼茨發明微積分三百年以來數學上最大的革命。 非常有趣的是，突變理論的核心思想正是我們前一章談到的穩態結構。因此原則上突變理論對質變方式的研究是控制論系統論方法的延伸。在討論其基本思想之前，我們先看它的具體結構。 4.2 質變可以透過飛躍和漸變兩種方式實現從某種特定的觀察條件出發列舉個別的例子來說明實現質變要經歷飛躍或者要經歷漸變都不困難。歷史上的飛躍論和漸變論哲學家實際都是採用了這樣的方法來論證自己的觀點的。慷慨的大自然多彩多姿，變化萬千，要舉出一些特殊條件下的例子總是容易的。這使每一種觀點都顯得言出有據。 物質相變是大家比較熟悉的，自古以來沸騰和凝固現象
134 控制論和科學方法論一直吸引著人們的興趣，不少哲學家在討論質變問題時喜歡引述這方面的例子。黑格爾在闡明質變數變規律時，就舉了水結成冰的例子。他認為，“水經過冷卻並不是逐漸變成堅硬的，並不是先成為膠狀，然後再逐漸堅硬到冰的硬度，而是一下子便堅硬了”。他又說：“當水改變其溫度時，不僅熱因而少了，而且經歷了固體、液體和氣體的狀態，這些不同的狀態不是逐漸出現的；而正是在交錯點上，溫度改變的單純漸進過程突然中斷了，遏止了，另一狀態的出現就是一個飛躍。 一切生和死，不都是連續的漸進，倒是漸進的中斷，是從量變到質變的飛躍。”從黑格爾所舉的這個例子可以看出，他所說的飛躍，正是質變所經歷的方式。水在冰點“一下子便堅硬了”確實是一個非常漂亮的例子，說明事物的質變是可以透過飛躍來實現的。這對於當時流行的“自然界中沒有飛躍” 的觀點是相當有力的批判。 那麼，人們是不是據此就可以得出“一切質變都必須經過飛躍才能實現”的結論呢？ 正如我們不贊同“自然界沒有飛躍”的漸變論一樣，我們也不贊同質變必須經過飛躍才能實現的飛躍論。黑格爾只舉了冰點時水的例子，事實上，自然界許多非晶體，例如玻璃、石蠟、瀝青等物質，它們的液態在冷卻過程中正是逐漸變硬的，正是先變成膠狀，然後再逐漸堅硬到一定的硬度，而不存在一下子變硬的飛躍過程。甚至在日常生活中，人們也可以發現，與空氣接觸的一杯水（物理、化學上稱為雙組分體系），可以不經過沸騰那樣的飛躍方式，而經過逐漸揮發的漸變方式變成水蒸氣。
第四章質變的數學模型 135 就以黑格爾所舉的水的相變例。他在大談飛躍的時候，忽略了一個重要的條件：大氣壓力。他所說的沸騰、凝固、沸點、冰點，都只是在1個大氣壓的普通條件下而言的。 大約一個世紀以後，人們發現了相律。根據相律，水經過沸騰飛躍為汽的現象只發生在一定的溫度壓力條件下。溫度壓力超過了一定的臨界點，就不存在沸騰現象。突變理論為物態變化提供了比相律更為精確的數學拓撲模型，這些模型不但形象、有趣，對於我們研究質變數變規律也是非常重要的。 根據突變理論，水的氣液相變過程可以表示為圖4.1的曲面，這個曲面被稱為尖點型突變模型。曲面上的每一個點表示一定溫度壓力條件下水的密度狀態。曲面總的趨勢是由高往低傾斜，說明隨著溫度增高及壓力降低，水由高密度的液態變為低密度的氣態。這個曲面奇特的地方在於它有一個平滑的摺疊，摺疊越向後越窄，最後消失在三層匯合起來的那一點Q，Q就是臨界點所對應的密度。除了摺疊的中間那一葉，整個曲面都表示密度的穩定狀態。摺疊的中間葉是密度的不穩定狀態。 根據這個突變模型，我們可以看到，水由液態變為氣態的過程可以透過兩種截然不同的方式來進行。第一種方式是當條件溫度壓力沿著 AFB 方向變化。常壓下水加熱到 100°C沸騰，變為水蒸氣就屬於這種情況。起初在AF 階段， 隨著溫度升高壓力降低，水的密度在曲面的上方沿著斜坡連續下降，但還保持在高密度液態區，這相當於常壓下水加熱到100°C之前的階段，雖然密度有所降低，還保持是液態的
