53 suvefcuranek $8$16：$C$16 $B$21：$8$24 <= $D$21：$D$24 Standard Simplex LP 圖2-25 Par 公司問題的 Solver Parameters 對話方塊 Par公司操作明削與印染縫介成型檢查與包裝每個袋的利潤模型生產的袋最大總利潤約束切割與印染縫合成型檢查與包裝生產時間標準袋高階袋 0.7 0.5 1 0.1 10 0.833 33 0.666 67 0.25 9 可用時間 630 600 708 135 決策變數標準袋高階袋 252.00119 2068 耗用時間 （LHS） 可用時間 （RHS）. 第五歩第六步第七步天鞋 1700022 六精圖 2-26 使用 Excel 對 Par 公司問題進行求解當 Solver Parameters 對話方塊出現時： 選擇 Options 當 Solver Options 對話方塊出現時： 選擇 Assume Non-Negative 單擊OK 當 Solver Parameters 對話方塊出現時： 選擇 Solve
54 資料、模型與決策：管理科學篇第八步當 Solver Results 對話方塊出現時： 選擇 Keep Solver Solution 單擊 OK 圖2-25表示的是整個 Solver Parameters對話方塊，圖2-26表示的是工作表中的最優解。注意，最優解是標準袋540個，高階袋252個，與我們用圖解法得到的解相同。系統除了得到圖2-26所示的輸出外，還有一個提供靈敏度分析的選項。我們將在第了章討論靈敏度分析。 在第六步中，我們在 Solver Options 對話方塊中選擇了 Assume Non-Negative 項。我們這樣做就不必輸人非負約束了。一般來說，如果我們要解決的線性規劃問題是非負的，都應該選擇該條件。此外，在第四步中，我們在 Add Constraint 對話方塊中的 Cell Reference 框中輸入B21：B24，然後選擇<=，在 Constraint 框裡輸入D21:D24， 這樣將全部約束條件一次性地都輸入到計算機中了。不過，我們也可以一次只輸入一個約束條件。
第3章線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋靈敏度分析是研究當一個線性規劃問題中的係數發生變化時，其對函式最優解的影響程度。運用靈敏度分析，我們可以回答以下問題： 1. 如果目標函式的係數發生了變化，對最優解會產生什麼影響？ 2. 如果改變約束條件的右端值，對最優解會產生什麼影響？ 因為靈敏度分析研究的是係數的變化對最優解的影響，所以在進行靈敏度分析之前首先要計算出原線性規劃問題的最優解。因此，靈敏度分析有時也被稱為後最佳化分析 （postoptimality analysis）。 我們研究靈敏度分析的方法與與第2章中研究線性規劃問題的方法相同。首先，我們將介紹如何使用圖解法進行雙變數線性規劃問題的靈敏度分析。然後，我們將介紹如何使用管理科學家軟體得到靈敏度分析報告。 然後，我們還將繼續對第7章所研究的問題進行擴充套件，討論3個更大的線性規劃問題的建模與求解。在分析這些可行解時，我們著重於對最優解及其靈敏度分析報告的管理解釋。 靈敏度分析及最優方案的解釋是運用線性規劃問題的重要因素。專欄3-1 中介紹了柯達公司在確定全球生產任務最優方案時所遇到的一些靈敏度分析及解釋問題。專欄3-2說明了績效分析公司如何用靈敏度分析作為快餐連鎖店的評估模型的一部分。專欄3-3介紹了明尼蘇達大學的營養協調中心如何用線性規劃模型來預計新開發食品的營養量。專欄34介紹了 Ducan 工業有限公司的線性規劃模型如何使得管理層信服用定量分析技術用於決策支援所帶來的種種好處。 專欄3-1 實踐中的管理科學柯達在全球範圍內安排生產柯達公司眾多重要決策問題中的一個就是如何決定柯達全球眾多工廠的產品種類。這種將產品生產任務分配到各個工廠的過程被稱為“全球呼叫（world load）”。在這個問題上，柯達面臨著很多有重要意義的權衡。例如，並不是所有工廠生產各種產品的效率都是一樣的，每種產品的利潤也有所不間。除生產成本外，運輸費用和稅收及退稅政策都極大地影響地點選擇。
56 資料、模型與決策：管理科學篇為了輔助產品分配決策的制定，柯達開發了一個線性規劃模型，其中包含了問題特性和各種成本變數。這個模型的目標是在滿足需求和各個工廠產能約束的前提下，最小化總成本。 這個線性規劃模型是真實問題的靜態描述，但真實世界是時刻在變化的。因此，必須使用動態的方法來運用這個線性規劃模型。例如，當預期需求改變時，模型可以得出這個變化對整個問題的影響。假如國家A 的貨幣對國家B的貨幣的匯率上升，產品分配問題應該做什麼樣的修改？線性規劃模型除了可以用來重新再現要研究的問題，它在以下方面還可以發揮更重要的作用：工廠F花費d美元將產品P的單位生產成本由x降低為y是否值得？線性規劃模型幫助柯達公司評估了任一工廠的任何可能的變化對公司的影響。 最後，管理者意識到他們不能簡單地靠輸入引數、執行、得出結果來使用這個模型。模型的結果加上管理者的判斷才構成了最終的決策。 資料來源：基於柯達公司 Greg Sampson 提供的資訊。 3.1 靈敏度分析簡介靈敏度分析對於決策者的重要性不言而喻，在真實世界裡，周圍的環境、條件是在不斷變化的。 原材料的成本在變，產品的需求在變，公司購買新裝置、股票價格波動、員工流動等等這些都在不斷發生。如果我們要用線性規劃模型去解決實際問題，那模型中的係數就不可能是一成不變的。這些系數的變化會對模型的最優解產生什麼樣的影響呢？運用靈敏度分析，我們只需改變相應的係數就可以得到答案，而不需建立新的模型。 回憶 Par 公司的問題： maX s.t. 10S+ 9D ⅞S+ 1D≤630 切割與印染 ½S+⅚D≤600 縫合 1S+3D≤708 成型 MS+XD≤135 檢查與包裝 S,D≥0 我們已經知道這個問題的最優解是標準袋生產540個，高階袋生產252個，這個最優解的前提是每個標準袋的利潤是10美元，每個高階袋的利潤是9美元。假設，我們得知由於價格的下降，標準袋的利潤由10美元降到8.5美元。這時我們可以用靈敏度分析來確定標準袋生產540個，高階袋生產252個是否還是最優解。如果還是，則不必建立新的模型求解了。 靈敏度分析還可以用來分析模型中的係數哪個更能左右最優解。比如，管理層認為高階袋的利潤 9美元只是一個估計量。如果透過靈敏度分析得到，當高階袋的利潤在6.67 美元與14.29 美元之間變化時，模型的最優解都是540個標準袋和 252個高階袋，那麼管理層就對9美元這個估計量和模型所得出的最優產量比較滿意。但是，如果靈敏度分析告訴我們只有當高階袋的利潤在8.9美元與9.25 美元之間，模型的最優解才是540 個標準袋和252 個高階袋，那麼管理層就必須思考每個高階袋獲利9 美元這個估計量的可信程度有多大了。管理層希望知道如果高階袋的利潤下降，最優產量會怎樣變化。 靈敏度分析的另一個用途是分析約束條件的右端值變化對最優解的影響。還是以Par 公司為例， 在最優產量的情況下，切割與印染部和成型部的工作時間已經全被佔用了。如果現在公司增加了這兩個部門的生產能力，那麼最優解以及總利潤的值會發生什麼樣的變化呢？靈敏度分析可以幫助確定每一個工時的邊際價值，以及在利潤下降之前部門工時的最大增加量。
第3章線性規劃的費敏度分析與最優解的解釋 57 3.2 圖解法靈敏度分析對於雙變數的線性規劃問題，當目標函式的係數或約束條件的右端值變化時，用圖解法可以對其進行靈敏度分析。 3.2.1 目標函式係數 D 讓我們思考一下目標函式的係數變化會對 800｝ Par 公司的最優產量產生什麼樣的影響。選擇直線B （與成型約束直線重合 IS+3D=708） 每個標準袋的利潤是10美元，每個高階袋的利潤是9美元。很明顯，如果其中一種袋子的 600③ 目標函式線10S+9D 利潤下降，公司就會削減其產量：如果利潤上升，公司就會增加其產量。但問題是，究竟利潤變化多少時，管理者才應該改變產量呢？ 高階袋產量 400 現在，模型的最優解是540 個標準袋和 252 個高階袋。每個目標函式係數都有一個最可行域 200 ③ 直線A （和切割與印染約束線重合⅞S+1D=630） 優範圍，即目標函式係數在什麼範圍內變化時，模型的最優解保持不變。我們應該注意那些係數的最優範圍比較小，或者係數剛好靠近最優範圍邊界的情況。在這種情況下，這些系 0 200 400 600 S 標準袋產量數的微小變動就有可能使最優解發生改變。下圖3-1 面，我們用圖解法來求解 Par 公司的最優圖解法求解 Par公司問題，如果目標函式的斜率在直線A與直線B之間，極點③是最優解點範圍。 圖3-1展示了圖解的方法。認真觀察這幅圖會發現，只目標函式的斜率一般都是負的，所以要目標函式直線的斜率處於直線A（和切割與印染約束線重順時針旋轉直線會導致直線變陝，可是直合）的斜率與直線B（與成型約束線重合）的斜率之間，線的斜率會變小（負數的絕對值變大）。 極點③（S=540，D=252）就是最優解的點。改變目標函數中標準袋產量S和高階袋產量D的係數，將引起目標函式直線斜率的變化。在圖3-1中，我們可以看到這種變化導致目標函式直線繞著極點③旋轉。然而只要目標函式直線仍然在陰影區域內，極點③ 仍然是最優解點。 逆時針選擇目標函式直線，使其斜率變成一個絕對值更小的負數，從而斜率變大了。當目標函式直線逆時針旋轉到足夠的角度，與直線A 重合，我們就獲得了多重最優解—在極點③和極點④之間的點都是最優點。任何對目標函式直線的進一步逆時針轉動，都會使得極點③不再是最優解點。因此，直線A 的斜率就是目標函式直線斜率的上限。 順時針轉動目標函式直線，使其斜率變成一個絕對值更大的負數，從而斜率變小了。當目標函式直線順時針轉動到足夠的角度，與直線B重合，我們就又獲得了多重最優解——在極點③與極點②之間的點都是最優點。任何對目標函式直線的進一步顧時針轉動，也都會使得極點③不再是最優解點。 因此，直線B的斜率就是目標函式直線斜率的下限。 因此，極點③總是最優解點，只要直線B的斜率≤目標函式直線的斜率≤直線A的斜率在圖3-1中，我們可以看到直線A的方程，切割與印染約束直線如下： ⅞S+1D=630 透過解出D的值，我們能夠寫出直線A的斜截式方程，如下： D=-%S+630
58 資料、模型與決策：管理科學篇因此，直線A的斜率就是-7/10，並且其在D軸上的截距是630。 在圖3-1 中，直線B的方程是 IS +⅔D=708 解出D的值，就可以得到直線B的斜截式方程。如下： 2D= -1S +708 D= -½S+1 062 因此，直線B的斜率是-3/2，並且其在D軸上的截臣是1062。 既然直線A和直線B的斜率都已經計算出來了，我們來看一看若想保持極點③仍然為最優解點， 應滿足的條件： -3/2≤目標函式的斜率≤-7/10 （3-1） 現在讓我們考慮目標函式直線斜率的一般形式。用C。表示標準袋的利潤，C，表示高階袋的利潤， P表示目標函式值。使用這些標識，目標函式直線可以寫成： P=CSS+CD 把上面方程寫成斜截式，得到： C,D=-CS+P 以及因此，我們得到目標函式的斜率為-Cs/Cp。把 Cs/C。代入式（3-L），我們看到只要滿足下列條件， 極點③就仍然是最優解點： -32≤-9P≤-7110 為了計算標準袋利潤最優的範圍，我們假設高階袋的利潤C=9，代人式（3-2），我們得到： -3/2≤-aBn-1110 （3-2） 從左邊的不等式，我們得到 -3/2≤-9或者31229 因此， 27/2≥C；或者Cs≤27/2 =13.5 從右邊的不等式，我們得到 9 7/10或者9≥7/10 因此， Cs≥63/10 或者 Cs≥6.3 綜合標準袋利潤Cs的極限，標準袋利潤最優範圍為： 6.3≤Cs≤13.5 在最初 Par 公司的問題中，標準袋的利潤是10美元。最優解是540個標準袋和252 個高階袋。標準袋利潤C。的最優範圍告訴 Par 公司的管理者：在其他係數不變的情況下，只要標準袋的利潤在6.3 美元與13.S美元之間，540個標準袋和252個高階袋總是最優產量。然而值得注意的是，即使產量不變，總的利潤也可能由於每一個標準袋利潤的變化而變化。 這些計算可以重複進行，假設標準袋的利潤為常數Cs=10。如此一來，高階袋利潤的最優範圍就能夠被確定出來。驗證可得，這個範圍為6.67≤G≤14.29。 1
