冪律分佈對投資的啟示在過去幾年裡，自組織性系統的觀點在跨學料研究方面的影響力越來越大，它把人工智慧、化學甚至是生物進化等諸多領域的研究人員聯系在一起。在這個系統裡，隨機性與混沌性同時作用，共同演化為一個非預期秩序的複雜系統。但是，無論出於何種原因，這一動向都在很大程度上忽視了經濟學理論。因此，我們有必要去探索一下，能否進一步把這個新的觀念運用於更復雜、同時又具有明顯自組織性的經濟體系中。 —保爾•克魯格曼（Paui Krugman） 摘自《自組織型經濟》（The Self-organizing Economy）一書魔鬼投資學齊普夫的啟發這裡有一種你可以用來打發時間的遊戲。隨便找一篇文章，比如說詹姆斯•喬伊斯的《尤利西斯》，按文章中所有字的使用次數（從最經常使用的字到最不常用的字）和頻率（每個字出現在文章中的頻率）標在座標系中。如果用對數比例尺表示這種字頻的分佈規律， 我們就會得到一條從左上角延伸到右下腳的直線。 在20世紀30年代，哈佛大學的語言學家喬治•K.齊普夫 （George K.Zipf） 在很多系統中都注意到這種關係的存在，並在他的傳世之作——《人類行和最小付出原則》（Human Behavior and the Principle of Least Effort）一書中，對這些系統進行了總結，並被科學家們稱之為“齊普夫定律”◎，實際上，它只是“指數定理”的眾多示例中的一個。以語言中的文字例，冪律意味著，我們會在一篇文章中看到少數經常出現的字和大量很少出現的字。 但齊普夫卻錯誤地指出，他的定律對社會科學和自然科學進行了區分。自從齊普夫發表其研究結果之後，科學家們陸續發現，眾多領域都存在著冪律規律，其中包括物理系統和生物系統。例如， 科學家採用冪律解釋動物體重與新陳代謝率、地震的頻率和振幅 （Gutenberg-Richter 定律）以及雪崩頻率與程度之間的關係。在社會系統中，冪律分佈®也發揮著舉足輕重的作用，比如，收人分配（帕累託定律®）、城市規模、網際網路流量、公司規模以及股票價格的變 292
動。很多人透過耳熟能詳的“80/20規則”，認識到了冪律規律的存在。 為什麼說投資者也有必要了解冪律呢？首先，冪律分佈的存在可以幫助我們重新認識風險。包括風險模型在內的大多數金融理論均以股價變動的正態分佈為基礎。按照冪律分佈，不經常出現的周期性股價波動幅度遠遠大於傳統金融理論的預測。這種胖尾現象對於確定投資組合結構和槓桿率是非常重要的。 其次，冪律分佈的存在揭示了自組織系統的某些基本規則。雖然科學界人士尚不能全面解釋造成社會系統中冪律現象的機理，但是，足夠的證據可以說明，我們確實可以透過冪律分佈對某些系統的未來狀況作出結構性的預測。 最後，標準的規範化經濟理論並不能很好地解釋這些冪律。例如，新古典經濟學強調均衡結果（Equilibrium Outcome），並假設所有個人均為理性人，具有完全的資訊，且所有個體之間的相互作用均為間接的（以市場為媒介）。但是在現實的世界中，人是具有適應性的，也不可能掌握所有的相關資訊，而且個體之間的交往也是直接的。因此，以齡適合於真實行為模式的方法去解讀實證結果， 才是最理想的做法。 冪律分佈的力量齊普夫用如下公式描述了他所倡導的定律： 次序 ×規模=常數該公式表明，被研究物件的量度與次序成反比。按照齊普夫的這個故事，我們可以用1、1/2、1/3、1/4•⋯一系列數字乘以常數， 得到一個序列。不妨以西班牙的城市人口規模為例。如果最大城市馬德里有300萬居民的話，那麼，第二大城市巴塞羅納的人口就應第4部分科學與複雜性理論 293
