患癌症的真正機率汐多少東北某市電視臺，有一-位年輕的女主持人，經過3個療程的化療，一頭漂亮的長髮一度脫落成光頭，她依然頑強地與“病魔”作鬥爭。然而，就在她要做第4個療程化療前，北京三家更權威的醫療機構的檢驗結果出來了：這位 27歲的年輕人其實患的不是癌症…. 宮頸癌是一種可以透過病毒傳染的癌症，我們假設官頸癌的發病率為1/1000，是否感染此病，可以透過檢查來確認。但是，誤診率為1%。 也就是說—— 感染宮頸癌的機率為0.1%。 沒有感染宮頸癌，卻被診斷為“感染”的機率為1%。 感染宮頸癌，卻被診斷為“沒有感染”的機率為1%。 假設一個女孩接受檢查之後，非常不幸地被診斷為“感染”。此時， 她真正感染此病的機率究竟為多少呢？ A.約90% B.約50% C. 約10% 我們可以這樣推算，假設10 000人接受檢查。這10000人中僅有10人被確診患有宮頸癌。同時，其他沒有感染此病的9990人的1%，也就是100人會被誤診為“感染”。被診斷為“感染”的110人中，僅有10人真正感染此病，概率為9%。 這個問題是一位法國統計學家設計的。這位統計學家拿這個問題問了 3 100名醫生，只有不到20名醫生回答對了。 其實，就算原來那家醫院的醫生算出這位年輕的女主持人90%患的是癌症，但事實上她患癌症的機率還是很低的，因為，如果把27歲患這種癌症的機率算進去，又會大大降低患癌症的可能性。 197
AGAINST TE GODS 第13章對抗諸神 —風險探索簡史® 天威難測，天機不可洩露。人類對風險的控制，堪稱現代與古代的革命性分野。 ① 番金在《時間簡史》裡只引用了一個數學公式，因為出版社編輯告訴他，書中每多一個公式，書的銷量將減少一半。本章註定是嚴重損害銷量的一章，跳過本章，並不會影響您對全書的理解。本章內容，可以幫助我們瞭解前景理論（行為經濟學的根基），是多麼了不起，而這又繞不開一些基本概念和數學推算。
第13章對抗諸神上帝洞悉未來之事，常人看到眼前之事，智者看到即將發生之事。 ——斐洛斯特拉圖斯運用機率以及風險控制手段，人類就能趨吉避凶， 天威不再難測，人類的未來得以擺脫諸神恣意的捉弄。 ——彼得•伯恩斯坦大約6000年前，人類就開始研究天文和曆法。 大約5500年前，人類已經發明瞭骰子賭戲。 大約4000年前，人類已掌握青銅冶煉技術。 然而，人類對機率的探索還不到500年。 天機不可洩露。未來，只是先知和巫師的禁臠。扶乩、抓閹是至今依存的傳統，人們將機率問題歸於神秘。人類對風險充滿敬畏，卻也有人試圖窺探風險，量化風險，以小搏大。 201
賭客信條——你不可不知的行為經濟學天才們的激情賭局賭桌是機率問題的天然實驗室，但在逝去的5000年中，沒有人真正研究這個問題。 直到大約500年前，義大利有一名賭徒叫卡丹諾，好賭博，卻輸多贏少。 卡丹諾博學又精力旺盛，一生寫了將近200本著作，這些作品涉及生活的方方面面。 卡丹諾同時還是一名業餘數學家，他並不認為輸贏是由於運氣，這驅使他寫出了一本《隨機之賭博》的“賭經”。這是人類第一次用數學方法量化風險，控制風險。 《隨機之賭博》雖成書較早，卻出版甚晚，湮沒了差不多100年。 卡丹諾（Cardano,1501 年9月24日—1576年9月21日）：命運多舛的怪傑，文藝復興時期的賭聖，百科全書式的學者。卡丹諾的《隨機之賭博〉 是舉世公認的第一部機率論著作，但直到他死後87年的1663年才發表。卡丹諾提出了“贏率”、“公平的骰子”等概念，對古典機率論有開創之功。 大約350年前，巴黎賭徒德•梅雷騎士向數學家帕斯卡請教了一個“賭徒分金”的問題，帕斯卡又把這個問題與數學家費馬商量。這讓機率論得以真正創立。 幾百年過去了，在貪婪的賭徒、好奇的學者、天才的數學家及淵博的聖徒共同驅動下，各種機率法則、風險管理工具相繼問世。 202
