：281 （續） 活動描述緊前活動 E 與教練見面 F 定做冰衣 G 註冊遊冰員 H 收費 I 制定第一次訓練計劃 B A D G E、H、F 樂觀 2 1 1 1 1 時間（周） 最可能 3 2 2 2 1 悲觀 4 3 3 3 1 8. 畫出專案網路圖。 b.設計活動時間安排表。 c•關鍵活動有哪些？該專案的期望完成時間是多少？ d.如果俱樂部經理計劃在2月1日開始該專案，專案按規定時間在5月1日（13周）完工的可能性有多大？該經理是否應該在2月1日前就開始策劃游泳訓練專案？ 20.再來看看同題7的計算機安裝專案，假定該專案必須在16周之內完成。緊縮專案是必須的。利用以下資訊。 時間（周） 成本（美元） 活動 A 正常 3 蹶縮 1 B 3 C 1 D 3 E 4 3 F 1 G 4 H 3 2 正常 900 2000 500 1800 1 500 3000 8000 1000 業縮 1700 4000 1∞00 2400 1 850 3900 9 800 2000 a.制定一份線性規劃模型，以為該專案做出緊縮決策。 b.解線性規劃模型，制定緊縮成本最小的決策。如果要想在16 周之內完成該專案，要增加多少成本？ c.基於緊縮活動時間，改計一個完整的活動時間安排表。 22.在向題21中，如果管理人員想在12天之內完成該專案。 8.制定線性規劃模型，以用來為該專案做出緊縮決策。 b.哪些活動應該實行緊縮？ c.在12天之內完成該專案的總成本是多少？ 24.辦公自動化有限公司設計了一份引進新計算機化辦公系統的建議書，這個系統將改善文書處理及辦公室內部溝通。該專案建議書包含了一系列引進新辦公系統專案的關鍵活動。利用下表所示的與活動相關的資訊。 時間（周） 成本（1000美元） 活動描述躍前活動正常緊鎦正常 A 計劃需求 B 訂貨 C 安裝機器 D 建培訓室 E 管理培訓課程 F 測試系統日．設計專案網路圖。 b.設計活動時間安排表。 c•關鍵活動有哪些？期望時間是多少？ 10 ^ B A D C.E 8 30 8 6 120 10 7 100 6 40 10 3 8 50 緊縮 70 150 160 50 75 3 60
282 資料、模型與決策：管理科學篇 d.假設公司想在6個月或26周之內完成該專案，提出你關於如何做出緊縮決策的建議，以使專案能夠按時完成且花費最少。 e.為緊縮專案設計活動時間安排表。 f.要在6個月內完成該專案，要增加多少費用？ 案例問題R. C. Coleman K•C. Coleman 透過雜貨店和超級市場銷售其生產的多種食品。該公司直接從自有渠道接受訂單，通常都要向不同的地方同時運送20~50種不同產品。依據公司現有倉庫操作流程，倉庫管理員要派遣人員填寫每個訂單，然後將商品搬運到倉庫運輸區域。由於較高的人工費和手工處理訂單的低效生產率，管理人員希望安裝一個計算機控制的訂單挑選系統和一個把產品從倉庫運送到運輸區域的傳輸系統，實現倉庫管理的自動化。 R.C. Coleman 的材料管理處負責人被任命為專案經理，負責倉庫系統自動化系統。在與工程人員和倉庫管理員商量之後，該負責人編寫了一系列與專案相關的活動以及如下表所示的完成每項活動的樂觀時間、最可能時間和悲觀時間（單位：周）。 活動描述緊前活動活動 A B c D E F G H I J K 確定需要的裝置獲取供應商計劃書選擇供應商下訂單設計新的倉庫佈局設計倉庫設計計算機介面連線計算機安裝系統培訓系統操作員測試系統一 A、B C c E C D、F、G D、F H I、J A B c D E F c H J K 樂觀 4 6 2 8 7 4 4 4 4 3 2 時間最可能 6 8 4 10 10 6 6 6 4 4 悲觀 8 16 6 24 13 8 20 8 14 5 6 籥理報告設計一個報告，包含活動時間表和倉庫擴張專案的期望完成時間，幷包含一個專案網路圖。另外，要考慮到以下3個問題： 1.R.C.Coleman的高階管理層要求在40周之內完成該專案。你認為在該段時間內完成該專案可能嗎？ 如果必須在該段時間內完成，你有什麼好的建議嗎？ 2. 如果管理人員要求縮減活動時間以使在40周之內完成該專案的可能性達到80％。如果專案完成時間的偏差與（a）部分一樣，應該縮減多少專案期望完成時間以使在40周內完成該專案的可能性達到80%？ 3. 將期望活動時間作為正常的時間，利用以下緊縮資訊，制定倉庫擴張專案活動的緊縮決策和修改後的活動時間表。 成本（美元） 活動緊縮活動時間（周） 活動 A B c E F 4 7 2 8 7 4 正常 1000 1000 1 500 2000 $ 000 3000 緊縮 1900 1 800 2 700 3 200 8 000 4100 嚴縮活動時間（間） G H 1 J K 5 4 4 3 3 正常 8 000 5 000 10 000 4 000 $ 000 成本（美元） 緊縮 10 250 6 400 12400 4400 $ 500
第11章庫存模型庫存是指一個企業為滿足日後所需而儲存起來的閒置貨物或物料。作為庫存持有的物料包括原材料、採購的零部件、元件、在製品、成品以及其他供應用品。企業之所以持有庫存，其部分原因在於難以精確地預測產品的銷售水平、生產時間、需求以及物料用量需求等。因此，庫存是對不確定性及波動因素的一個緩衝，透過持有可得物料，以備企業及其客戶所需。儘管庫存起著重要的實質性作用，但其所發生的相關費用及持有成本在企業經營成本中也是相當可觀的一部分。在大型企業中，庫存開支可能會高達數百萬美元。 在涉及庫存的應用中，管理者必須回答以下兩個問題： 1. 庫存補貨的訂貨量是多少？ 2. 何時進行庫存補貨？ 事實上，每個企業都有一定的庫存管理模型或系統來解決上述問題。惠普與其零售商合作，協助零售商為其生產的印表機及其他HP 產品的庫存制定補貨策略。IBM 為其所生產的一系列微電子零件開發了庫存管理策略。其中，這些微電子零件可能是供應IBM 本公司所用，也可能是銷售給某些外部客戶。專欄11-1描述了一種用以進行訂貨批次決策的庫存系統，該系統應用在藥店行業。 本章旨在說明數量模型如何輔助庫存決策以確定訂貨批次和訂貨時間。我們首先研究確定性的庫存模型，即假設產品的需求率是不變的或者是近似不變的。然後討論機率性的庫存模型，即對庫存的需求是波動的並且只能用機率分佈來描述。 專欄11-1 實踐中的管理科學 CVS 企業的庫存管理 CVS是一家美國的藥店連鎖店，遍佈25個州，擁有4 100家門店。該藥店的主要庫存管理物件是倉庫中每天所持有的數種基本產品。對於這些產品，最關鍵的問題是決定每次訂貨時的補貨數量或訂貨批次。在大部分的藥店連鎖店中，基本產品透過使用一個定期檢測庫存的系統來進行訂貨，該庫存系統的檢測週期為一週。
284 資料、模型與決策：管理科學篇上述每週檢測一次的系統使用一種電子識別裝置，這個裝置能夠掃描在每個產品下方的貨架上所點的訂單標籤。該產品的補貨水平或訂單教量可以從該標籤上的資訊中計算得到。首先，店員計算貨架上產品的數量，然後從補貨水平上減去該數量，從而能夠得到訂單上的每週訂貨數量。計算機程式根據各個店的運營狀況，為各門店決定各種產品的補貨量，而不是按照總公司的運營狀況進行決策。 為了減少缺貨的發生，將補貨量定為各門店每種產品3周內的需求或流動。 資料來源：基於 Bob Carver 提供的資訊。（文章所描述的庫存系統就是CVS 原先使用的 SupeRx。） 11.1 經濟訂貨量（E0Q）模型經濟訂貨量（E0Q）模型適用於需求率不變或近似不規劃及維持庫存的相關成本通業比變的產品，並且要求庫存的總訂貨量在一個時間點到達。不人們所想象的要大。諸如本章所描述的模變需求率的假設是指每段時期從庫存中提取相同數量的貨型便可用來制定符合成本效益的庫存管物，例如每天5個單位，每週25個單位，每4周100個單理決策。 位，如此類推。 我們以 R&B 飲料公司為例來解釋E00 模型。R&B飲料公司是一家啤酒、葡萄酒以及軟飲料產品的經銷商。公司的中央倉庫位於俄亥俄州哥倫布市，向近1 000家零售商供應飲料產品。其中，啤酒的平均庫存大約為50 000箱，佔公司總庫存的40%。在每 EOQ 模型最重要的一個假設是需求率箱啤酒的庫存成本大約為8美元的情況下，R&B 估計其啤不變。顯然，該模型不適用於需求率有巨酒庫存成本達400000美元。 大波動和變化的產品。然而，正如本例所倉庫經理已決定對該公司銷量最大的Bub 牌啤酒做一示，當需求變動相對平緩，或變化率幾乎項詳細的庫存費用研究。該研究的目的是為Bub 牌啤酒做不變時，E0Q模型能夠得出與實際最優訂出關於訂貨批次和訂貨時間的決定，以便儘可能降低其總成貨量極為接近的結果。 本。作為研究的第一步，倉庫經理得到了過去10周的如下需求資料： 嚴格來講，這些每週的需求資料並沒有體現周出其需求率是不變的。然而，可以看出各周需求的變化很小，因此我們可以假定需求率不變，所做出的每週2000箱的庫存計劃也是可以接受的。 在實踐中，我們會發現，實際庫存很少與模型假設的相一致。因此，在所有具體應用中，管理者必須檢查模型的假設是否與現實足夠接近，以便合理地使模型發揮作用。在本例中，由於需求在最低點1900箱與最高點2100箱之同變化，因此我們假設的每週需求量固定為2000箱是比較合理的。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 關於訂貨數量的確定需要對以下兩點進行權衡，從而選擇一個訂貨批次：（1）持有少量庫存， 需求（箱） 2 000 2 025 1 950 2 000 2 100 2050 2000 1 975 1900 2000 總箱數 20 000 平均每週箱數 2000 但是訂貨頻率高；（2）持有大量庫存，但訂貨頻率低。第一種選擇會導致高的訂貨成本，然而第二種選擇會導致高的庫存持有成本。為了在上述兩種相互矛盾的選擇中尋找一個合理的折衷，我們引進一個數學模型，該模型將庫存持有成本與訂貨成本綜合表示為一個總成本。° 雖然分析師一般都用“總成本模型”來指代存貨系統，但通常這些模型所考慮的決策申的總變動或相關威本。不受訂貨量大小影響的成本被稱為固定成本，不在模型中加以考患。
