經濟狀況經濟狀況的機率好 0.3 0.5 差 0.2 股粟業績給定經濟狀況下股票業績機率好 0.6 中等 0.3 差。1 好 0.4 中等 0.3 差 0.3 好 0.2 中等 03 差 0.5 經濟狀況為中等且股票業績很差的機率為 a. 0.06 b.0.15 c.0.50 d.0.80 CFA.\ ROBLEMS 17.分析家估計某股票根據經濟狀況不同其收益的機率如下： 經濟狀況好 -般差橛率收益 0.1 0.6 0.3 15% 13% 7% 股票期望收益率為 a.7.8% b.11.4% c.11.7% d.13.0% 習題18與習題19難度較大，讀者可能需要複習一下第2 章中關於看漲、看跌期權的定義。 18. 投資者面臨教材中表5-1所給出的股票市場指數基金的HPR的機率分佈。假定某指數基金股票的看跌期權執行價格為110美元，1年後到期，售價12美元。 a. 該看跌期權的HPR的機率如何分佈？ b.包含一股指基金和一份看跌期權的資產組合的 HPR的機率如何分佈？ c.為什麼說在這種情況下，購買看跌期權等於購買一份保險？ 19. 條件同前題，假定無風險利率每年6%。投資者正考慮投資107.55美元於1年期的大額存單，同時購買一份股票市場指數基金的看漲期權，執行價格為110美元，1年後到期。年末投資者美元收益率的機率如何分佈？ 標準普爾練習登入http://www.mhhe.com/business/finance/edumarke 在這個例子中，是損益表。操作這個檔案，譬如把損益表重 tinsight（把該頁設為書籤！），然後連結到“Company” 新算為總銷售額的百分比（銷售額的百分比構成），把這個再進入“Population”。選擇一家你感興趣的公司，透過頁面檔案儲存到某個資料夾，開啟Excel，並進行任何其他你想左邊的一個公司資訊報告目錄，連結到“Company Research” 做出的改變。現在，你可以隨心所欲地操作這個Excel 頁。然後連結到稱為“Excel Analytics” 的報告，開啟你所 Analytics了。（在以後的課程中還有更多這樣的例子）如果選公司的年度收入報告。這個報告要用Excel viewer才能打你不能開啟Excel Analytics，你可能需要升級你的Windows 開。你會看到這個Excel Analytics報告提供了6年的資料， 和/或MS Office元件。瀏覽不同的報告，以備以後參考。 95
第二部分投資組合理論 1.a.1+R==（1+r） （1+i）= （1.03） （1.08）=1.1124 R=11.24% b.1+R=（1.03） （1.10）=1.133 R=13.3% 2. 1926~ 1934年間的平均超額收益為4.5%（低於歷史 • 概念檢查問題答案— 平均水平），標準差（除以n-1）為32.55（高於歷史平均水平）。這些結果表明在大崩潰時嚴重的下滑和這一期間股票收益的不正常的高風險。 3.1=（0.12-0.13）/1.13=-0.008 85或-0.885%。當通脹率超過名義利率時，真實收益率就為負值。 附錄5A 連續複利假定你的資金可以獲得每半年支付一次的複利，年名義利率為6%，考慮到複利，你的有效年利率是多少？ 我們可以透過兩步得出答案，第一步，計算每期的利率（複利），每半年3%；然後，計算年初每1美元投資到年底時的未來值（FV）。本例中 FV=（1.03）2=1.0609 表5A-1 年名義利率為6%的有效年利率複利頻率 n 半鄰川問 12 52 365 有效年利率 6.000 00 6.090 00 6.136 36 6.167 78 6.179 98 6.183 13 有效年利率（REFF）為你的資金的實際年增長率減去1，即 REFF =1.0609-1=0.0609=6.09% 每年有效年利率的一般公式為 REFF=［1 +（APR）/n］"-1 這裡，APR 年百分率，n為每年計算複利的時期數。表 A5-1顯示了年百分率6%時不同的複利頻率下的有效年利率。 隨著頻率的增加，（1+APR/n）"會逐漸接近e APR，，這裡， e為2.718 28。在我們的例子中，e000= 1.061 836 5，因此， 如果連續複利REFF=0.061 836 5，或為每年6.18365%。 連續複利之所以被廣泛使用，有兩個原因。首先，正如在第5.5節所講的，由於資訊持續流入資本市場，收益率隨著不斷的變化和綜合得到最好的規範。第二，衍生金融資產的定價模型，譬如股票看漲和看跌期權的定價模型經常是基於不斷重新平衡的資產組合的。由於需要為持續交易的股票確定價格，因此要求有連續複利。有效的連續複利的表示式 I + REFF =eAPR 從觀測到的有效持有期收益率，我們也能計算出連續複利連續複利=In（1+ REFF） 對於短期（譬如按天計）持有的收益率，有效利率和連續複利的差距是相當小的。但是對於長期收益率，譬如按季或按年的收益率，二者之間的差距就比較大了。 運用連續複利簡化真實收益率與名義收益率之間的代數關係。此，讓我們首先運用年複利計算真實收益率，然後，再運用連續複利計算真實收益率。假定年複利的名義利率為6%，年複利的通貨膨脹率為4%，運用關係真實收益率=（1+名義利率）/（1＋通貨膨脹率）-1 r=（1+R）/（1+i）-1=（R-i）/（1+i） 我們發現有效年真實利率 r=1.06/1.04-1=0.01923=1.923% 毎年由於連續複利，關係變片 e'=e^/e'=ef-i 取自然對數，我們有 r=R-i 真實利率=名義利率-通貨膨脹率所有這些表達了年連續複利的百分率。 因此，如果我們假定每年連續複利的名義利率為6%， 每年連續複利的通貨膨脹率為4%，則每年連續複利的真實利率就是2%。 為了向儲蓄者支付公平的利率，複利的頻率至少應等於儲蓄與提存的頻率。只要你重複計息的頻率至少相當於一個賬戶的交易頻率，你就可以確保每一美元按照儲蓄的時間得到了準確的複利。最近，網上儲蓄開始流行，所以，人們可以期望重複計息的頻率將一直增加，直至需要計算連續的複利，也許以後至少每日計算一次將變得很標準。 96
第6章風險與風險厭惡投資過程主要由兩部分工作組成。一部分工作是證券與市場的分析，在這一部分我們對投資者可能選擇的所有投資工具的風險及期望收益的特性進行評估。第二部分工作是對資產進行最優的資產組合的構建，它涉及在可行的資產組閤中決定最佳風險-收益機會，從可行的資產組合中選擇最好的資產組合。我們從第二部分正式開始投資分析，這一分析也稱為資產組合理論。我們將在以後的各章中完成證券分析的任務。 本章，我們圍繞風險這個中心，介紹資產組合理論的三個議題。第一個議題是基本原則，即投資者規避風險並對風險投資要求有相應的回報，回報採取的是風險溢價的形式， 即期望收益率高於可供選擇的無風險投資所能提供的收益率。在第二個議題中，我們概括並確定投資者個人在資產組合風險與期望收益之間的權衡。為此，我們引入了效用函式。 它假定投資者能夠根據風險與收益情況為所有的資產組合標定一個福利或“效用”的數值。最後，第三個基本原則是： 我們無法脫離資產組合，對作為資產組合一部分的資產的風險進行單獨的評估。也就是說，測度單項資產風險的正確方法是評價它對整個投資的資產組合變動的影響。按照這種方法我們發現，一些看起來有風險的證券也許是資產組合的穩定器，並且事實上是低風險資產。附錄6A中我們介紹了用收益的方差或標準差側度資產組合風險的理論與實踐。我們不僅探討了方差足以測度風險的情況，還討論了資產組合收益機率分佈的其他潛在相關特徵。附錄6B討論了風險厭惡的傳統理論。 