胖尾分佈與投資維克托 •尼德霍費爾 （Victor Niederhoffer）把市場看成一個大賭場， 人們的行為如同賭徒，因此，研究賭徒的行為也可以幫助我們認識市場中人的行為。他經常按照該理論進行小數額的資金交易。 但是，他的萬法也並非完美無缺。在出現大漲大落的時候……他就有可能遭受嚴重損失，因為他的投資模式本身就缺乏合理的防損機制。 —喬治•索羅斯摘自《索羅斯談索羅斯》（Soros on Soros）一書從統計數字上看，我已經完成了200萬次交易•…這些交易的平均利潤率在70％左右。 這個平均數字與隨機結果的偏差大約在700點。 如此之大的偏離絕對屬於小機率事件， 從機率角度說， 發生這種偏離的頻率幾乎相當於用汽車回收站的配件組裝成一家麥當勞餐廳。 —維克托•尼德霍費爾摘自《投機者的教育》（The Education of a Speculator）一書星期三，，尼德霍費爾對旗下三個對沖基金的投資者說，由於三天內的股價持續跌落以及本年度早些時候的泰國股市大跌，他們所持有的基金在星期一已經因“崩盤而登出” —大衛•亨利 （David Henry） 摘自《今日美國》（USA Today）（1997年10月30日） 在我們的現實世界中，絕大多數事件取決於分佈的尾部（極限狀態）， 因此，我們必須把自己從思想中解放出來。 —菲利普•安德森（Philip Anderson） 諾貝爾物理學獎獲得者摘自《有關經濟學中的分佈理論》一文 （Some Thoughts about Distribution in Economics）
圈魔鬼投資孿從巴菲特致股東的信談起在2001年的致股東信中，沃倫•巴菲特對經驗與風險進行了區分。儘管巴菲特的評論是針對伯克希爾•哈撒韋的保險業務，但他的觀點同樣適合於任何存在主觀性的機率事件。當然，經驗包含著過去，它是在歷史事件的基礎上判斷未來結果的機率。另一方面， 風險則考慮歷史（尤其是近期歷史）未揭示事件的可能性及其潛在的風險。巴菲特指出，由於沒有相應的保費予以支撐，2001年的保險業承受了巨大的恐怖主義風險，其原因在於，他們只看到了經驗，卻忽視了風險。 同樣，投資者也需要區分經驗與風險之間的差異。長期資本管理公司和尼德霍費爾的慘敗或許可以說明其中的原委。然而，傳統的標準金融理論並不一定適合於極端的情況。通常，金融經濟學家假設股票價格的變動是隨機的，這就像花粉在分子衝擊下在水中的運動一樣。 在模型化理論徹底戰勝實證性結果的情況下，金融理論開始把價格變動視為獨立的分佈變數，並般假設：收益服從於正態分佈， 或者說對數型分佈。這些假設的優點在於：投資者可以利用機率計算認識分佈的均值和方差，因而，可以從統計的精確度出發，對價格變動的百分比進行預測。但也不是沒有好訊息，這些假設的很大一部分都是合理的。而壞訊息則像菲利普•安德森在上面所說的那 256
句話：決定現實世界的，是分佈的尾部。 讓尾部說話正態分佈是“隨機遊走”（the Random Walk）®理論、資本性資產的定價、風險值（Value-at-Risk）②以及布萊克一斯科爾斯（BlackScholes）期權定價模型等金融學理論的基礎。例如，風險值模型的目的是對組合在既定機率下可能遭受的損失進行量化。儘管風險值模型的形式各異，但最基本的版本均假設以標準差作風險的衡量尺度。在正態分佈已知的情況下，我們可以直觀地衡量標準差以及標準差所代表的風險水平。但是，如果價格波動不符合正態分佈的話，以標準差標量風險水平就有可能造成誤導。 這些最早可以追溯到20世紀60年代初期的研究表明，價格波動並不符合正態分佈。圖25.1體現了S&P500指數的日收益率從 1979年1月1日到2005年10月31日的頻數分佈，以及根據這些資料建立的正態分佈。圖25.2則突出了實際收益與正態分佈之間的區別。針對不同資產類別和投資期限進行的分析所得到的結果也較為類似。透過這些圖表，我們可以得出如下結論： • 小幅度的變動頻率似乎高於正態分佈的預測。 • 中等幅度的變動少於該模型的預測結果（有0.5~2.0個標準差）。 頻率高於預期。 •尾部比正態分佈模型更汐寬大。這意味著，大幅度波動的胖尾分佈（Fat Tails）“也許值得我們多費一些筆墨。這些極端第4部分科學與複雜性理論 257