第11童庫存模型 285 持有成本是指維持或持有一定庫存水平所需耗費的相正如其他數量模型一樣，對成本引數關成本；這些成本取決於庫存的大小。首先要考慮的持有的精確評估是非常關鍵的。在EOQ模型中， 成本是庫存投資的融資成本。企業貸款時，需要支付利息；需要對庫存持有成本及訂貨威本進行計算。 即使企業使用自己的資金，也會產生機會成本，從而使得這也可以參見上頁尾註日，其中談到了相關些資金不能用於其他投資。兩種情況下，都會由於庫存佔用成本。 的資金而產生利息成本。資金成本通常用投資數量的百分率來表示。R&B 估計其資金成本率為每年18%。 很多其他持有成本如保險、稅金、損壞、盜竊以及倉儲費用也取決於庫存的價值。R&B 估計這些成本每年佔其庫存價值的7%。因此，R&B 啤酒庫存的總持有成本為庫存價值的18% + 7% =25%。 由於Bub 牌啤酒每箱的庫存成本為8美元。因此，我們可以計算出，在年持有成本率為25%的情況下，每箱 Bub 牌啤酒在倉庫中儲存一年的持有成本為0.25×8美元=2.00美元。 為了進行庫存分析，我們還需要確定訂貨成本。通常，我們不考慮訂單的大小，而認為每次訂貨的成本是一樣的。該成本包括訂單的準備及訂單的處理（包括支付、郵寄、電話費、運輸、發票確認、接收等等）。對於 R&B 飲料公司，訂貨成本中的很大一部分用於支付採購員的薪水。對於採購過程的一次分析顯示，一個採購員在採購 Bub 牌啤酒時，需花費近45分鐘來進行訂單的準備和處理。 在工資率及額外福利成本為每個員工20美元每小時的情況下，可以計算得到訂貨成本中的人工成本為每份訂單15美元。再加上紙張、郵費、電話費用、運輸費用以及訂單的接收成本等，總計為每份訂單17美元。管理者估計訂貨成本為32美元一份訂單。也就是說，不管訂單上的訂貨數量為多少， R&B 需要為每份訂單支付32美元。 持有成本、訂貨成本以及需求量的資訊是在應用E0Q 模型之前需要準備的3項資料。在R&B公司準備了這些資料之後，我們可以看一下如何利用這些資料建立一個總成本模型。首先定義Q為訂貨數量。這樣一來，訂貨數量的決策就變為尋找使持有成本和訂貨成本之和最小的Q的值。 當從供應商那裡得到的訂單大小為Q時，Bub 牌啤酒的庫存最多將會持有Q單位。R&B將會從庫存中發貨以滿足顧客需求，直到庫存耗盡，此時會收到運來的另外Q單位產品。如此，假設需求不變，Bub 牌啤酒的庫存曲線如圖11-1所示。從圖上可以看出，每期的平均庫存為½Q單位。庫存在整個期間內從最大存量Q向最小存量0以固定的速率減少，因此，將平均庫存置為½Q單位的水平是較為合理的。 最大庫存水平瀚1n0一•平均庫存最小庫存水平 0 T、用完Q單位庫存所需要的時間時間田11-1 Bub 牌啤酒的庫存圖11-1 描述了在T時期內一個訂單週期的庫存模式。 大部分的庫存成本都採用年度成本。 隨著時間的推秘，該模式會反覆迴圈。完整的庫存模式如圖這樣需求應該以每年的單位數量的形式表 11-2所示。如果每個週期內的平均庫存都為20單位，則現出來，而庫存持有成本應該使用一個年所有周期的總平均庫存也為½Q單位。 利率。
286 資料、模型與決策：管理科學篇庫存持有成本可以利用平均庫存來計算。也就是說，我們可以用平均庫存乘以固定時期內持有一單位庫存花費的成本來計算庫存持有成本。模型中的時期可以任意選定，可以是一週、一個月、一年或更長的時間。然而，由於許多行業和公司的儲存成本都用年百分率來表示，因此大部分庫存模型都以年成本為基準。 庫存按照不變需求率被耗用存啡 1/20-- 0 • 平均庫存時間圖11-2 EOQ 庫存模型中的庫存模式令 -年持有成本率； C -庫存產品的單位成本； C—單位庫存的年持有成本。 單位庫存的年持有成本為： C是一年內每單位庫存的持有成本。 因為較小的訂貨數量會導致較低的庫存， 因此，可以透過利用較小的訂購數量來減少總的年持有成本。 C=1C （11-1） 平均庫存（½0單位）的年持有成本的一般計算公式如下： C。為每次訂單的固定成本，它獨立於年持有成本=（平均庫存）×（單位庫存的年持有成本）每次訂貨的數量。對於一個給定的年需求 =½0G （11-2） 量D來講，可以透過增加每次訂貨數量來為了完成總成本模型，還需要考慮到年訂貨成本。我們減少總的年度訂貨成本。 的目的就是用訂貨數量Q來表示年訂貨成本。首先要解答的一個問題是，每年需要下多少份訂單？假設D為產品的年需求量。對於R&B 飲料公司而言，D= （52周）×（2000箱/周）=104000箱/年。我們知道，如果每次的訂貨數量為Q，則每年需下D/Q 份訂單。假設C。是下一份訂單所需花費的成本，則年訂貨成本可用下述一般公式表示： 年訂貨成本=每年的訂單數量x單位訂單成本貨物成本（DC）不包含在總的年慶成 （11-3） 本的等式（11-4）中，因為在 E0Q 模型中這不是一個相關的威本。 年度總成本TC 的表示式如下： 年度總成本=年持有成本x年度訂貨成本 （11-4） 利用 Bub 牌啤酒的資料（C =IC =0.25×$8=$2，C。=$32，以及D=104000），我們可以得出總年度成本模型為： TC=元0×$2+104000 0×$32-0+3328 000 為說明該庫存問題，我們已經花了很多步驟來建立總成本模型。現在我們就可以用訂貨數量的函數來表示年度總成本了。在應用數量模型做庫存決策的過程中，最重要的部分可能是推導一個能切合實際的總成本模型。在E0Q模型的假設有效的條件下，由式（11-4）可以計算總成本。 11.1.1 訂貨數量決策下一步就是要找出能使Bub牌啤酒的年度總成本最小的Q值。透過反覆試驗的方法，我們可以針對幾種可能的訂貨數量進行試驗，以計算其相應的年度總成本。我們可以用Q=8000作為起始點來進行試驗，此時 Bub 啤酒的年度總成本為：
第11章庫存模型 287 TC=Q+3328 000 20=8 000 +3328000 一=$8416 8 000 對於訂貨數量為5000的試驗，可以得出相應的年度總成本： TC=5 000 +3328000 -=$5 666 5 000 表11-1中列出了對其他幾種訂貨數量的試驗結果。從表中可以看出，總成本最小的訂貨數量為2000 箱。圖11-3中描述了年持有成本、年訂貨成本以及年度總成本。 6000 年度總成本表 11-1 Bub 牌啤酒的幾種可能訂貨數量和成本年度成本（美元） 訂購數量 5000 4000 3000 2000 1 000 持有 5 000 4 000 3000 2000 1 000 訂貨 666 832 1 109 1 664 3 328 總計 5 666 4 832 4 109 3 664 4 328 304000 年持有成本 2 000 年訂貨成本 T00g:200200 11000 500 6000 訂貨數量（Q） -圖11-3 Bub 牌啤酒的年持有成本、訂貨成本及總成本反覆試驗法的優點在於該方法易行，並且可以為各種可能的訂貨數量決策計算出年度總成本。對於本例來說，成本最小的訂貨數量為大約2000箱。然而，這種方法的敏點在於，它不能計算出使總成本最小的確切的訂貨數量。 參見圖11-3。總成本最小的訂貨數量用訂單規模Q‘來在1915年，F.W.哈里斯就針對經表示。使用微積分方法，我們（見附錄11A）可由下式計濟訂貨數量問題構建了一個數學模型， 算出使得年度總成本最小的Q‘： 這是把數量方法用於庫存管理領域的第？‘ = 2DC。 （11-5）一次嘗試。 3 我們將該公式稱為經濟訂貨量（E0Q）公式。 利用式（11-5），我們可以得出使Bub 牌啤酒的年度總成本最小的訂貨數量為：？'= P2×104,900×32 =1824（箱） 在式（11-4）中，令訂貨數量等於1 824箱（即Bub 牌啤酒在使用庫存成本最小策略）時，年度總成本為3649美元。注意，當Q’=1824箱時，持有成本等於訂貨成本。讀者可以自行試驗，看看兩種成本是否相等。° 11.1.2 訂貨時間決策雖然我們已經知道了訂貨數量，我們還想知道應該在什麼時候訂貨？為了回答這個問題，我們需要引進庫存量的概念。庫存量是指現有庫存量加上已訂購但尚未收到的貨物量。關於訂貨時間的決策是透過再訂貨點（需要下達新訂單時的庫存量）來描述的。 Bub 牌啤酒製造商對R&B 飲料公司的所有訂單都承諾用庫存量這個術語來描述再訂貨點就兩天內交貨。因此，假設 R&B 飲料公司每年營業250天，是：現有庫存量加上已訂購但未收到的數若每年的需求量為104000箱，則每天的需求量為104 000/量。有人認為再訂貨點只針對現有庫存而 ◎ 實際上，式（11-5）中的Q‘為1824.28，由於啤酒必須成箱訂購，因此對結果取整了。因此，兩種成本會有幾分錢的差臣。如果使用Q’的準確值，兩種成本則會完全相等。
288 資料、模型與決策：管理科學篇 250 =416箱。如此一來，在R&B 飲料公司發出新訂單的兩盲；當提前期很短時，庫存量通常與現有天時間內，預計能賣出2天×416箱/天=832箱啤酒。在庫庫存量相同。但是，當提前期很長時，庫存術語中，兩天的交貨期為新訂單的提前期。我們將該期間存存量可能會比現有庫存量多。 內832箱的預計需求稱為提前期需求。因此，當庫存降低到 832箱時，R&B飲料公司就應該向Bub 牌啤酒製造商發出新的訂單。對於假設需求率不變並且提前期固定的庫存系統，再訂貨點與提前期內的需求相同。在這類系統中，再訂貨點的一般表達式如下： r=dm （11-6） 式中，『一再訂貨點； d-每天的需求量； m——幾天中新訂單的提前提。 現在我們已經知道了訂貨的頻率。每次訂貨期間的時間段稱為訂貨週期。在式（11-2）中，我們將 D/0定義為每年的訂貨次數。那麼 R&B飲料公司每年訂購 Bub 牌啤酒的訂單數目為：D/Q‘= 104 000/ 1824 =57。如果 R&B 飲料公司在一年中250天的工作日中發出了57份訂單，則該公司大概每 250/57= 4.39個工作日就會訂一次貨。因此，訂貨週期就是4.39個工作日。訂貨週期°『一般用下式表達： 250 T= 2509° D/0 D （11-7） 11.1.3 EOQ 模型的靈敏度分析儘管要達到每份訂單成本為32美元及持有成本率為25%的水平可能需要花費大量的時間和精力， 但我們應該認識到這些資料是在最佳估計下得到的。此時，我們便想知道我們所建議的訂貨數量將如何隨著訂貨成本和持有成本的變化而變化。為了確定不同成本計劃的影響，我們可以計算幾種不同成本下的建議訂貨數量。表11-2顯示了在幾種可能的成本中，使總成本最小的訂貨數量。從表中可以看出，即使成本有一些變化，Q'的值基本保持不變。根據上述結論，Bub 牌啤酒的最優訂貨數量大概為 1 700~2000箱。如果一切順利，Bub 牌啤酒庫存系統的總成本為每年3400~3800美元。同時，我們還可以發現，當我們按照由計算得到的訂貨數量（1824箱）進行訂貨時，風險很小。例如，如果庫存持有成本率=24%，C。=34美元，並且實際的最佳訂貨數量為Q'=1919，那麼 R&B公司的年度總成本只增加5美元。即，3690美元-3685 美元=5美元，Q=1824。 透過上述分析，我們可以認為E0Q 模型對所計算成本中的微小的變動和錯誤是不敏感的。一般而言，這種不敏感性是E0Q模型的一種特性。也就是說，如果我們能夠合理地估計庫存訂貨成本和持有成本，就很有希望得到一個訂貨數量，它能使總成本接近實際的最小值。 表11-2 幾種可能的成本的最佳訂貨數量可能的庫存持有成本（%） 24 24 26 26 可能的單位訂單最佳訂貨數量計劃年度總成本（美元） 成本 （0） 30 1 803 34 1919 30 1 732 34 1 844 3461 3 685 3603 3835 2=1 824 3 462 3 690 3607 3836 e 訂貨週期一股基於一年250天計算。如果一個公司每年開業300天，並想用工作日來計算週期時間，則計算式為 T=3000°1D。
