311 6.就應該購買還是自行生產該零件提出你的建議。如果採納你的建議，則相對於另一個選擇，能節省多少資金？ 附錄 11A EOQ 模型下最佳經濟訂貨量（Q）的公式推導令式（11-4）為E0Q模型的一般公式，則 TC=當0+% 透過求導，讓dTC/dQ 等於0，再求Q’。由此可得出使總成本最小的Q的價。 帶-言G-3-0 G.C=2DC。 （11-4） 20C 因此， DC. （11-5） 下面再求二階導數，得因為二階導數大於0，因此式（11-5）得出的Q’就是最低成本的訂貨批次。 附錄11B 批次生產模型下最佳批次（0”）的公式推導令式（11-15）為批次生產模型下的年度總成本公式，則 TC-（1-卡）ec.+B 透過求導，讓drC/dQ 等於0，再求Q'。由此可得出使總成本最小的Q的值。 （11-15） 求解Q'，得因此， 下面再求二階導數，得 （1-）c② 2DC。 2DC。 0'=1-D/P）C。 2D0。 ②'N-D/P）G CTC=？ dQ 因為二階導數大於0，因此式（11-16）得出的Q’就是最低成本的訂貨批次。 （11-16）
第12章等候線模型回想一下上一次你不得不等候的情形：在超市的收銀臺等候，在銀行等候出納員，或者是在快餐店等待服務等。在類似上述需要排隊的情況下，把時間用於等待是令人非常不快的。然而增加更多的收銀員、銀行出納員或服務生並不總是改變服務水平的最經濟的策略。因此，各行各業需要採取相應的措施，把等待時間控制在顧客所能容忍的限度內。 人們已經設計建立了一些模型來幫助管理者理解等候線的運作，並幫助他們做出更好的決策。等候線用管理科學的術語來講也稱佇列，與等候線相關的知識體系稱為排隊論。20世紀初，丹麥的一個電話工程師 A.K.阿朗開始對打電話時發生的阻塞和等待時間進行研究。之後，排隊論的發展已經日趨複雜，並廣泛地運用到等候線情形中。 等候線模型包括一些數學公式以及可用於確定等候線執行引數（績效指標）的關係式。相關的一些執行引數如下： 1.系統中沒有任何個體的機率； 2. 等候線中等待個體的平均數； 3. 系統中個體的平均數（等候線中個體的平均數加上接收服務的個體的數目）； 4.一個個體在等候線中所花費的平均時間； 5. 一個個體在系統中花費的平均時間（等候時間加上服務時間）； 6.一個個體到達以後不得不等待以接受服務的機率； 管理者具備了以上資訊，才能夠更好地做出使期望服務水平與所花費的成本相平衡的決策。 專欄12-1描述瞭如何應用等候線模型，來幫助紐約市花旗銀行業務中心確定其所需安裝的自動取款機的數量。在紐約市切爾西街全食市場應用等候線模型時，為了實施先到先服務的排隊原則，創造性地產生了一種新的等候線，並僱用了一名等候線主管。除此之外，等候線模型還協助康狄格州紐黑文市的消防局制定了一些策略，改善了對火災或緊急救助的反應時間。
第12章等候線模型 313 專欄12-1實踐中的管理科學花旗銀行自動取款機的等待時間美國花旗銀行紐約分部負責近250家銀行業務中心。每個中心提供一臺或多臺自動取款機（ATMs），這些自動取款機可以執行多種銀行業務。在每個服務中心，顧客隨機到達，然後使用某一臺自動取款機的服務，並形成等候線。 為了確定在某一特定業務中心區域內自動取款機的數量，管理者需要得到關於每位顧客的平均等候時間以及平均服務時間的資訊。等候線的運作引數，諸如等候線中顧客的平均數量、每位顧客的平均等待時間以及新到達的顧客不得不等待的機率等資訊，會幫助管理者確定各個業務區域內自動取款機的數量。 例如，位於曼哈頓鬧市區的銀行業務中心，每天的最高顧客到達率為每小時172位。使用擁有6 臺自動取款機的多路線等待線模型時可以得出：有88%的顧客必須等待，並且顧客的平均等待時間為 6~7分鐘。我們認為這種服務水平是不可接受的。利用等候線模型進行預測，我們得出的建議是：在可接受的服務水平的要求下，需要將該地區的自動取款機增加到7臺。等候線模型的使用為各業務中心區域增加自動取款機提供了指導。 資料來源：基於花旗銀行 Stacey Karter 提供的資訊。 12.1 等候線系統的結構為了說明等候線系統的基本特徵，我們以伯格•度姆快餐店的等候線為例。