6.1 風險與風險厭惡綜述 6.1.1 單一前景的風險風險的存在意味著可能產生一個以上的結果，單一前景是指將某一初始財富用於投資時面臨著風險，這一投資機會只產生兩種可能的結果。為簡便起見，在開始的時候，應用單一前景有助於我們分析並闡明基本的概念。' 假定有10萬美元的初始財富W，假定進行投資有兩種可能的結果。當機率p=0.6時，結果令人滿意，使最終財富W， 增長到15萬美元。否則，當機率1-P=0.4時，結果不太理想，W=8萬美元。我們用事件樹來代表單一前景。 P=0.6 W， =150 000美元 W=10萬美元 1 p=0.4 W，=80 000美元假定在這樣的單一前景下，提供給投資者蘇珊一個為期1年的資產組合，她將如何評價該資產組合？ 首先，她可以用描述性統計方法來概括，例如，用 E（W）表示平均或預期年終的財富，有 E（W）=P W，+（1-p）W=（0.6x 150 000）+ （0.4 x 80 000）=122000美元 10萬美元資產組合的預期盈利2.2萬美元（122 000美元-100000美元）。投資者從均值中得到資產組合每一可能結果的方差期望值c的計算如下： C=PIW E（W］+（1 P）IW E（W）］ =0.6（150 000 - 122 000）2+0.4（80 000 - 122 000）2 =1 176 000 000 標準差，即方差的平方根 34292.86美元。 顯然，這樣做有很大的風險：收益標準差遠遠大於預期盈利的2.2萬美元。預期盈利是否足以確保這樣的風險是可以接受的，這取決於資產組合的選擇。 我們把國庫券作為風險資產組合的另一選擇。假定在做出決策時，1年期國庫券提供的收益率為5%，投資10萬美元能穩獲5000美元的盈利。現在我們可以畫出它的決策樹。 1 第6~8章用到了一些基本的統計知識，對於初學者，可以參看本書結尾的附錄A。
第二部分投資組合理論 P=0.6 盈利=50 000美元 A. 投資以險行業 10萬美元 1-P=0.4 盈利=-20 000美元 B. 投資無風險國庫券盈利=5000美元前面我們得出預期盈利為2.2萬美元，因此投資於風險資產組合比投資安全的國庫券的預期邊際盈利或增加的盈利溈 22000美元-5000美元=17000美元這表明作為投資風險的補償可獲得17000美元的風險溢價。 某一給定水平的風險溢價是否足以補償投資的風險， 這個問題由來以久。的確，在健全的資本市場中測定風險並確定投資者預期的風險溢價是金融理論的核心問題之一（並涵蓋了本書的大部分內容）。 概念檢查問題 . 1.如果不以美元，而以收益率計算，蘇珊風險資產組合的風險溢價是多少？ 6.1.2 風險、投機與賭博投機的定義是“在獲取相應的報酬時承擔一定的商業風險”。從語言學上說，該定義無可厚非。但如果不先明確 “相應的報酬”和“一定的風險”的含義，這個定義就沒有什麼用處。 “相應的報酬”是指去除無風險收益之後的實際期望收益。這就是風險溢價。在我們的例子中，美元的風險溢價就是風險投資收益減去無風險投資（譬如，國庫券投資）收益的差。風險溢價也是由於風險所得到的不斷增長的預期所得。 “一定的風險”是指足以影響決策的風險，當增加的收益不足以補償所冒的風險時，投資者可能會放棄一個產生正的風險溢價的機會。 賭博是“為一個不確定的結果打賭或下注”。如果拿賭博與投機的定義比較，你會發現它們主要的不同在於賭博沒有“相應的報酬”。從經濟意義上講，賭博是為了享受冒險的樂趣而承擔風險，別無其他目的。而投機是在投機者看到有利的風險-收益權衡時發生的。把賭博變成投機要求有足夠的風險溢價來補償厭惡風險的投資者所承受的風險。因此， 風險厭惡與投機是不同的。 在某些情況下，賭博看起來像是投機。譬如兩個投資者對美元與英鎊的遠期匯率持截然相反的態度，他們可能為此打賭。假如一年之後，1英鎊的價值超過了1.70美元，鮑爾要付給瑪麗100美元；如果少於1.70美元，則瑪麗付給鮑爾100美元。這裡只有兩種結果：1）1英鎊高於1.70美元或者 98 2） 1英鎊低於1.70美元。如果鮑爾與瑪麗對這兩種可能的結果出現的機率持相同意見，而且如果誰都不想輸，那麼每種結果的機率P=0.5。在這種情況下，兩個人的期望收益都為委，每個人都有賭博的一面。 然而，更有可能的是，賭博源於鮑爾和瑪麗賦予結果的機率值是不同的。瑪麗認為P>0.5，而鮑爾則認為P<0.5。 他們主觀地認為有兩種不同的前景，經濟學家把這種觀點的差異稱之為“異質預期”。在這種情形下，投資者雙方都把自己的行視為是投機而非賭博。 鮑爾與瑪麗都應問一問：“我認為會帶來負的投資盈利的風險行業，為什麼其他人還願意去投資呢？”解決異質信唸的理想辦法是讓鮑爾與瑪麗“融和資訊”，即令雙方明確他/她掌握了所有相關資訊並且處理資訊的方法得當。當然， 要排除異質預期需要獲取資訊和深人的溝通，這要付出高昂的代價，而且在一定程度上異質預期不能非理性地被接受。 如果鮑爾與瑪麗經常有這種協議，他們就會認識到資訊的問題，或者是當他們各自輸贏參半時，意識到自己在賭博，或者是輸家承認他/她是在糟糕的預測基礎上打賭。 概念檢查問題• 2. 假設美國的以美元標價的國庫券和英國的以英鎊標價的國庫券的到期收益率相等，兩者均為短期資產，均無清償風險，也無風險溢價。但是，一個擁有英國國庫券的美國人要承擔匯率風險，因為他在英國國庫券上掙得的英鎊最終要按將來的匯率兌換成美元。美國投資者參與的是投機還是賭博？ 6.1.3 風險厭惡與效用價值我們討論了在單一前景情況下的風險以及風險溢價是如何影響投機的。風險溢價為零時的情況稱為公平遊戲，風險厭惡型的投資者不會考慮公平遊戲或更糟的資產組合。他們只願意進行無風險投資或投機性投資。大致地說，風險厭惡型投資者為補償所冒風險，按某一百分比降低資產組合的期望收益率（或按美元數量減少期望收益）。投資者覺得風險愈大，降低的幅度就越大。人們可能會問，為什麼我們假定風險厭惡為根本原則？我們相信大多數投資者在簡單地自省之後會接受這個觀點。在附錄6B中，我們會全面討論這個問題。 我們把風險妨礙系統公式化，為此，我們假定每一投資者可以根據資產組合期望收益與風險的情況，給出競爭性投資的資產組合的福利與效用數值。效用數值可以看成是對資產組合排序的一種方法。風險-收益曲線越吸引人，資產組合的效用值也就越高。期望收益越高，資產組合得到的效用數值越大，而波動性強的資產組合，其效用數值也低。許多“評分”體系都是合乎邏輯的。下面是金融理論者廣泛使用的一個函式，資產組合的期望收益為E（r），其收益方差內 o，其效用值 U=E（r）-0.005Ag （6-1） 式中，U為效用值；A為投資者的風險厭惡指數（係數0.005 是一個按比例計算的方法，這樣我們在式（6-1）中是按百分比而不是按小數來表示期望收益與標準差的）。 式（6-1）與高期望收益會提高效用，而高風險會降低效用的概念是一致的（在附錄6A中討論方差是否足以測度資產組合的風險）。在某種程度上，方差減少效用的程度取決於A，即投資者對風險的厭惡程度。投資者對風險的厭惡程度越高（A值越大），對風險投資的妨礙也就越大。在竟爭性資產組合中進行選擇的投資者將挑選效用值最大的資產組合。 風險厭惡顯然會對投資者在風險與報酬間的平衡產生重大影響。專欄6-1介紹了一些金融顧向用來計算客戶風險厭惡程度的方法。 在式（6-1）中，我們看到，因為沒有風險妨礙，無風險資產組合的效用只不過是資產組合的收益率，這為我們評估資產組合提供了一個簡便的標準。 例6.1 運用效用評分評估投資回顧前面的投資問題，在一個期望收益率為22%、標準差O=34%的資產組合與無風險收益率為5%的國庫券之間進行選擇時，儘管風險資產組合的風險溢價為17%，但該項投資的風險太大，一個不太厭惡風險的投資者也會選擇金部購買園庫券的投資策略。