第11童庫存模型 289 11.1.4 EOQ 模型的 Excel 解法透過利用工作表，我們可以很輕鬆地執行諸如 E0Q 這樣的庫存模型。Bub牌啤酒的 Excel E0Q 工作表如圖11-4所示。公式在帶有陰影的單元格中；資料在明亮處的單元格內。在B3~B8 單元格中分別輸人以下資料：年需求量、訂貨成本、年庫存持有成本率、單位訂單成本、年工作日、提前期。 E0Q 模型的公式列在了B13~B21 中，利用這些公式可以得出最佳庫存策略。我們可以看到明亮處的資料單元格顯示了最佳經濟訂貨量為1824.28，年度總成本為3648.56 美元，以及其他一些相關信息。當需要進行靈敏度分析時，可以修改其中一個或多個輸入資料的值。任何變動對最佳庫存策略產生的影響都可以在表中表現出來。 圖11-4所示的工作表例了一種可以用在E0Q模型中的模板。讀者可從本書後附的CD中得到此工作表以及本章中其他庫存模型的類似Excel 工作表。 圖濟訂貨數量車簽求量訂佐成本年庫存持有成本率單位成本年工作日提前期（天） 最優庫存策略祭濟訂貨數基庫在持有成本無丁袋盛本年度總成本最太庫在水平平均庫存水平再訂貨週期（天 104 000 $32.00 25 $8.00 250 2 經濟訂貨數量年需求量訂貨成本年庫存持有成本率單位成本車工作日提前期（天） 最優庫存策略經濟訂貨數量年庫在持有成本年訂貨成本手度總成本墾本庫水業平均庫存水平再訂貨店牽訂單數週期（天） 104 000 $32.00 25 $8.00 250 2 圖11-4 Bub 牌啤酒的 EOQ 庫存模型的工作表 11.1.5 小結：EOQ模型假設在應用本節中所描述的最佳訂貨點模型時，分析者需對在實際應用該庫存模型之前，使用者應庫存系統的運作做一些假設。EOQ 模型及其經濟訂貨數量該仔細檢查庫存模型中的假設條件。本章公式是基於對 R&B 公司庫存系統的某些特定假設而建立的。中後面所討論的一些庫存模型就改變了表11-3對該模型的假設做了小結。在使用EOQ模型的公式 E0Q模型中的某些假設條件。 之前，我們必須認真地評估這些假設，以確保它們能適用於所分析的庫存系統。如果假設不合理，則需尋找另一個新的庫存模型。 在實際中，人們使用很多不同的庫存系統，而下一節中的庫存模型也用到了表11-3中的一種或幾種E0Q模型假設。當假設變動時，需要採用不同的庫存模型，以實現最佳運作方式。
290 資料、模型與決策：管理科學篇表11-3 EOQ 模型中的假設 1.需求量D是可以確定的，並且按固定比率變化。 2. 每份訂單的訂貨量Q是相同的。每下一份訂單，庫存水平就上升Q。 3. 每份訂單的成本C。固定的，並且與訂貨數量無關。 4.單位產品的採購威本C是不變的，且與訂貨數量無關。 5.每個時期的庫存持有成本C。是不變的，總庫存持有威本是根據C，和庫存量而定的。 6.不允許出現缺貨及延遲訂單等現象。 7.訂單的提前期是固定的。 8.必須不斷進行庫存量的檢查。這樣，只要庫存量達到再訂貨點，就會有新的訂單。 註釋與評論在提前期較長的情況下，由式（11-6）得出的提前期需求量及相應的再訂貨點「，可能會超過 Q’。如果發生這種情況，發出新訂單時至少會有一份訂單未完成。例如，假設Bub 牌啤酒的提前期為m=60天。在日需求量d=432箱的情況下，根據式（11-6）可以得出再訂貨點為r=dm =6x 432 =2 592 箱。也就是說，當Bub 牌啤酒的庫存量（現有庫存量加上已訂未交量）達到2 592 箱時， 應該發出新訂單。在訂購數量Q=2000箱，且庫存量為2 592 箱的情況下，在一份訂貨量為2000箱的訂單未實現之前，現有庫存量為2 592-2000 =592 箱。 11.2 經濟生產批次模型本節所要講述的庫存模型與E0Q模型相似，在EOQ模型中，我們力求確定訂貨量與訂貨時間。 在此，仍然假設需求率不變。然而，與E0Q模型中不同的是，我們假設訂單上的數量是在數日或數週內以一個固定速率到達的，而不是一次性按照訂單數量Q'運輸貨物。固定供應率的假設是指每段時期內供貨的數量是一樣的（例如每天10單位或每週50單位）。這種模型是為以下生產條件而設計的—一旦完成訂單，就開始生產；同時倉庫中每天都會增加相同數量的貨物，直到生產週期結束。 如果生產系統每天生產50個單位，並且計劃生產10天，則我們的生產批次為50×10 =500單位。 批次是指一份訂單中所訂購貨物的數量。如果我們用Q來表示生產批次，通常，庫存決策的方法與 E0Q 模型中的相似；即，建立一個包含持有成本和訂貨成本的模型，該模型用批次大小的函式來表示總成本。然後求解出能使總成本最小的批次大小。 在此，需要提到的另外一個條件是：該模型只適用於生產率大於需求率的情況；生產系統必須能夠滿足需求。例如，固定需求率為每天400單位，那麼生產率必須至少為每天生產400單位以滿足需求。 在生產週期內，需求使得庫存減少，而生產使得庫存增加。由於我們假設生產率大於需求率，因此在生產週期內的每一天，生產量都大於需求量。這樣，在生產過程中，多餘的產量就會導致庫存的不斷增加。當生產週期結束時，持續的需求會使得庫存量逐漸減少，直到下一個生產週期開始。圖 11-5描述了該系統的庫存模式。 生產階段非生產階段一最大庫存 -+平均庫存時間圈11-5 批次生產庫存模型中的庫存模式第11章庫存模型 291 如同 EOQ 模型中一樣，我們要計算兩項成本，持有成該模型與E0Q模型不同，其啟動成本本和訂貨成本。在此，持有成本與EOQ 中的定義一樣，而取代了訂購威本，並且圖11-5中所示的對訂貨成本的解釋稍有不同。事實上，在此所述的訂貨成本鋸齒狀困形與困11 -2中的庫存模式也更準確地來講應該叫做生產啟動成本，它包括為生產系統的不相同。 生產做準備所需的人工、物料以及損耗生產成本，它在每個生產週期內都是固定的，且與生產批次無關。 11.2.1 總成本模型我們透過用生產批次Q表達持有成本來建立生產批次模型。使用該方法可以得出平均庫存量的表達式，並且用平均庫存量計算持有成本。在該模型中，我們以年為基準，並使用年度成本。 在E0Q模型中，平均庫存為最大庫存量的一半，即½Q。圖11-5表明，對於生產批次模型，生產階段內的庫存泉積率固定不變，非生產階段內的庫存消耗率也是固定不變的。因此，平均庫存是最大庫存的一半。然而，生產批次不是按時按點進人庫存的，因此庫存就無法達到Q單位的水平。 為了解釋最大庫存量的計算，我們令 d日需求率； P—日生產率； ——個生產週期的天數。 由於我們假設p大於d，因此在生產階段內每天的庫存在此，我們可以較容易地用日需求串d 累積率為p-d。假如我們生產：天，並且庫存每天累加P-d 和日生產率P來求得生產批次。但是，在最單位，則在生產階段結束時，庫存量將為（P-d）t。從圖11-5 中終的年度總成本模型中，我們建議模型的輸我們可以看出，生產階段結束時的庫存量為最大庫存量。即：入值用年度需求率D和年度生產率P表示。 最大庫存量=（p d） （11-8） 如果我們已知每天的生產率為p單位，生產批次為Q，那麼Q=p，並且生產階段的生產時間：為： 1=（天） （11-9） 因此， （11-10） 平均庫存量，即最大庫存量的一半為： 平均庫存批一六（1-當）② （11-11） 在每單位產品的年度持有成本為C。的情況下，總年度持有成本的一般公式如下： 年持有服本=平均庫存董×單位年本蘭（1一號）oc。 （11-12） 如果產品的年需求量為D，生產週期的啟動成本為C。，則年啟動成本相當於E0Q模型中的訂貨威本，如下： 年後動成本二年生產迴圈次數x每次迴圈的啟動成本=臺。 因此，年度總成本（TC）模型為： （11-13） （11-14） 設某生產裝置每年執行250天。因此，我們可以用年需求D來表示日需求d •品現在用P來代表產品的年生產量，並且假設每天都生產該產品，則：
292 資料、模型與決策：管理科學篇 P P=250p且 p=250 因此°， 因此，我們可以寫出年度總成本模型： （11-15） 式（11-4） 與（11-5）是等價的。然而，式（11-5）可能會用得更多，因為年度成本模型使分析者很容易想到收集年需求資料（D）和年生產資料（P）進行分析，而不是每天的資料。 11.2.2 經濟生產批次在給定了持有成本（C）、啟動成本（C。）、年需求率（D）以及年生產率（P）的估計值的情況下，我們可以用反覆試驗的方法來計算不同生產批次（Q）下的年度總成本。然而，我們沒有必要用這種反覆試驗的方法，因為我們可以使用Q'的成本最小化公式，該公式已透過微積分方法（參見附錄11B）得到，如下：？' 2DC。 （11-16） （1-D/P）G 示例美麗牌肥皂公司擁有年產量為60 000箱的生產線。估計每年的需求量為26 000箱，全年的需求量不變。與生產線有關的清洗、準備及啟動成本大約為135美元。每箱的製造成本為 4.50美元，年持有成本率為24%。則C=IC=0.24×4.50美元=1.08美元。那麼建議的生產批量為多少呢？ 利用式（11-16），我們可以計算出：？'= 2×26 000 ×135 -26 000/60 000） ×1. 08=3 387 再利用式（11-15）以及Q‘=3387，我們可以計算出年度總成本為2073美元。 其他相關資料包括一個5天的提前期，用來規劃和啟動生產，以及每年250天的工作日。這樣， 提前期的需求26 000/250x5=520箱即為再訂貨點。週期是指生產階段之間的時間。利用式（11-7） 可以得到週期 =250Q°/D =250×3 387/26 000，也即33個工作日。這樣，我們應建立一個每33天生產3387單位產品的生產週期。 11.3 有計劃缺貨時的庫存模型缺貨或脫銷是指供不應求。在許多情況下，缺貨是非常令人煩惱的，因此人們盡最大可能避免其發生。但是，在有些情況下缺貨是人們所希望的，（從經學的角度來看）人們計劃並允許缺貨。在實際中，當單位庫存價值很高從而持有成本很高的時候，後述情況會經常發生。例如，一家新開業的汽車等售商的庫存。通常，顧客期望的某種車不一定有庫存，但如果顧客願意等待幾個星期，汽車零售商通常都可以履行訂單。 本節中所討論的模型要考慮到一種缺貨現象，稱為延遲除去不允許敏貨及延遲訂單這一條以訂貨。在延遲訂貨的情況下，我們假設當一位顧客下訂單外，表11-3中E0Q模型的假設可應用於時，如果發現供應商缺貨，則等待，直到新貨到來時才履行 •這個庫存模型。 訂單的交付。通常延遲訂貨時，顧客等待的時間相對比較 ◎ 不管生產運作的天數為多少，比率d/P=D/P都成立，250天只是為了解釋的方便。
第11章庫存模型 293 短。因此，在向顧客保證優先權並且在可以供貨時立即發貨的前提下，公司也可以說服顧客，讓他們等待新貨的到來。在這些情況下，延遲訂貨的假設是有效的。 我們所討論的延遲訂貨模型是第11.1 節中E0Q模型中的一種擴充套件。在E0Q模型中，所有的貨物的需求率都是不變的，並且在同一時間存人倉庫。如果我們用S表示在Q單位貨物運到時所累積的延遲訂貨的數量，因此，延遲訂貨的庫存模型就有下述特點： •如果當Q單位貨物到達時，有§單位延遲訂貨，則將S單位延遲訂貨送到相應的顧客手中，剩下的Q-S單位貨物轉成庫存。因此，Q-S 就是最大庫存量。 •庫存週期『天被分成兩個不同的階段：有現貨且一有訂單就能交付時的：，期間；缺貨，所有新的訂單均以延遲訂貨來處理時的期間。 允許存在延遲訂貨的庫存模型的庫存模式如圖11-6所示，其中負庫存代表延遲訂貨的數量。 現在庫存模式已經確定，我們可以按照整體庫存模型的基本步驟（即總成本模型的推導過程）繼續進行。為了完成延遲訂貨的庫存模型， Q S 取大庫存我們仍然使用持有成本和訂貨成本。同時，我們還用到了延遲訂貨成本，也就是與處理延遲訂貨存庫 0 時間相關的人工以及特殊發貨成本。延遲訂貨的另外一部分成本是由於有些顧客不得不等待貨物而造 S 成的公司信譽的損失。由於信譽成本取決於顧客等待的時間，因此，延遲訂貨成本按照慣例通常表示為：在固定時間內，持有一單位延遲訂單中 11-6 存在延退訂貨的庫存模型的庫存模式產品的成本。這種基於時間來計算延遲訂貨成本的方法與計算庫存持有成本的方法很相似，並且，一且我們知道了平均延遲訂貨水平以及每個週期內每份延遲訂單的成本，我們就可以計算延遲訂貨的年度總成本。 現在我們開始討論總成本模型的推導過程。對於某個特定的問題，我們首先計算其平均庫存。個設我們3天內的平均庫存為2單位，第4天無庫存，那麼4天內的平均庫存為多少呢？我們可以計算如下； 2單位 ×3天+0單位x1天_。 4=1.5單位參照圖11-6。讀者會發現它描述的就是延遲訂貨模型中的情形。在最大庫存量為Q-S的情況下， 在1期間內庫存中有現貨，並且平均庫存為（Q-S）/2。在期間內處於鋏貨狀態，持有延遲訂單。 如此一來，在總週期T=1+ 天中，我們可以按下述公式計算平均庫存量： 平均庫存量=— 22（9-3）1+0 _2 22（0-5） （11-17） 我們可否用其他方法來表示t，和T呢？由於我們已知最大庫存量為Q-S 以及日固定需求量d， 則我們有： 1=9-3（天） d （11-18） 也就是說，最大庫存量Q-S單位的產品會在（Q-S）/d天內用完。每個週期都會有Q單位的訂單， 因此週期的長度應為： T-臺（天） （11-19） 結合式（11-18）、式（11-19）以及式（11-17），我們可以計算平均庫存如下： 平均庫存量至（9-S）［（9-8）/ ］=19-S） （11-20） 這樣，平均庫存就可以用兩個庫存決策變數來表達了：訂貨數量（Q）以及最大延遲訂貨數量（S）。 用上述公式計算得到的年訂單數量與E0Q模型中得到的相同。用D代表年需求，我們有：