136 控制論和科學方法論水。但到了摺疊的邊緣F，曲面的上葉突然中斷了，密度值一下子跌到曲面下葉的氣態區域，發生了不連續變化。這相當於常壓下水加熱到100°C時發生沸騰的現象。它是一次飛躍，一次突變。 液氣冷凝沸騰 B E 圖4.1 水的相變除了採用沸騰的飛躍方式，水由液態變為氣態還可以透過第二種方式漸變來實現，這種情況發生在條件溫度壓力沿著CD方向變化的時候。從圖4.1可以看到，當溫度和壓力沿 CD方向繞過了臨界點，從曲面摺疊後面的斜坡變化時，水的密度的變化就是連續的。液態的水的密度值是逐漸降低的，它經由一系列似水非水，似氣非氣的中間狀態連續地變化為氣態。整個液氣轉化過程中不發生飛躍，不發生突變， 不存在沸騰現象，找不到一個可以稱之為沸點的關節點（或稱交錯點）可以把水的液態和氣態區分開來。 同樣的兩種方式也適用於氣態變為液態的過程。從圖 4.1可以看出，氣態變為液態可以分別透過BEA 的飛飛躍方式和DC 的漸變方式來進行。不過，以飛躍方式進行時，飛躍的第四章質變的數學模型 137 關節點不是F，而是E。密度值在E點一下子由氣態區上升到液態區，這就是冷凝現象。 突變理論考慮問題的角度跟以往的一些理論不同，它不但關係事物在某種特定條件下的質變方式，而且更注重研究當條件發生變化時事物質變方式的改變。可以說，託姆的突變理論的本質就是揭示事物質變方式是如何依賴條件變化的。他不是憑經驗、憑猜測，而是透過極其嚴格的數學推導建立了他的理論。這使他的理論有一個堅實的科學基礎，能夠站在一個新的高度洞察事物質變的全過程，克服以往一些理論的偏頗。 艾思奇同志在《大眾哲學》中曾經舉過一個雷峰塔倒塌的例子，來通俗地說明質量互變規律。他說，塔的倒塌經過了兩個階段，第一個階段是愚民把磚一塊塊地偷走，塔身的支援力漸漸減弱，但塔始終是塔，表面上看不出有什麼變化。 這個時期是量變，是漸變。第二階段是在倒塌時的變化，磚的減少已達到最高限度，塔已不能支援原來的形狀，於是嘩啦一聲，倒塌下去。這時的變化很明顯，因此這一時期的變化是質變，是突變。艾思奇先生的這個例子代表了一種典型的質量轉化觀點，形象地說明質變階段雷峰塔是如何“嘩啦一聲，倒塌下去”，突變為一堆廢墟的。但是，除了以這樣一種突變或飛躍的方式質變之外，就沒有其他的方式了嗎？如果我們設想那些愚民們每天不是從塔底把磚一塊塊偷走，而是從塔頂開始把磚一塊塊偷走（我們暫且假設他們克服了種種技術上的困難），那會發生什麼情況呢？顯然，從塔頂一塊塊一層層地偷磚，直到偷光為止，也不會發生“嘩啦一聲，倒