第13章對抗諸神費馬 （Piere de Fermat,16011665），法國著名數學家。費馬一生從未受過專門的數學教育，數學研究也不過是業餘愛好。然而，在17世紀的法國還找不到哪位數學家可以與之匹敵，被譽為“業餘數學家之王”。費馬和帕斯卡在相互通訊及著作中建立了機率論的基本原則—數學期望的概念。 與統計學一樣，風險決策理論也是一種源自賭博的理論。 在人類恐懼、好奇、貪婪的驅使下，數學家、經濟學家、哲學家，以及賭徒都在探索與風險相關的決策理論。 幾百年來，風險決策理論的演進經過了三個階段：從最原始的期望值理論（expected value theory），到稍後的期望效用理論（expected utility theory）， 直到我們前面談的前景理論。 一個人看透了輸贏背後更本質的東西，就會明白賭博究竟是在“賭”什麼，賭就已經不再是“賭”了。 期望值理論所謂期望值理論，即人們對於相似條件的選項，先計算一下每個選項的數學期望值，然後選擇期望值最大的那個選項。 它是最原始的風險決策理論，也是一種最簡單的風險決策方法。 期望值的計算用數學公式表示為： EV=KXPitKXPat KxPst..+KAXPn 其中EV代表期望值，K，代表選項K的第n種結果所帶來的價值，P.代表第n種結果發生的機率。 203
賭客信條——你不可不知的行為經濟學期望值理論指出，人們會把期望值最大的選項作為自己的最終選擇。 現在設一個賭局，給你兩種抽籤選擇： A.有10根竹籤，任意抽一根都可以獎勵8000元。也就是有100%的機率抽到8 000元。 B.有10根竹籤，有7根可以獎勵10000元，另外3根沒有獎勵。也就是70%的可能性抽到10 000元；30%的可能性什麼都抽不到。 請問你會選擇哪一項？ 對於A選項，其期望值為： 8 000x100%=8 000 對於B選項，其期望值為： 10 000x70%+0×30%=7 000 所以，根據期望值理論，大部分人應該會選擇A。 期望值理論的不足期望值理論能否完美地解釋人們的風險決策呢？ 大約300年前，瑞士數學家尼古拉斯•貝努利（Nicolas Bernoulli）向聖彼得堡科學院提出一個悖論，即著名的“聖彼得堡悖論”。 你現在可以付錢去參加一個賭局，規則如下： 首先交給莊家一筆賭金，然後莊家擲一均勻硬幣，一直扔到正面朝上為止。 如果第1次投擲就是正面，則得獎金1元，遊戲結束。 如果第1次出現反面，則擲第2次，如果是正面，因為是第2次，得獎金2元。賭局結束。 204
第13章對抗諸神如果第2次是反面，接著擲第3次。就這樣一直進行下去，每次報酬翻一倍。 連續n次反面之後，第n+1次出現正面，則參賭者將從莊家那裡得到 2的n次方的盧布並且對局中止。 比如連續8次出現反面，第9次是正面，則參賭者得2的8次方是256 元，而2的16次方是65 536元。 在明白了遊戲規則以後，請仔細想一想，你最多願意預付多少錢來參加這個遊戲？ 首先，你要考慮這個賭局的期望值是多少。 