第3章線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋 59 當目標函式繞最優點旋轉，使之與座標軸垂直時，像式（3-2）中出現的那種斜率的上限或下限就不再存在了。為了說明這種特殊的情況，我們設 Par 公司的目標函式為18Cs+9C，；這樣，在圖3-2 中，極點②就是最優解點。繞著極點②逆時針旋轉目標函式，當目標函式與直線B重合時，就得到了斜率的上限。我們前面已經計算出，直線B的斜率為-3/2，所以目標函式斜率的上限就一定是 -3/2。然而，順時針旋轉目標函式會使其斜率變為絕對值越來越大的一個負數，最後當目標函式垂直於座標軸時，其斜率接近負無窮大。在這種情況下，目標函式的斜率沒有下限，只有上限 D -3/2，如下所示： 直線 B （與成型約束直線重合 I.S+⅔D=708） Cs ≤-3/2 按照前面假定的C，的值，仍為常數9，我們 800 得到 600 •目標函式線18S+9D Cs Cs 9 ≤-3/2 或者 ≥3/2 垂線 400 解出Cs，得 Cs≥27/2 =13.5 觀察圖3-2，我們注意到，只要Cs的值大於等 200 可行域於13.5，極點②仍然是最優解點。因此我們新的最優解得到以極點②為最優解點的Cs的範圍，如下： 200 400 13.5≤Cs<8 ② 600 標準袋產爝 S 800 多係數同時改變目標函式係數的最優範圖 3-2 圍只能夠應用於一次只有一個係數發生改變的圖解 Par公司的問題，目標函式為 18S+9D，最優解在極點② 情況，其他係數都假定保持初值而不發生改變。如果兩個或兩個以上目標函式的係數被同時改變，就有必要進一步判斷最優解會不會也發生變化。然而對於解決只有兩個變數的問題時，式（3-2）給出了一個簡單的方法，以判斷兩個目標函式係數同時發生改變時，最優解是否也發生了改變。簡單地計算出在新的係數值下目標函式的斜率 （-Cs/Cn），如果這個比值大於等於目標函式斜率的下限，同時小於等於目標函式斜率的上限，那麼系數值的變化不會使最優解發生變化。 考慮Par 公司問題中目標函式的兩個係數的變化。假設每個標準袋利潤增加到13美元，同時每個高階袋利潤減少到8美元。回憶標準袋利潤C。與高階袋利潤C，的最優範圍為 6.3≤Cs≤13.5 （3-3） 6.67≤C，≤14.29 （3-4） 對於上述最優範圍，我們可以推斷，無論是使C。升高到13美元還是使C，降低到8美元（不是同時），都不會使最優解（S=540，D=252）發生變化。但是我們無法從上述最優範圍中推斷出如果兩個係數同時發生改變，最優解是否會發生改變。 在式（3-2）中，我們計算出只要滿足下列條件，極點③仍然是最優點： Cs ~S≤-C。 ≤-7/10 如果C。升高到13美元，同時使C，降低到8美元，新的目標函式斜率將變成 Co -= -1.625 由於這個值要小於下限-3/2，因此當前的解S=540，D=252 不再是最優的。把C=13,C，=8代人，可得出極點②是新的最優解。 觀察最優範圍，我們得出結論，無論是Cs升高到13美元還是使C，降低到8美元（但不是同時
60 資料、模型與決策：管理科學篇改變），都不會帶來最優解的變化。但當C與C，同時改變時，目標函式斜率的變化導致了最優解的變化。這個結論強調了這樣一個事實：僅僅是透過最優範囿，只能用於判斷在一次改變一個目標函式係數的情況下最優解的變化。 3.2.2 右端項現在讓我們來考慮約束條件右端值的變化對可行域帶來的影響，及其可能對最優解帶來的變化。 為了闡明敏感度分析的這方面內容，我們假設Par 公司的切割與印染部門增加了10個小時的生產時間，然後來考慮將會有什麼發生。切割與印染約束條件的右端值由630變為640，約束條件可寫作 %S +1D≤640 又獲得了10個小時的切割與印染時間，我們 D 可以擴充套件問題的可行域，如圖3-3所示。可行 800 域變大了，現在我們考忠是否有新的解會使目標函式值更大。運用圖解法可以看出，極點S =527.5， D=270.5是最優解點。新的目標函 600數值為10x 527.5+9×270.75=7711.75 美元，比原先利潤增加了7711.75-7 668.00 = 壘 I&P I0S+9D=7711.75 包含陰影部分的新的可行域最優解 43.75 美元。因此，利潤的增加率為43.75/10 （2=33） =4.375美元/小時。 約東條件右端值每增加一個單位引起的最優解的增加量稱為對偶價格。在這個例子裡， 200切割與印染約束條件的對偶價格為4.375 美元—換言之，如果我們使得右邊切割與印染 1105+D=640 約束條件增加1小時，目標函式的值會增加 200 400 F 600 800 一S 4.375 美元。相反，如果我們使得右邊切割與標準袋產黛印染約束條件減少1小時，目標函式的值會相圖3-3 切割與印染的約束條件右端值增加 10小時的影響應地減少4.375 美元。對偶價格可以用來求出當某個約束條件右端值改變個單位，目標函式值將會有什麼變化。 在這裡，我們要注意的是，對偶價格可能只適用於在右端值僅發生了很小的變動時的情況。隨著所獲得的資源越來越多，從而右端值越來越大，其他的約束條件也可能會約束和限制目標函式值的變化。拿 Par公司的例子來說，我們最終會找到某一點，從那一點之後，再增加切割與印染的時間也不會使利潤增加——在切割與印染約束條件不再是束縛性約束條件時，這就有可能發生。在這一點，對偶價格等於0。下一節中，我們會討論如何確定右端值變動的有效範圍，在這個範圍內，透過對偶價格可以精確地預測出目標函式值的變動。最後要指出的是，任何非束縛約束條件的對偶價格都是0， 因為增加這樣的約束條件的右端值，只會得到約束條件的多餘或鬆弛變數。 為了在解決最小化問題中正確解釋對偶價格，假設我們剛剛解出了一個關於總成本最小化的問題，最優解的值為100美元。此外，假設某個約束的對偶價格是-10美元。負的對偶價格告訴我們， 如果使右端值增加1，目標函式值不會增加，反而會減少10美元。在最小化問題中，目標函式結果變得更壞意味著總成本的增加。那樣的話，如果右端值增加1個單位，目標函式值就變成110美元。反過來，右端值減少1個單位，總成本就減少10美元。 專欄3-2 實踐中的管理科學續效分析公司的評估效率績效分析公司（Performance Analysis Corporation）擅長運用管理科學來為各種各樣的連鎖店設計出更加高效率和有效果的方案。有一項應用是使用線性規劃的方法來一系列快餐店提供評估模型。
第3章線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋 61 根據帕累托最優法則，在給定的一系列餐廳中，對於其中的某一家而言，如果其他餐廳表現出如下的特徵，那麼這家餐廳是相對低效率的： 1. 在相同或者更糟的環境中運營； 2. 創造出至少相同水平的產量； 3.沒再更多地使用任何資源並且至少使用了一種資源。 為了確定哪一家餐廳是帕累託無效的，績效分析公司開發並解決了一個線性規劃模型。模型的約東條件包括最小可接受的產出水平以及環境中不可控因素帶來的條件。目標函式要求生產所需的資源最小化。解這個模型可得到如下各家餐廳的輸出結果： 1.一個用以評估特定餐館在某段考查時期所謂相對技術性效率的分數； 2. 可控資源的減少量或在特定考查時期內產出的增加量，需要用到這些指標來評估一家原來低效率的餐廳是高效的。 3. 一組同等的其他餐廳，將來每一家待評估餐廳都可以與它們進行比較。 靈敏度分析給出了重要的管理資訊。例如，對於每一個關於最小可接受產出水平的約東條件，對偶價格告訴管理者每增加一單位的產出將使效率值提高多少。 根據前面提到的那些條件，涉及到有效的輸入和產成品，評估分析把40% ~50%的餐廳界定為經營不佳。績效分析公司發現，如果把所有那些相對的低效率因素去掉，公司利潤會上升大約5%~ 10%。對於涉及到的這些大規模運營，這種上升確實是非常重要的。 註釋與評論 1.如果目標函式的兩個係數同時變化，使得直線移出了最優範圍，但卻不對最優解產生影響。比如，對於雙變數問題，如果目標函式的係數是成比例變化的，函式的斜率就不會改變。 2. 一些書中用到了影子價格這個術語。影子價格的概念與對偶價格極為相似。影子價格是指，每增加一個單位的約束條件右端值最優解的變化量。一般來說，對於最大化問題，影子價格和對偶價格相同；對於最小化問題，影子價格是對偶價格的相反數。 3.3 靈敏度分析：計算機求解在第2.4節，我們說明了如何使用管理科學家軟體來解決 Par 公司的線性規劃問題。回憶一下， 為了使用管理科學家軟體，我們必須使用小數來代替分數。Par 公司的問題用小數形式的係數表示如下： maX 10S+ 9D S.t. 0.7S+ 1D≤630 切割與印染 0. 5S+ 0.833 33D≤600 縫合 1.0S + 0.666 67D≤708 成型 0.1S+ 0.25D≤135 檢查與包裝 5,D≥0 我們現在示範如何利用管理科學家軟體來進行靈敏度分析，如圖3-4所示。 3.3.1 計算機輸出的解釋— -第一個例子在第2.4節，我們對圖3-4頂部的輸出結果進行了討論。在取近似值以後，我們得到最優解是S =540個標準袋和D=252 個高階袋，目標函式最優解是7668美元。如我們在第2.4節討論的一樣， 減少的成本一欄的資訊告訴我們目標函式的每個係數應提高多少，目標函式的變數值才能是正數。對
62 資料、模型與決策：管理科學篇 Objective Function Value = Variable 7667.99463 D Constraint 1 2 3 4 Value 539.99841 252.00113 51ack/5u572u8. 0.00000 120.00070 0.00000 17.99988 Reduced Costs 0.00000。.0000 Dual Prices 4.37496 0.00000 6.93753 0.00000 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Limit D 6.30000 6.66670 10.00000 9.00000 13.49993 14.28572 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value 1 2 3 4 495.59998 479.99930 580.00146 117.00012 630.00000 600.00000 708.00000 135.00000 Upper Limit ----- •---- 682.36316 No Upper Limit 900.00000 No Upper Limit 圖3-4 使用管理科學家軟體求解 Par公司問題於 Par公司的例子，兩個變數都已經是正值，所以它們相應的減少的成本就是0。在第3.4節，我們將會介紹減少的成本，這時決策變數在最優位置上並不是正值。 在最優解S、D以及減少的成本資訊下面，計算機輸出了有關約束條件的資訊。回憶 Par 公司的例子，其中有4個小於或等於約束條件的，都是關於各個生產部門的生產時間。在鬆弛/剩餘變數一欄中，可以看到每個部門的鬆弛變數值。上述資訊歸總如下： 約東件序號釣東條件名鬆弛約束條件序號約東條件名切割與印染 0 3 成型 2 縫合 120 4 檢查與包裝鬆弛 0 18 從上述資料中，我們可以看到束縛性約束條件（切割與印染和成型）在目標函式的最優下，鬆弛為0。 縫合部門有120小時的鬆弛或未使用的縫合能力；檢查與包裝部門有18小時的鬆弛。 對偶價格欄的資訊是關於在目標函式取最優解時，這4種資源的邊際價值。在第3.2節，我們對對偶價格進行了如下的定義： 對偶價格就是約束條件右端值每增加一個單位引起的，最優解的增加量。 這裡，約束條件1（切割與印染）和約束條件3（成型）的非零對偶價格分別為4.37496和 6.937 53。這告訴我們，每額外增加1小時的切割與印染時間會使最優解增加4.37美元；每增加1小時成型時間將會使最優解增加6.94美元。因此，在其他係數不變的情況下，如果切割與印染時間從 630 小時增加到631小時，Par 公司的利潤會增加4.37美元，即由7668 美元增加到7668 +4.37 = 7672.37（美元）。成型約束條件與之類似—在其他係數保持不變的情況下，如果有效成型時間從 -