138 控制論和科學方法論塌下去”的突變現象，也不會有飛躍出現。整座塔完全可能逐漸地被毀掉，以漸進方式完成質變。 突變理論的基本思想是深刻的，然而並不複雜。它是從穩態結構的研究開始的。1972年託姆出版了一本系統闡述突變理論的著作，書名就叫《結構穩定性和形態發生學》。突變理論透過對穩態結構的研究，廣義地回答了為什麼有的事物不變，有的漸變，有的則是突變。一種對事物的變化有深知灼見的理論卻來源於對事物不變性的洞察，這是一個意外的出發點。對它的研究有助於我們瞭解突變理論的深刻思想，瞭解這個理論的意義不僅僅在於給出了種種形狀古的模型而已。 4.3 事物什麼具有確定的性質為了研究質變的方式，我們首先必須解決一個問題，這就是為什麼物質會具有某一種確定的性質？這個問題或許哲學家會認為不成問題，因為物質總是具有一定屬性的嘛。 但是對於科學家，這個問題卻常常引起他們的深思。為什麼這塊木頭有它固定的物理性質？為什麼這杯水有它固定的化學性質？科學家發現，任何物質都處於內外環境密不可分的作用之中，任何物質都會受到來自內部和外部不可排除的干擾。木塊受到內外應力的複雜干擾，它為什麼沒有在壓力的作用下變成碎片呢？水分子由兩個氫原子和一個氧原子組成，氫原子和氧原子不斷受到內在電子運動和外來分子的干擾，這些干擾使氫氧原子處於不斷振動之中。這種振動為第四章質變的數學模型 139 什麼沒有動搖水分子的結構，使氫氧原子飛散開去呢？就拿原子本身而言，它也處於內部基本粒子運動和外部場的不斷干擾之中，為什麼原子沒有瓦解呢？實際上，任何一種物質都是一個系統，系統的可能結構是很多的，它的結構在內外干擾作用下不斷髮生這樣的形變。在干擾存在條件下，只有穩態結構才能存在，因此，事物表現出的性質一般都是某一種穩態結構所具備的質。換言之，對於事物質的規定，干擾像海浪一樣包圍著它，衝擊著它。在干擾的衝擊之下，物質要具有某一種確定的性質，無論是幾何形狀、物理性質或化學性質，都不能是任意的。這種性質必須具有穩定性，要滿足穩定性必備的條件。也就是說，系統表現出的確定性質必須是系統穩態結構所決定的性質。關於穩態結構，我們在前一章已有很多描述。但前面僅僅從系統各部分之間互相作用來把握穩態結構的。現在我們把穩態結構和系統的某一種質的規定性聯合起來考察，我們把由穩態結構決定的性質稱為事物質的“穩定性”。初看起來，質的穩定性似乎就是一種不變的性質，其實問題要複雜得多，在控制論中，它有著深刻嚴格的含義。 從穩態結構角度分析，質的穩定性大致包括了這樣幾類含義。 第一類質的穩定性的含義是，當事物受到一個比較大的干擾時，事物質的規定性也即狀態發生的變化很小。烏龜的盔甲、蝸牛的殼以及人類的房子都具有這種穩定作用，它們使外界溫度的、機械的以及各種其他變化不致對內環境發生顯著的影響。化學中常用的緩衝溶液也具有這種性質。比
140 控制論和科學方法論如我們配成緩衝溶液，它的pH 值為4.74。當溶液受到較大的干擾，如加人一定量的酸和鹼時，PH 值的變化不大。這種性質非常寶貴，我們知道，許多化學反應需要在較穩定的酸鹼度條件下進行，用這種方法配製的緩衝溶液，提供了一個穩定的酸鹼環境。這裡pH4.74 被稱為這個緩衝溶液的穩定態。 第二類穩定性的含義是指事物處於這樣一種性質或這樣一個狀態，如果我們給事物一個干擾，使事物偏離這一狀態，事物能以某種方式自動地回到那個原來狀態去。不倒翁的直立是一個穩定態，無論干擾使它的角度怎樣發生偏離， 只要干擾一消失，它又會自動回到直立狀態。如果事物一旦偏離某一狀態，再也回不去了，就叫不穩定。我們常說“危如累卵”，把雞蛋一個個疊起來，那可是太不穩定了。