參賭者贏一元的機率是1/2，贏2元錢的機率是1/4，贏4元的機率是1/8 設參賭者預付賭金x元，這個賭局的期望值為：（1）（1/2）+（2）（1/4）+ （4）（1/8）+（8）（1/16）+⋯ 按照期望值理論，只要我們花的錢比這個遊戲的期望值小，那麼我們就值得去賭。 （1）（1/2）+（2）（1/4）+（4）（1/8）+（8）（1/16）+：•+x 顯然在x前是一個無窮級數的和，這個和無窮之大，因為它的每一項都等於1/2。 按期望值來算，不論莊家提出的預付賭金要求有多高，決策者在“接受” 與“拒賭”兩個策略之間，合理選擇都是前者，即使傾家蕩產也在所不惜。 但事實上，很少有人願意花超過25元錢來玩這個遊戲。因為我們知道， 想透過一長串的連續反面贏一大筆錢的希望是極為渺茫的，而失去大筆預付賭金的機率極高，因此，在x較大的情況下，接受賭局是極其愚蠢的。 “聖彼得堡悖論”指出了“期望值理論”的缺憾，於是必須尋找更完善的風險決策理論。 205
賭客信條—一你不可不知的行為經濟學邊際效用理論消解“聖彼得堡悖論”的第一個觀點是邊際效用遞減論。 貝努利透過對“聖彼得堡悖論”的分析指出，賭局的結果對於參與者的價值並不等於它的金錢值，還與參與者的心理價值有關。 貝努利把人們對某一結果的主觀嚮往度叫做它的“心理價值”。這一觀點後來成為經濟學效用理論的基礎。“效用”就是由“心理價值”演變而來的。 效用是指消費者對從某一商品組合的消費中得到的滿足感的主觀衡量。 也就是決策者對結果的嚮往（喜愛）或反感（憎惡）的程度，其衡量單位是任意的。一個單位的效用代表消費者得到了一份主觀上的滿足感。與它相近的說法有收益、報酬、損失、嚮往度等。 傳統經濟學認為效用是邊際遞減的，即消費者在消費物品時，每一單位物品對消費者的效用（滿足程度）是不同的，它們呈遞減關係。 比如，對一個餓著肚子的人來說，第一個餅給他的效用最大，第二個餅則沒有那麼大了，吃到一定程度後，就饜足了。 需要說明的是，邊際效用遞減並不表示總效用遞減。總效用是逐漸遞增的，而邊際效用衡量的是總效用的遞增速率，由於邊際效用遞減，使得總效用遞增的速率逐漸減慢。這並不是一種任意假定的特殊情況，而是反映了一個普遍的理性規律。 206
第13章對抗諸神風險偏好消解“聖彼得堡悖論”的第二個觀點是風險厭惡論。 一筆小錢對於飢寒交迫的窮人是珍貴的，而對於一個百萬富翁則意義不大。即使是同一個人，先窮後富或先富後窮，同筆錢在不同時期也具有不同的價值。一個人越富有，同一筆錢對於他的價值就越小。 假設你是東莞某小工廠的流水線工人，某天老闆靈機一動安排了兩種工資支取方式： A. 每天下班時領取人民幣80元。 B.每天下班後扔一個硬幣，如果正面向上你可以領取160元，如果正面向下你這天就等於白乾了。 兩種支取方式由你選擇，你願意要哪一種？ 眾所周知，扔硬幣的結果，正面向上和正面向下的機率是一半對一半。 所以，從你實際領取到多少工資的數額來說，兩種方式得到的工資的期望值應該是一樣的。 兩種方式雙方都一樣不吃虧，依任何一種方式領取工資和效用工資，無論對於工人還是對於老闆，所得和所付應該都是一樣。老闆不能得到便宜， 工人們並不吃虧。 風險偏好就是人對風險的態度，一般分為風險喜好者、風險厭惡者、風險中性者。 •風險厭惡——即不喜歡風險，在A和B期望值相間的情況下，對上述問題的回答是A。 •風險喜好—即偏好於風險，在A和B期望值相同的情況下，對上 207