第3章線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋 63 708小時增加到709小時，Par公司的利潤將增加到7668+6.94=7674.94（美元）。由於縫合和檢查與包裝約束條件有鬆弛或未使用的工作能力，它們的零對偶價格表明，對這兩個部門增加額外的工作時間也不會對目標函式的值產生影響。 再次看看圖34的結果，我們看到管理科學家軟體除了提供鬆弛/剩餘變數和對偶價格的約束資訊之外，還給出了目標函式係數和約束條件右端值的變化範圍。 考慮在輸出結果的標題“目標係數範圍（OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES）”下面給出的信息，我們觀察變數S（此時的值是10）有如下的最最佳化範圍： 6.30≤Cs≤13.50 因此，只要標準袋的利潤在6.30到13.50之間，生產540個標準袋和252個高階袋都是最優解。 仔細觀察會發現，這個最最佳化範圍與第3.2節用圖解法得出的結論是一致的。 再觀察一下高階袋的使目標函式值變化的資訊，我們看到管理科學家軟體計算出如下的最最佳化範圍： 6.67≤C，≤14.29 這個結果告訴我們，只要高階袋的利潤在6.67 到14.29之間，生產540個標準袋和252個高階袋都是最優的。 計算機輸出結果的最後一部分右端值範圍（Right Hand Side Ranges）給出了對對偶價格適用範圍的限制條件。只要約束條件右端值處於系統所給出的下限和上限之間，對偶價格就會給出當右端值增加1時，最優解的增加量。舉例來說，我們考慮切割與印染約束條件當前的右端值630。由於其對偶價格為4.37美元，我們說每額外增加1小時工作量，目標函式會增加4.37美元。每減少1小時工作量，當然也同樣會使目標函式值減少4.37美元。在範圍欄的資訊中可見，4.37美元的對偶價格在右端值增加到682.363 16 或減少到495.59998之間的範圍內都是有效的。成型約束條件也是一樣，在右端值增加到900小時或是減少到580.001 46小時之間的範圍內，對偶價格6.94美元都是有效的。 如前所述，右端值範圍給出了一個對偶價格的適用範圍。如果右端值的變化超出了這個範圍，就需要重解原問題並找出新的對偶價格。我們把這個對偶價格適用的範圍稱做可行域。Par公司問題的可行域彙總如下： 約東條件最小右端值最大右端值約束條件切割與印染 495.6 682.4 成型縫合 480.0 無上限檢查與包裝最小右端值 580.0 117.0 最大右端傭 900.0 無上限只要右端值在這些範圍之內，系統分析結果中的那些對偶價格就不會改變。右端值如果超出了這些範圍，對偶價格的資訊就會隨之改變。 3.3.2 多係數同時變化系統靈敏度分析的輸出是基於單函式係數變化的。它假設所有其他的係數都保持不變。因此目標函式係數和約束右端值的變化範圍只能適用於單個係數發生變化的情況。然而在很多情況下，我們可能更加關注當兩個或兩個以上係數同時變化時，目標函式將怎樣變化。有些多係數同時變化的分析可能會用到100%法則（100 percent rule）°。我們下面分析100%法則是如何應用於多係數同時變化的情形中的。 假設 Par 公司的會計部門指出，原先對標準袋和高階袋的利潤的計算——分別為10美元和9美元有錯誤，正確的利潤是11.50美元和8.25美元。為了確定這樣的變化是否會對最優解產生影響，我們先要定義兩個術語“允許增加量（allowable increase）”和“允許減少量（allowable decrease）”。對於目標函式的係數，允許增加量是在不超過最優範圍的情況下，係數可能增加的最大量；而允許減少量是在不低於最優範圍下限的情況下，係數可能減少的最大量。 S. P. Bradley, A. C. Hax,and T. L. Magnanti,Applied Mathematical Programming （Reading, MA : Addison-Wesley, 1977）.
64 資料、模型與決策：管理科學篇從圖34可以看出目標函式係數S的上限是13.49993，因此，允許增加量就是13.49993-10= 3.49993。從百分比變動角度來看，目標函式係數（即標準袋的利潤）增加了1.50美元（從10到 1.50 11.5），佔了允許增加量的3.49993 ×100% =42.86%。D的下限是 6.666 70，D的允許減少量為 2.333 30=9-6.66670。從百分比變動的角度來看，目標函式係數（高階袋的利潤）減少了0.75 美元（從9到8.25），佔了允許減少量的=.33330 ×100%=32.14%。允許增加量（42.86%）和允許減少量（32.14%）變化之和為75%。 現在我們對將要應用於多個變數同時改變情況中的100%法則進行定義。 目標函式係數的100%法則對所有變化的目標函式係數，計算其佔允許增加量和允許減少量的百分比之和。如果和沒有達到 100%，最優解就不會改變。 在Par公司的例子中，由於目標函式係數的兩項改變的百分率之和為75%，因此最優解不會改變。然而值得注意的是，儘管最優解仍然是S=539.998 41，D=252.001 13，但最優解可能會因為標準袋的利潤增加到11.50美元，高階袋的利潤減少到8.25美元而變化。 但是，100%法則並沒有規定如果各百分比之和達到100%，最優解就一定會發生變化。有可能各百分比之和超過100%，最優解也不變。如果100% 法則的條件不能被滿足，就必須對問題重新求解， 以確定最優解是否發生變化。 下面這個與100%法則相似的定理也可以用來解決多個約束條件右端值同時發生變化的情況。 約束條件右端值的100%法則對所有變化的右端值，計算其佔允許增加量和允許減少量的百分比之和。如果和沒有達到100%， 對偶價格就不會改變。 下面我們說明在 Par 公司問題中，多個右端值發生變化時，約束條件右端值的100%法則。例如， 假設切割與印染部門能獲得額外的20小時時間，同時成型部門能獲得額外的100小時時間。切割與印染時間的允許增加量為682.36316 -630.0 =52.363 16，成型時間的允許增加量為900.0-708.0 = 192.0（見圖34）。新增的20小時切割與印染時間佔了約束條件右端值允許增加量的 20 52.363 16×100 =38.19%，額外的100小時成型佔了總允許增加量的 ×100 -$2.08%。二者百分比之利為 38.19% +52.08% =90.27%，沒有超過100%，因此我們可以得到下面的結論：對偶價格在這裡是適用的，並且目標函式值將會由此增加20×4.37+100×6.94=781.40。 3.3.3 計算機輸出的解釋——第二個例子我們重新考慮第2.5節中討論的M&D 化工公司的問題，以此作為解釋計算機輸出的第二個例子。 M&D公司的目標是為產品A和產品B找出一個成本最低的生產計劃。下面是解決這個問題的線性規劃模型，其中，A 表示產品A的產量，B表示產品B的產量。 min 2A+3B S.t. 1A ≥125 產品A 的需求 14 +18≥350 總產量第3章線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋 65 2A+1B≤600 生產時間 A,B≥0 利用管理科學家軟體對其進行求解，結果展示在圖3-5中。計算機輸出結果顯示，最優解服從於 800美元的目標函式。決策變數的值告訴我們，成本最低的生產計劃是生產250加侖的產品A 和100 加侖的產品B。 Objective Function Value = Variable 800.000 A B Constraint 1 2 3 OBUECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit ⋯--•⋯-•-------- A B No Lower Limit 2.000 RIGHTT HAND SIDE RANGES Constraint 1 Value 250.00（100.001 slack/Surplus 125.000 0.000 0.000 Reduced Costs --- 0.000 0.000 Dual Prices 0.000 -4.000 1.000 Current Value 3:20 Upper Limit 3.000 No Upper Limit Lower Limit No Lower LimiE 300.000 475.000 current Value 125.000 350.000 600.000 Upper Limit 250.000 475.000 700.000 圖3-5 使用管理科學來軟體對M&D 化學公司的問題求解鬆弛/剩餘變數欄顯示，其中大於等於的約束條件意味著產品 A 的需求有125單位的剩餘（見約束條件1）。這就是說，當處於最優解時，產品A 的產量比需求多125加侖。對於總的生產要求（約束條件2）和生產時間限制（約束條件3），鬆弛/剩餘變數值為0，這意味著這兩個約束條件是最優解的束縛性約束條件。 對偶價格欄再一次告訴我們，每增加一單位的約束條件右端值時最優解值的改進。首先觀察生產時間限制（約束條件3），其對偶價格為1.00。如果我們增加生產時間，使之從600小時變為601 小時，目標函式的值就會改進1美元。由於目標是使成本最小，這裡的“改進”意味著成本的降低。因此，如果生產時間變為601小時，最優解的值將會減少到800-1 =799美元。輸出結果的右端值範圍 （right hand side ranges）部分給出了生產時間限制（約束條件3）的上限。因此，在總的生產時間低於 700小時時，1美元的對偶價格都是有效的。 再回到輸出結果的對偶價格部分，考慮總產量約束（約束條件2）的對偶價格。負的對偶價格表明，如果總產量約束的右端值增加一個單位，最優解不會改進。事實上，-4.00的對偶價格告訴我們，如果總產量約束的右端值從350單位增加到351單位，最優解將會變壞4 美元。“變壞”意味著成本的增加，即最優解將變為800+4=804（美元）。 由於對偶價格是關於當右端值增加一個單位時最優解的改進量，有負對偶價格的約束條件就不能再增加其右端值了，而是應該努力減少其右端值。如果總產量約束條件的右端值從350單位減少到 349單位，總成本就會減少4 美元而變成800-4=796（美元）。 儘管對偶價格表示了右端值每增加一個單位對最優解的改進，然而對目標函式值“改進”的解釋