即便對於一個溫和的投資者，其風險厭惡A=3時，由式（6-1）得出的資產組合效用值為：22- （0.005x 3 ×343=4.66%，比無風險收益率稍低，在這種情況下，投資者會放棄資產組合而選擇國庫券。 作為風險妨礙而下調的期望收益率為0.005×3×342= 17.34%，如果投資者不太厭惡風險（風險容忍度較高），例如A=2時，他會將期望收益率下調至11.56%，如此一來， 資產組合的效用水平為10.44%，高於無風險收益率，使她接受該投資預期。 概念檢查問題 3. 有一期望收益率為20%、標準差為20%的資產組合，國庫券可以提供7%的確定的收益率，投資者的風險惡程度 A=4，他會做出什麼樣的投資選擇？如果A=8呢？ 在進行風險投資的資產組合與安全的投資之間進行選擇時，我們可以將效用值與無風險投資的收益率相比較，因此，我們可以把風險投資的效用值看成是投資者的“確定等價”的收益率。也就是說，資產組合的確定等價收益率就是第6章風險與風險厭惡為使無風險投資與風險投資具有相同的吸引力而確定的無風險投資的收益率。 現在我們說，只有當一個資產組合的確定等價收益大於無風險投資收益時，這個投資才值得。一個極度厭惡風險的投資者可能會把任何風險資產組合，甚至風險溢價為正的資產組合的確定等價收益率看得比無風險投資收益率都低，這就使得這樣的投資者拒絕資產組合。同時，一個風險厭惡程度較低的投資者會把相同的資產組合的確定等價收益率定得比無風險投資的收益率要高，使得他們更傾向於選擇資產組合而不是無風險投資。如果風險溢價為零或負數，任何對效用的下調都會使資產組合看起來更糟。 對於所有的風險厭惡的投資者而言，其確定等價收益率都低於無風險投資收益率。 與風險厭惡投資者相比，風險中性的投資者只是按期望收益率來判斷風險投資。風險的高低與風險中性投資者無關，這意味著不存在風險妨礙。對這樣的投資者來說，資產組合的確定等價收益率就是期望收益率。 風險愛好者願意參加公平遊戲與賭博；這種投資者把風險的“樂趣”考慮在內，使期望收益率上調。因為上調的風險效用使得公平遊戲的確定等價值高於無風險投資，風險愛好者總是加人公平遊戲。 我們透過畫圖描述潛在資產組合的特點來說明個人在風險與收益之間的權衡。圖6-1描繪了某一資產組合的特點，其中縱軸表示資產組合收益的期望值，橫軸表示標準差。 E（r） p E（rp） m ™ C O 圖6-1 潛在資產投資組合的風險與收益之間的權衡期望收益為E（rp），標準差為o，的資產組合P是最受風險厭惡投資者青睞的資產組合，因為它的期望收益大於或等於第四象限中的任何資產組合，而它的標準差則等於或小於第四象限中的任何資產組合。相反地，所有第一象限的資產組合都比資產組合P受歡迎，因為其期望收益等於或大於資產組合P，標準差等於或小於資產組合P。 99
第二部分投資組合理論當股市狂跌時，哪四個字母的詞會在腦海中閃現呢？ 當然不是四個字母的粗話，而是風險（R-I-S-K）。 風險可能讓你意識到面臨潛在的低收益甚至是金錢的損失，它還可能會阻止你實現重要的目標，醫如送子女上他們喜歡的大學或實現你渴望的退休後的生活方式。 但是許多金融顧問與其他專家都說近來投資者對風險並沒有表現出應有的重視，他們在股市無所顧忌。 紐約金融顧問加里•沙特斯基說：“這些年來市場一直很好，使得投資者不再相信投資還有什麼風險。” 因此，在市場下滑並持續低迷之前，你必須瞭解對風險的容忍度並使你的資產組合與之相匹配。 然而，評估風險容忍度並非易事，你不僅要考慮你在經濟上能承受多少風險，還要考慮你能冒多大風險。 要確定你能冒多大風險——生來對風險的承受力一就更加困難，它是不可量化的。 為此，許多金融顧問、經紀公司以及共同基金都設計了風險測試來幫助人們確定自己是保守、溫和還是激進的投資者。一些提供這種測試的公司包括：美林、巴爾迪摩的普萊斯 （T. Rowe Price）、聯合公司、紐約的蘇黎世 （Iurich）集團公司旗下的斯庫德•坎貝爾（Scudder Kemper） 投資公司以及賓夕法尼亞馬爾文的先鋒集團。 一般的說，風險問卷包括7~10個問題，涉及一個人的投資經歷、金融證券以及保守或冒險的傾向。 測試的好處在於人們至少可以從這些客觀資料中對自己的風險容忍度有一個大概的瞭解，“一個人不可能自己評估自己的風險容忍度”，伯恩斯坦先生說：“我可以說我不喜歡風險，但卻比一般人冒更大的風險。” 許多專家警告說，問卷只能作為評估風險容忍度的第一步，“它們並不準確。”一個名叫羅恩•邁耶的註冊會計師這樣說。 許多專家持肯定態度的是，第二步是自問一些有難度的問題，譬如，從長期來看，你能承受多大損失？ 沙特斯基先生說：“大多數人在短期內能承受很大損失”。他還談到，而真正洞察一切的測試是要了解在長年累月中你能承受多大損失。 幾個顧問說，結果是多數人被評為溫和派。“只有10%~ 15%的客戶是激進的。”羅格先生說。 你的風險容忍度是多少？ 在你認為合適的答案前的字母上劃圈。 1. 你投資60天之後，價格下跌20%。假設所有基本情況不變，你會怎麼做？ a.為避免更大的擔憂，把它拋掉再試試其他的。 b.什麼也不做，靜等收回投資。 c.買人。這正是投資的好機會，同時也是便宜的投資。 2. 現在換個角度看上面的問題。你的投資下跌了20%， 但它是資產組合的一部分，用來在三個不同的時間段上達到投資目標。 100 如果目標是5年以後，你怎麼做？ 8.丟擲 b.什麼也不做 c.買入如果投資目標是15年以後，你怎麼做？ a.丟擲 b.什麼也不做 c.買入如果投資目標是30年以後，你怎麼做？ a.丟擲 b.什麼也不做 c.買入 3. 在你買人退休基金一個月之後，其價格上漲了25%。 同樣，基本條件沒有變化。沾沾自喜之後，你怎麼做？ a. 丟擲並鎖定收人。 b.保持賣方期權並期待更多的收益。 c.更多地買人，因為可能還會上漲。 4. 你的投資期限長達15年以上，目的是養老保障。你更願意怎麼做？ a.投資於貨幣市場基金或保證投資合約，放棄主要所得的可能性，重點保證本金的安全。 b. 一半投人債劵基金，一半投人股票基金，希望在有些增長的同時，還有固定收人的保障。 c.投資於不斷增長的共同基金，其價值在該年可能會有巨幅波動，但在5年或10年之後有鉅額收益的潛力。 5.你剛剛獲得一個大獎！但具體哪一個，由你自己定。 a.2000美元現金。 b.50%的機會獲得5000美元。 c.20%的機會獲得15000美元。 6. 有一個很好的投資機會，但是你得借錢。你會接受貸款嗎？ a.絕對不會 b.也許 c.是的 7. 你所在的公司要把股票賣給職工，公司管理層計劃在三年後使公司上市，在上市之前，你不能出售手中的股票，也沒有任何分紅，但公司上市時，你的投資可能會翻 10倍，你會投資多少錢買股票？ a.一點兒也不買 b.兩個月的工資 c.四個月的工資風險容忍度打分按以下方法將你的答案乘以不同的係數相加，就得出了測試的結果。 （a）答案_ （b） 答案_ （c） 答案_ 你的分數 ×1=分一×2=-分 _×3=_ 一分一分如果你的分數為 9~4分 15~21分 22~27分資料來源：The Wall Sireet Jourmal. 你可能是一個保守的投資者溫和的投資者激進的投資者這就是均值-標準差準則，或稱均值-方差準則。這可以表示為：如果和至少有一項不相等，則A比B有優勢。 在期望收益與標準差曲線圖中，左上方向的資產組合是最受歡迎的，因為在這個方向我們在提高了期望收益的同時降低了收益率的方差。這表明所有P左上方的資產組合都比P好。 那麼，第二和第三象限的資產組合怎麼樣呢？