只要稍有點干擾，比如一絲微風，走路時地板的震動，都會使雞蛋摔下來。而雞蛋一旦摔下來，它們不會自動地疊在一起。所以 “累卵”是一個不穩定態。 第三類穩定性似乎具有更廣義的含義，它指事物自動發生或容易發生的總趨勢。如果一個事物能自動發生趨向某一狀態的變化，那麼我們就說這一狀態比原來的狀態更穩定。這在系統的研究中特別重要。我們前面講過的自組織系統，在這個意義上就是在自動趨向穩定態。 不管對質的穩定性的定義如何，它都是指在內外干擾下事物保持自身某一狀態不變的能力，它的意義對我們的研究極為重要。我們這個世界之所以是現在這個世界，各種事物之所以能存在並進行有規律的運動，都離不開穩定性。經濟第四章質變的數學模型 141 發展需要有穩定的貨幣。生物的生存需要有穩定的內環境。 任何一種語言的詞彙實際總是穩定在一定的數量極上，太少了不能表達思想，太多了無法掌握。任何物理規律也有穩定性，這是近代科學的信條。一個微分方程如果不是穩定的，就不能代表物理規律。事物內在的聯絡如果沒有穩定性，那麼這種聯絡既發現不了，也不會對事物的發展起支配作用。 4.4 穩定機制：穩態結構的數學表達一旦我們把事物某一種性質的穩定性與穩態結構聯絡起來考察。認為事物任何存在的質或多或少都具有穩態結構所刻畫的穩定性，這就為我們深入研究質變方式找到一個關鍵的突破口。因為對於任何一種穩態結構，系統內各子系統的互相作用與調節是保持它穩定的機制。那麼對於事物任何一種確定的質，我們也都能發現保持這一質的穩定性的穩定機制。沒有這種穩定機制，事物是不會具有相應質態的。什麼叫穩定機制呢？我們來舉一個例子。 我們知道，一個坑中的小球，就其位置而言，是穩定的。 因為小球不管受到哪一方向的外力干擾使它偏離了穩定位置，只要干擾消失，小球都可以滾回到坑的底部。而一個放在物體尖端上的小球，它的位置是不穩定的。因為一旦外力干擾使它發生偏移，就回不到原來的狀態了。坑中小球的位置為什麼穩定？因有坑的存在，坑和重力構成了保持小球位置穩定的穩定機制。
142 控制論和科學方法論那麼對於其他物質的各種性質，如化學、物理性質，有沒有類似現象呢？有的。任何一種物質要保持其某一性質的穩定， 必定有一種相應的穩定機制。這種穩定機制或者是事物內部結構中各部分相互作用造成的，或者是在人參與控制的條件下形成的。不論是哪一種穩定機制，我們都可以用動態圖和可能性空間勢函式窪的形式表示出來。這裡所說的窪並不是坑中小球那種現實空間的窪，而是一種表示物質性質的抽象空間的注。這一節我們就要著重研究一下這個問題。 讓我們先來比較兩個實驗。圖4.2a表示相同的兩根彈簧，分別把它們的一端固定起來，另一端在自由的情況下分別處於 A、B兩點。現在把它們都拴在一個小球上，我們可以看到，由於兩根彈簧相反的拉力，不管小球開始處於什麼狀態，最後都會彈回 AB的中點。這是穩定態。如果我們在A、B兩點分別放兩個帶正電荷的小球（圖4.2b），在它們中間放一個帶負電荷的小球，那麼負電小球也受到方向相反的引力作用。不過跟彈簧實驗相反，我們發現負電荷小球在AB之間的任何位置都是不穩定的。即使在AB的中點O，只要稍微受到一點干擾，它要麼往A跑，要麼往B 跑，不會待著不動。這說明它在AB之間沒有穩定態。顯 -6000s6606 0-00008 A 0 B a 由 A 〇 O b 圉4.2