294 資料、模型與決策：管理科學篇年訂單數進合 （11-21） 下一步就是要求出平均延遲訂貨水平的表示式。由於我們已知延遲訂貨的最大數量為S，因此， 我們可以使用在確定平均庫存時計算平均延遲訂貨所用到的邏輯。在期間內，我們的平均延遲訂貨數量為最大延遲訂貨數量的一半，也即S。在：，期間內庫存有存貨，沒有延遲訂貨，因此，我們可以使用與式（11-17）相似的計算方法來計算平均延遲訂貨數量。利用該方法，我們有平均延遲訂貨量=一 01+（S/2） LS/2） 在日需求量為d的情況下，我們設最大延遲訂貨量為S，則庫存週期中延遲訂貨期間的長度為： 6=號（天） （11-22） （11-23） 將式（11-23）和式（11-19）代人式（11-22），則我們有平均蓮遲訂貨量：（922（8電）=品 （11-24） 設 C—單位產品的年庫存持有成本； C。每份訂單的成本； C—延遲訂貨中單位產品的年持有成本。 存在延遲訂貨的庫存模型的年度總成本 （TC）為： （11-25） 給定G、C。和G。以及年需來D，我們可以利用微積分方法來計算最小成本時的訂貨數量（Q'） 和計劃延遲訂單數量（S‘）的值：？'= （11-26） s-0（.） （11-27） 示例假設 Higley 收音機配件公司有一種產品，並且對該產品的延遲訂貨模型的假設是有效的。從該公司得到的資訊如下：D=2000單位/年；1=20%；C=50美元/單位；G。=IC =0.20×50=10美元/ 單位/年；C。=25美元/訂單。 公司正在考慮允許該產品適當地出現一些延遲訂貨。預計每年延遲訂貨的單位成本為30美元。 透過式（11-26）和式（11-27），我們有？'= PX2000x25×10+30-115.47 且S‘-115 X10+30 5=28.87 如果我們按照該方案實施，則系統會在如下原則下運營： 延遲訂貨威本C。是庫存模型中最難計最大庫存量=Q-S=115.47-28.87 =86.6 算的一項成本。原因在於它是來衡量由於週期時間二 - x250-404 0o-×250 =14.43工作日顧客必須等待訂單而造成的對公司的信譽年度總成本為： 損失。而以年度的基準來衡量該成本，使其變得更加困難。 持有成本= 86.6’ 2×115.47 ×10=325（美元） 訂貨成本=2000 115.45 ×25 =433（美元）
第11章庫存模型 295 28.872 延遲訂貨成本= -×30 =108（美元） 2 ×115.47 總成本=866（美元） 如果不允許出現延遲訂貨，而採用一般的E0Q模型，則建議的庫存決策為： 2 x2 000×25？'= -=V10000 =100 10 採用該訂貨數量時，持有成本及訂貨成本將各為500美如果允許延遲訂貨的話，則含有延遲元，也就是說年度總成本為1000美元。因此，在本例中，訂貨成本的總戚本將小於E0Q模型中的總採用允許延遲訂貨的模型，就可以比採用不允許缺貨的成本。有人認為，延遲訂貨的情況下的成 EOQ模型節省1000美元-866 美元=134美元，或者說節本會更大，因為它除了包含通常的持有成約13.4%。上述比較和結論是基於以下假設的：延遲訂貨本和訂貨成本之外，又加入了延遲訂貨成模型的假設在實際庫存中是有效的；其中，延遲訂單中每單本。我們可以指出這種想法的一個峽點就位產品的年度持有成本為30美元。如果企業認為峽貨會導是，延遲訂貨模型會導致庫存水平的降低， 致銷售額的減少，那麼節省的成本將不足以使得企業的庫存從而減少庫存持有成本。 策略轉變為允許缺貨的模型。 註釋與評論式（11-27）表明有計劃的延遲訂貨S'的最佳次數與C/（C +C。）是成比例的，其中C為單位產品的年度持有成本，C。為單位延遲產品的年度訂貨成本。隨著C的增加，該比例會增大，計劃延遲訂貨的數量也會增加。這種關係解釋了為什麼那些單位成本較高，並且相應的特有成本也高的產品採取延遲訂貨模型的話會更具經濟性；另一方面，隨著C。的增加，該比例會減小，計劃延遲訂貨的數量也會減少。因此，該模型就提供了一種直觀的結果，在延遲訂貨成本高的情況下，很少採用延遲訂貨。實際上，在延遲訂貨成本很高的情況下，延遲訂貨模型和E0Q 模型都會得出類似的結論。 11.4 EOQ 模型的數量折扣數量折扣發生在如下很多情形下：當大批次訂購產品在數量折扣模型中，E0Q 模型假設時，供應商往往會為了促使顧客增大訂購批次而提供較低的 （見表11-3）的第4條改變了。單為產品購買價格。在這一節中，我們將向讀者說明在存在數量折扣的成本根據訂貨數量的大小而變化。 時，如何應用EOQ模型。 假設我們有一種可以應用E0Q 模型（見表折扣型別訂單大小折扣（%） 單位成本（美元） 11-3）的產品。供應商不來用固定報價，而是按 1 0~999 0 5.00 照下述折扣計劃進行報價： 2 1 000~2499 3 4.85 當最少訂購2 500 單位時所發生的5%的折扣 3 2500 以上 5 4.75 看起來是非常誘人的。但是，我們還知道訂貨數量越大，就會有越高的庫存持有成本。因此，我們在做出最終的訂貨數量和庫存策略之前，需要做一個詳細全面的成本分析。 由假設資料和成本分析得出：年度庫存持有成本率為20%，每份訂單的訂購成本為49美元，年需求量為5000單位的產品。我們應該如何選擇訂貨數量呢？下面的三步驟列示了該決策所必須進行的計算，該程式有3個步驟。在前期運算當中，我們用Q，表示折扣型別1的訂貨量，用Q，表示折扣型別2的訂貨量，用Q，表示折扣型別3的訂貨量。 步驟1 對於每種折扣型別，利用E0Q模型來計算Q’，其中單位成本按照相應的折扣型別計算。 我們已經知道E0Q模型的計算公式是Q’=V2DC./C，其中，G=IC =（0.02）C。根據3種不同
296 資料、模型與決策：管理科學篇的折扣型別，可以得到3種不同的單位成本C，於是我們得到： 0： 2 ×5 000 x49 /2 ×5 000 ×49 = •=70002=、 =711 0= 2 ×5 000 ×49 - =718 0.20 ×5.00 V 0.20 ×4.85 0.20 ×4.75 因為在上述E0Q公式中僅有的不同之處在於持有成本的細微變動，因此，這一步驟得出的經濟訂貨量相差不大。然而，上述經濟訂貨量沒有全部滿足折扣所要求的數量大小。在後兩種情況下，Q； 和Q；相對於它們所對應的價格4.85美元和4.75美元來講，都沒有滿足其折扣所要求的相應的批次大小。因此，對於那些未達到其折扣價格所要求的訂貨數量的經濟訂貨量來講，我們要進行下一步驟。 步驟2 當由於Q’太小而未能達到其價格折扣的要求時，需要將訂貨數量進行調整，調整後的數量要達到其採用的價格折扣所要求的最低數量。 在我們的例子中，該調整要求我們做以下設定： 0i =1 000 且 0；=2 500 如果對於一個價格折扣所計算出來的Q’足夠大，以至於能夠達到更高的折扣級別時，那麼該Q‘ 的值就不是一個最優解。儘管理由不明顯，但這正是EOQ數量折扣模型的一個性質。 在前面所討論的庫存模型中，沒有考慮到年度採購成本，因為它是一個固定的，並且不受庫存決策策略的影響。然而，在數量折扣模型中，年度採購成本取決於訂貨數量及相關的單位成本。因此， 如果將購買成本（年需求量Dx單位成本C）考慮進總成本中，則總成本公式變為式（11-28）。 TC=MG+ D Q -C.+DC （11-28） 透過該總成本公式，我們可以在第3步中為EOQ 數量折扣模型計算其最佳訂貨數量。 步驟3 對於由步驟1和步驟2所得到的訂貨數量，使在有數費折扣的E0Q模型中，由於購用適當的折扣型別和由式（11-28）得到的單位產品價格來買成本取決於訂貨數量，因此必須要考慮計算相應的年度總成本。能夠使得總成本最小的訂貨數量就到年度採購成本。因此，採購成本是一個是最佳訂貨量。 相關成本。 表11-4總結了本例步驟3的計算。我們可以看出，以3%的折扣價格訂購1000單位產品的決策是使總成本最小的解決方案。儘管2500單位的訂購量會得到5%的價格折扣，但它導致的過多的持有成本使得該方案成為第二最優解。圖11-7顯示了對3種折扣價格型別的總成本曲線。注意，Q‘= 1000 是使得總成本最小的訂貨數量。 27 000 總 26 000- $25 700 25000- -新打型別！的典線一 -- 折扣型別2的曲線 $24 980 -斷擔型別？的典線。。 ~$25 036 24000折扣型別1 Q≤999 折扣型別2 ｝折扣型別3 1000≤ Q≤2499 1Q≥2500 500 1000 1500 2 000 2 500 3000 採購數量Q 最小總成本24980美元發生任Q=1000時圖11-7 3種折扣型別的總成本曲線第11章庫存模型 297 表11-4 有數量折扣的 EOQ模型的年度總成本計算折扣型別 1 3 單位成本（美元） 5.00 4.85 4.75 訂貨數量 700 100 2 500 持有成本 350 485 1188 年度成本（美元） 訂貨成本 350 245 98 採購成本 25 000 24 250 23 750 總計 25 700 24 980 25 036 11.5 機率需求下的單階段庫存模型目前為止我們所討論的庫存模型是基於如下假設的：在全年內需求率不變且是確定性的。在此假設基礎上，我們得到了最小成本訂貨數量和再訂購點的策略。在需求率不確定的情況下，其他一些模型將需求按照機率分佈處理，並可以由機率分佈來進行完美的描述。下面我們來看看需求有機率分佈的單階段庫存模型。 單階段庫存模型是指以下的庫存情況：首先發出訂單訂購該產品，在期末，該產品或者被售出， 或者未被售出而以過剩產品按照廢品回收的價值處理掉。單階段庫存模型適用於季節性或易腐爛產品的庫存，這些產品不能在庫存中存放以待將來出售。季節性衣物（如游泳衣和冬季大衣）是典型的以單階段模型方式處理的產品。在這些情形下，顧客為某種產品進行季前訂購，然後經歷售空或對季末過剩的產品進行清倉處理。庫存中不存放來年再售的產品。報紙是另一種類似的產品，一次性購買， 然後在單階段內賣出或者未賣出。儘管報紙每天都有訂貨，但卻不能在庫存儲存，也不能在以後的周期內賣出。因此，報紙的訂單必須按照一系列的單階段模型來處理。也就是說，每天或每個週期是獨立的，每個週期（每天）都要做出單階段的庫存決策。因為我們在單階段內只訂一次貨，因此，我們所做的惟一的庫存決策是決定在期初訂購多少數量的產品。 顯然，如果在單階段庫存下已知需求，那麼就很容易做出決策；我們可以簡單地按照已知的需求童進行訂購。然而，在很多單階段模型中，確切的需求是未知的。實際上，由預測可知，需求量的變化範圍很大。如果我們想用數量分析的方式來分析該型別的庫存問題，那麼我們需要得到各種需求量的機率分佈的資訊。因此，本節所描述的單階段模型針對的是需求有機率分佈的情形。 11.5.1 強身鞋業公司下面我們考慮一個適用於強身鞋業公司的單階段庫存模型，以決定其訂貨數量。強身鞋業公司的採購員決定訂購一種剛在紐約展示會上展示的男士鞋。這種鞋子將參與該公司春夏兩季的促銷活動， 並且在芝加哥地區的9個零售店中出售。因為這種鞋是為春夏兩季設計的，不能在秋季出售。強身鞋業公司計劃舉辦一個特別的8月清倉售賣活動， 以出售那些在7月31日之前未售出的產品。這種期望需求=500 鞋每雙成本為40美元，客售價為每雙60美元。 如果你是強身鞋業公司的採購員，你將會為公司訂購多少雙這種鞋？ 此時有一個明顯的問題：這種鞋的可能的需求量為多少？我們需要得到該資訊以回答訂購數量的問題。對於尺碼為10D 的這種鞋，我們假設 350 其需求量的均勻機率分佈如圖11-8所示。特別 500 霧求 650 地，這種鞋的需求量的範圍為350~650雙，平均圖11-8 強身鞋業公司問題中需求量的均勻機率分佈