與資產組合P相比，這些資產組合的需求完全取決於投資者的風險厭惡程度。假如投資者認為所有資產組合與資產組合P具有相同的吸引力，從P點開始，效用隨著標準差的增加而減少；它必須以期望收益的增加作為補償。因此圖6-2的點Q 與點P對於這個投資者來說具有相同的吸引力。高風險高期望收益與低風險低期望收益的資產組合對投資者的吸引力是相同的。在均值-標準差圖表中，這些效用值相等的所有的資產組合點由一條曲線連線起來，如圖6-2所示這條曲線就叫無差異曲線。 E（r） 無差異曲線 E（rp） o 圖6-2 無差異曲線在表6-1中，我們檢驗了A=4的投資者可能的資產組合的效用值，來確定無差異曲線上的幾個點。我們發現每個資產組合的效用值都是一樣的，因為高收益的資產組合其風險也高。 概念檢查問題• 4.a. 如何將一個風險容忍度較高的投資者的無差異曲線同圖 6-2中的無差異曲線進行比較？ b. 畫出經過P的兩條無差異曲線。 第6章風險與風險厭惡期望收鹽，E（T）（%） 表6-1 可能的資產組合的效用值標準差，G（%） 20.0 25.5 30.0 33.9 效用=E（r） 0.005Ad 10-0.005 ×4 ×400=2 15-0.005 × 4×650=2 20-0.005 × 4×900=2 25-0.005 x 4 x1150=2 6.2 資產組合風險 6.2.1 資產風險與資產組合風險投資者的資產組合是由各種型別的資產組成的，除了在金融市場上的直接投資外，投資者還持有養老基金、以儲蓄形式進行的人壽保險計劃、住宅，還有並不是最不重要的他們自身技能帶來的獲利能力（人力資本）。 在評估一個資產組合的風險時，投資者必須考慮到資產收益之間的相互作用。從根本上說，比如當資產組合的另一部分情況很糟時，透過簽定保險合約，交一大筆保險金可以降低風險。當資產組合中的一部分資產，如房屋或工廠遭受巨大損失時，購買的火險就派上了用場。這兩種資產（住宅與保險）收益的相互抵消形式穩定了整個資產組合的風險。 投資於補償形式的資產，使之抵消我們可能遇到的某種風險稱套期保值。 保險合約便是明顯的套期保值工具。在很多情況下， 金融市場提供類似的（儘管可能是間接的）套期保值機會。 例如，有兩個公司，一個生產防曬油，另一個生產雨傘。兩個公司的股東都面臨者兩種相反天氣的風險。多雨的夏季使防曬油公司的收益下降，卻使兩傘公司的收益增加。雨傘公司的股份相當於為防曬油公司股東購買的“天氣保險”，正如火險給房屋保的險一樣。當防曬油公司的情況不妙（天氣不好）時，“保險” 資產（雨傘股份）很好的收益就可以抵消這部分損失。 控制資產組合風險的另一個工具是分散化，這意味著我們的投資是散佈於各類資產中的，這保證了任何特定證券所暴露的風險是有限的。透過把雞蛋放在許多籃子中，整個資產組合的風險實際上要比資產組合中任何一個孤立的證券所有的風險低。 為了更加準確地檢驗其效果併為以後的章節提供數學上的根據，我們將討論一個並不是完全套期保值機會的例子， 並在討論過程中複習一下隱含於資產組合風險與收益特性中的統計學。 6.2.2 資產組合中的數學讓我們來看看休曼埃克斯問題。休曼埃克斯是一個非營利組織，它的大部分收人來源於捐贈的收益。多年以前， 101
第二部分投資組合理論貝斯特凱迪公司的創始人將鉅額的貝斯特凱迪公司股票指贈給休曼埃克斯，並在有關的捐贈條款中規定休曼埃克斯永遠不能出售這些股票。現在這些股份佔休曼埃克斯得到的捐贈的50%。休曼埃克斯可自由決定將資產組合中的剩餘部分投在什麼地方。？ 貝斯特凱迪公司的股票價值對糖的價格很敏感。多年以來，當加勒比海糖的產量下降時，糖的價格便猛漲，而貝斯特凱迪公司便會遭受巨大的損失。我們可以用以下的情景分析來說明貝斯特凱迪公司股票的命運。 機率收益率糖生產的正常年份股市的牛市股市的熊市 0.5 0.3 25% 10% 異常年份糖的生產危機 0.2 -25% 透過回顧風險資產與資產組合特性的幾個規則，我們用傳統統計學的方法來概括以上三個可能的結果。 規則1 在任何情況下，資產的平均或期望收益就是其收益的機率加權平均值。Pr（S）表示s情況下的機率，r（S）為該情形下的收益，那麼期望收益E（r）為 E（r）-≥ Pr（s）r（s） （6-2） 本例中，在三種可能的情況下，我們得出貝斯特凱迪公司股票的期望收益率力 E（ru斯特凱迪）=（0.5× 25）+（0.3× 10）+0.2（-25）=10.5% 規則2 資產收益的方差是期望收益的偏差的平方的期望值。它可以表示為 o’-≥P（S）Ir（S）-E（）P （6-3） 本例中，有 o'貝瓶種凱迪 =0.5（25-10.5）2+0.3（10-10.5）2+0.2（-25-10.5）2 =357.25 貝斯特凱迪公司股票收益的標準差，即方差的平方根，為 357.25 =18.9%。 貝斯特凱迪公司的股票佔了休曼埃克斯獲贈的50%。為了降低整個資產組合的風險，它可以用剩餘的資產購買國庫券，穩獲5%的收益率。運用規則3我們可以推匯出整個資產組合的收益。 規則3 資產組合的收益率是構成資產組合的每個資產收益率的加權平均值，資產組合的構成比例為權重。這表明資產組合的期望收益率也就是每個資產的期望收益率的加權平均值。 在本例中，該資產組合在每種資產上的投資比例為0.5， 那麼資產組合的期望收益率為 102 E（Y體曼埃克斯）=0.5E（斯特凱迪）＋0.5 間券 =（0.5×10.5）+（0.5×5）=7.75% 資產組合的標準差可以由規則4推匯出。 規則4 當一個風險資產與一個無風險資產相組合時， 資產組合的標準差等於風險資產的標準差乘以該資產組合投資於這部分資產上的比例。 在本例中，休曼埃克斯的資產組合中50%投資於貝斯特凱迪公司的股票，50%投資於國庫券。因此有 0休量埃克斯=0.5C 斯特凱迪=0.5×18.9=9.45% 透過降低貝斯特凱迪股票一半的風險，休曼埃克斯的資產組合的標準差也減少了一半。但是風險降低的代價是期望收益的減少。貝斯特凱迪公司股票的期望收益為10.5%， 而資產組合由於國庫券的存在其期望收益為7.75%。這使得貝斯特凱迪股票的風險溢價對無風險國庫券而言高出5.5%， 而僅高出資產組合2.75%。透過在資產組合中減少一半貝斯特凱迪公司的股票，休曼埃克斯的資產組合的風險溢價也由 5.5%降到了2.75%，減少了一半。 為了提高捐贈在經營預算中的作用，休曼埃克斯的董事會聘請顧問進行證券分析。在調查了糖和糖果行業之後， 正如所料，該顧問發現，在加勒比海發生糖業危機的這些年中，夏威夷的一個大糖業公司糖凱恩公司獲得了可觀的利潤，其股票價格也迅速上揚。糖凱恩公司股票的情景分析如下： 糖生產的正常年份異常年份糖的生產危機機率收益率股市的牛市 0.5 1% 股市的熊市 0.3 -5% 0.2 35% 糖凱恩公司股票的期望收益率為6%，標準差為14.75%。 因此，糖凱恩公司與貝斯特凱迪公司的波動性幾乎是一樣的， 它的期望收益只略好於國庫券。從這個粗略的分析來看，糖凱恩公司的股票不是一個誘人的投資。然而，對休曼埃克斯來說卻是很有吸引力。 糖凱恩公司為貝斯特凱迪公司股票的持有者提供了非常好的套期保值機會，因為在加勒比海糖業危機中，當後者的收益最低時，前者的收益一定是最高的。我們來看把休曼埃克斯的資產組合平均分配於貝斯特凱迪公司股票和糖凱.恩公司股票的情況。由於該資產組合平均投資於兩種股票，其收益率也就是兩種股票收益率的平均值（參見規則3）。 2 應該說這個資產組合是不尋常的，我們使用這個例子只是為了說明可能會有不同的策略用來控制風險，並順帶複習一下有用的統計學知識。