賭客信條—你不可不知的行為經濟學述問題會選B。 •風險中性——即不偏好也不規避風險，反映在上述問題中，在A和 B期望值相同的情況下，表現出無所謂選A還是選B。 但是面對得失機率等同的兩種方式，工人多半會選擇A。因為他們絕大多數是經濟學所說的風險厭惡者，而不是風險喜好者。老闆則不然，他們因為賭得起，往往是風險喜好者。 一次電視測驗中，一個參賽者正確地回答了問題。然後，主持人要求他在兩種得獎方式之中做出選擇。 A擲一枚硬幣，若出現正面，獎金1000元；若出現反面，無獎。 B在三個信封中選一個，三個信封分別裝有獎金900元、300元、 150元。 這兩個方案的期望值不難計算，所涉及的機率也很簡單。擲硬幣出現正面的機率1/2；三個信封中抽一個，抽到900元、300元、150元的機率分別是1/3。 因此A的期望值是： （1/2）（1 000）+（1/2）（0）=500 B的期望值是： （1/3） （900）+（1/3）（300）+（1/3）（150）=450 從期望值大小來看，參賽者應選擇A，而不是B，但是對於風險偏好的不同，人們的選擇將大不相同。 期望效用理論貝努利為了解釋人們決策的這一現象，提出了期望效用理論（expected 208
第13章對抗諸神 utility theory）。期望效用理論與期望值理論最大的不同在於，期望效用理論認為，人們應該選擇的是期望效用最大的那個選項，而不是期望值最大的那個選項。 期望效用可以用數學公式表示為： EU=U（K，）xP.+U（K2）xPa+U （Ks）xPst⋯ 其中EU代表期望效用，U（K）是選項K的效用函式，U（K.）表示選項K 的第n種情況的效用值，P.表示第n種情況發生的機率。 有了期望效用理論，再回過頭來解決前面那個“老闆和員工選擇工資支取方式”的問題就清楚了。 由於效用函式邊際效用遞減的特性，我們只要選擇一個遞減的函式作為效用函式。 透過數學計算就不難證明，A方案對工人期望效用更大。 所以，在期望值相同的情況下，大多數人寧願選擇A。 期望效用理論的不足期望效用理論提出了邊際效用遞減的原則，它告訴我們一個理性決策者應該怎麼做，在經濟學上是一大進展。但是，人們逐漸發現，現在生活中， 期望效用理論也像期望值理論一樣，並不能很好地解釋人們所有的風險決策行為。 假設你已經擁有10000元資產，某天，你中獎了，可以在下面兩項中做出一個選擇： A. 確定性地獲得5000元。 B.請你拋一次硬幣，如果正面朝上你能獲得10 000元，如果背面朝上你將一無所得。 假設你已經擁有20000元資產，某天，你受罰了，必須在下面兩項 209
賭客信條——你不可不知的行為經濟學中做出一個選擇： A. 確定損失5000元。 B.丟擲一枚硬幣，如果正面朝上你將沒有任何損失，如果背面朝上你將損失10 000元。 在第一種情形下大部分被試者選擇了A。由於邊際效用遞減，期望效用理論認為大部分人是風險厭惡者，選擇A合乎常理，也符合期望效用理論。 在第二種情形下絕大部分被試者選擇了B，即選擇搏一搏。為什麼在第二種情況下人們變成了風險喜好者了呢？ 實際上，第-種情況和第二種情況是等價的。 第一種情況： EU （A）=5000×100%=5 000 EU （B）=10 000×50%+0×50%=5 000 A和B選項的期望收益都是5000元，最終資產是15 000元。 第二種情況： EU （A）=（-5 000）×100%=-5 000 EU （B） =（-10 000）×50%+0×50%=-5 000 A和B選項的期望收益都是-5 000元，最終資產是15 000元。 