伯格•度姆快餐店出售火腿漢堡、乳酪漢堡、法式油炸食品、軟包裝飲料和攪拌牛奶，同時還有一些特色食品和甜點可供選擇。雖然伯格 •度姆快餐店希望能為每位顧客提供即時的服務，但是很多時候，到達的顧客遠遠多於伯格 •度姆快餐店的服務人員所能接待的人數。因此，顧客們不得不排隊，以等候所點快餐並取走所點的食品。 伯格•度姆快餐店擔心，它目前所用的顧客服務方式正導致過長的等候時間。管理層已經提出要求，需要對等候線進行研究，以開發一個能夠減少等待時間、提高服務質量的最佳服務方式。 12.1.1 單列等候線在伯格•度姆快餐店目前所實行的運作方式中，首先由一名服務生接受一位顧客的點餐，計算總費用，向顧客收取餐費，然後上菜。為第一位顧客上菜之後，這名服務生就可以為下一位等待中的顧客服務（與麥當勞或肯德基的服務方式類似。—譯者注）。這種運作方式就是一個單列等候線模型的例子。每位進人伯格 •度姆快餐店的顧客都必須透過這一條渠道（一個接收點餐和上菜的工作臺） 服務生顧客到達等候線接收點餐並滿足點餐要求點餐完畢後顧客離開圖12-1 伯格 •度姆的單列等候線
314 資料、模型與決策：管理科學篇以進行點餐、付款，然後取食品。當到達的顧客人數很多，以至於工作人員不能及時提供服務時，顧客們就會形成一條等候隊伍，等待這個點餐和上菜的工作臺為其提供服務。有關伯格•度姆快餐店的單列等候線如圖12-1所示。 12.1.2 到達間隔分佈為等候線確定到達過程，主要包括確定在某個給定時間段內顧客到達數目的機率分佈。對於有些等候線情形來說，顧客的到達具有隨機性和獨立性，我們也不能預測新的顧客會在什麼時候到達。在這種情況下，管理科學家們發現，顧客的到達規律可以用泊松機率分佈來很好地進行描述。 泊松機率函式可以計算出在某個時間段內，有x位顧客到達的機率。該機率函式如下°： （x=0,1,2，） （12-1） 式中， x—在此時間段內到達的人數； A—每個時間段內到達的平均人數； e=2.718 28。 e^的值可以利用計算器或透過書末附錄B計算得出。 假設伯格 •度姆快餐店已經對相關的顧客到達資料進行了分析，並得知平均每小時到達的顧客人數為45人。也就是說，平均1分鐘內到達人數為A =45名顧客/60分鐘=0.75名顧客/分鐘。因此， 我們可以利用下面的泊松機率函式計算1分鐘內有x位顧客到達的機率： 0.75*e-0.75 一=一 x！ （12-2） x！ 從而，1分鐘內有0位、1位和2 位顧客到達的機率分別為： P（0）= （0.75）'e -=e-0.38 =0.472 4 P（1）= （0.75）e 0. 75 -=0.75e-0.78 =0.75（0.472 4） =0.3543 P（2） =（0.75）2e-0.7s 2' _ （0.75）2e-035 -10.562.5）×（0.4724） =0. 1329 可見，1分鐘內沒有顧客到達的機率為0.4724， 有1位顧客到達的機率為0.3543，有2位顧客到達的機率為0.1329。表12-1 表示了1分鐘內到達的顧客數的機率。 在第12.2 節和第12.3節中，我們將要討論到等待線模型，其中伯格 •度姆快餐店的顧客到達人數是用泊松分佈描述的。在實際應用中，我們要記錄幾天或幾個星期內每個時間段的實際到達人數，並將觀察到的到達人數機率分佈與泊松機率分佈相比較，以確定由泊松機率分佈計算得出的值是否是實際到達人數分佈的合理的近似值。 表12-1 1分鐘內到達伯格•康姆快餐店的顧客人數機率分佈到達顧害數 0 I 2 3 4 ≥5 橛串 0.472 4 0. 354 3 0.132 9 0.033 2 0.006 2 0.001 0 12.1.3 服務時間分佈服務時間是指從服務開始，某位顧客在服務檯所花費的時間。對於伯格•度姆快餐店而言，服務日符號x！為x的階乘，其定義為x！=*（×-1）（x-2） （2）（1）。例如4！=4×3×2×1=24。當 =0時，規定0！=1。