66 資料、模型與決策：管理科學篇取決於所解決的問題是最大化問題還是最小化問題。小於等於型約束條件的對偶價格總是大於或等於 0的，因為增加其右端值不會使目標函式值變得更壞。類似地，大於等於型約束條件的對偶價格總是小於或等於0的，因為增加其右端值不會對最優解有所改進。 最後，考慮圖3-5中的右端值範圍部分。M&D 化工公司問題的可行域歸納如下： 約束條件最小 RHS 產品A 的需求無上限總產量 300 生產時間 475 最大 RHS 250 475 700 只要右端值在上述範圍，計算機輸出結果中的對偶價格就是適用的。 3.3.4 關於對偶價格解釋的註釋如前所述，對偶價格是右端值每增加一個單位時對最優解的改進。當約束條件的右端值表示某種資源的可利用量時，對偶價格通常可以解釋為公司對額外支付一單位這種資源所願意提供的金額。然而這種解釋也並非總是正確的。要理解這個問題，我們先要理解沉沒成本和相關成本的區別。沉沒成本不會受決策影響，無論決策變數為何值，這種成本都會發生。相關成本則取決於決策的制定，這種成本依賴於決策變數值的變化而變化。 讓我們重新考慮 Par 公司的例子。切割與印染的總時間是630 小時。如果說無論生產標準袋或是高階袋，都是按照時間來付出工資的，那麼時間成本就是一種沉沒成本。如果 Par 公司只需要那些切割與印染高爾夫球袋的時間償付工資，那麼時間成本就是一種相關成本。所有的相關成本都要線上性規劃的目標函式中有所反映。對Par 公司而言，我們一直假設公司必須按照工作時間來向工人發工資，不管他們的工作時間是否有效率地被利用。因此，Par 公司的勞動時間資源的成本就屬於沉沒成本而不在目標函式中反映出來。 當某種資源的成本屬於沉沒成本，對偶價格就可以被解只有相關成本才包括在目標函式中。 釋為公司願意為得到額外一個單位這種資源而付出的金額。 當某種資源的成本屬於相關成本，對偶價格則可以被解釋為這種資源的價值超過其成本的數額，也就是增加一個單位這種資源時，公司能付出的最大成本量。 註釋與評論 1.有很多軟體包可以用來解決線性規劃的問題，其中大多數都可以提供最優解、對偶價格、影子價格、目標函式係數的最優範圍、右端值的可行域等資訊。這些範圍的名稱可能不同，但是含義都和我們所描述的一樣。 2.無論何時，當右端值處於其可行域的端，點時，其對偶價格和影子價格只能提供單邊的資訊，即只能預測出右端值向可行城以內變化所引起的目標函式值的變化。 3. 有一種稱為退化的情形，可能使我們對最最佳化範圍以外的目標函式係數變化的解釋產生一些微小的差昇。退化現象出現在當某個乘縛性約東條件的對偶價格等於0的時候，它不會影響對最優範圍之肉的右端值變化進行的解釋。然而當退化發生的時候，右端值變化到最優範圍之外也並不一定意味著最優解會發生變化。但即使如此，從實際經驗來看，一旦右端值變化到最優範圍之外，就有必要對原問題進行重解。 4.100%法則可以用於分析多個右端值或多個目標函式係數發生變化的情況，但如果多個右端值和目標函式係數同時發生變化，該法則就不再適用了。一旦這種情況發生，就必須重解原問題。 5.管理者經常會遇到是否有必要引進新技術的問題，而一般新技術的開發或者購買都是為了節約資源。在這種情況下，對偶價格可能對問題的解決有所幫助，它可以幫助我們瞭解節約這些資源會為我們帶來多大的利益，進而決定這項新技術的價值。
第3章線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋 67 3.4 多於兩個決策變數的情況圖解法只能應用於解決雙決策變數的線性規劃問題，而計算機軟體是用來處理多變數和約束條件的線性規劃問題的。在本節中，我們討論在兩個線性規劃問題中，三決策變數問題的模型和計算機求解。在討論過程中，我們會解釋計算機輸出結果中減少的成本部分的含義，同時闡述如何解釋帶有百分數的約束條件的對偶價格。 3.4.1 修正的 Par 公司問題 Par 公司原來問題的模型如下： max s.t. 10S+ 9D 0.7S+ 1D≤630 切割與印染 0. SS + 0.833 33D≤600 縫合 1S+0.666 67D≤708 成型 0. 1S+ 0.25D≤135 檢查與包裝 5,D≥0 回憶一下，S是標準袋的產量，D是高階袋的產量。假設管理者希望生產一種輕便的、可以被球手隨身攜帶的球袋模型。設計部門估計每個新型球袋將需要0.8 小時的切割與印染時間，1小時的縫合時間，1小時的成型時間和0.25小時的檢查與包裝時間。由於這種設計是獨一無二的，管理者認為在當前銷售期內每個輕便袋可以獲利12.85美元。 我們來考慮對原來線性規劃模型進行修改，修改後的模型需要加人新的決策變數的影響。令L為輕便袋的產量，將其加入目標函式以及4個約束條件，可以得到如下修改後的模型； max 10S+ 9D+ 12.85L 8.t. 0.7S+ 1ID + 0.8L≤630 切割與印染 0. SS + 0. 833 33D+ 1L≤630 縫合 1S + 0. 666 67D + 1L≤708 成型 0.1S+ 0.25D+0.25L≤135 檢查與包裝 S,D,L≥0 圖36 是使用管理科學家軟體對新問題進行求解的結果。最優解為 280個標準袋，0個高階袋和 428 個輕便袋，最優解近似為8299.80美元。 現在來看減少的成本欄的資訊。回憶前面對減少的成本的解釋，表示使得變數為正數時相應目標函式的增加量。計算機輸出結果表明，S和L的減少的成本都為0，這是因為相應的決策變數值在最優解處已經是正值。變數D的減少的成本為1.150 03，表明高階袋的利潤至少增加到9+1.15003= 10.15003 美元時，D才能變為一個正值。9換言之，在D的利潤增加1.15 美元之前，D的值將一直為0。 假設我們使D的係數正好增加1.15003 美元，再用管理科學家軟體來重解原問題。如圖3-7所示，注意到儘管D的值已經是正數，最優解的值仍然沒有變。換言之，當D利潤的增量正好等於其減少的成本時，能得到多重最優解。如果換一個軟體來解決這個問題，目標函式中D的係數正好是 10.150 03，會發現D不再是正值，這是因為軟體得出了一個不同的最優解。但是，如果D的利潤增 In the case of degeneracy, a variable may not assume a positive value in the optimal eolution even when the improvement in the protit contribution exceeds the value of the reduced coet. Our definition of reduced coets, stated as “ value...， ... could assume a poeitive eituations. provides for such apecial cases. More advanced texte on mathematical programming discues these apecial types of
68 資料、模型與決策：管理科學篇 objective Function Value = Variable S D 8299.80078 Constraint Value ------- 280.00000 0.00000 428.00000 Slack/Surplus Reduced Costa 0.00000 1.15003 0.00000 Dual Prices 1 2 3 4 91.60001 32.00000 0.00000 0.00000 -- 0.00000 0.00000 8.10000 19.00000 OBJECTIVE COBFFICIENTT RANGES Variable Lower Limit S D L 5.14000 No Lower Limit 11.90907 Current Value 10.00000 9.00000 12.85000 Upper Limit 12.07007 10.15003 25.00000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint 1 2 3 4 Lower Limit 538.40002 568.00000 540.00000 70.80000 Current Value 630.00000 600.00000 708.00000 135.00000 Upper Limit No Upper Limit No Upper Limit 852.63159 144.60001 圖3-6 使用管理科學來軟體對修改後的Par公司問題的求解加量超過1.150 03 美元，它在最優解處就不再是0。 注意圖3-6中，約束條件3和4的對偶價格分別為8.1 和19，表明這兩個約束條件是束縛性約束條件。因此，成型部門每增加1小時工作時間就會使最優解增加8.10美元，檢查與包裝部門每增加1 小時工作時間就會使最優解增加19美元。由於切割與印染部門有91.6小時的鬆弛時間，而縫合部門有32 小時的鬆弛時間（見圖36），管理者可能打算利用這兩個部門的未使用的勞動時間。例如，可以讓切割與印染部門的一些工人到成型部門或是檢查與包裝部門去從事一些特定的工作。將來，Par 公司可能會嘗試對工人進行交叉訓練，使得某部門未使用到的生產能力可以轉而分配到其他部門中去。下一章我們將考慮類似的情形。 假設管理者在稽核了圖36中的解決方案後發現，他們會放棄所有不生產高階袋的方案，並要求高階袋的產量至少要達到標準袋產量的30%。將這一要求表示如下： D≥0.3S 或者 -0.3S+D≥0 把這個新的約束條件加人 Par 公司的模型中並運用管理科學家軟體進行重解，我們得到圖3-8 中所示的敢優解。 讓我們來解釋約束條件5的對偶價格，這一約束要求高階袋產量至少要達到標準袋產量的30%。 其對偶價格為-1.38，表明如果右端值增加一個單位，將使利潤減少1.38美元。因此，-1.38的對偶價格告訴我們，如果約束條件變為如下形式，最優解會怎樣變化。 D≥0.3S+1 對-1.38 的對偶價格比較正確的解釋可以表述如下：如果高階袋的產量由30%的標準袋產量提高一個第3章線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋 69 objective Function Value = Variable 8299.80078 S D L Constraint 1 2 3 4 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Value -- 403.78317 222.81198 155.67476 Slack/surplus -- 0.00000 56.75776 0.00000 0.00000 Reduced Costs 0.00000 0.00000 0.00000 Dual Prices 0.00000 0.00000 8.10000 19.00000 Current Value s D L 10.00000 10.15003 10.65313 10.00000 10.15003 12.85000 Upper Limit 12.51072 15.40790 12.85000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value 1 2 3 4 538.40002 543.24225 580.00140 117.00012 630.00000 600.00000 708.00000 135.00000 Upper Limit 682.36316 No Upper Limit 852.63159 151.15410 圖3-7 Par公司問題中的係數D的值增加了1.150 03 美元后的解單位，總利潤會減少1.38美元。相反地，如果使得30%的最低要求減少一個單位（D≥0.3S-1）， 總利潤會增加1.38美元。 對於右端值為百分比形式的約束條件，其對偶價格不能直接對問題進行解釋。例如，如果我們想知道當要求高階袋產量至少為標準袋的31%時，最優解會有什麼樣的變化。為了回答這個問題，我們需要重解原同題，並加人約束條件-0.31S+D≥0。 由於線性規劃模型中經常會出現百分比形式的約束條件，我們來考慮另外一個例子。比如，假設 Par 公司的管理者指出，輕便袋的產量不能超過總產量的20%。如果總產量為S+D+L，則約束條件如下： L≤0.2（S+D +L） L≤0.2S +0.2D +0.2L -0.2S-0.2D+0.8L≤0 使用管理科學家軟體對問題進行求解，如圖3-9所示，其中既包括新的約束條件，又包括以前的約束條件（-0.3S+D≥0）。取近似後，新的約束條件（約束條件6）對應的對偶價格為0.89。因此，超過目前20%的限制，每多生產1個輕便袋就會使目標函式值增加0.89美元。同時，這一約束條件的右端值範圍表明，當產量達到156 單位之前，這種解釋都是有效的。 3.4.2 牧草農場問題為了提高我們對多變數問題的求解能力，我們來考慮一種三決策變數的最小化問題。牧草農場公