298 資料、模型與決策：管理科學篇需求，或者說期望需求為500雙。 增量分析是一種可以用於決定單階段庫存模型的最佳訂貨數量的方法。透過比較訂購一單位額外產品與不訂購該產品所發生的成本與損失，增量分析解決了訂貨數量的同題。相關成本的定義如下： c。——被高估（overestimating）需求的單位成本。它表示每訂購一單位額外產品，由於不能售出而帶來的損失； C—被低估（underestimating）需求的單位成本。它表示由於未訂購一單位本可以賣出的產品而造成的機會損失。 在強身公司的案例中，公司一旦訂購量過多，並且必須要等到8月份進行清倉處理，就會造成高估需求所產生的成本。這樣，高估需求所導致的單位成本，等於單位採購成本減去8月份的銷售價格；即，C。=40美元-30美元=10美元。因此，對於訂購量超出需求量的那部分數量的鞋，強身公司每雙損失10美元。對於一雙可以售出而庫存沒有貨物的鞋，會產生低估需求的利潤損失。因此， 由低估需求而發生的成本是正常的單位售價與單位採購成本之差。也即，C。=60美元 -40美元 =20 美元。 由於不知道尺碼為10D 的鞋的確切的需求量，我們必須要考慮需求的機率，以及由其所導致的相關成本或損失的機率。例如，我們假設強身鞋業公司的管理層希望設定一個與平均或期望需求量相等的訂購數量，即500 雙鞋子的訂購量。在增量分析中，我們考察訂購數量為501 雙（多訂購低估需求兩發生的成本，還常比高估精求而發生的成本更難確定。其原因在於， 低估需求而發生的成本包括利潤損失，並且還可能包括由於一個顧客有購買慾時未能購買到而產生的信譽損失。 一雙鞋）和500雙（沒有多訂購一雙鞋）時各自所發生的相關成本。訂購數量的可選方案及其可能發生的成本彙總如下： 訂購數量方案造成損失的彖件可能的損失發生損失的橛率 Q=501 需求被高估，無法賣出新增產品 c。=10美元 P（需求≤500） Q =500 蕭求被低估，新增產品可以賣出 C=20美元 P（需求>500） 觀察圖11-8中的需求機率分佈，我們可以看出 P（需求≤500） = 0.5以及P（需求>500） 0.30。透過與所得到的可能性損失。。=10美元，c。=20美元相乘，我們可以計算出各個訂購數量方案相應的損失的期望價值，或簡單地說期望損失（EL）。從而，我們得到： EL（Q=501）=c.P（需求≤500）=10×0.50=5（美元） EL（9 =500）=c.P（需求>500）=20×0.50=10（美元） 根據上述期望損失，我們選擇訂購501 雙還是500 雙鞋呢？由於Q=500時的期望損失更大，而我們的目標是儘可能避免產生高的損失，因此我們會採用Q=501 方案。現在我們考慮再多訂購一雙鞋， 達到Q=502，並重復計算上述期望損失。 儘管我們可以每次增加一單位進行連續計算，但這樣做的話是非常費時費力的。我們必須計算 Q=502、Q=503、Q=504，以此類推，直到我們找到一個Q的值，使得我們按照訂貨量Q進行訂貨時，增加一個單位的訂購數量的期望損失等於不增加該單位訂購數量的期望損失。也就是說，透過增量分析可知下式成立時，能得到最佳訂貨量Q‘： EL（Q‘+1）= EL（Q'） （11-29） 當上述關係成立時，增加一單位訂貨量就不會有經濟收益了。利用上述我們計算訂購數量為501 和 502 雙時的期望損失的方法，EL（Q’+1）和EL（Q’）的一般表示式可以寫成： EL（Q' +1） =cP（需求≤Q'） EL（Q'）=c.P（需求>Q‘） （11-30） （11-31） 根據基本機率論可知： P（需求≤Q'）+P（需求>9‘）=1 （11-32）
第11童庫存樸型 299 它可以寫成： P（需求>Q‘）=1-P（需求≤Q‘） 利用該表示式，式（11-31）可以寫成： EL（Q’） C。［1 P（需求≤Q） 只要下式成立，則可以利用式（11-30）和式（11-34）解方程式EL（Q’+1）= EL（Q'）： c.P（需求≤Q'）=0［1-P（需求≤Q'）］ 為了解出P（需求≤Q‘），我們有： （11-33） （11-34） （11-35） P（需求≤9‘）=-0 （11-36） 6+C。 該表示式為單階段庫存模型中求解最佳訂貨量Q'提供了一般條件。 在強身鞋業公司的案例中，c。=10美元，c.=20美元。這樣，式（11-36）說明強身鞋業公司的最佳訂購數量必須滿足以下條件： P（需求≤Q‘）=-G。 Cu+C。 20+10 30-3參照圖 11-8中所示的機率分佈，我們可以求出能夠滿足P（需求≤Q'）二號的Q值，並將其作為最佳訂貨量Q’。在求解過程中，我們注意到，在均勻機率分佈中，需求量的機率在350~650 雙鞋之間是均勻分佈的。這樣，為了求解Q’，我們透過將350~650的分佈方式移動2/3來滿足上述表達式。因為該區間為650-350 =300，我們從350向650 移動200。如此一來，得到了尺碼為10D的鞋的最佳訂貨量為$50雙。 總之，要求出單階段庫存模型的最佳訂貨數量，關鍵要確定能夠反映產品需求量的機率分佈，以及高估需求和低估需求時各自所發生的成本。然後將低估需求和高估需求所發生的成本代入式（1136），就可以利用機率分佈求出中Q°的值。 11.5.2 全國汽車租用公司下面我們考察一下全國汽車租用公司所面臨的問題，這也是一個需求機率分佈已知的單階段庫存模型。全國汽車租用公司必須為一年當中確切時間、確切租用區域所擁有的汽車數量做出決定。以默特爾、南卡羅菜納區域為例，管理層想知道應該在勞動節的那個週末提供多少輛標準汽車。根據以往經驗，在勞動節的那個週末，顧客對標準汽車的需求量服從均值為150輛，標準差為14輛的正態分佈。 全國汽車租用公司的情況比較適宜於使用單一週期庫存模型。公司必須在週末之前對可使用的標準汽車進行統計。在週末，顧客的需求會導致缺貨或剩餘。我們用Q來表示可用的標準汽車的數量。 如果Q比顧客需求大，則全國汽車租用公司會有剩餘的汽車。單位剩餘的成本即高估需求的單位成本。如果該成本為每輛車80美元，這部分地反映了由於這輛汽車沒有在其他地點租出而產生的機會成本。 如果Q值小於顧客需求，全國汽車租用公司將會租出所有汽車，並且產生峽貨現象。每缺一輛汽車將發生200美元的低估成本。這個數字包括利潤損失以及由於顧客沒能租到汽車而產生的對公司信譽降低的成本。基於以上資訊，全國汽車租用公司在勞動節的那個週末應該提供多少輛標準汽車呢？ 將低估需求的單位成本c.=200 美元以及高估需求的單位成本c。=80美元，代人式（11-36），可以得出最佳訂貨數量必須滿足的條件： P（需求≤Q：）= 200 7o.+0.J~200+80 ==0.714 3 我們可以利用圖11-9中所示的需求機率的正態分佈得到滿足條件P（需求≤Q'）=0.7143的訂
300 資料、模型與決策：管理科學篇貨數試。從書未附錄A中我們可以得知，當商於均佳：=0.57個標準差時，正態外布左側區同為 0.7143。在需求的均值為p=150 輛車，標準差為=14輛車的條件下，我們有： Q'= +0.57g =150+0.57×14 =158 P（諧求≤Q）=0.7143 這樣，全國汽車租用公司應該計劃在勞動節 0 =14 的那個週末為默特爾提供158 輛標準汽車。注意在本案例中，高估需求的單位成本少於低估需求的單位成本。因此，該公司願意冒險較大機率地高估需求，相應地會較大機率地產生剩餘。實際上，全國汽車租用公司所採用的最佳訂貨數量產 150 生剩餘的機率為0.7143，產生缺貨的機率為1Q*=158 0.714 3 =0.285 7。也就是說，158 輛標準汽車圖 11-9 全國汽車租用公司問題的需求機率在勞動節的那個週末全部被租賃出去的機率是0.2857。 註釋與評論 1.在所有機率分佈已知的庫存模型中，對於需求機率分佈的假設是非常關鍵的，它能影響庫存決策的結果。在本節所討論的問題中，我們用到了均勻分佈和正態分佈來描述需求的機率分佈。有些問題中可能用其他的機率分佈更合適。在利用機率已知的庫存模型時，我們必須謹慎選擇最能描述實際需求的機率分佈。 2. 在單階段庫存模型中，C。/（C。+c。）的值對於確定訂貨數量有著重要的作用［參見式（1136）］。只要 =C，則c。/（C。+c。）=0.50；此時，我們的訂購數量應該等於中間的需求。如果做出這種決策，缺貨與過剩幾乎是一樣的，兩者的成本應相等。然而，當c。<C。時，我們建議選擇較少的訂貨量。此時，雖然較少的訂貨量會導致缺貨的機率增大，但如果高估需求時的成本越高，我們就更能避免更多由剩餘所帶來的損失。最後，當c。>C。時，我們建議選擇較大的訂貨量。此時較大的訂貨數量使得缺貨機率減小，以避免由於估計不足需求和缺貨所帶來的較昂貴的損失。 11.6 機率需求下的訂貨數量一再訂貨點模型在上一節中我們討論了需求機率已知的單階段庫存模本節的庫存模型基於和E0Q模型一樣型。本節將把討論擴充套件到需求機率已知下的多階段訂貨— 的假設（見表11-3），即需求是機率性的， 再訂貨點庫存模型。在多階段模型中，庫存系統按照重複性而不是絕對性的，在需求服從機率分佈的的階段或週期連續運作，庫存可以從一個階段轉移到下一個情況下，偶爾發生貨物短峽是可能的。 階段。當庫存量達到再訂貨點時，就會發出訂貨量為Q的訂單。由於需求是機率性分佈的，因此我們不能事先確定庫存何時會降至再訂貨點以及各訂單之間的時間間隔為多少，也不能確定所訂購的Q單位的產品何時存入庫存。 圖11-10大致描述了需求機率已知下的訂貨量一再訂貨點庫存模型。可以看到，當Q單位的產品到達時，庫存會有一個大幅度的上漲或飛躍。在機率需求的基礎上，庫存量以一個變動的速率下降。 當降至再訂貨點時，會發出新的訂單。通常情況下，所訂購的Q單位產品將在庫存降低到零之前送達。然而，有時由於有較高的需求也會導致在新貨物到達之前發生缺貨。同其他的訂貨量一再訂貨點模型一樣，管理者需要為庫存系統確定訂貨量Q和再訂貨點「。 機率需求下的訂貨量一再訂貨點模型的精確的數學公式並非本文所討論的範圍。然而，在此，我們提供一套程式。利用這套程式，我們可以做出合理可行的訂購數量及再訂貨點決策。