機率收益率糖生產的正常年份股市的牛市股市的熊市 0.5 0.3 13.0% 2.5% 異常年份糖的生產危機 0.2 5.0% 休曼埃克斯的套期保值資產組合的期望收益率力 8.25%，標準差為4.83%。 我們將三種可供選擇的資產組合的收益與風險情況歸納如下： 資產組合全部投資於貝斯特凱迪股票 —半投資於國庫劵一半投資於糖凱恩股票期望收益（%） 10.50 7.75 8.25 標準差（%） 18.90 9.45 4.83 數字本身便是有力的證明。將糖凱恩公司包括在內的資產組合顯然比投資於國庫券降低風險的策略更具優勢。它比一半買國庫券的資產組合的期望收益率高且標準差小。這主要想說明的是，儘管糖凱恩公司股票收益率的標準差很大， 但它對於某些投資者——在本例中即持有貝斯特凱迪公司股票的休曼埃克斯——卻是一個風險降低器。 我們可以從這個例子中得出一個重要結論：在測度資產組合中單一資產的風險時必須將其收益對整個資產組合可變性的影晌考慮在內。這個例子說明了對原風險有相反作用的資產是最有力的風險降低器。 概念檢查問題 5.假設股票市場提供20%的期望收益率和15%的標準差。黃金的期望收益率為18%，標準差為17%。考慮到市場的高期望收益率和較低的不穩定性，所有的人都會選擇持有包括黃金的資產組合嗎？ 我們引用協方差與相關性的概念來量化資產的套期保值或分散化。協方差測度的是兩個風險資產收益相互影響的方向與程度。正的協方差意味著資產收益同向變動；負的協方差表明它們朝相反的方向變動，譬如，貝斯特凱迪公司股票與糖凱恩公司股票的關係就是反方向變動的。 要測度協方差，我們先來看看在每一情景中，“驚奇” 或與期望收益有偏差的情況。考慮在某一特定情景中，每種股票與期望收益的偏差的積，有 【r員期特凱迪一E（廠貝斯特凱迪）］［廠熱乳恩一E（F鶴乳題）］，如果兩種股票同方向運動，該積將為正。也就是說， 兩種股票的收益都超出預期或達不到預期水平。另一方面， 如果一隻股票的收益超出預期而另一隻股票達不到預期，該積將為負。因此，收益一起有多大變動的一個好的測度是所有情景下的這個積的期望值，因此，協方差的定義力第6章風險與風險厭惡 Cov（F員斯種凱進，「糖總股） （6-4） 例6.2 協方差在本例中，由於在下面的表中歸納出當E（廠目斯將紀進）= 10.5%，E（r糖凱惠）=6%時每一情景的收益，我們可以利用式 （6-4）來計算協方差。兩種股票的協方差為 Cov（r式斯將凱連，『糖凱思）=0.5（25-10.5）（1-6）+0.3 （10-10.5（-5-6）+0.2（-25-10.5）（35-6）=-240.5 負的協方差證實了糖凱恩公司股票對貝斯特凱迪公司股票具有的套期保值作用。糖凱恩公司股票的收益與貝斯特凱迪公司股票是呈反方向變動的。 收益嵾 （%） 機率貝斯特凱遖股票糖凱恩股， 精生產的正常年份股市的牛市股市的熊市 0.$ 0.3 25 10 -$ 異常年份糖的生產危機 0.2 -25 3$ 相關係數是比協方差更簡便的計算方法。它把協方差的值放在一1（完全負相關）-和＋1（完全正相關）之間。兩個變數的相關係數等於它們的協方差除以標準差。用希臘字母p代表相關係數，我們有 P（貝斯特凱迪，糖凱恩）=【Cov（r頁斯特凱進，「糖凱思）！/ （C靈類特凱迪O豬凱恩）=-240.5/（18.9x 14.73）=-0.86 （6-5） 較大的負相關係數（接近-1）表明貝斯特凱迪公司票與糖凱恩公司股票有很強的反方向變動趨勢。 資產收益的協方差對資產組合方向的影響在下面的資產組合方差公式中明顯地表現出來。 規則5方差分別是o和的兩個風險資產以、和的權重構成一個資產組合，該資產組合的方差o為例6. .3 計算資產組合方差在本例中，貝斯特凱迪公司股票與糖凱恩公司股票的權重相等，W； =W2=0.5，C日斯特凱迪=18.9%，0h機思=14.73%， CoV（F或斯種凱迪，『維織思）=-240.5，我們得到 0 =（0.52 x18.92）+（0.5° x14.732）+［2×0.5x0.5x（-240.5）］ 23.3 所以，Op =/23.3 -4.83%，這個結果與我們在前面的情景分析中得出的套期保值資產組合的收益標準差是一樣的。 103
第二部分投資組合理論概念檢查問題的 6.假設糖凱恩公司股票的分佈如下： 股市的牛市股市的熊市糖的生產危機 7% - 5% 20% a.它與貝斯特凱迪公司股票的相關性怎麼樣？ b. 目前糖凱思公司股菜是有用的套期保值資產嗎？ c. 計算每種情形下的資產組合的收益率及其標準差。然後用規則5評估Op。 d.兩種計算標準差的方法是一致的嗎？ 規則5強調了協方差對資產組合風險的影響。正的協方差提高了資產組合的方差，而負的協方差降低了資產組合的方差。這樣說是有道理的，因為負相關的資產收益是相抵的， 它穩定了資產組合的收益。 從根本上說，套期保值就是購買與現有資產組合負相 I）投機是為風險溢價而進行的風險投資。風險溢價要大到足以補償風險厭惡型投資者的投資風險。 2）公平遊戲是風險溢價為零的冒險前景。風險厭惡型投資者不會參加這類活動。 3） 投資者對期望收益與資產組合的波動性的偏好可以用效用函式來表示。效用函式越大，期望收益越高；效用函式越小，資產組合方差越大。投資者的風險厭惡程度越強，對風險妨礙就越大。我們可以用無差異曲線圖來描述這些偏好。 www.rce.rutgers.edu/money/investmentrisk.asp 從這個網站可方便地查詢到資本市場投資交易的風險收益。 www.mutualofomaha.com/rpd/investment_concepts.html 利用這個網站金融業從業人員可以和他們的潛在客戶探討交易的風險收益。 www.datalife.com/mall/pages/glossary/GLOSS_R.HTM 1 考慮一風險資產組合，年末來自該資產組合的現金流可能為70000美元或200 000美元，機率相等，均為0.5； 可供選擇的無風險國庫券投資年利率力6%。 a.如果投資者要求8%的風險溢價，則投資者願意支付多少錢去購買該資產組合？ 104 關的風險資產。這種負相關使得套期保值資產的波動性具有降低風險的特性。在資產組合中加入無風險資產是一種簡單的風險降低策略，套期保值策略是取代這種策略的有效方法。 在以後的各章中，我們會看到，在健全的市場，套期保值資產提供相對較低的期望收益率。完全的套期保值—— 保險合約——與一個具體的風險具有完全的負相關。正如人們在“無免費午餐”的世界中可以期待的那樣，保險溢價降低了資產組合的期望收益率。 線上投資風險與收益登入http://www.moneychimp.com/articles/risk/long term.htm，它提供互動式風險收益的軟體。變換輸入，觀察對風險的影響。選擇本章中兩個重要概念來強化這項練習。 4） 確定等價值概括了風險厭惡型投資者對風險資產組合的需求。確定等價收益率是一種可以確場得到的與風險組合有相同效用的值。 5） 套期保值是指購買一種風險資產以降低資產組合的風險。套期保值資產與原有資產組合收益的負相關性使得套期保值資產的波動性具有降低風險的特性。當一種套期保值資產與原有資產組合完全負相關時，它就是一種理想的套期保值工具，其作用相當於資產組合的保險合約。 訪問這個網址，可見到對收益變化產生巨大影響的各類風險的討論。 www.tradersclub.com/traderstools/calculators/invest ment.shtml 這個網站裡有投資的計算工具。 www.noneychimp.com 網址提供了多種互動式投資計算工具，並可查到本章中某些概念的形象化解釋。 b.假定投資者可以以a中的價格購買該資產組合，該投資的期望收益率為多少？ c.假定現在投資者要求12%的風險溢價，則投資者願意支付的價格是多少？ d.比較a和c的答案，關於投資所要求的風險溢價與售價之間的關係，投資者有什麼結論？ 2. 考慮一資產組合，其期望收益率為12%，標準差為 18%。國庫券的無風險收益率為7%。要使投資者與國庫券相比更偏好風險資產組合，則最大的風險厭惡程度為多少？ 3. 在期望收益-標準差圖上，畫出無差異曲線，相應的效用水平為5%，風險厭惡係數為3（提示：選擇幾個可能的標準差值，從5%~25%，找出效用水平為5%的期望收益率。 將得出的期望收益-標準差點連線成線）。 4. 畫出無差異曲線，相應的效用水平為4%，風險厭惡係數為A=4。比較習題3與習題4的答案，投資者可以得出什麼結論？ 5. 畫出風險中性投資者的無差異曲線，效用水平 5%。 6. 風險厭惡係數A對風險偏好者而言會出現什麼情況？ 畫出他的效用水平為5%的無差異曲線。 根據下列資料回答習題7、8.9。 效用公式資料投資 3 期望收益（%） 12 15 21 24 標準差（%） 30 50 16 21 CFA. CFAPRC）B1,EMKS CFAA\ PROBLEMS 第6章風險與風險厭惡 c.資產組合的確定等價收益率。 d.對每4單位風險有1單位收益的偏好。 歷史資料表明標準普爾500指數資產組合的平均年收益率在過去70年中大約比國庫券高8.5%，標準普爾500指數的標準差約為每年20%。假定用這些數值表示投資者對未來業績的預期，當期國庫券利率為5%，根據這些資料回答習題 10~12。 10. 計算按下列比重投資於國庫券和標準普爾500指數的資產組合的期望收益與方差。 W回或券 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 W描數 1.0 08 0.6 0.4 0.2 11. 計算習題10中每一種資產組合對一個A=3的投資者而言的效用水平。投資者可以得出什麼結論？ 12. 如果A=5，重新計算習題11，投資者的結論是什麼？ 再次考慮文中貝斯特凱迪公司股票與糖凱恩公司股票市場套期保值的例子，但是假定習題13~15題中糖凱恩公司股票收益率的機率分佈如下所示： U=E（r）-0.005AG 這裡A=4 7. 根據上述效用公式，如果投資者的風險厭惡係數A= 4，投資者會選擇哪種投資？ a.1 b.2 c.3 d.4 8. 根據上述效用公式，如果投資者是風險中性的，會選擇哪種投資？ a.1 b.2 c.3 d.4 9.在效用公式中變數A表示： a. 投資者的收益要求。 b.投資者對風險的厭惡。 機率收益率股市的牛市 0.5 10% 股市的熊市 0.3 - 5% 糖的生產危機 0.2 20% 13. 如果休曼埃克斯的資產組合一半是貝斯特凱迪公司股票，一半是糖凱恩公司股票。它的期望收益與標準差是多少？計算每種情況下，資產組合收益的標準差。 14. 貝斯特凱迪公司股票與糖凱恩公司股票的收益之間的協方差是多少？ 15. 使用法則5計算資產組合的標準差。證明該結果與習題13的答案一致。 —• 標準普爾練習。 登入http://www.mhhe.com/business/finance/edumarke 選單，連結到 “Recent News” 並檢視最新的“Business tinsight（你是否已記住收藏這一網頁？）並依次連結到 Wire” 文章。有哪些最新發布的事件和資訊對公司股價產生 “Company” ’、“Population”。選擇一個你感興趣的公司，並了顯著影響？ 登入“Company Research” 主頁。檢視左側的公司資訊報告。 概念檢查問題答案 1. 風險資產組合的期望收益率22 000美元/100 000美 2. 投資者因為投資於英鎊計價的資產而承擔了匯率風元=0.22即22%。國庫券利率5%，因此風險溢價為22%- 險。如果匯率向有利於投資者的方向變化，投資者將會受益， 5%=17%。 並從英國國庫券中獲得比美國國庫券更多的收益。例如，如 105
第二部分投資組合理論果美國與英國的利率都為5%，當期匯率為每英鎊兌換1.50 美元，則現在1.50美元的投資可以買到1英鎊，用米投資於英國國庫券。按確定的5%的利率，在年終獲得1.05英鎊。 如果年終時匯率為每英鎊1.60美元，則1.05英鎊可兌換成 1.05×1.60美元=1.68美元。則美元的收益率為1+=1.68 美元/1.50美元=1.12即r=12%，比投資於美國國庫券要高。 因此，如果投資者預期到有利的匯率變化，英國國庫券就是投機性投資。否則，就只是賭博。 3.對A=4的投資者，風險資產組合的效用是 U=20-（0.005 × 4 ×203）=12 而國庫券的效用為 U=7- （0.005×4×0）=7 投資者會偏好持有風險資產組合（當然，國庫券與這 -風險資產組合的重新組合可能會更好，但這並非此題的選項）。 對A=8的投資者而言，風險資產組合的效用是 U=20-（0.005 ×8 × 203）=4 而國庫券的效用為7，因此越厭惡風險的投資者越傾向於持有無風險資產。 4. 風險厭惡程度低的投資者其無差異曲線更平緩。 風險的上升只要求較少的收益的增加就能達到原有的效用水平。 E（r） 較少的風險厭惡較多的風險厭惡 E（rp） a 5. 儘管黃金投資獨立看來似由股市控制，黃金仍然可以在•個分散化的資產組合中起重要作用。因黃金與股市收益的相關性很小，股票投資者可以透過將其部分資金投資於黃金米分散其資產組合的風險。 6.a. 根據糖凱恩公司股票收益的既定分佈，情景分析如下： 106 糖生產的正常年份股市的牛市股市的熊市 0.5 0.3 25 收益率 （%） 機率貝斯特凱迪股票糖凱恩股票國庫券 10 -5 異常年份糖的生產危機 0.2 -25 20 5 糖凱恩公司股票的期望收益與標準差為 E（糖凱思）=（0.5×7）+0.3（-5）+（0.2×20）=6 C辣凱 =［0.5（7 6）°+0.3（-5-6）+0.2（20-6）12=8.72 貝斯特凱迪公司股票與糖凱恩公司股票的收益之間的協方差 Cov（糖凱恩，貝斯特凱迪） =0.5（7-6）（25-10.5）+03（-5-6）（10-10.5）+ 0.2（20-6）（-25-10.5）=-90.5 相關係數為 = -90.5/（8.72 x18.90）=-0.55 相關性是負的，但比以前小（-0.55而不是-0.86）， 因此我們預計糖凱恩公司股票現在與以前相比套期保值能力下降。50%的投資投資於糖凱恩公司股票，50%的投資投資於貝斯特凱迪公司股票，這樣得出的資產組合的機率分布如下： 機率資產組合收益 0.5 16 0.3 2.5 0.2 -2.5 得出均值與標準差 E（r室期保值的資產組合）=（0.5×16）+（0.3×2.5）+0.2（-2.5）=8.25 0案期保僅的資產組合=［0.5（16-8.25） +0.3（2.5-8.25） + 0.2（2.5-8.25）3 /2=7.94 b.顯而易見，即便在這種情況下，套期保值策略仍然優於使用國庫券的降低風險策略（這一策略的結果為：E（r）=7.75%，G=9.45%）。同時，套期頭寸的標準差（7.94%）要高於使用最初的資料時的結果。 c.使用法則5計算資產組合的方差，有 ［2×0.5x 0.5x Cov（糖凱恩，貝斯特凱迪）］ = （0.52 x 18.93）+（0.52 x 8.723）+ ［2x0.5x0.5x （-90.5）1=63.06 這意味著G=7.94，正是我們透過情景分析直接得出的結果。