70 資料、模型與決策：管理科學篇 Objective Function Value = Variable s D L 8183.87793 Value Reduced Costs 335.99933 ------ 0.00000 100.79980 0.00000 304.80048 0.00000 Constraint Slack/Surplus Dual Prices -- ---- 1 50.16031 0.00000 2 43.20037 0.00000 3 0.00000 7.40998 4 0.00000 22.76006 5 0.00000 -1.38003 OBJECTIVE COEFFICIBNT RANGES Variable Lower Limit S 6.29500 D -3.35000 L 11.90907 Current Value 10.00000 9.00000 12.85000 Upper Limit -----.-.------- 12.07007 10.15003 18.14286 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value Upper Limit 1 2 4 5 579.83972 556.79962 540.00000 103.24991 -84.00000 630.00000 600.00000 708.00000 135.00000 0.00000 No Upper Limit No Upper Limit 765.00049 147.00008 101.67704 圖3-七增加了30%的約東條件後，使用普理科學取軟體對新問題的求解司位於肯塔基州列剋星教市，一直在試驗一種特的賽馬食品。該食品的成分包括標準的馬飼料產品，一種富含維生素的燕麥，以及一種新型維生素和礦物質飼料新增劑。表3-1中歸納了每磅食品的營養價值以及各種成分的成本。比如，每磅標準飼料包含0.8單位的成分A，1單位的成分B和 0.1 單位的成分C。每匹馬每天的營養需求最低為3單位成分A，6單位成分B和4單位成分C。此外，為了控制馬匹的體重，每匹馬每天進食不得超過6磅。牧草農場要在滿足每天的食品需求的情況下確定出成本最低的配料方案。 飼料成分成分 A 成分 B 標準 0.8 1.0 高營養燕寁 0.2 1.5 表3-1 牧革農場飼料的營養價值和成本飼料新增劑飼料成分 0.0 成分C 3.0 每磅成本（美元） 標準 0.1 0.25 高鶯燕麥 0.6 0.50 飼料新增荊 2.0 3.00 3.4.3 建立牧草農場問題的模型建立牧草農場的線性規劃模型之前，我們需要引入如下3個變數： S一標準馬飼料的量； E——高營養燕麥的量；
第3章線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋 71 8044.25488 Objective Function Value = Variable Value Reduced Costs S D L Constraint 12 3 4 5 6 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit ----------- S 3.13800 D 6.47670 L 11.90907 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit ----- 629.75140 2 3 4 s 6 543.30945 396.00146 118.96714 No Lower Limit -0.77936 403.44730 222.20738 156.41367 slack/surplus -- 0.24859 56.69057 0.00000 0.00000 101.17319 0.00000 0.00000 0.00000 0.00000 Dual Prices -•• 0.00000 0.00000 8.87330 13.05157 0.00000 0.89226 Current Value 10.00000 9.00000 12.85000 Upper Limit 12.07007 10.15003 No Upper Limit Current Value 630.00000 600.00000 708.00000 135.00000 0.00000 0.00000 Upper Limit No Upper Limit No Upper Limit 708.69653 135.08900 101.17319 156.48053 圖3-9 增加了兩個約束條件 （輕便袋佔總產量的百分比增加20%，高階袋佔總產量的百分比減少30%） A—維生素和礦物質飼料新增劑的量。 運用表3-1 中的資料，總成本最小的目標函式可以表示如下： min 0.25S +0.50E +3A 對每天3磅需求的成分A，有如下約束： 0.8S+0.2E≥3 成分 B 的約束： 1.0S + 1.5E +3.0A≥6 成分C的約束： 0. 1S + 0.6E +2.0A≥4 最後是最多6磅的混合重量的約束： S+E +A≤6 合併所有的約束條件，再加上非負約束，完整的牧草農場問題的線性規劃模型表述如下： min 0.25S +0.50E+ 3A 8.t. 0.8S+ 0.2E ≥3 成分A
72 資料、樸型與決策：管理科學篇 1.0S+1.5E +3.0A≥6 成分B 0.1S+ 0.6E +2.0A≥4 成分C S+ E+ A≤6 加權 S,E,A≥O 3.4.4 牧草農場問題的計算機求解和解釋用管理科學家軟體解決牧草農場問題的結果如圖3-10所示。取近似後，最優解為每天的食品中包含3.51磅的標準馬飼料，0.95磅的高營養燕麥和1.54磅維生素和礦物質飼料新增劑。因此，各成分的單位成本分別為0.25美元、0.50 美元、3.00美元，因此總的成本為： 3.51×0.25=0.88（美元） 0.95×0.50 =0.47（美元） 1.54 ×3.00 =4.62（美元） 總成本 =5.97（美元） 取近似後，該結果與計算機輸出（見圖3-10）結果一致。 Objective Function Value = Variable S E A Constraint 1 2 3 4 5.973 Value 3.514 0.946 1.541 Slack/Surplus --- 0.000 3.554 0.000 0.000 Reduced Costs 0.000 0.000 0.000 Dual Prices -1.216 0.000 -1.959 0.919 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit ----- s -0.393 E No Lower Limit A 1.522 Current Value 0.250 0.500 3.000 Upper Limit No Upper Limit 0.925 No Upper Limit RIGHTT HAND SIDE RANGES Constraint ---- --•-• 2 3 4 Lower Limit 1.143 No Lower Limit 2.100 5.562 Current Value 3.000 6.000 4.000 6.000 Upper Limit •----- 3.368 9.554 4.875 8.478 圖3-10 使用管理科學取軟體對牧草農場問題求解觀察計算機輸出的鬆弛/剩餘部分，約束條件2的值為3.554。由於約束2是大於等於型的，因此 3.554 是剩餘值。由於約束1和約束3的剩餘值都是0，因而我們看到最優混合中，成分A和成分C 剛好滿足最低要求。此外，約束4的剩餘值也是0，說明最優解中每天的飼料重量正好是6磅。 成分A 的約束條件（約束條件1）的對偶價格為- 1.22。合理解釋這個值，首先我們看它的符號 -
第3章線性規劃的費敏度分析與最優解的解釋 73 為負，因此我們知道如果增加其右端值，將使得最優解變得更壞。在最小化問題中，“更壞”意味著總成本的增加，因此，右端值一單位的增加會使總成本上升1.22美元。反過來，也可以說右端值每減少一個單位，總成本下降1.22美元。觀察右端值範圍部分，我們看到只要右端值在1.143到3.368之間，上述解釋就是合理的。 假設牧草農場的管理者想重新考慮馬匹的最大進食量。約束條件的對偶價格為0.92，表明右端值每增加一個單位，總成本就會減少0.92美元。右端值範圍部分顯示，在右端值增加到8.478磅之前， 這種解釋都是正確的。所以，如果約束條件4的右端值由6增加到8，總成本就會減少2×0.92 或者說1.84美元。切記，這種變化可能導致可行域的變化，由此可以獲得新的最優解。 從圖3-10的目標函效係數範圍部分可以看出，S的下限是-0.393。很明顯，在實際問題中，目標函式係數S（標準飼料的量）不可能為負值。所以，從實際的角度來看，我們可以認為S的下限為 0。我們由此可以得到，無論標準飼料的價格下降多少，最優解都不會改變。即使牧草農場可以免費獲得標準飼料，最優解仍然是3.51磅的標準飼料，0.95磅的高營養燕麥和1.54磅維生素和礦物質飼料新增劑。然而，標準飼料單位成本的減少，都會引起總成本的減少。 注意到目標函式係數S和A是沒有上限限制的。如果增加A 的值，比如，從每磅3美元增加到每磅13美元，最優解是不會變化的，而總成本，則會增加10倍，即從1.541 美元變為15.41 美元。切記，我們對計算機輸出結果所做的靈敏度分析的解釋只有在問題中其他的係數不變的情況下才是有效的。為了解決多係數變化的情況，我們必須用100%規則或是重新求解問題。 線性規劃已經成功地應用於一系列包括食品生產和資訊的應用中。 3.5 電子通訊公司問題本節討論的電子通訊公司問題是一個最大化問題，這個問題包括4個決策變數，2個小於等於形式的約束條件，1個等於形式的約束條件和1個大於等於形式的約束條件。我們的目標是建立一個簡單的數學模型，使用管理科學家軟體求出模型的最優解，對求出的解進行解釋，並進行靈敏度分析。 在下一章，我們會向讀者介紹線性規劃在營銷、金融、生產管理等方面的應用。一旦你能夠對像電子通訊公司這樣的問題進行建模、求解和分析，你就會明白線性規劃能夠解決多麼複雜的問題。 讓我們來看這個例子，電子通訊公司主要生產雙向行動式無線電報話機。該公司最近開發了一種新產品，這種產品的通訊範圍可以覆蓋25英里，適合企業和個人使用。該新產品的分銷渠道是： 1.航海器材經銷店。 2. 商用器材經銷店。 3. 全國範圍的連鎖零售店。 4.直接郵購。 由於分銷和促銷成本的差異，產品的利潤也因銷售道的不同而不同。此外，廣告費用和人力成本也與銷售渠道有關。表3-2簡要地將電子通訊公司不同銷售渠道的銷售利潤、廣告費用、人工成本列了出來。公司的廣告費用預算是5000美元，每個銷售道的最大個人銷售時間是1800小時。公司現階段決定製造的產品數為600件，此外，全國連鎖零售店要求最少銷售150件產品。 表3-2 電子通訊公司的利潤、廣告費用和個人銷售時間分銷渠邁魧海器材經銷店商用器材經銷店全國連鎖零售店直接郵購單位已售產品的利潤單位已售產品的廣告費用 （美元） （美元） 90 10 84 8 70 9 60 15 單位已售產品的銷售時間 （小時） 2 3 3 無