第12章等候線模型 315 時間是從顧客開始向服務生點餐開始，並持續到顧客拿到所點的食品為止。服務時間通常不是固定的。在伯格 •度姆快餐店，每位顧客所點的食品數目和品種有很大的不同。點餐少的顧客可能在幾秒鍾內完成，但點餐多的顧客的可能要花2分鐘甚至更長時間才能完成。 管理科學學家們發現，如果服務時間的機率分佈可以用指數機率分佈來表示，那麼可以用公式來計算等候線運作所需的有用資訊。利用指數機率分佈來計算服務時間小於或等於時間長度t時的機率如下： P（服務時間≤t）=1 e-m （12-3） 其中， —每個時間段內可接受服務的個體的均值；e=2.718 28。 假設伯格•度姆快餐店已經研究了接受點餐和上菜的過指數機率分佈的一個性質是：隨機變程，並發現每個服務生平均每小時能為60位顧客提供點餐量的值小於其平均值的機率為0.6321。在服務。在此基礎上，可以得出平均服務率為 =60 名顧客/ 應用等候線時，指數機率分佈表明：服務 60 分鐘 =1名顧客/分鐘。例如，當=1時，我們可用式時間小於平均服務時間的機率約為63%， （12-3）來計算在0.5分鐘內、1分鐘內以及2分鐘內可以大於平均服務時間的機率約為37%。 處理一個點餐要求的機率。計算分別如下： P（服務時間≤0.5分鐘）=1-e-1x0.S =1-0.606 5=0.393 5 P（服務時間≤1.0分鐘）=1-e-lx1.0 =1-0.367 9=0.632 1 P（服務時間≤2.0分鐘）=1-e-1×2.0=1-0.135 3=0.8647 因此，我們可以得出結論：0.5分鐘內能處理一個點餐要求的機率為0.3935，1分鐘內能處理一個點餐要求的機率為0.632 1，2分鐘內能處理一個點餐要求的機率為0.8647。 本章所述的幾個等候線模型中，我們假定服務時間的機率分佈服從指數分佈。在實踐中，我們應該收集相關的實際服務時間的資料，以確定由指數分佈得出的值是否是實踐中服務時間的合理近似值。 12.1.4 排隊原則在描述等候線系統時，我們必須規定等待中的個體按照什麼方式等待服務。就伯格 •度姆快餐店的等候線（推廣到一般來講，可以是所有面向顧客的等候線）來說，我們是以先到先服務的原則來安排等候服務的顧客的，這種方式被稱做FCFS 排隊原則。然而，有些情況要求有不同的排隊原則。 如，人們在等候電梯時，最後上電梯的人通常是最先完成服務過程（即最先離開電梯）的人。還有一些排隊原則則是賦予等候個體優先次序，然後為具有最高優先權的顧客最先提供服務。在本章中，我們只討論以先到先服務的排隊原則為基礎的等候線。 專欄12-2 實踐中的管理科學全食市場的曲折等候線以及 FCFS 排隊原則位於紐約市切爾西街的全食市場僱用一個了等候線主管，以推行 FCFS 排隊原則。早在19世紀80 年代，溫迪、美洲航空、Chemical 銀行就率先應用曲折等候線以實施 FCFS 排隊原則。這種等候線的應用現在已經很普遍了。我們可以在銀行、娛樂場所、快餐店等的管理中見到這種等候線。因為這種等候線是彎曲過回的，因此我們稱為其為曲折的。當某個顧客到達等候線的前端時，則該顧客首先享受服務。在曲折等候線中，後來的顧客不可能比早到的顧客先獲得服務，因此，人們比較喜歡這種曲折等候線。 雖然曲折等候線得到了越來越廣泛的應用，但由於超市缺少足夠的空間，因此在超市中並沒有應用。在典型的超市中，每個收銀臺都形成一個單獨的等候線。當顧客準備結賬時，會選擇一個收銀臺，在該收銀臺的等待線中等候服務。有時，顧客從一個等候線轉換到另一個等候線會更早地獲得服務，這中現象有時會使得顧客很不安。為了解決上述問題，曼哈頓全食市場建立了一種新式的等候線，並僱用了一個等候線主管，負責將等候線中先到的顧客帶領到另外一個可以立即接受服務的收銀臺。