該程式只能得第11章庫存模型 301 訂購數量為Q 的訂單到達機率性需求使得庫存減少存庫 2 下訂單下i丁單下訂單一-再訂貨點缺貨時間圖11-10 求有機率性的訂貨量一再訂貨點模型到一個最優解的近似解，但在很多實際問題中， 可以得到很好的結果。 標準差 0=25 下面我們來看一看德比克照明公司的庫存均值= 154 問題。德比克從一家知名的燈泡生產廠家那裡採購一種特殊的高亮度燈泡，用於其工業照明系統。德比克希望知道，訂購多少以及何時訂購才能得以實施其最低庫存成本策略。相關信息如下：每份訂單的訂購成本為12美元；每個 79 104 .L 179 204 229 提前期內的需求燈泡的成本為6美元；德比克公司的庫存持有成本率為20%（G=IC =0.20x6美元=1.20 圖11-11 德比克公司在提前期內需求的機率分佈美元）。德比克的客戶有1000多家，其需求是有機率性的。實際上，產品的需求量，無論每天還是每週，變化都非常大。每份新的燈泡訂單的提前期為一週。以往銷售資料表明，在一週的提前期內，其需求可以用均值為154個燈泡、標準差為25個燈泡的正態分佈來描述。圖11-11給出了在提前期內需求的正態分佈。由於一週內需求的均值為154 個，德比克公司可以計算其平均或期望年度需求：154個/周 ×52周/年=8008個。 11.6.1 訂貨數量決策儘管是在需求有機率分佈的情況下，我們還是能夠計算出每年的期望需求為8008個。將年期望需求表示為D，則我們可以利用第11.1 節中的E00模型來近似計算最佳訂貨數量。在德比克的案例中：？' ii 2DC：= /2×8 008 ×12 =400（個） 1.20 在討論 E0Q 模型的靈敏度時，我們曾得到這樣的結論：當訂貨量在Q‘左右時，庫存系統的總運作成本相對來講是不敏感的。基於上述結論，我們期望每次訂購400個，它非常接近於最佳訂貨量。 即使年需求量跌至7000個或者高達9000個，每次訂貨400個應該能夠保證相對較低的成本。因此， 基於年求量估計值最好為8008個，我們可以使用Q'=400。 我們可以忽略需求的機率性分佈，而將訂貨量定為每次訂貨400個。令Q’=400，德比克公司可以預測每年大概發出訂單的數量為8008/400~20份，每次訂貨之間的時間間隔為250/20 =12.5個工作日。 11.6.2 訂貨時間決策下面我們來看訂貨時間規則或再訂貨點問題，他們將啟透過事先確定一年內的訂貨次數，我
302 資料、模型與決策：管理科學篇動訂貨程式。在提前期內需求的均值為154個的條件下，我們可以很容易地得出所有庫存階段內的觖們可能會建議154為再訂貨點。然而，此時我們要特別注意貨機率。庫存部門的經理通常會允許每年考慮到需求的機率性。如果提前期內需求的均值154個，出現一兩次，甚至三次缺貨。這種缺貨是並且需求對稱地分佈在154的兩側，那麼在提期內，需求由每年的訂貨次數所決定的，並能據此算超過154個的機率大概為50%。當德比克公司在提前期為出可允許的敏貨的機率。 一週的時間內，需求超過154個時，就會產生缺貨。因此， 如果再訂貨點設為154個，則在新貨到達之前，德比克公司將會有大概50%的時間（即每年20次訂貨總數中的10次）處於缺貨狀態。如此高的缺貨率通常是不可接受的。 我們可以參考圖11-11所示的提前期需求分佈。在這種分佈下，我們可以得出再訂貨點，是如何影響發生缺貨的機率的。由於在提前期內，一旦需求超過了再訂貨點就會產生缺貨。因此，我們可以透過提前期內的需求分佈圖，得出需求大於再訂貨點，的機率，從而可以得到發生缺貨的機率。 這樣，我們可以透過分析每次缺貨的缺貨成本，並將其考慮到總成本計算公式中，就可以解決訂貨時間的決策問題。或者，我們可以讓管理者指定每年平均多少次缺貨是可以接受的。在需求為機率性的情況下，如果一個管理者連一次缺貨都不能忍受的話，也是不現實的。因為要想徹底杜絕缺貨， 就必須要設定很高的再訂貨點，而這樣會導致很高的庫存量，從而持有成本也會很高。 假設，在本案例中，德比克公司的管理部門願意接受平均每年1次的缺貨。我們已知每年訂貨20次，這就意味著，在這20次訂貨中，該公司允許出現1次（也即5%的時間裡）在提前期內需求超過再訂貨點的情況。因此，我們可以從提前期需求機率分佈無觖貨 （需求≤r） 95% 觖貨 （需求＞r） 5% 中，找出在提前期內需求大於再訂貨點的概率為5％的，的值，即再訂貨點的值。我們可以參見圖11-12來理解該過程。 79 104 129 154 179 204 提前期內的需求 229 參照書末附錄A 中的標準正態機率分佈表，我們可以查出，的值為均值加上1.645 圖11-12 德比克公司允許缺貨可能性為5%時的再訂貨點，的值倍的標準差。因此，對於我們所做的在提前期內需求服從 =154，0=25的正態分佈的假設，再訂購點，的值為： T=154 +1.645 ×25 = 195 如果在提前期內，需求服從正態分佈，則求，值的一般公式為： T=從+20 （11-37） 其中，二是為了求得可接受缺貨機率所必需的標準差的倍數。 由此，我們所得到的庫存策略為：每當庫存量降至195個，就發出訂貨量為400個的訂單。因為提前期內需求的均值或者說期望值為154個，則我們將195-154=41 個稱為安全庫存。這個安全庫存用於滿足超過一般需求的那部分需求。在95%左右的時間裡，195個燈泡能夠滿足提前期內的需求。 該庫存系統的年度成本預測如下： 正常庫存的持有成本安全庫存的持有成本訂貨成本 （0/2）C = （400/2） ×1.20 =240 美元 （41）C=41×1.20 =49美元 （D/0）C。=（8 008/400）×12 =240 美元總計 529美元如果假設德比克公司的燈泡年需求量是已知的，且固定為8008個，則最優解為：Q‘=400，「= 154，此時年總成本為240+240=480美元。當需求是不確定的，且可以用機率分佈來表示時，就會有較大的成本。總成本的增大表現在持有成本的增大，因為庫存系統不得不儲存更多的產品以限制缺貨的次數。對於德比克公司來說，增加的庫存量或安全庫存量為41單位，這會導致年持有成本增加49
第11章庫存模型 303 美元。專欄11-2 講述了一個荷蘭倉儲商是如何應用機率需求下的訂貨量一再訂貨點系統的。 專欄11-2 實踐中的管理科學荷蘭企業降低庫存成本在荷蘭，很多公司，像飛利浦、施樂、Fokker 公司等等，都積極發展與供貨商的關係，這似乎成了一股潮流。隨著團隊合作、協作、資訊共享等方面的改善，企業有更好的機會來控制庫存系統的運作。 荷蘭的倉儲商通常與其供應商有協議，供應商有義務經常提供有關將要運達的物資的情況和日程安排。倉儲商的庫存系統是按照機率需求下的訂貨量一再訂貨點模型來運作的。確定了訂貨量Q以後，倉儲商要為該產品確定一個合適的再訂貨點。在確定再訂貨點的過程中，提前期內的需求機率分布起著非常重要的作用。通常情況下，透過同時考慮需求的機率和提前期長度的機率，可以大致地直接得到提前期內需求的機率分佈。 供應商所提供的關於將運達的貨物批次的資訊，能夠讓倉儲商更好地瞭解相應貨物的提前期，以及提前期內需求的機率分佈。有了這些資訊，倉儲商能夠相應地修正再訂貨點。因此，供應商提供的共事資訊使得機率需求下的訂貨量一再訂貨點模型以相對較低的庫存持有成本運作。 資料來源：基於 F. A. van der Duyn Schouten,M. J. G. van Eijs, and R. M. J. Heuts， “The Value of Supplier Information to Improve Management of a Retailer's Inventory，" Decision Sciences 25, no. 1 （January/February 1994）：1-14. 註釋與評論德比克公司的再訂貨，點是基於在提前期內產生缺貨的機率為5%而得出的。因此，在所有訂貨周期內有95%的週期可以滿足客戶需求而不至於缺貨。我們將不發生缺貨的週期佔所有周期的百分比定義為服務水平。那麼，我們可以說德比克公司的服務水平為95%。然而，還存在其他對服務水平的定義，如庫存可以滿足客戶需求的百分比等。因此，當庫存管理者表述具體的服務水平時，最好說明所說的服務水平具體是指什麼。 11.7 機率需求下的定期檢查模型前面所討論的訂貨量一再訂貨點模型都要求有一個連續檢查庫存系統。在這種系統下，庫存系統處於連續的監測之中。這樣，只要庫存量降低到再訂貨點，就會發出訂單。對於一個計算機化的庫存系統來講，可以很容易地實現對訂貨量一再訂貨點模型的連續監測。 除了連續檢查系統以外，我們也可以選用定期檢查庫存關於這一點，我們曾經假設庫存狀況系統。在定期檢查系統中，庫存狀況的檢查以及再訂貨只在可以持續地檢查。這樣，一旦庫存降至再固定時點進行。例如，我們可以每週、每兩週、每月，或者訂購點，就會發出訂貨單。但在本節的庫是每隔一個其他特定的時期進行庫存狀況的檢查，併發出訂存模型中，需求是機率性的，而對庫存狀貨單。定期檢查系統的優點在於，當一家企業或獲一項業務況的檢查將定期進行。 同時經營多種產品時，它能使同時訂購幾種產品的訂單按照預先安排好的時間同時發出。應用這種系統，對於多種產品的訂單來說，產品的運輸和接收就很容易協調了。在前面所討論過的訂貨量一再訂貨點庫存模型系統中，幾種不同的產品可能會在幾種截然不同的時間達到再訂貨點，從而使得多種產品訂單的協調非常困難。 為了更好地說明這種系統，我們來看一看 Dollar Discounts 公司的例子。該公司經營著幾家日用品零售店，產品的品種比較廣。其庫存系統每兩週進行一次檢查。在這種系統下，零售店的經理每隔兩周從 Dollar Discounts 公司的中央倉庫訂貨，訂貨的數量和品種由經理來決定。並且，同一家零售店所訂的全部貨物將一次性運達該店。當經理們為某個檢查期的某種產品決定訂貨量時，他們很清楚地知