74 資料、模型與決策：管理科學篇電子通訊面臨的問題是如何制定一個分銷策略，使其總的銷售利潤最大。公司必須決定如何分配各渠道的銷售量、銷售時間以及廣告預算。 3.5.1 建模我們首先寫出電子通訊公司的目標函式和約束條件。目標函式是： 目標函式：利潤最大化這個模型有4 個約束條件，分別是（1）廣告預算約束；（2）銷售時間約束；（3）生產數量約束；（4）銷售合同約束。 約束條件1 廣告支出≤廣告預算約束條件2 銷售時間≤最大可用時間約束條件3產品生產數量=公司要求的產量約東條件4 零售分銷量≥合同要求的最低分銷量以上是對目標函效和約束條件的描述，下面我們來定義決策變數。 對於這個模型，我們定義如下4個決策變數： M——航海器材經銷店銷售的產品數量； B—商用器材經銷店銷售的產品數量； R—全國連鎖零售店銷售的產品數量； D—直接郵購銷售的產品數量。 參照表3-2所示資料，目標函式可以寫為： max 90M +84B+70R +60D 現在設立約束條件。因為廣告的預算為5000美元，所以廣告預算的約束條件是 10M +8B+9R +15D≤5 000 同樣，銷傳時間限制是1800小時，約束方程如下 2M+3B+3R≤1 800 現階段公司要求生產600件產品，所以， M+B+R +D=600 最後，因為全國連鎖等售店要求至少有150件產品在此渠道銷售，於是有 R≥150 綜合所有的約束條件以及非負約束，電子通訊公司問題的完整線性規劃模型如下 9OM +84B+70R +60D max 3.t. 1OM+8B+9R +ISD≤ 5 000 廣告預算 2M+ 3B+3R ≤ 1800 可用銷售時間 M+ B+R+ D= 600 產量 R ≥ 150 全國連鎖零售店合同約束 M,B,R,D≥0 3.5.2 計算機求解及其解釋使用管理科學家軟體對電子通訊公司模型進行求解的部分結果如圖3-11 所示。圖中的目標函式值告訴我們模型的最大利潤為48450美元。最優解為 M=25，B=425，R =150和D=0，即電子通訊公司的最優策略是將25 件產品透過航海器材經銷店銷售出去，將425 件產品透過商用器材經銷店銷售出去，將150件產品透過全國連鎖零售店銷售出去，不透過直接郵購進行銷售。 再來看一下減少的成本欄。回憶一下，減少的成本是告訴我們目標函式的係數應該提高多少，其第3章線性規劃的費敏度分析與最優解的解釋 75 所對應的決策變數的值才能是正數。前3個減少的成本為零，這是因為它們對應的決策變數已經是正值了。而直接郵購的減少的成本是45，這表明透過直接郵購渠道銷售的產品利潤必須由現在的60 美元增加45美元，達到105 美元，才可以使用這種渠道來銷售產品。 Objective Function Value = Variable M B R D Constraint 48450.000 1 2 Value 25.000 425.000 150.000 0.000 slack/surplus ------- ----- 0.000 25.000 0.000 0.000 Reduced Costs 0.000 0.000 0.000 45.000 Dual Prices 3.000 0.000 60.000 -17.000 圖3-11 使用管理科學來軟體對電子通訊公司的問題求解計算機輸出的鬆弛/剩餘變數以及對偶價格如下： 約東彔件序號約東條件約東型別廣告預算可用銷售時間產量 =！ 鬆弛/剩餘 0 25 0 對偶價格 3 0 3 4 60 連鎖等售店合同 ≥ -17 廣告預算約束條件的鬆弛為零，表明所有廣告預算即5000美元都被使用了。廣告預算約束的對偶價格為3，表明每增加1美元廣告預算，目標函式的值（利潤）可以增加3美元。因此公司應該認真考患是否應該增加廣告預算。可用銷售時間約束條件的鬆弛是25小時，表明1800小時的最大銷售時間足夠賣出產品，而且還有25小時沒有使用。因為產量約束是一個等於約束，所以其鬆弛/剩餘是零，表明這一約束條件可以滿足。其對偶價格為60，表明如果公司的產量增加一單位，利潤就可以增加60美元。連鎖零售店約束條件的鬆弛為零，表明它是一個束縛性約束條件。其對偶價格為魚值， 表明連鎖零售店每多銷售一單位產品，利潤減少17美元。所以公司可能會減少透過連鎖零售店銷售的數量，因為銷售數量每減少一單位，利潤就增加17美元。 我們現在對有關靈敏度方面的資訊加以分析，如圖3-12所示。目標函式係數的最優範圍如下： 84≤Cx<無上限 5O≤C：≤90 無下限<G≤87 無下限<C，≤105 只要係數的變化在這個範圍之內，當前的解或者策略仍然是最優的。這裡有個比較特殊的係數C，它的最優範圍表明的資訊與鬆弛/剩餘中表明的資訊是一致的，都表明了若想使變數D改變，即變為正值，單位利潤必須增加到105。 最後，關於約束條件右端值的靈敏度分析如圖3-12所示，它表明了約束條件右端值的變化範圍。 釣東魚件量小右端𠊿 現值最大右端值約東條件廣告預算 4 950 5 000 5 850 產量可用銷售時間 1 775 1 800 無上限連鎖零售店合同最小右蟣值 515 0 硯值 600 150 最大右端值 603.57 200 關於範圍，其實還有其他一些解釋方法。回憶一下廣告預算約束的對偶價格，我們得知增加1美
76 資料、模型與決策：管理科學篇 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit Current Value Upper Linit M B R D 84.000 50.000 No Lower Limit No Lower Limit 90.000 84.000 70.000 60.000 No Upper Limit 90.000 87.000 105.000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit Current Value 1 4 4950.000 1775.000 515.000 0.000 5000.000 1800.000 600.000 150.000 Upper Limit 5850.000 No Upper Limit 603.571 200.000 圖3-12 用管理科學寂軟體分析電子通訊公司問題得出的目標係數和右端值範團元的廣告投人可以使利潤增加3美元。而廣告預算右端值範圍表明廣告投入增加1美元使利潤增加3 美元的適用條件是廣告預算必須小於850美元。如果預算超過這個數值，公司就不一定能獲利了。 同時，我們注意到連鎖零售店合同約束的對偶價格是-17，這表明公司應該儘量降低這種承諾。連鎖零售店合同約束的右端值範圍是0~200，在這個範圍內，銷售數量每降低一單位，利潤增加17美元。 這裡由計算機提供的靈敏度分析和最最佳化分析只適用於單一引數變化，其他引數保持不變的情況。正如前面提到的遇到引數同時改變的情況，如果引數的累計變化沒有違背100%定理，則不必對其進行重解。 最後，我們來完整地看一下電子通訊公司問題的求解。這道問題不僅要求求出各個分銷渠道的銷售數量，而且還需要知道不同銷售道的廣告費用以及產品的銷時間。我們已經知道最優解為 M = 25，B=425，R=150以及D=0，透過它們我們可以很容易地瞭解資源的分配情況。比如，廣告預算的約束條件是： 10M +8B +9R +15D≤5 000 從上式我們可以計算出各個渠道的廣告費用分別是10M=10×25=250（美元），8B=8 ×425 =3 400 （美元），9R=9 ×150 =1350（美元），以及15D=15×0=0美元。用同樣的方法，我們可以計算出銷售時間的分配，如表3-3所示。 分銷繅道航海器材經銷店商用器材經銷店全國連鎖零售店直接郵購總計總利潤=48450（美元） 表3-3 電子通行公司的最大利潤策路產量 25 425 150 廣告預算分配（美元） 250 3 400 1350 銷修時間分配（小時） 50 1275 450 600 S000 1775 本章小結在這一章的開頭，我們對靈敏度分析問題進行了討論：我們詳細研究了線性規劃問題係數的變化對最優解所產生的影響。首先，我們向大家介紹瞭如何使用圖解法分析目標函式係數和約東條件右端值的變化對最優解第3章線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋 77 的影響。因為圖解法只限於分析雙決策變數的情況，我們又向讀者介紹瞭如何使用管理科學家軟體對類似問題進行分析。 接著，我們又以 Par 公司為例，討論瞭如何建模、進行靈敏度分析和對模型解進行解釋。在這個模型中增加了一個決策變數和一些百分比、比率和常量。然後，為了加強對多於雙變數的線性規劃問題的掌握，我們又舉了一個新的例子——牧草農場問題，這是一個三決策變數的最小化問題。在最後一節，我們完整地對電子通信公司的問題進行了建模、求解和分析，這個模型是一個四決策變數的線性規劃問題。 專欄3-3講述了印度的茶葉生產和分銷，表明了線性規劃可以用於各種各樣的問題以及靈敏度分析的重要性。在下一章中，我們將學習線性規劃更多的應用。 專欄3-3 實踐中的管理科學印度的茶葉生產和分銷印度是世界第一茶葉生產國，每年銷售價值10億美元的袋裝茶和散茶。Duncan 工業有限公司 （DII.）是印度第三大茶葉生產商，每年銷售3750萬美元的茶葉，其中絕大部分是袋裝茶。 DIL 有16 個茶葉種植園、3個混合站、6個包裝站和22 個倉庫。茶葉首先從種植園發往混合站， 在這裡不同的茶葉混合起來生產出各種成品茶葉，比如 Sargam,Double Diamond 和 Runglee Rungliot。 成品茶葉再發往包裝站，在約120條生產線上按不同規模和形狀進行包裝。例如，一條生產線包裝 500克重的Sargan茶，另一條生產線包裝100克重的Double Diamond 茶，等等。這些袋裝茶葉然後被發往各個倉庫，供應11 500名批發商，再透過這些批發商給全國約325 000 家零售商供貨。 每個月的月初，銷售經理都會預測這個月每個倉庫對每種袋裝茶葉的需求，並根據這些預測來決定各種袋裝茶葉的產量、包裝的大小以及發往各個倉庫茶葉的數量。整個過程需要兩三天，這種延時經常會導致某些倉庫斷貨。 公司採用線性規劃的方法為解決這個難題建立了一個包含約7000個決策變數、1500個約東條件的線性規劃模型。建立模型的目的是制定出使公司運輸成本最小，且滿足供給、需求以及運作等多方面約束條件的公司總經營策略。公司使用過去的資料來檢驗這個線性規劃模型，發現只需增加很少或者根本不用增加成本就可以防止斷貨發生。同時，透過模型來模擬公司的生產，管理者發現了公司的很多潛能。 資料來源： 基於 Nilotpal Chakravarti， "Tea Company Steeped in OR，" OR/MS Today （April 2000）. 專業術語 sensitivity analysis 靈敏度分析研究一個線性規劃問題中係數的變化對最優解的影響。 range of optimality 最優範圍在最優解的值不變的前提條件下，目標函式係數的變化範圍。 dual price 對偶價格約束條件右端值每增加一單位，目標函式值的增加量。 reduced cost 遞減成本使目標函式中變數的值為正數、目標函式係數的改變數（最大化問題是增加，最小化問題是減少）。 range of feasibility 可行城使對偶價格不變的約束條件右端值的變化範圍。 100 percent rule 100%法則用來判定兩個或多個目標函式係數同時變化時，最優解是否會改變；也可以用來判定兩個或多個約東條件右端值發生變化時，對偶價格是否會改變。 sunk cost 沉沒成本不受決策影響的成本。無論決策變數如何變化，它的值都不會改變。 relevant cost 相關成本受決策影響的成本。它的值隨決策變數的變化而變化。 問題 2. 如果問題1中的原料3又增加了3噸，用圖解法進行敏感度分析。這個約束條件相應的對偶價格是多少？ 4. 計算問題3中約束條件1和2的對偶價格。 6. 計算問題與中所有約束條件的對偶價格。 8.在問題7中，假設目標函式x，的係數減少到3。 日.用圖解法重解該問題。