第6章風險與風險厭惡附錄6A 均值-方差分析的辯論 6A.1 機率分佈的描述風險厭惡的公理不辯自明。然而，到目前為止，由於把資產組合的方差（或與其等價的標準差）作為評估風險的適當方法，我們對以險的分析是有侷限的。在方差不足以測度風險的情況下，這種假設就受到了潛在的限制，下面我們提供⋯•些均值-方差分析的說明。 如何能最準確地描述資產組合收益率的不確定性是問題的關鍵。原則上，可以列出一定時期內資產組合的所有可能的結果，如果每種結果都產生諸如I美元的利潤或收益率， 那麼這種盈利值就是隨機變數。賦予所有可能隨機變數的一組機率值就稱為隨機變數的機率分佈。 在所有可能情形下的期望收益率可以測度持有資產組合的報酬，期望收益率為 E（r）= Pr（s）r（s） 式中，S=1，2，⋯，n為可能的結果或情形；r（S）為結果為s時的收益率；Pr（s）為與其相關的機率。 事實上，期望值或均值並不是機率分佈中值的惟一選擇，另外還有中值與眾數。 中值（median）是指超過半數的結果值並被另一半超過的值。而期望收益率是結果的加權平均，以出現的機率為權重，中值基於結果的等級順序並只考慮結果值的順序。 在期望值受極端值控制的情況下，中值與均值差距很人。收入（與財富）在人口中的分佈就是一例。少部分家庭佔有全部收入（與財富）的相當大的比例，平均收入被這些極端值“提高了”，它並不具有代表性。由於中值等於超過半數人口的收入水平（不管超出多少），它不受此影響。 最後，第三種測度中間值的指標是眾數（mode），它是最大機率時最可能的分佈值或結果值。但是，到目前為止， 期望值是最廣泛使用的測度中間值或一般趨勢的方法。 現在我們回到收益的機率分佈的性質所含有的風險特性問題上來。一般來說，要用一個數字來量化風險是不可能的。基本是思路是，為確保準確性，用一組很小的統計數描述“驚奇”（偏離均值）的可能性和大小，完成這項工作的最簡單的方法是按傳達的資訊值的順序回答一組問題，當進 ⋯步的問題不會影響我們的風險-收益權衡概念時終止發問。 第一個問題是：“對期望值的典型的偏離是多少？”正E 常的回答是：“對期望值的預期偏離是——。”不幸的是， 這種回答對問題沒有任何幫助，因為它必然是零：對均值的正偏離正好被負偏離抵消。 有兩種方法來解決這個問題。是用期望偏差的絕對值，它使所有的偏差變成正值。這就是所謂的平均絕對偏差 （MAD），它由以下公式得出 2Pr（s）x絕對值Io）-EM） 第二種方法是用期望平方差，它也必須是正的，並且只是機率分佈的簡單方差 a'=：Pr（S）［r（s）-E（r） 注意方差的計量單位是“百分比的平方”。回到我們最初的單位，與計算期望值一樣，方差的平方根按百分比計算， 我們計算標準方差也是如此。方差還稱為圍繞均值的二階矩差，期望值本身是一階矩差。 儘管方差計算的是期望值的平均平方差，它並不能全面描述風險。要知道為什麼，我們來看圖6A-1中一個資產組合收益率的兩種機率分佈。 圖6A-1中a）與b）是兩個期望值與方差相同的機率分佈圖。該圖顯示的方差相同，因為機率分佈b）是a）的映象。 a） 與b）的主要區別在什麼地方？a）的特徵是小損失的可能性大，鉅額收益的可能性小。b）與此恰恰相反。當我們談及風險時，我們真正的意思是“壞的驚奇”。這種壞的驚奇儘管在a）中發生的可能性很大，但數量小（且有限）。在b） 中卻很有可能是數額驚人。風險厭惡型投資者因此偏好a）甚於偏好b）；因此值得將此特點量化。這種不對稱的分佈稱偏度，我們用三階矩差來計算，有 M.-ZPr（）Ir（）-E） 期望值偏差的三次方保留了它們的正負標記，使我們能夠區分好的與壞的“驚奇”。因為偏差越大，其權重越大， 使得分佈的“長尾巴”控制了對偏度的測度。因此，向右的偏度分佈是正的，例如a，向左的偏度分佈是負的，如b。雖然不如標準差重要，這種不對稱也是一種相關的特徵。 107
第二部分投資組合理論 Pr（r） Pr（r） 「A 「A E（rA） a） E（rp） b） 圖6A-1 資產組合收益率的斜度的機率分佈總之，一階矩差（期望值）代表回報。二階矩差表示回報的不確定性。所有的偶數矩差（方差、M」等）表明有極端值的可能。這些矩差的值越大，不確定性越強。奇數矩差（Ms、M』等）代表不對稱的測度。正數與正的偏度相關， 所以是人們所期望的。 我們可以根據投資者對各種矩差分佈的偏好表來判斷每個投資者的風險厭惡特徵，也就是說，我們可以從機率分布中推匯出效用值，即 U=E（r） b， +b,M bM，+bMs-⋯ 這裡，矩差數越大，其重要性越低。注意“好的” 矩差數（奇數）是正係數，而“壞的”矩差數（偶數）係數前的符號是負的。 需要多少矩差數才足以說明投資者的機率分佈？薩繆爾森的運用均值、方差與較高階矩差分析資產組合的基本近似理論“證明在許多重要情況下： l）超過方差的所有矩差的重要性遠遠小於期望值與方差。也就是說，忽略大於方差的矩差不會影響資產組合的選擇。 2） 方差與均值對投資者的福利同等重要。 薩繆爾森的證明是均值-方差分析的主要理論根據。在該證明的條件下，均值與方差同等重要，而且我們可以忽略所有其他的矩差，並且對我們的分析沒有什麼影響。 薩繆爾森得出這個結論的主要假設是股票收益分佈的 “緊湊性”。如果投資者能夠控制風險，資產組合收益率的分布據說就是緊湊的。實際上講，我們透過提問題來測定收益分佈的緊湊性：如果持有資產組合的時間稍短，我在資產組閤中的風險會降低嗎？如果只是瞬間持有該資產組合，風險會接近零嗎？如果回答是肯定的，那麼分佈就是緊湊的。 一般來說，緊湊性與股票價格的持續性是等價的。如果股票價格沒有突增，那麼，時期越短，股票收益的不確定性就越低。在這種情況下，能夠經常調整資產組合的投資者將採取行動使股票收益的高階矩差變得很小以至於微不是道。並不是偏度在原則上無關緊要，而是投資者頻繁地更換 108 資產組合的行為把高階矩差限制在了可以忽略不計的水平。 然而，持續性或緊湊性並不是無關緊要的假設，資產組合的變動產生交易成本，意味者調整必須受到某種程度的限制，而且不能完全忽視偏度與其他高階矩差的作用。緊湊性還排除了以下現象，如有兼併意圖時出現的主要股票價格劇增，它同樣排除了戲劇性的事件，諸如1987年股市一天暴跌25%的情形。除了這些相對特殊的事件，均值-方差分析是恰當的。在大多數情況下，如果經常地更換資產組合， 我們只需關心均值與方差就夠了。 資產組合理論在很大程度上是建立在均值-方差（或均） 值-標準差）分析的條件得到滿足的假設上的。因此，我們通常忽略了較高階的矩差。 概念檢查問題 1.彩票與保單的同時暢銷如何能夠證實人們對資產組合收益的正偏度的喜好勝於對負偏度的喜好？ 6A.2 正態分佈與對數正態分佈現代資產組合理論在很大程度上假設資產收益是呈正態分佈的。這是一個簡便的假設，因為用均值與方差完全可以描述正態分佈，與均值-協方差分析相一致。一個基本觀點是即便單項資產的收益不是完全正態的，一個大型資產組合收益的分佈卻會與正態分佈非常相似。 資料證實了這種論點。表6A-1顯示了從紐約證券交易所上市股票中隨機抽查的許多資產組合的1年期投資結果。 資產組合按分散化程度不斷增加的順序列出，即每種資產組合樣本的股票數目是1、8、32、128。每種資產組合收益分布的百分位數與人們期望的正態分佈的資產組合進行了比較，它們的均值與方差是相同的。 3 Paul A. Samuelson， “Thc Fundamental Approximation Theorem of Portfolio Analysis in Terms of Means, Variances， and Higher Moments，"Review of Economic Studies 37 （1970）.