316| 資料、模型與決策：管理科學篇實際上，全食市場有3條平行的等候線。顧客首先進入到最短的等候線，當他們到達等候線的最前端時，然後輪流接收服務。例如，首先將等候線1中的第一個顧客安排到一個收銀臺，然後將等候線2中的第一個顧客安排到收銀臺，然後是等候線3中的第一個顧客，如此迴圈。採用這種方式，在實行FCFS 原則時，就可以避免出現過長的、彎曲的等候線。 全食市場的顧客看起來也非常喜歡這種系統，並非常喜歡等候線的主管比爾•瓊斯，並將比爾。 瓊斯看做名人。孩子們會在大街上伸手指他，顧客也會請他吃飯。 資料來源：基於 lan Parker，"Mr. Next， ” The New Yorker （January 13,2003）. 12.1.5 穩態執行當伯格 •度姆快餐店早上開始營業時，店裡沒有顧客。漸漸地，營業開始正常或呈穩定狀態。我們將開始或起始階段稱為過渡（瞬時）階段。當系統正常或穩態執行時，過渡（瞬時）階段結束。等候線模型描述了等候線的穩態執行引數。 12.2 到達服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈的單列等候線模型在本節中，為了確定單列等候線的穩態執行引數，我們等候線模型通常建立在假設的基礎上， 將引進一些相關的公式。如果顧客到達服從泊松分佈，並且如泊松到達和指數服務時間。應用所有等服務時間服從指數分佈，則我們就可以應用這些公式。因為候線模型時，都必須收集實際系統中的數上述假設符合第12.1 節中討論的伯格 •度姆快餐店問題，據，以確保對模型的假改是合理的。 因此，我們將解釋如何應用這些公式來確定伯格•度姆快餐店的執行參效，並據此為管理層提供有益的決策資訊。 雖然等候線執行引數推導的數學方法非常複雜，但在本章中，我們的目的並不在於等候線模型的理論發展，而在於說明如何利用已有的公式提供有關等候線執行引數的資訊。對這些公式的數學推導過程感興趣的讀者可以參閱本書末尾附錄的參考文獻中所列出的專業書籍。 12.2.1 執行引數我們可以用下述公式來計算到達服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈的單列等候線的執行參數，其中， A—每個時間段內到達的平均數（平均到達率）； ——每個時間段內服務的平均數（平均服務率）。 1.系統中沒有任何個體的機率： P。=1-二 2. 等候線中個體的平均數： 式（12-4）~式（12-10）並不是最佳 （12-4） 情形下的公式。確切地說，這些公式提供了等候線穩態執行引數的相關信惠。 1 3. 系統中個體的平均數： 1,A （A-A） 16十 （12-5） （12-6） 4.一個個體在等候線中所花費的平均時間： （12-7） 5. 一個個體在系統中花費的平均時間：
第12章 W-W。+ 等候線樸型 317 （12-8） 6.某位剛到達的個體必須等待的機率： P。-二 （12-9） 7. 系統中同時有n 個個體的機率： P.-（分）P。 （12-10） 很明顯，平均到達率A和平均服務率心的值是決定執行引數的重要因素。透過式（12-9）可以看出， 平均到達率和平均服務率的比值A/w表示一個到達的個體由於服務設施處於被使用狀態而不得不等候的機率。因此，通常將 A/w看做服務設施的利用係數。 只有當平均服務率大於平均到達率A（即A/M <1）時，式（12-4）~式（12-10）所求的執行引數才適用。如果不存在上述情況，則等候線將會無限期增長，因為服務設施沒有足夠的能力接待新到達的個體。因此，必須要求當A/ <1 時，我們才能利用式（12-4）~式（12-10）來計算。 12.2.2 伯格 •度姆快餐店問題的執行引數回額一下，在伯格•度姆快餐店的問題中，我們已經得到一個平均到達率A =0.75 和一個平均服務率 =1。因此，在A/M<1的情況下，可以利用式（12-4）~式（12-10）來計算伯格•度姆快餐店的單列等候線的執行引數： P。=1A 0.75 =1 - M 1 一=0.25 A' 0.752 L。= A（M-A） 一=2.25（位顧客） 1×（1-0.75） 4+2.25+ 0.75 1 一=3（位顧客） W。= L 入 2.25 0.75 =3（分鐘） W=W。+ -=3+ 1 =4（分鐘） P.=二 0.75 一=0.75 1 表12-2 伯格 •度姆快餐店的導候線系統中有 n位顧客的機率顧害人數橛率 0 0.2500 1 0.187 5 2 0.140 6 3 0.105 5 4 0.079 1 0.059 3 6 7個或更多 0.044 5 0.133 5 我們可以用式（12-10）確定系統中任何數目顧客的機率。表12-2 提供了應用式（12-10）得出的機率資訊。 