78 資料、模型與決策：管理科學篇 b.計算約束條件2和3的對偶價格。 10. 關於問題7。 日.偃改目標函式x，的係數減少到4，目標函式x，的係數增加到10，求新的最優解。 b.假設目標函式x，的係數減少到4，目標函式x，的係數增加到8，求新的最優解。 12. 關於 Kelson 運動器材公司的問題的計算機輸出結果如圖3-13所示（參見問題11）。 日.計算目標函式係數的最優範圍。 b.對這些範圍進行解釋。 c.解釋約束條件右端值部分的可行域資訊。 d.如果增加20個小時用於包裝和發貨，最優解的值會提高多少？ 14. 用計算機對問題13求解的結果如圖3-14所示。 8.你認為美國石油的每股收益至少要增加多少，才能保證增加對它的投資會使總收益增加？ b.你認為哈泊鋼鐵的每服收益要減少多少，才能保證減少對它的投資會使總收益增加？ c.如果對美國石油的最大投資量減少到900股，總收益將減少多少？ 16.回憶愛尼斯投資公司的問題（第2章，問題37）。設 S——股票市場的買人量； M—貨幣市場的買入量。 問題的模型如下： min 8S+3M s. t. S0S + 100M ≤1 200 000 可用資金量 SS+ 4M≥ 60 000 年收益 M≥ 3 000 貨幣市場的買人量 S,M≥0 用計算機對其求解的結果如圖3-16所示。 Objective Function Value = Variable S M Constraint ------- 62000.000 Value 2009.0 slack/Surplus ---- 0.000 0.000 7000.000 OBJECTIVE COEFFICIEINTT RANGES Variable Lower Limit S M 3.750 No Lower Limit Current Value ------ 8.000 3.000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint •--~ 1 2 3 Lower Limit Current Value 780000.000 48000.000 No Lower Limit 1200000.000 60000.000 3000.000 田 3-16 使用警理科學寂軟體對愛尼斯投資公司的問題求解 Reduced Costs 0.000 0.000 Dual Prices •---- 0.057 -2.167 0.000 Upper Limit No Upper Limit 6.400 Upper Limit 1500000.000 102000.000 10000.000 -
第3章線性規劃的費敏度分析與最優解的解釋 79 a.最優解是什麼？最小總風險為多少？ b.具體指出目標函效係數的最優範圍。 c•投資的年收益是多少？ d. 投資的年收益率是多少？ e.每個約束條件的對偶價格是多少？ £.新增加的可用資金的邊際收益率是多少？ 18. Quality 空調製造公司生產3種空調：經濟型、標準型和高階型。每種空調的利潤分別是63 美元、95 美元和135美元。空調的生產要求如下： 鳳扇馬達數製冷盤數經濟型 1 標準型 2 高階型 4 生產時間（小時） 8 12 14 對於即將來到的生產期，公司擁有的密源是風扇馬達200個、製冷盤320個和生產時間2400小時。 那麼經濟型（E）、標準型（S）和高階型 （D）產品各生產多少才能使總利潤最大？ 問題的模型如下： max 63E +95S+ 135D s.t. 1E +IS+ 1D≤ 200 風扇馬達 1E +2S+ 4D≤ 320 製冷盤 8E + 12S + 14D≤2 400 生產時間 E,S,D≥0 用計算機對其求解的結果如圖3-17所示。 Objective Function Value - Variable E S D 16440.000 Constraint ---- 3 Value --- 80.000 120.000 0.000 Slack/Surplus 1---- 0.000 0.000 320.000 Reduced Costs •--- 0.000 0.000 24.000 Dual.Prices 31.000 32.000 0.000 OBJECTIVE COEFFICIENVT RANGES Variable Lower Limit --•---- E S D RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint 47.500 87.000 No Lower Limit Lower Limit Current Value 63.000 95.000 135.000 Upper Limit 75.000 126.000 159.000 1 2 3 160.000 200.000 2080.000 Current Value 200.000 320.000 2400.000 Upper Limit ------ 280.000 400.000 No Upper Limit 面 3-17 使用管理科學象軟體對 Quality 空調製造公司的問題求解
80 資料、模型與決策：管理科學篇 a.最優解是什麼？目標函式值為多少？ b.哪些約束條件是束縛性的？ c.哪些約束條件有剩餘？剩餘多少？ d.如果高階型產品的利潤增加到每個150美元，最優解將如何變化？用圖3-17所示的資訊回答這些問題。 20. 數字控制公司（DCI）生產兩種型號的雷達槍，可供警察監控汽車車速。A型雷達槍可以精確到每小時1 公里，小一點的B型可以精確到每小時3公里。公司已經接到了100支A 型和150支B型的訂單，要求下周生產出來。公司已經買來了生產這兩種產品的電子裝置，但雷達槍出廠還需要塑膠箱，而箱子是由DCI 公司在新澤西紐瓦可的工廠生產的。A型塑膠箱需要4分鐘注型，6分鐘成型；B型塑膠箱需要3分鐘注型，8分鐘成型。下一週紐瓦可的工廠有600分鐘的注型時間，1080分鐘的成型時間。A型塑膠箱的生產成本是10美元，B型塑膠箱的生產成本是6美元。為了滿足客戶的需求，除了公司自己生產外，公司還可以從其他廠家購買一些塑膠箱。購買的費用是A型14美元，B型9美元。公司希望建立一個生產模型以決定每種塑膠箱生產多少，外購多少。 用於建立模型的決策變數是： AM—A 型塑膠箱的生產量； BM—B 型塑膠箱的生產量； AP—A 型塑膠箱的購買量； BP—B型塑膠箱的購買量。 向題的模型如下： min 10AM +6BM + 14AP +9BP S.t. 1AM+ + IAP+ 1BM+ 4AM +3BM 6AM+8BM - 100 A 型塑膠箱的需求 1BP= 150 B 型塑膠箱的需求 ≤ 600 注型時間 ≤1080 成型時間 AM,BM,AP,BP≥0 用計算機對其求解的結果如圖3-18所示。 a．最優解是什麼？目標函式的最優解為多少？ b.哪些約束條件是束縛性的？ c.每個約束條件的對偶價格是多少？請解釋。 d.如果只有一個約束條件的右端值可以改變一個單位，你會選擇哪一個？為什麼？ 22. Tucker 公司為男士生產高質量的西服和運動外套。每套西服需要裁剪時間1.2小時，縫紉時間0.7小時， 使用6碼布料，能夠產生190美元利潤。每套運動外套需要裁剪時間0.8小時，縫紉時間0.6小時，使用 4 碼布料，能夠產生150美元利潤。在接下來的一週，有200小時裁剪時間，180小時縫紉時間以及1200 碼布料可以使用。透過加班也可以增加裁剪時間和縫紉時間。裁剪部門加班將使每小時成本增加15美元， 縫紉部門加班將使每小時成本增加10美元。最多可以安排100小時的加班。市場需求表明至少要生成100 套西服和75 套運動外套。設 S—西服的生產量； SC—運動外套的生產量； DI—裁剪部門的加班時間； 12—縫紉部門的加班時間。 使用管理科學家軟體對Tucker公司的問題求解結果如圖3-19所示。 8.最優解是什麼？總利潤是多少？怎樣安排加班計劃？ b.如果漲價使每套西服的利潤增加到210美元。如果漲價可為顧客接受，則最優解會有什麼變化？ e.討論在接下來的一週布料的額外需求。如果在增加單位成本8美元的基礎上可以加急訂購布料，你會建議公司考慮訂購額外的布料嗎？在訂購額外布料的情況下，公司願意支付的最高訂購價格是多少？需要額外訂購多少布料？
第3童線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋 81 Objective Fuinction Value = Variable AM BM AP BP 2170.000 Value Reduced Costs Constraint --- 100.000 60.000 0.000 90.000 Slack/Surplus 0.000 0.000 1.750 0.000 Dual Prices 1 2 3 4 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit ⋯⋯• ------••---， AM BM AP BP No Lewex Limit 3.667 12.250 6.000 0.000 0.000 20.000 0.000 -12.250 -9.000 0.000 0.375 Current Value •---------………~ 10.000 6.000 14.000 9.000 Upper Limit ------ 11.750 9.000 No Upper Limit 11.333 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint •一• Lower Limit Current Value Upper Limit 1 2 3 4 0.000 60.000 580.000 600.000 100.000 150.000 600.000 1080.000 111.429 No Upper Limit No Upper Limit 1133.333 圖3-18 使用管理科學寂軟體對數字控制公司的問題求解 d.假設西服的需求約束從100套降到75套，這個變化會使公司利潤增加還是減少？請解釋。 24. Adirondack 儲蓄銀行（ASB）有100萬美元的新資金可用於家庭貸款、個人信貸和汽車貸款。這3種貸款的年收益率分別是7%、12%和9%。該銀行規劃委員會決定至少要將這筆新貸款的40%用於家庭貸款。 除此之外，規劃委員會還強調分配給個人信貸的款額不能超過汽車貸款的60%。 8，為了使年收益最大化，請構造一個線性規劃模型用於決定 ASB 怎樣將這筆新款項分配給不同型別的貸款？ b.每種貸款型別應分配多少款額？總的年收益是多少？平均年收益率是多少？ c.如果家庭貸款的利率增加到9%，那麼每種貸款型別的款額將會變化多少？加以解釋。 d.如果這筆可用的資金額又增加了10000美元，那麼這個變化將會對總的年收益有什麼影響？加以解釋。 e•仍假設ASB 有100萬美元的的可用資金，但規劃委員會同意將分配到家庭貸款的款額比例由至少40% 放鬆到至少39%，那麼總的年收益將會變化多少？平均年收益率又將會怎樣變化？ 26.工業設計公司最近簽了一份新合同，為湖光釀酒公司生產的新葡萄酒設計一個商標。公司估計完成這項工作要150小時。現在公司可以呼叫3點陣圖形設計人員：Lisa，高階設計師，設計組組長；David，高階設計師； Sarah，中級設計師。因為 Lisa 與湖光釀酒公司有過幾次工作接觸，所以公司要求分給 Lisa 的工作時間至少是其他兩個設計師總工作時間的40%。為了提高 Sarah 的設計經驗，公司要求他至少要承擔總設計時間的 15%，但是他的工作時間又不能超過其他兩個高階設計師總工作時間的25%。由於還有其他的工作任務，Li8日最多可以工作50個小時。Lisa、David 和Sarah 的報酬分別是每小時30美元、25美元和18美元。 8.建立一個數學模型，用來決定每個設計人員各應該分配多少時間才會使工作總成本最小。 b.對模型求解，求出最優解和在此情況下的最小工作總成本。