對於同樣價值的得失5000元，同樣價值的終極資產15000元，如果你理性的話，你在兩種情況下做出的選擇應該是一致的，根據期望效用理論都應該是風險厭惡的。 但為什麼大多數人在面臨這兩種完全等價的選擇時會有不同的風險偏好， 在第一種情況下寧可穩紮穩打，在第二種情況下寧可冒更大的風險呢？ 然而，一些非主流經濟學家卻發現，期望效用理論存在嚴重缺陷，現實中特別是金融市場里人類的很多決策行為，無法用期望效用函式來解釋。行為經濟學家和實驗經濟學家提出了許多著名的“悖論”，向主流經濟學發難， 像“阿菜悖論（Allais Paradox）”、 “股權風險溢價難題”、“羊群效應”、 210
第13章對抗諸神 “偏好顛倒”等。 經濟學家開始修補經典理論，修改效用函式、稟賦、技術和市場資訊結構等，但迄今沒有滿意的答案。期望效用理論開始受到懷疑，經濟學家們越來越認識到人類行為本身的重要性，認知心理學的概念和分析方法被引入經濟分析中，同時實驗資料起到越來越重要的作用。 顯然，先前的期望值理論和期望效用理論已經不能很好地解釋人們這種矛盾的行為。於是，前景理論應運而生了。 延伸閱讀丹尼爾•貝努利與聖彼得堡悖論丹尼爾•貝努利出生於18世紀一個競爭過度的天才家族中，該家族共產生過11位數學家。 丹尼爾是約翰•貝努利的第二個兒子，也是貝努利家族中最傑出的一位。丹尼爾的大伯父名叫雅各布，就是發現大數法則的那位。 在雅各布的幫助下，弟弟約翰後來成為了數學家。但後來，雅各布和約翰因為爭名而鬧得很僵。 上一輩的怨恨越積越深，約翰最後甚至發洩到了他的兒子丹尼爾身上。丹尼爾是一名數學家，也是一名物理學家。他曾出過一本很著名的書，對賭場的法羅牌遊戲進行分析，發現了“貝努利效應”，後來被運用到了飛機翼的設計中。約翰對兒子的成功沒有表現出任何的喜悅之情。1734年，父子倆丹尼爾•貝努利（Dantel Bernoulli, 1700-1782） 211
賭客信條——你不可不知的行為經濟學共同分享了一項法國科學院獎。 但是丹尼爾隨即被父親趕出了家門，父親抱怨說，這個獎項應該是自己獨得才對。 1738年，丹尼爾又推出了一部重要的作品《流體力學》。第二年，他的父親出版了一本內容幾乎完全相同的書，署了自己的名字， 並且把時間改到了1732年。約翰用這個小把戲聲稱兒子剽竊了自己的作品。 丹尼爾•貝努利還有一個比他大5歲的哥哥，叫尼古拉斯（尼古拉斯三世）。尼古拉斯三世也是一位傑出的學者。正是尼古拉斯三世帶領著丹尼爾開始學習數學，那時丹尼爾只有11歲。作為長子，尼古拉斯三世受他父親的鼓勵，成為了一名數學家，19歲時他成為巴塞爾的哲學博士。 1725年他被任命為聖彼得堡的數學教授。然而僅一年之後，他就死於某種熱病。丹尼爾•貝努利和尼古拉斯三世在同一年得到聖彼得堡的聘任書，當丹尼爾最終離開自己的父親去遙遠的聖彼得堡工作時，他一定覺得鬆了一口氣。 在那裡，他為西化的俄羅斯法庭工作，並又寫了一篇很有影響力的文章，使20世紀的經濟學家們最終接受了克勞德•申農和約翰• 凱利的思想。 這篇文章提到了一個虛擬的賭局，是由另外一名貝努利家族的天才、丹尼爾的堂兄尼古拉斯設計的。尼古拉斯是巴塞爾大學的法律學博士。這個賭局就是聖彼得堡悖論。 從此之後，不斷開始有人關注這個問題。約翰•梅納德•凱恩斯在1921年發表的“機率論”提到聖彼得堡悖論是每一位20世紀經濟學家的精神大廈的組成部分。在諾伊曼和摩根斯坦的《遊戲理論和， 經濟行為》一書以及在肯尼斯•阿羅、米爾頓•綱雷德曼和保羅•薩繆爾森的論文中，貝努利的賭注論都曾經被提及。 212