304 資料、模型與決策：管理科學篇道，在下一個檢查期到來之前，是不能夠對該產品進行再訂貨的。 假設提前期比檢查的週期短，那麼前一次檢查時所訂購的貨物會在下一次檢查之前到達。在本例中，每一次檢查時，要用如下公式來計算訂貨量： Q=M-H （11-38） 式中， Q—訂貨量； M- —補貨水平； H—檢查期前的現有庫存量。 由子需求是有機率性的，因此現有庫存量H是變化的。而又由於訂貨量必須能夠使得現有庫存量達到最大值或是補貨水平M，因此，每個檢查週期的訂貨量也是不同的。舉例來說，假設某種產品的補貨水平為50，本期的現有庫存量日為12，則訂貨量應為Q=M-H=50-12=38（單位）。因此，在定期檢查的模型中，每個檢查週期的訂貨量要足夠大，以使庫存量能夠回升到補貨水平。 圖11-13給出了一個典型的機率需求下定期檢查系統的庫存模型。值得注意的是，兩次定期檢查之間的時間間隔是預先設定的，且固定不變。訂貨量Q在每次檢查時是變化的，在圖中表現為補貨水平和現有庫存之間的差額。最後，同其他的機率需求模型一樣，非常高的需求可能會偶爾導致缺貨。 M - 補貨水爐存庫提前期 —檢查問期週期 ～觖貨時間圖11-13 有機率需求的定期檢查模型的庫存模式在定期檢查模型中，決策變數是M。為了求出M，我們可以先建立一個總成本模型，其中包括持有成本、訂貨成本以及缺貨成本。但是實際中，我們通常使用另一種方法。在這種方法中，我們的目的是確定一個補貨水平，以達到一個理想的績效水平。比如，使得缺貨率或者是每年的缺貨次數維持在一個較合理的範圍內。 在 Dollar Discounts 公司的案例中，我們假設公司管理者的目標是確定一個缺貨機率只有1%的補貨水平。在定期檢查模型中，每期的訂貨量必須能夠滿足該週期的需求再加上下一次訂貨的提前期內的需求。也就是說，在本次所訂購的貨物使庫存回升到補貨水平以後，庫存要能一直維持到下一次檢查時所訂購的貨物到來之前。其時間長度等於檢查週期加上提前期的時間。圖11-14 顯示了 Dollar Discounts 公司的某種產品，在一個檢查週期加上一個提前期的時間內需求的正態機率分佈。其中，需求的均值為250單位，標準差為45單位。在這種情況下，求解M所用的思路與本書第11.6 節中求解再訂貨點的思路一樣。圖11-I5 描述了補貨水平M，其需求量高於補貨水平的機率為1%。也就是說，圖 11-15 結合補貨決策描述了缺貨率為1%的補貨水平。藉助於附錄A 中的正態機率分佈表，我們可以得第11章庫存模型 305 出，當缺貨率為1%時，M的值等於均值加上2.33倍的標準差。因此，對於我們所假設的均值從= 250，標準差o=45的正態機率分佈，其補貨水平的計算式如下： M =250 +2.33×45 =355 雖然也可以用其他型別的機率分佈來表達檢查週期加上提前期的需求，但如果用正態分佈的話，則M 的一般表示式如下： M=4+20 式中，2是為了求得可接受缺貨機率所必需的標準差的倍數。 （11-39） 標準差 0= 45 均值 K =250 無缺貨 （需求≤M） 99% 缺貨 （需求>M） 1% M 115 T60 205 250 205 340 求 385 115 160 205 250 295 340 385 薷求圖11-14 Dollar Discounts 公司在檢查期圖 11-15 使 Dollar Discounts 公司的和提前期內的需求機率分佈缺貨率為1%的補貨水平如果需求是確定性的，而不是機率性的，則補貨水平就是檢查週期內的需求量加上提前期內的需求量。相應地，在本例中，補貨水平應為250，且不會發生缺貨現象。然而，在機率需求下，我們可以看出，為了滿足不確定的需求並控制缺貨率，我們有必要持有較高的庫存量。在 Dollar Discounts 公司的案例中，安全庫存量為355-250=105（單位）。當檢查期的需求量與提前期的需求量之和高於正常需求量時，由安全庫存量來滿足高出的那部分需求。這個安全庫存使得缺貨率控制在1%之內。 更為複雜的定期檢查模型上文所討論的定期檢查模型主要是為機率需求下的定期檢查模型提供一種求解補貨水平的方法。 在更為複雜的定期檢查模型中，引入了再訂貨點作為一個決策變數。也就是說，將設定一個再訂貨點，而不是每個檢查週期都訂貨。當現有庫存量處於或低於再訂貨點時，就會發出訂單以使庫存量回升到補貨水平；但是如果在定期檢查時，庫存量高於再訂貨點，則不再訂貨，而且整個庫存系統連續運作，直到下一次檢查。在這種情況下，訂貨成本是也一個相關成本，需要與持有成本和缺貨成本一同考慮進總成本模型中。透過使期望總成本最小化，我們能夠得出最佳運營策略。如果再考慮到提前期大於檢查週期等情況，模型會更加複雜。但本文的討論將不涉及解決這些複雜模型所需的數學方法。 註釋與評論 1. 本節所討論的定期檢查模型基於這樣一個基本假設：一次訂貨的提前期比檢查週期短。大部分的定期檢查系統都是在這種情況下運作的。但當提前期長於檢查週期時，可以透過在式（11-38） 中定義一個庫存量H來處理。其中，H是現有庫存量與已訂未交量之和。此時，每次檢查時的訂貨量為補貨水平減去現有庫存量及所有的已訂未交的貨物數量。 2.在本書第11.6節中所討論的訂貨量一再訂貨，點模型中，必須對庫存狀況進行連續檢查，一旦庫存降至再訂貨，點，就要發出訂單。該模型中的安全庫存量是根據提前期內的機率性需求而設定的。 本節中所討論的定期檢查模型也要求有安全庫存量。然而，由於庫存檢查僅僅是定期進行的，因此， 安金庫存量是根據檢查週期加上提前期的總時間內的機率性需求決定的。計算安全庫存量的時間越長，就意味著，定期檢查系統的安全庫存量比連續檢查系統的安全庫存量要大。
306 資料、模型與決策：管理科學篇本章小結本章我們介紹了幾種管理科學家們所用的方法，以協助管理者制定降低庫存的策略。我們首先考慮了產品需求率固定不變的情況。在分析這類庫存系統時，我們建立了相應的總成本模型，其總成本包括訂貨成本、持有成本，在有些情況下還包括了延遲訂貨成本。接著，我們給出了求解訂貨量Q的最低成本公式。考慮到提前期內的需求，還設定了再訂購點。 其次，我們討論了不確定性需求下的庫存模型。此時，我們認為需求可以用機率分佈來描述。在這種機率性需求模型中，最重要的問題是找出能夠最接近於真實需求的機率分佈。我們首先介紹了一種單階段模型。在這種模型中，對某種產品只有一個訂單；並且在階段末，要麼產品全部售出，要麼產品有剩餘且剩餘的產品以低價售出。接著，我們討論了多階段模型，其求解程式可能是基於訂貨量一再訂貨點連續檢查系統，或者也可能是基於補貨水平一定期檢查系統。 在本章結束之際，我們想再次著重指出，庫存和庫存系統在企業運營當中可能是成本很高的一環。因此， 對管理者來講，注重庫存成本並能為庫存系統制定最佳的運作策略有著非常重要的意義。專欄11-3向讀者講述瞭如何應用基於計算機的庫存模型，以做出最佳的庫存決策並降低成本。 專欄11-3 實踐中的管理科學 Deere 公司的多階段庫存規劃 Deere 公司的商業及消費者裝置（C&CE）部門，位於北卡羅菜納州的羅列市，主要生產割草機、 吹雪機等李節性產品。產品需求的季節性要求該部門在季節前進行生產。由於大部分的產品都屬於衝動採購產品，所以，當顧客到來時，零售商應該持有庫存。累積的高庫存水平會導致較高的庫存成本，並且資產也難以回收。因此，管理者決定C&CE 需要一個庫存規劃系統，以減少本公司及零售商倉庫的成品庫存量，同時還要保證缺貨不會對銷售產生負面影響。為了對庫存量進行最佳化，Deere 將公司的庫存模型從藥中庫存模型轉變為一系列單個產品的庫存模型。這種做法使得 Deere能夠為各種產品的各個零售商決定最佳庫存水平，同時也決定了各種產品在各個工廠和倉庫的最佳庫存數量。其所開發的計算機輔助系統叫做“SmartOps 多階段庫存規劃與最最佳化（MIPO）” •它能夠對4個 C&CE 部門工廠、21 個零售商、150多種產品進行庫存管理。MIPO 的資料更新比較容易，能夠以周為基礎為各種產品做出庫存量的決策。除此之外，該系統還能夠提供資訊以說明提前期、預測課差、目標服務水平是如何影響最佳庫存量的。 這個庫存最最佳化系統能夠使得C&CE 部門達到減少庫存的目的。C&CE的管理者預計由於較低的庫存成本，公司將會繼續實現年度成本的節省。同時，零售商也會從較低的倉儲成本中獲蓋，比如減少利息以及保險的成本。 資料來源：基於“Deere's New Software Achieves Inventory Reduction Goals， " Inventory Management Report （March 2003）：2. 專業術語 economic order quantity, EOQ 經濟訂貨量（EOQ） 使得年持有成本與年訂貨成本之和最小的訂貨數量。 constant demand rate 不變需求率這是許多庫存模型的假設。即假設每一個時段會從庫存中取出相同數量的貨物。 holdingcost 持有成本為持有一定的庫存投資所必需花費的成本，包括存貨資金佔用的成本、保險、納稅、 倉儲費用等等。該成本通常表示為庫存投資的一個百分比，也可以是單位成本。 cost of capital 資金成本企業用於融資所需的費用。可以表示為一個年百分比率，是維持庫存所需的持有成本的一部分。 orderingcost 訂貨成本發出訂單訂購某種產品時所發生的固定成本，如採購員的工資、紙張、運輸等費用。 inventory position 庫存量：現有庫存量加上已訂未交量。
第11童庫存模型 307 reorder point 再訂貨點當需要發出新訂單時的庫存量。 lead time 提前期在庫存系統中，從發出訂單到接收到貨物所需的時間的長度。 lead-time demand 提前期需求提前期內對貨物的需求量。 cycle time 週期前後相連的兩次訂貨之間的時間長度。 constant supply rate 固定供應率是指在一定的時期內，庫存的累積速率是固定的。 lot size 批次生產庫存模型中的訂購量。 setup cost 啟動成本為生產一種新產品而做準備所發生的固定成本，包括人工、物料、生產的損失。 shortage or stock-out 缺貨或脫銷即庫存不能滿足需求。 backorder延遲訂貨在某產品的庫存為零時收到的該產品的訂貨。這些訂貨也造成了續貨，只有當下一批產品到達時才能最終滿足該需求。 goodwill cost 信譽成本當發生延遲訂單、滯銷或任何一種形式的缺貨或未滿足需求時所發生的成本。這項成本反映了由於未能滿足顧客的需求，而將在未來產生的利潤的損失。 quantity discount 數量折扣當客戶購買大量產品時，生產商所提供的折扣或較低的單位產品價格。 deterministic inventory model 確定性庫存模型需求已知且沒有不確定性的一種庫存模型。 probabilistic inventory model 機率性庫存模型需求不確定而且需求的可能值是可以用機率來描述的一種庫存模型。 single-period inventory model 單階段庫存模型“只有一個訂單的庫存模型，在階段末，要麼產品全部售出， 要麼剩餘的產品以低價售出。 incremental analysis 增量分析透過比較訂貨量增加一個單位前後的成本來決定最佳訂貨量的方法。 lead-uime demand distrioution 提前期需求分佈在提前期內產生的需求量的機率分佈。 safety stock 安全庫存為了減少低估需求而出現缺貨情況所持有的存貨。 continuous review inventory syster 連續檢查庫存系統一種對庫存狀況進行連續地檢查或監測的庫存系統， 一旦庫存量降至再訂購點，就立即發出訂單。 periodic review inventory system 定期檢查庫存系統一種對庫存狀況按照一個預定的固定時間間隔進行檢查的庫存系統。再訂貨只發生在定期檢查的時間點。 問題 2.E0Q模型的一個基本屬性是：在最佳方案中，總的持有成本和總的訂貨威本是相等的。請利用問題1中所得到的效據證明上述結論。應用式（11-1）、式（11-2）及式（11-3）證明：一般而言，只要用代人Q‘ 總的持有成本與總的訂貨成本是相等的。 4.威斯特塞德汽車公司從供應商那裡直接購進生產汽車發電機所需要的一種零件。該公司的發電機生產執行平穩，每個月的零件需求量為1000單位，即每年12000單位。假設訂貨成本為每次訂貨25美元，每單位零件的成本為2.50 美元，年庫存持有成本率為20%。威斯特塞德汽車公司的年工作日為250天，提前期為 5天。請回答下列關於庫存策略的問題。 a.該零件的E0Q是多少？ b. 再訂貨點為多少？ c.週期為多長？ d.根據你所得到的E0Q值，總的年持有成本和訂貨成本為多少？ 6.泰勒瑞科是一家新的專賣店，主要經營電視機、錄影機、電子遊戲機以及其他與電視相關的產品。泰瑞科購買一臺新式日本生產的錄影機的成本為600美元，公司的年庫存持有成本率為22%，預計訂貨成本為每次訂貨70美元。 a.如果錄影機的需求量穩定，每個月均為20臺，則訂貨量應該為多少？ b.該產品的年庫存持有成本和訂貨費用估計各為多少？ c.每年應該訂多少次貨？ d. 假設每年工作日為250天，則該產品的週期為多長？ 8.全國巴士公司有一套著名的巴士司機培訓程式。該培訓計劃為期6周，並且面向公司所有的新司機。只要