第6章風險與風險厭惡表6A-1 從紐約證券交易所上市的股票中隨機抽取的資產組合1年期投資收益率的機率分佈 N=1 N=8 N-32 N=128 觀察值敏小值第5百分你數第201i分位數第50斤分位數第70百分位數第95白分似數鼓大值均位標準於偏度（M.） 柞本規欖 -71.1 -14.4 -05 19.6 38.7 96.3 442.6 28.2 41.0 255.4 正常值 NA - 39.2 6.3 28.2 49.7 95.6 NA 28.2 41.0 0.0 觀察值 - 12.4 8.1 16.3 26.4 33.8 54.3 136.7 28.2 14.4 88.7 正常值 NA 4.6 161 28.2 35.7 51.8 NA 28.2 14.4 0.0 觀察值 6.5 17.4 22.2 27.8 31.6 40.9 73.7 28.2 7.1 44.5 正常值 NA 16.7 223 28.2 32.9 39.9 NA 28.2 71 0.0 觀察值 16.4 22.7 25.3 28.1 30.0 34.1 43.1 28.2 3.4 17.7 正常值 NA 22.6 25.3 28.2 30.0 33.8 NA 28.2 3.4 0.0 1 227 131 072 32 768 16 384 資料來源：Lawrence Fisher and James H. Lorie. "Some Studies of Variability of Returns on Investments in Common Stocks." Journal of Business 43 （April 1970）. 首先來看單隻股票的資產組合（n=1），它的收益分佈離正常值很遠。樣本的均值是28.2%，標準差41.0%。在有相同的均值與標準差的正態分佈中，我們預期第5百分位數的股票損失39.2%，但它實際上損失了14.4%。而且，雖然正態分佈的均值與其中值正好一致，但單隻股票實際的樣本中值卻是19.6%，大大低於樣本均值28.2%。 相反地，128只股票資產組合的收益分佈與假設的正態分佈的資產組合基本」是一樣的。因此，對於十分分散的資產組合而言，正態分佈是…個恰如其分的假設。持有多大的資產組合才能達到這種結果取決於單個股票的收益分佈離正常值有多遠。從表中顯示的情況看，一個資產組合通常必須包括至少32只股票，其1年期收益才能接近正態分佈。 單隻股票收益正態分佈的假設還存在理論上的缺陷。 假定股票價格不能是負的，正態分佈就不能真正代表持有期收益率的情況，因為它允許有任何結果，包括全部股票的價格溈負。特別要指出的是，低於-100%的收益率在理論上是不可能的，因為它意味著存在負的證券價格的可能性。正態分佈不能排除這樣的結果應當視為一種缺陷。 另外•個假設是，連續複利年收益率是正態分佈的。 如果我們把該比率用r表示，有效年收益率用。表示，那麼 1，=e’-1，因為e'永遠不可能是負的，r。最小的可能值是一1， 或-100%。因此，這種假設巧妙地排除了負價格的可能性， 同時還保持了使用正態分佈的好處。在這種假設下，「。的分布就將是對數正態分佈。圖6A-2描述了這種分佈。 r.（1）表示投資期限為：有效收益率。持有期限短，即： 很小時，r.（t）=e”-1的近似值非常精確，並且正態分佈非常近似於對數正態分佈。由於r是正態分佈的，短期內的有效年收益可以看成是近似於正態分佈的。 因此，短期持有時，有效持有期收益的均值與標準差與年連續複利的股票收益率的均值與標準差以及時間間隔是成比例的。 Pr （X） U= 30% 1.2 0.8 Fa= 140% g=70% 0.4 X 圖6A-2 三種標準差值的對數正態分佈資料來源：J. Atchison and J. A. C. Brown,The Lognormal Distribution （New York: Cambridge University Press, 1976）. 所以，如果一隻股票的年連續複利收益率的標準差為 40%（a=0.40，0=0.16），那麼，譬如由於特定目的持有期為1個月的收益的方差就是 2（月）=02/12=0.16/12=0.013 3 月標準差是v0.0133 -0.1155，即11.55%。 為說明這個原理，假定道•瓊斯工業平均指數一天上升50點，從10 000點升至10 050。這個漲幅“很大”嗎？看一看道•瓊斯資產組合年連續複利率，我們發現戰後年平均標準差為16%。假定道•瓊斯資產組合收益是對數正態分佈且連續分期之間的收益負相關，一天期收益分佈的標準差 （按每年250個交易日計算）為 0.16 o（日）=o（年）J1/250 = V250 =0.0101=1.01% 毎日 109
第二部分投資組合理論將此結果應用子道•瓊斯交易日開市時的水平10 000 點，我們發現道•瓊斯指數的日標準差為10000× 0.0101= 101點。如果道•瓊斯資產組合的日收益率是近似於正態分布的，我們知道天中有•天道•瓊斯指數的變動將會大於 1%。因此50點的變動就不值得大驚小怪。 概念檢查問題顰 2.再來看錶6A-1。資產組合越分散，其最小收益率就越不可能為負，你對此會感到奇怪嗎？你的解釋與樣本的最大收益率情況相一致嗎？ I） 收益率的機率分佈可以用矩差表示。一階矩差，即收益分佈的均值，可以用來測度風險的回報。較高階矩差是有風險的特徵，偶數矩差傳達了可能有極端值的資訊，而奇數矩差表示收益分佈的不對稱。 2）投資者對各種分佈矩差的偏好表明了他們對風險的態度。基本的近似法表明，頻繁更換資產組合時，價格是持續的，理想的資產組合只用均值與方差估算就行了。 3） 持有期不是太長且十分分散的資產組合的收益率近似於正態分佈。持有期限短時（一個月以上），正態分佈非常接近於對數正態分佈。 學習題 Smartstock投資諮詢公司力KL公司的股價與年終紅利做了如右所示的情景分析，KL公司的股票現在售價為每股12美元。 計算每•情景的收益率與 a. 均值、中值和眾數。 b. 標準差和絕對均差。 c.均值的-階矩差、二階矩差與三階矩差，KL公司股票的價格的機率分佈是正態的嗎？ 年末情景 3 4 5 機率 0.10 0.20 0.40 0.25 0.05 紅利（美元） 0 0.25 0.40 0.60 （）.85 價格（元） 2.00 14.00 20.00 30.00 1. 投資者對極端的結果比對一-般的結果更敏感，這是方差與更高階的偶數矩差所不能解釋的。隨機的證據表明， 投資者迫切地為極端的損失尋求可能的保險，並對有高度正偏度的機率事件極為樂觀。但是，這個假定卻很難透過理性控制的實驗加以證明。 2. 資產組合越分散，其標準差就越小，如表6A-1中樣本標準差所示。當我們根據標準差較小的機率分佈畫圖時， 極端值的機率下降。因此，隨著標準差變小，期望樣本中的最小值與最大值都更接近於均值，這一期望可由表6A-1中的樣本的最大與最小年利率得以證明。 附錄6B 風險厭惡與期望效用投資者厭惡風險是我們討論的出發點，在此我們將離開前面的主題，考察這-觀點背後的基本原理。認風險厭惡是投資決策的中心的看法至少可以追溯到1738年。丹尼爾斯•貝諾里是出身於瑞上名門的著名數學家，他從1725~ 1733年在聖彼得堡研究下述的投幣遊戲。參加這個遊戲要先付門票，其後，拋硬幣直到第一個正面出現時為止。在此 110 之前，反面出現的次數（用n表示）用來計算參加者的報酬 R美元 R（n）=2" 在第一個正面出現之前反面一次也沒出現的機率 （n=0）是1/2，相應的報酬為2”=1美元。出現一次反面才出現正面的機率（n=1）是1/2×1/2，報酬2'=2美元，出現兩次反面才出現正面的機率（n=2）是1/2x 1/2×1/2，以此類推。 下表列出了各種結果的機率與報酬： 反面機率報酬=R（n）美元 0 1/2 1k元 - 1/4 2美元 2 18 4美元 3 1/16 8美元：： •• n （1/2）"'1 2^k元機率×報酬 1/2美元 1/2美元 1/2美元 1/2美元： 1/2美元所以，期望報酬為 E（R）-2 P（）R（）-1/2+|/2+：00 對該遊戲的評價被稱為“聖彼得堡悖論”。儘管期望報酬是無限的，但顯然參加者願意買票玩這個遊戲的花費是有限度的，可能非常有限，只是人門費而已。 貝諾里發現投資者賦予所有報酬的每個美元的價值是不同的，並由此解決了悖論問題。特別地，他們的財富越多， 就越不在乎每一個增加的美元。透過給擁有各種財富水平的投資者一個福利值或效用值，我們能夠用數學方法精確地表達這種觀點。隨著財富的增多我們的效用函式也應增大，但是財富每增加1美元所增加的效用的數量應該逐漸減少“（現代經濟學家會說投資者每增加I美元的報酬的“邊際效用遞減”）。一個特殊的函式In（R）賦予報酬為R美元的投資者一個主觀價值，報酬越多，每個美元的價值就越小。如果用這個函數測度財富的效用值，該遊戲的主觀效用值的確是有限的。 “ 獲得該效用值所必需的財富為2美元，因為In（2）=0.693。因此，風險報酬的確定等價值是2美元，是投資者參加遊戲付出的最高價錢。 1964年，諾伊曼與莫根斯特恩以完全公理的體系將此方法應用於投資理論，避開不必要的技術細節，我們在此只論及對風險厭惡基本原理的直感。 設想有對同卵雙胞胎，貧富不一。彼得名下只有 1 000美元，而鮑爾卻擁有20萬美元。他們各自願意工作多少小時去再掙1美元？似乎彼得（窮兄弟）比鮑爾更需要這 I美元。所以彼得願意付出更多的時間。也就是說，與鮑爾得到第200001美元相比，彼得得到了更多的個人福利或賦予第1001美元更大的效用值。圖6B-1用圖形描述了財富與財富效用值的關係，它與邊際效用遞減的概念是一致的。 每個人的財富邊際效用遞減率各不相同。每增加1個美元，財富的效用值隨之減少卻是一個固定不變的原理。表示隨著財產數量的增加每個單位的價值遞減的函式稱之力凹函數。中學數學中的對數函式就是一個簡單的例子。當然，對數函式並不適於所有的投資者，但與風險厭惡是一致的，我們假定所有的投資者都是風險厭惡型的。