12.2.3 管理者對等候線模型的應用伯格•度姆快餐店的單列等候線的計算結果給出了一些關於等候線運作的重要資訊。特別值得注意的是，顧客們在點餐前的平均等待時間為3分鐘，這對以快速服務為宗旨的快餐行業來說，多少有些長了點。此外，我們還注意到，等待中的顧客平均人數為2.25位，且顧客不得不等待的機率為 75%，這也要求我們必須採取措施來改善等候線的運作。透過表12-2，我們知道，在伯格•度姆快餐店的系統中，同時有7個或7個以上顧客等待的機率為0.1335。這一數字表明，如果伯格 •度姆快餐店繼續使用單列等候線運作方式，則很可能會出現較長的等待隊伍。 如果相對於公司的服務標準來講，伯格•度姆快餐店的執行引數並不令人滿意。因此，快餐店的管理者應當考慮採取其他設計或計劃來改善等候線的運作。
318 資料、模型與決策：管理科學篇 12.2.4 改進等候線運作等候線模型通常會顯示出哪些執行引數需要改善。然而，要就怎樣改變等候線結構來改善執行參數做出決策，必須依靠分析家的洞察力和創造力。 考察了等候線模型所提供的執行引數之後，伯格•度姆快餐店的管理者認為有必要改善等候線的運作從而減少顧客的等候時間。為了改善等候線的運作，分析家們常常側重於採用提高服務率的方法。一般來講，要提高服務率，需要做出下面一兩種改變： 1.透過創造性的設計變更或利用新技術來提高平均服務率從。 2. 增加服務渠道，這樣能夠使更多的顧客得到即時服務。 假設在考慮方案1時，伯格•度姆快餐店的管理者決定僱用一名上菜員來幫助收銀臺旁的點餐員。從點餐員點餐開始，顧客開始接受服務。點餐後，點餐員透過一個內部通訊系統報出菜名，然後由上菜員開始上菜。點餐完畢後，點餐員處理付款事宜，上菜員繼續上菜。按照這一設計，伯格•度姆快餐店的管理者預測，平均服務率可以從現在的每小時60位顧客上升到每小時75 位顧客。也就是說，改變後的系統的平均服務率為 =75位顧客/60分鐘=1.25位顧客/分鐘。在A =0.75 位顧客/分鍾且 =1.25位顧客/分鐘的情況下，我們可以利用式（12-4）~式（12-10）重新計算伯格 •度姆快餐店的等候線的新的執行引數。計算得到的執行引數如表12-3所示。 表12-3 平均服務率上升到/=1.25位顧害/分鐘時，伯格 •度姆快餐店系統的執行引數系統中沒有顧客的機率等候線中顧客的平均人數系統中顧客的平均人數一位顧客在等候線中花費的平均時間一位顧客在系統中花費的平均時間一位到達的顧客必須等候的機率系統中有7位以上（含7位）顧客的機率 0.400 0.900 1.500 1.200分鐘 2.000分鐘 0.600 0.028 從表12-3中我們可以看出，服務率的提高改善了所有的執行引數。特別地，顧客排隊等候所花費的平均時間從3分鐘下降到了1.2分鐘；顧客在系統中所花的平均時間從4分鐘減少到2分鐘。然而， 還有沒有其他的方法可以讓伯格•度姆快餐店提高服務率呢？如果有，並且每種方法中的平均服務率 M 都能確定，則可以利用式（12-4）~式（12-10）來計算改變後的執行引數以及等候線系統中的所有改善。我們可以將實施改進方案所增加的成本與提高的服務質量進行比較，從而幫助管理者決定實行改善方案的服務改善策略是否有價值。 正如前面所提到的，方案2可以提供一個或多個額外的服務渠道，從而可以在同一時間內為多位顧客服務。下一節討論的主題就是把單列等候線模型擴充套件到多列等候線模型。 12.2.5 等候線模型的Excel 解法在工作表的幫助下，我們可以很容易地實施等候線模型。伯格 •度姆快餐店單列等候線的 Excel 工作表如圖12-2所示。陰影部分是輸人了公式的單元格，明亮部分是輸人了數值的單元格。在單元格B7和B8 中分別輸入平均到達率和平均服務率，然後將等候線相關執行引數的公式輸人到單元格 C13到C18中。透過該工作表得到的結果與我們前面得到的執行引數的值是相同的。我們可以透過在單元格 B7和B8 輸入不同的平均到達率和（或）平均服務率，來得出等候線設計的變更。如此就可以立刻得到等候線的新的執行引數。 