308 資料、模型與決策：管理科學篇培訓班的人數小於或等於35人，則在這6周內，培訓的總成本為22000美元，主要包括教師、裝置等成本。該培訓專案每月至少要為全國巴士公司提供大約5個新司機。培訓結束以後，新司機暫時還不能上崗， 要一直等待有空鍊的全職司機崗位，但等待期間的工資為每月1600美元。全國巴士公司將這1600美元看做一筆持有成本，用來確保有需要時就能獲得新司機。如果把這些等待中的司機看成是一項庫存，則要使得該公司一年中用於培訓和支付暫時不工作的司機的總花費最少，培訓班應該招收多人？一年中開辦幾次這樣的培訓班？根據你的計算結果，年度總成本為多少？ 10.全星球棒製造公司為多個大小球隊提供棒球的球棒。在從1月開始的6個月的賽季中，球棒的需求量穩定在每月1000單位左右。假設棒球生產線每月最多能生產4000單位，該生產線的啟動成本為每次150美元，每單位球棒的生產成本為10美元，月持有成本率為2%。那麼，在賽季內，該公司應該維持多大的生產規模？如果該公司每月運作20天，則球棒生產線的生產週期應設為多長？ 12. 假設你在評估一項關於生產批次的決策，其中P=8 000單位/年，D=2000單位/年，C。=300美元，G。= 1.60單位/年。再假設，現行做法要求每3個月生產500單位的產品。你覺得這樣的生產批次有必要改動嗎？請給出你的理由。如果改變成你所建議的生產批次，則將能為公司節省多少？ 14. 有一家知名的生產商生產幾個牌子的牙膏。該生產商用生產批次模型來決定各種產品的生產量。其中一種叫做特白的產品的生產規模為5 000支。該產品一個生產週期的時間為10天。由於最近有一種原料短缺， 供應商宣佈提高售價，而價格的提高勢必要轉移到特白的生產商身上。據最新估計，新的原料價格將使得每支牙膏的生產成本增加23%。這樣的價格增長將對生產批次有什麼樣的影響？ 16.假設年工作日為250天，提前期為5天，則在問題15中，威斯特塞德汽車公司的再訂貨點為多少？請給出含有延遲訂貨的E0Q模型中求再訂貨點的一般表示式。總體來說，允許有延遲訂貨情況下的再訂貨點與不允許延遲訂貨的情況相比，是大還是小了？請給出你的解釋。 18.如果同題17所討論的庫存系統中，新訂單的提前期為20天。請分別求出在E0Q模型下和延遲訂貨模型下各自的再訂貨點。 20.假設下面的數量折扣表是合理的。如果年需求量為120單位，訂貨成本為每次訂貨20美元，年持有成本率為25%，則你認為訂貨量應為多少？ 訂貨規槙折扣（%） 0~49 0 訂貨規模 100 以上（含100） 折扣（%） 10 單位成本（美元） 27.00 50~99 5 單位成本（美元） 30.00 28.50 22.B 凱斯鞋業公司銷售一款黑色男鞋。其銷售量穩定在大約每3個月500雙。公司現在的進貨策略是每次訂貨 500雙。每次訂貨的成本為30美元。年持有成本訂貨量率為20%。訂貨量為500 雙時，凱斯公司能拿到每雙價格（美元） 0~99 最低價的鞋，每雙為28美元。生產商提供的其他 36 數量折扣如右表所示。請問，此鞋的最低成本訂 100~199 32 貨量是多少？如果採納你的庫存建議策略，則會 200 ~299 30 比現行庫存策略節省多少錢？ 300或300以上 28 24.J&B卡片商店銷售一種日曆。該日曆每月描繪一個不同的科洛尼爾的景色。J&B 卡片商店每年訂貨一次， 在每年的9月份該日曆到貨。根據以往的經驗，從7月到9月的日曆需求量可以用一個M=500,a=10的正態機率分佈來描述。這種日曆每本成本為1.50美元，而J&B卡片商店的售價為3美元。 a.如果在7月底，J&B將把所有改售出的日曆扔掉（即殘值為O）。那麼J&B應訂購多少這樣的日曆？ b.如果J&B在7月底將日曆的價格降為1美元，且全部的日曆均可售出，則J&B 的訂貨量又應為多少？ 26. 布里奇波特的城市管理者和警察局局長共同制定維持日常秩序所必需的警察人數的決策。然而，由於受傷、生病、假期及個人離職等原因，通常會導致職位空缺，為防止以上空缺的發生，需要額外數量的警察。在決定額外警察的數量時，他們需要一些幫助。以前3年的資料顯示額外警察的日需求數量服從一個均值為50人，標準差為10人的正態分佈。每個額外警察的成本按照每天150美元的平均日薪而定。如果額外警察的需求數量超過了額外警察的可用數量，則超過的人數需要用加班來代替，每個加班的警察的日工資為每天240美元。 日.如果額外警察的可用數量超過了需求數量，則該市將不得不為超出的警察支付工資。請問高估需求的成第11章庫存模型 309 本為多少？ b.如果額外警察的可用數量少於需求數量，則該市不得不用加班來代替不足的警察。請問低估需求的成本為多少？ c.在警察隊伍中最好應該有多少個額外警察？ d. 在某個特殊日子裡，必須加班的機率為多少？ 28. 有一個零售店銷售一種季節性產品，售價為每單位10美元，該產品的購人價格為每單位為8美元。所有季節內沒能賣出的產品將在季節末的清倉大甩賣中半價賣出。假設該產品的需求均勻地分佈在200~800 單位之間。 8.訂貨量應該為多少？ b.在所有貨物都售出後顧客還要購買的情況發生的機率是多大？即在問題（a）的情況下，發生缺貨的概率是多大？ c•為了使顧客滿意並能成為回頭客，店主認為應該儘量減少續貨的發生。如果店主能夠接受的缺貨機率為 0.15%，則你認為訂貨量應該為多少？ d.根據（e）中得到的資料，信譽成本是多少？ 30. 對於問題29中弗洛依德公司的問題，我們已知Q'=25，D=200，G =5，且提前期內需求量服從=12， • =2.5的正態分佈。 a.如果弗洛依德公司能夠接受每年2次的缺貨，則再訂貨點應為多少？ b.如果該公司要求一個週期內峽貨發生的機率不超過1%，則再訂貨點為多少？ c•在問題（a）、（b）兩種情況下，安全庫存量及年度安全庫存成本各為多少？ 32. B&S 工藝品店位於蒙特州的貝林頓佛市，主要向遊客銷售各種各樣的手工藝品。B&S 每年銷售300個手工雕刻的科洛尼爾戰士小型複製品。但一年內的需求量是不確定的。這種複製品以每個20美元的價格售出。 B&S工藝品店的年庫存持有成本為15%。每次訂貨的訂貨成本為5美元。提前期內的需求服從 =15，a= 6 的正態分佈。 8.訂貨量應為多少？ b.如果B&S願意接受每年約2次的敏貨，那麼你認為再訂貨點應為多少？在一次訂貨週期內發生缺貨的機率為多大？ c.該產品的安全庫存量以及年安全庫存成本為多少？ 34. 福斯特藥業公司主營各種美容保健類產品。某種護髮產品的購人單價為2.95美元，年持有成本率為20%。 按照訂貨量一再訂貨點模型，該產品的訂貨量為每次訂貨300單位。 a.提前期為1周，且提前期內的需求服從均值為150，標準差為40的正態分佈。如果該公司能夠接受一個迴圈期記憶體在1%的敏貨率，則再訂貨點為多少？ b.根據同題（a）中的計算結果，安全庫存量以及年安全庫存成本為多少？ c•訂貨量一再訂貨點模型要求有一個連續檢查系統。為了協調多項產品的訂購，該公司的管理部門決定將此係統改建為定期檢查系統。在預定的2周的檢查週期加上1周的提前期內，需求服從均值為450，標準差為70的正態分佈。如果該公司依然能夠接受1%的缺貨機率，則該定期檢查系統的補貨水平應為多少？ d.根據（c），安全庫存量以及年安全庫存成本為多少？ e.比較（b）和（d）的結果。該公司正在認真考慮定期檢查系統的問題，請問你對此有何建議？給出你的理由。 f.你是否傾向於支援對較昂貴的產品進行連續檢查？比如，假設在上述例子中，護髮產品的單價變為295 美元。請給出你的理由。 36. 羅斯辦公用品公司應用一套週期為2周的定期檢查系統來管理庫存。該公司每週工作6天。每個星期一的早上，倉儲部門的經理會填寫一張從公司的倉庫發出的訂單，訂購各種貨物。有一種三環筆記本每週賣出 16本，標準差為每週5本。每次新訂貨的提前期為3天。提前期的需求均值為8本，標準差為3.5本。 a. 檢查週期加上提前期的時間內，平均或期望的需求為多少？ b.假設每週的需求是互相獨立的，且需求的變化是可加的。因此，檢查週期加上提前期內需求的變化，就
310 資料、模型與決策：管理科學篇等於第1周需求的變化加上第2周需求的變化再加上提前期內需求的變化。那麼，檢查週期加上提前期內的需求的變化為多少？在這段時間內，需求的標準差為多少？ c.假設需求服從正態分佈，則在每年發生1次缺貨的情況下，補貨水平應為多少？ d. 若在3月22日，星期一，庫存中有18本筆記本，則經理應訂多少貨物？ 案例問題1 萬戈製造公司萬戈製造公司的經理們正在考慮自行生產一種零件的經濟可行性。該零件原來都是從供應商那裡購買的。 預計該零件的年需求量為3200個。萬戈公司一年運作250天。 萬戈公司的財務分析師們已經確定將把資金的14%用於企業內部投資。除此之外，在過去的一年中，公司已經將600000美元的資金投人公司的庫存。統計資料表明，公司庫存在稅收和保險方面總共花費了24 000 美元。除此之外，庫存損失將近9000美元，主要包括損壞和被盜。還有15 000 美元用於倉庫的日常管理，其中包括暖氣和照明的花費。 對採購程式運作的一項分析顯示，不管訂貨量為多少，填寫和協調一份訂購這種零件的訂單大約需要2個小時。採購員的工資平均為每小時28美元，包括福利。而且對125次訂貨進行分析的結果顯示，有2375美元被用於與訂貨程式直接相關的電話、紙張費用以及郵費。 從供應商那裡得到該零件的提前期為1周。有分析表明，提前期內需求的分佈服從均值為64、標準差為 10的正態分佈。根據服務水平的要求，每年允許1次缺貨的發生。 當前，萬戈公司與供應商有一份合同。根據該合同，採購該零件的單價為18美元。然而，在過去的幾個月裡，萬戈公司的生產能力大大提高了，由此導致某些部門出現了生產能力過剩的情況。因此，公司正在考慮是否自行生產這種零件。 對裝置的使用預測表明，如果生產該零件，生產能力是有保障的。根據現在的生產能力，每月能生產1 000 個該種零件，總共能生產5個月。管理部門相信，有兩週的提前期就可以安排好生產，然後就可以隨需要立即生產。在2周的提前期內，需求大致服從均值為128，標準差為20的正態分佈。生產成本預計為每個零件17 美元。 管理者所關心的一個問題是，每次生產的啟動成本非常高。勞動力和損失的生產時間的總成本估計為每小時50美元，要啟動生產該零件的裝置，還要求有滿8小時輪班。 營理報告請就萬戈製造公司的問題寫一份報告，報告要闡明該公司應該繼續向供應商採購零件還是應該自行生產該等件這個問題。報告中還要包括下列要點： 1. 對持有成本的分析，包括恰當的年持有成本率。 2. 對訂貨成本的分析，包括每次從供應商那裡訂貨的成本。 3.對生產執行所需裝置的啟動成本的分析。 4. 依據下列兩種情況，制定庫存策略。 a. 從供應商那裡訂購固定訂貨量為Q的該零件。 b. 從本公司內生產部門那裡訂購固定訂貨量為Q的該零件。 5.在問題4的a、b 兩種情況下的庫存策略裡，要求包括下列各項： a.最佳訂貨量Q’。 b.每年所需的訂貨次數或生產批次。 c.週期。 d. 再訂貨點。 e.安全庫存量。 f.預測的最大庫存量。 8.平均庫存量。 h.年持有成本。 i.年訂貨成本。 j•購頭或生產該零件所需要的成本。 k.購買策略的年度總成本及生產策略的年度總成本。