82 資料、模型與決策：管理科學篇 Objective Function Value = Variable S SC D1 D2 Constraint 40900.000 Value Reduced Costs 100.000 0.000 150.000 0.000 40.000. 0.000 0.000 10.000 Slack/Surplus Dual Prices 0.000 15.000 2 20.000 0.000 3 0.000 34.500 4 60.000 5 0.000 0.000 -35.000 6 75.000 0.000 OBJECTIVE COEFFICIENT RANGES Variable Lower Limit ••----------- s No Lower Limit sC 126.667 D1 -187.500 D2 No Lower Limit Current Value •-•-⋯----- 190.000 150.000 -15.000 -10.000 Upper Limit 225.000 No Upper Limit 0.000 0.000 RIGHT HAND SIDE RANGES Constraint Lower Limit ••••- 140.000 2 160.000 3 1000.000 4 40.000 5 0.000 6 No Lower Limit Current Value 200.000 180.000 1200.000 100.000 100.000 75.000 Upper Limit 240.000 No Upper Limit 1333.333 No Upper Limit 150.000 150.000 圖3-19 使用管理科學來軟體對 Tucker公司的問題求解 c.假設 Lisa 可工作時間多於50小時，那麼對最優解會產生什麼影響？為什麼？ d.假設 Sarah沒有最低工作時間限制，對最優解會產生什麼影響？為什麼？ 28.國家保險聯合會對股票、證券等領域進行投資。現在有一筆200000美元的資金需要將其投資於股票市場。 擬投資的股票以及相應的財務資料如下： 股 A B 每股價格（美元） 100 50 年收益率 0.12 0.08 單位美元投資風險指數 0.10 0.07 C 80 0.06 0.05 D 40 0.10 0.08 風險指數是衡量股票年預計年收益的相對不確定性的，數值越高，風險越大。風險指數是由公司的高階財務顧問制定的。 國家保險聯合會的高階管理層制定了以下的投資方針：總的年收益率至少為9%，任何一種股票投人資金量都不可以超過總資金量的50％。 8.建立一個線性規劃模型來確定風險最小的投資組合。 b.如果公司怨略風險，以最大年收益率作為投資目標，那麼應該如何投資？
第3章線性規劃的靈敏度分析與最優解的解釋 83 c.（a） 和（b）部分的投資組合在投資金額上相差多少美元？為什麼公司可能會更偏好（a）部分的選擇？ 30. Benson 電子製造公司生產3種手機部件以及其他的通訊器材。在最近的一段生產時間中，對這3種手機部件的需求可能會大於生產能力。在這種情況下，公司就必須以相對較高的價格購買其他公司的產品以滿足需求。以下是公司買入單位產品的價格和製造單位產品的成本（單位：美元）： 來源部件1 都件2 製造 4.50 5.00 購買 6.50 8.80 部件3 2.75 7.00 Benson 公司3個部門的生產時間如下（單位：分鐘）： 部門部件1 部件2 生產 2 3 裝配 1.5 檢查與包裝 1.5 2 部件3 4 3 5 例如，公司生產每個部件1需要2分鐘，裝配每個部件1需要1分鐘，檢查與包裝每個部件1需要1.5分鍾。在下一個生產時段裡，生產部有360小時的工作時間、250小時的裝配時間和300小時的檢查與包裝時間。 8.建立一個線性規劃模型，以決定每個部件應該生產多少件，應該買人多少件，以使總生產成本最小。假改公司必須生產6000件部件1、14000件部件2和3 500件部件3。 b. 模型的最優解是什麼？每種部件應該生產多少？買人多少？ c.哪個部門限制了公司的產量？使用對偶價格分析每個部門增加1小時的工作時間會對最優解產生什麼影響。 d.假設公司不得不多生產一件部件2。根據其對偶價格討論增加的這件部件2會使成本增加多少？ Peiffer公司為其客戶管理大約1 500萬美元的資金。對於每一位客戶，公司都將其資金分3個方面投資： 股票成長基金、收人基金和貨幣市場基金。不同客戶有不同的投資目標和風險承受能力。為了應對這種情況，公司對風險承受指數不同的人規定了相應的投資限制。 我們現在來看一下公司的服務過程。丹尼爾•哈特曼是Pfeiffer 公司的一個客戶，公司首先計算出他的風險承受指數是0.05。為了使投資多元化，哈特曼的投資計劃中至少包括10%的股票成長基金，10%的收益基金和20%的貨幣市場基金。 這3種基金的風險指數分別是0.10、0.05和0.01，而投資的風險指數是各項投資所佔總投資的百分率與其風險指數乘積的代數和。哈特曼現在將 300000 美元交給 Pfeiffer公司管理。公司預測，股票基金的收益率是20%，收益基金的收益率是10%，貨幣市場基金的收益率6%。 a.建立線性規劃模型，為哈特曼找出最佳的投資組合計劃。 b.對（a）中的模型求解。 c.這3種基金的收益率至少得變化多少才能使哈特曼修改投資計劃？ d.如果哈特曼的風險承受能力更強，收益會增加多少？比如哈特曼的風險承受指數為0.06。 e.如果 Pfeiffer公司將股票基金的收益率降為0.10，你認為哈特曼應該改變他的投資計劃嗎？為什麼？ f. Pfeiffer 公司的理財過程中必須知道的一個客戶資訊是什麼？ 8.Pteiffer公司每週都對基金的收益率進行重新評估。設想一下，假設 Pteiffer 公司有50 位客戶，那麼公司是如何定期修改客戶的投資，重新分配投資基金的？ 34.10頻道的節目管理員希望確定出11:00~11:30晚間新聞節目的最佳安排。具體地說，他希望確定出本地新聞、國內新聞、天氣預報和體育節目的時間分配。這30分鐘的節目中廣告佔10分鐘。電臺要求，本地新聞的時間必須至少佔15%；本地新聞和國內新聞的時間必須至少佔總時間的50%；天氣預報的時間不應該大於體育節目的時間；天氣預報的時間至少應該佔20%。節目的製作成本是：本地新聞每分鐘300美元，國內新聞每分鐘 200分鐘，天氣預報每分鐘100美元，體育節目每分鐘100美元。 8.建立線性規劃模型，求出最小製作成本。 b.解釋總時間約束條件的對偶價格，並向臺長提出你的建議。 c.解釋本地新聞時間必須至少佔50%時間的約束條件的對偶價格，並向臺長提出你的建議。
84 資料、模型與決策：管理科學篇 d.解釋本地新聞和國內新聞的總時間必須至少佔50%時間的約束條件的對偶價格，並向臺長提出你的建議。 e.解釋天氣預報的時間不應該大於體育節目的時間終束條件的對偶價格，並向臺長提出你的建議。 案例問題1產品混合問題 TJ公司生產3種堅果什錦產品，分銷給遍佈東南地區的食品連鎖店。產品有3個品種，分別是普通型、高級型和假日型，不同品種的區別就是各種堅果的比例不同。 為了秋季的生產準備，T公司購入了一批堅果，價格和類別如下： 豎果類別運量（磅） 運輸費用（美元） 堅果類別杏仁 6 000 7 500 核桃巴西果 7 500 7 125 胡桃運量（磅） 6 000 7 500 運輸費用（美元） 7 200 7 875 榛子 7 500 6 750 普通型的產品含有15%的杏仁，25%的巴西果，25%的榛子，10%的核桃，25%的胡桃。高階型的產品各種堅果均含20%。假日型的產品含25%的杏仁，15%的巴西果，15%的榛子，25%的核桃，20%的胡桃。 TJ公司的會計對包裝材料費用、售價等數值進行分析後預測，每磅普通型產品的利潤是1.65美元，每磅高階型產品的利潤是2美元，每磅假日型產品的利潤是2.25美元。這些數值沒有包括堅果的價格，因為它們的價格變化非常大。 客戶的訂單如下： 產品型別普通型高階型假日型訂貨靈（磅） 10 000 3 000 5 000 因為對產品的需求在不斷增加，預計T公司將會獲得大於其生產能力的訂單。 T公司的目的在於合理安排堅果產品的型別，使公司的利潤最大；公司不用的堅果都捐獻給當地的慈善機構。還有，無論盈利與否，公司都將滿足已經簽署的訂單。 管理報告分析T］公司的問題，並準備一個報告向T公司總經理簡要介紹一下你的觀點。報告的內容必須包括以下幾個方面： 1.普通型、高階型和假日型堅果產品的成本。 2.最優生產組合和總利潤。 3. 如果還可以購買一些堅果，分析如何才能使產品的利潤增加。 4. 思考公司是否應該從一個供應商那裡再以1000美元的價格購人1000磅的杏仁。 5.如果T不必滿足全部的已簽訂單，公司會增加的利潤量。 案例問題3 卡車租賃策略 Reep 建築公司最近贏得了一份合同，為賓夕法尼亞的公路收費站修建一個服務區。公司負責區域道路和場地的建議。為了完成這項工作，公司的創始人兼總經理Bob Reep 估計，總工期大約需要4個月，從第1個月到第4個月需要的卡車數量分別是10、12、14、8輛。 現在公司已經有20輛卡車，但大部分都有任務，這些卡車是Bob 從 PennState 租賃公司租來的。雖然有其他的任務，但Bob 估計，第1個月有1輛卡車可以用於服務區的修建，第2個月有2輛，第3個月有3輛，第 4 個月有1輛。因此為了完成任務，Reep 公司還需要租借更多的卡車。 從 PennState 租賃公司長期租用卡車的費用是每輛卡車每月600美元。卡車司機的工資是每小時20美元， 每輛卡車每天耗油100美元。所有的卡車維修費用由 PennState 公司承擔。根據工作計劃，卡車每天工作8小時，每週工作5天，每月工作4周。 Bob認為現在的情況下長期租賃卡車是不明智的。在與 PennState 公司對短期租賃合同進行討論後， PennState 公司同意短期租賃卡車。但短期卡車租賃和司機工資的價格水平都與長期租賃不同。以下是一輛卡車一個司機的短期租賃費用。