魔鬼投資學該是馬德里人口的一半，第三大城市瓦倫西亞的人口為1/3，以此類推。但這顯然是不符合現實的。儘管齊普夫能很好地描述某些系統，但其適用範圍卻是非常有限的，很多具有冪律特徵的系統並不適合於這個公式。 著名學者伯努瓦•曼德布羅特指出，只要對齊普夫定律進行兩個修正，就可以得到更具有普遍性的幕律分佈。第一個修正是為排序增加一個常數，於是，我們得到的序列數將變為：1/（1+常數）、 1/2+常數）、1/（3+常數），等等。 第二個修正是為分母的冪數增加一個常數。於是，我們可以得到1/（1+常數）'+常效、1/（2+常數）'＋常數、1/（3+常數）'希數等等。經過修正的冪數既可以是整數，也可以是中間值［例如1/（L+常數）］。 齊普夫定律則是兩個常數同時修正為零的特例。 儘管公式中引入了兩個引數，但是要把齊普夫定律推廣到更多的冪律分佈卻並不困難。用這樣一個基本的公式去描述如此多樣性的現象肯定會招致我們的疑問，尤其是在無法對冪律分佈的形成方式作出統一解釋的前提下，更是如此。 在社會系統中，冪律分佈最有趣的特徵之一就是它的有效性。 例如，圖29.1 顯示了1790年～1990年期間，美國城市人口的排序和規模之間的關係。儘管人口增長率和城市邊界一直處於不斷變化的狀態中，但排序和規模之間的關係卻在2000年內始終顯示出良好的一致性。 另一個直接適用於投資者的例子是企業規模。在圖29.2中，我們根據齊普夫定律說明了 1997年美國企業銷售額和頻率之間的關系。經濟學家羅伯•阿克斯泰爾（Rob Axtell）根據美國普查局 2001 年初之後的資料繪製了這張圖表，研究樣本為550萬家美國公司和 1億多名勞動力。 294
25 000 000 /O 000 000 1000 08 250 000 規 100020 50 000 1990 1740 1890 1O0c 1840 /790 2500 000 5 10 25 100 200 500 /002 2000 4000 排序圖29.1 美國城市人口的排序和規模（1790年～1990年） 資料來源：大衛•巴頓（David Batten），&解密人造經濟學：介質的學習與經濟演化》 （Discovering artificial economics: Hfow agents leam and economies cvolvc）一書，第165頁。經過 Perseus 圖書有限責任公司成員 Westview 出版社同意改編。 阿克斯泰爾指出，公司規模的分佈對政治與法規環境、併購活動的起伏、新公司成立和老公司破產的變動趨勢乃至勞動力的大規模轉換（例如，勞動力中女性人口的增加）等因素並不敏感。這就意味著，是某種重要的機制創造了我們所看到的秩序。 儘管沒有人能完全理解產生冪數的機理，但是，很多模型或過程都可以產生冪數。其中最典型的事例就是理論物理學家伯•巴克 （Per Bak）提出的“自組織臨界性”。巴克透過沙堆效應向我們描述了他的理論：一個孩子在沙灘上用散沙堆出一個沙堆。開始的時候， 沙堆較為平穩，沙子基本保持在落地的位置，隨著沙堆逐漸增高， 第4部分科學與複雜性理論 295