圖廆鬼投資學 250 200 - 頻數 15010050 -10 -9 -8 •7 -6 -5 -2 -1 1 標準差 2 10 圖 25.1 S&P500指數日收益率的頻數分佈，1979年1月~2005年10月資料來源：FactSet，筆者分析。 性價值波動的出現遠比標準正態分佈模型的預測更頻繁，這很有可能會對投資組合的業績產生重大影響——尤其是對於槓桿組合。例如，在上圖中為了便於繪圖而剔除的1998年10月期間內， S&P500 指數暴跌幅度超過20%，與均值的偏差達到了20個標準差。 羅傑•羅文斯坦 （Roger Lowenstein） 指出： 經濟學家後來發現，按照市場價格的歷史波動資料，即使假設市場從宇宙誕生那一天自始至終就存在，在一天時間裡出現這種暴跌的機率也微乎其微。事實上，即便把宇宙的壽命再重複10億次， 出現這種暴跌的情況在理論上也是“不可能的”。 這種眾多小規模事件和少數大規模事件並存的分佈模式並不僅僅屬於資產價格。實際上，胖尾分佈也是系統在“自組織臨界性” 258
（Self-organized Criticality）“狀態下的一個標誌，自組織性是個別介質（在這個例子中投資者）之間相互作用的結果，它不需要以任何領導者作為組織的核心。在臨界狀態下，小規模波動可能會導致很多型別的事件。自組織臨界性是地震、停電事故以及交通阻塞等諸多複雜系統的特徵。 那麼，是否存在一種能幫助我們解釋這些突發性聚變的機理呢？我認為是存在的，正如我在其他論文中所提到的，當充分多樣的投資者相互作用時，市場一般能有效地發揮其職能。相反，當這種多樣性受到破壞，投資者均採用類似的行模式時，市場則傾向於變得脆弱不堪（部分投資者的退出也有可能造成這種結果）。 大量有關“羊群效應”的文獻均闡述了這種現象。羊群效應就是大量投資者基於對他人行為的觀察而作出相同的選擇，而完全忽略自身現有的知識。另一個說明自組織臨界性系統的示例是資訊追隨行為 （Information Cascade）®與羊群效應密切相關。 100 $0 60 40 20 10 40 -60 標準差圖 25.2 頻數差：正態分佈與實際的日收益率，1979年1月～2005年10月資料來源：FactSet，筆者分析。 第4部分科學與複雜性理論 259
魔鬼投資孿胖尾分佈對投資者的啟發它留給投資者的思考太多了！價格的大幅度波動似乎遠比預期頻繁得多。從實務操作角度看，這對投資者來說又有什麼意義呢？ 我認為如下幾點啟示尤其重要： 1. 因果思維（Cause and Effect Thinking）。自組織臨界性系統的基本特徵之一在於：波形的幅度與由此而出現的結果之間可能是非線性相關的。某些情況下，小規模輸入可能會招致大規模事件。 這就打破了我們試圖為所有結果找到原因的一己之願。 2. 風險與回報 （Risk and Reward）。風險評價的標準模型以及資本性資產定價模型均假設，風險與收益之間存在著線性關係。而事實卻恰恰相反，非線性才是自組織臨界性系統（比如股票市場） 的內在特徵。投資者必須隨時牢記：金融學理論應反映來自現實世界的資料。學術界和投資界經常會探討偏離均值4 個乃至更多標準差的事件，這足以說明，在統計上廣泛採用的衡量尺度並不適合於市場。 3. 投資組合的結構（Portfolio Construction）。以標準差為尺度設計投資組合的投資者可能會低估風險（經驗與風險的均衡）。這一點對於採用負債槓桿增加收益的組合來說尤其值得注意。對沖基金所遭遇的大多數失敗都是胖尾（小機率極端）事件造成的直接結果。因此，投資者在構造授資組合的時候必須考慮到這些事件。 要認識和控制符合胖尾分佈的事件，一種有效的方式就是先對基礎性資產價格的當前預期作出衡量與判斷，然後再考慮各種可能 260
出現的價值結果及其機率。透過這樣一個過程，投資者就可以對可能出現的潛在胖尾事件作出權衡。 規範的金融學理論讓我們對市場的認識和理解突飛猛進，但現實的市場卻推翻了某些理論的基礎前提。因此，投資者必須意識到理論與現實之間的差異，並依據現實對自己的思維（和組合）做出相應的調整。 ◎ 本章譯者注 ◎ ① 隨機遊走（Random Walk）：股價波動是隨機的，毫無規律而言，因此， 也無法透過對歷史資料的分析來預測未來的走向。 ② 風險值（Value-at-Risk, VaR）：資產組合在持有期間內，在給定置信區間內由於市場價格變動所導致的最大預期損失值。 ③ 胖尾分佈 （Fat Tails）：即大的價格波動事件發生的機率遠大於傳統的高斯分佈（即正態分佈）的統計分佈，因傳統高斯分佈在座標圖上呈對稱的鐘形，而胖尾分佈的兩尾部分明顯比高斯分佈要大，胖尾由此而得名。 ④ 自組織臨界性 （Self-organized Criticality）：複雜系統發生突變的臨界狀態，比如資產價格的怎劇變動。 ⑤ 資訊追隨行為 （Information Cascade）：即投資者不根據自己擁有的信息，而根據其他人的行為或訊號做出雷同的決策或行為。 第4部分科學與複雜性理論 261