魔鬼投資學穊率 1.00000 0.10000 0.01000 0.00100 0.00010 0.00001 - 0.00000 104 10° 10 1010 美元，1997年圖 29.2 美國公司的銷售額和累計機率（1997年） 資料來源：阿克斯泰爾，《美國公司規模的齊普夫分佈》（ZipfDisiribution orus Firm Sizcs）一文。 坡角逐漸加大，沙堆就會出現坍塌，沙子出現滑落，持續的時間越長， 沙堆越高，沙子的滑落現象越嚴重。這就是一個處於“臨界”狀態的系統—也就是說，從穩定狀態到進入隨機狀態的臨界點。一旦沙堆進入臨界狀態，增加的沙子就會產生不同程度的崩塌現象，此時，我們就可以認為，沙子滑落的規模符合冪律分佈。 在沙堆這個例子中，很多特徵都可以讓我們聯想到社會系統。 一方面，經濟系統本身具有明顯的自組織性。也就是說，大多數企業、城市和國家都是由眾多個人相互作用的結果，而不是集中規劃的產物。此外，經濟系統也存在著自己的臨界狀態。在一個物理系統中，臨界點是小規模變化向階段性轉換的變更點，例如，當氣溫降至零度以下的時候，液態的水就會凝結。當然，經濟學家不可能對經濟系統的臨界點作出如此清晰的定義，但有一點卻是我們可以肯定的，任何人都不可能永遠呆在同一家公司（穩定狀態），也不可能頻繁地跳來跳去（隨機狀態）。阿克斯泰爾透過一個基於介質 296
的模型（Agent-based Model）闡述了這些特徵，並對企業和城市規模問題進行了解釋。他的模型得到了和實證資料完全一致的結論。 讓冪律分佈力我所用認識和理解冪律分佈，可以從諸多方面對投資者有所啟發。首先，由於阿克斯泰爾的研究成果本身就是以企業規模為基礎的，因此，它可以為我們研究企業規模提供一個契機。大量的實證證據已經表明，冪律分佈的效力隨時間的延續而增強，因此，儘管我們不知道哪家公司可能會破產，但是我們有足夠的理由對未來的狀態作出預測。只要對經濟增長和通貨膨脹作出合理估計，我們應該能對特定規模企業在市場所佔的比例作出準確預測。 例如，我們可以預見到，超大規模的企業比例將是非常微小的（例如銷售額大於2000億美元）。我們可以看一下大型企業的推算增長率，然後根據預期增長率判斷它們當中將有多少會演化為超大規模企業。如果按照這個預測，預計成為超大規模企業的比例遠遠超過成為大規模企業的比例，我們就可以作出判斷：可能需要對預期進行大幅度的反向修正。 投資者利用冪律分佈的另一種方式是認識網際網路的佈局，作自組織性網路的一個經典範例，網際網路幾乎已經成為冪律分佈關係的載體——包括各站點之間的連結數量、每個網站的頁面數量以及各網站的訪問量，都符合冪律分佈。透過幕律分佈，我們可以看到， 同樣是大量應用網站的企業，其利潤分佈卻是不均勻的。網際網路的發展也許可以對未來網路的組織提供一些參考。 冪律分佈以令人稱歎的精確度反映著社會、生物和物理體系。 更重要的是，很多體現冪律分佈規律的領域都與投資者的利益有著第4部分科學與複雜性理論 297
魘鬼投資半千絲萬縷的關聯。因此，正確認識和理解冪律分佈，也許可以為投資者從諸多角度認識投資過程提供有益的啟發。 ◎ 本章譯者注 ◎ ① 齊普夫定律：美國學者齊普夫於上世紀40年代提出的詞頻分佈定律。它可以表述為：如果把一篇較長文章中每個詞出現的頻次統計起來， 按照高頻詞在前、低頻詞在後的遞減順序排列，並用自然數給這些詞編上等級序號，即頻次最高的詞等級為1，頻次次之的等級為2•⋯頻次最小的詞等級為D。若用f表示頻水，I表示等級序號，則有fr=CCC為常數）。 人們稱該式為齊普夫定律。 ② 冪律分佈：1932年，哈佛大學的語言學專家齊普夫在研究英文單詞出現的頻率時，發現如果把單詞出現的頻率按由大到小的順序排列，則每個單詞出現的頻率與它的名次的常數次冪存在簡單的反比關係，這種分佈就稱為齊普夫定律。 ③ 帕累託定律：也叫80/20定律，由義大利經濟學家帕累託（1848 年～1923年）提出。早在19世紀末，帕累託研究英國人的收入分配問題時發現，20%的人口享有80%的財富，而且這種不平衡模式會在不同時期、 不同國度重複出現。經濟學家把這一發現稱為 80/20定律或帕累託定律。 298