圖12-2所示的工作表是一個模板，可以用於所有到達服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈第12章等候線模型 319 的單列等候線模型。該工作表及本章中提到的其他一些等候線模型的類似工作表，可以參見在本書附帶的CD盤中的內容。 單列餑候線模™ 假議到達服從酒松分佈服務時間服從指數分佈滅均到達4 乎均服務率執行引數不統小沒真鎮意的概卡，P 等候線中顧客的平均人數，24 系統小顧客的平總人數，L 發候線中化我的半上時時，W4 在系統中花費的火熱時間，好顧客必須等候們機率，Pw 0.75 單列等候線模型假設到達服從泊松分佈服務時間服叢指數分佈平均到達率彩均服務率執行引數系統中沒有額客的機率，P。 等候線中顧客的業均人數，工系統中顧客的平均人數，！ 石顧客在笠候線中花費的平均吐間，Wg 位顧寄在系統中花費的平均時間，現位到達的頭客必須等候的機率.Pw 圖12-2 伯格 •度姆快餐店的單列等候線的工作表註釋與評論 1.假設到達服從泊松分佈，等同於假設到達之間的時間間隔服從指數分佈。例如，如果一個等候線的到達服從平均每小時到達20個的泊松分佈，也就是服從到達時間間隔的平均時間為0.05小時的指數分佈。 2.很多人認為，只要平均服務率從大於平均到達率A，該系統就能夠接待所有到達者或者說可以為所有到達者提供服務。然而，正如伯格 •度姆快餐店的例子所示，即使平均服務率4 大於平均到達率入，到達時間和服務時間的不確定性也可能會導致過長的等候時間。等候線模型的貢獻之一就是， 即使滿足看似令人滿意的條件從>A，它們也能夠指出等候線執行引數中不盡如人意的地方。 12.3 到達服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈的多列等候線模型一個多列等候線包括兩個或兩個以上服務渠道，假設這你可能熱悉有多個等候線的多列系統。 些服務渠道就服務能力而言是相同的。在多列系統中，到達本節中所介紹的等候線模型有多個渠道， 的個體在單列等候線中等待，然後移動到第一個可用的渠道但只有一條等候線。單列等候線的多列系接收服務。伯格•度姆快餐店的單列營業方式可以透過增開統比多列等候線的多列系統的執行引數好。 第二個服務渠道擴充套件成雙渠道系統。圖12-3為伯格•度姆快餐店的一個雙渠道等候線示意圖。 本節中，我們將介紹確定多列等候線穩態執行引數的公式。這些公式的應用前提為下列條件成立： 1. 到達服從泊松分佈； 2. 各個渠道的服務時間服從指數分佈； 3.各個渠道的平均服務率p相同； 4. 到達者在單列等候線中等候，然後移動到第一個可用的渠道接收服務。
320 資料、模型與決策：管理科學篇渠道1 顧客到達一等候線服務生A 額客到下•個營業渠道渠道2 點餐完畢後顧客離開服務生B 圖 12-3 伯格 •度姆快餐店的雙渠道等候線 12.3.1 執行引數我們可以用下列公式來計算多列等候線的穩態執行引數，其中，A表示系統的平均到達率；從表示每個渠道的平均服務率；k表示渠道數。 1. 系統中沒有任何個體的機率： （12-11） 2.等候線中個體的平均數： 3. 系統中個體的平均數： （A/A）*Ay L。=元 （-1）！（bL A P。 L.=L。+^ （12-12） （12-13） 4.一個個體在等候線中所花費的平均時間： （12-14） 5. 一個個體在系統中花費的平均時間： W=W。+ （12-15） 6.某位剛到達的個體必須等待的機率： 7. 系統中同時有n個個體的機率： P，-（ALP。（對於n≤A） （12-16） （12-17） （12-18） 因為從為每個渠道的平均服務率，所以hye就是多列系統的平均服務率。我們已知道上述公式適用於單列等候線模型，但只有當系統的平均服務率大於系統的平均到達率時，這些公式才能適用於多列第12童等候線模型 321 等候線模型的執行引數。也就是說，對於多列等候線模型，只有當b>A 時，才可以應用上述公式。 對於多列等候線，有些執行引數的表示式比單列等候線的要複雜。但是，式（12-11）~式（12-18） 給出了與單列等候線模型相同的資訊。為了幫助簡化多列等候線模型中公式的運用，表12-4給出了根據所選定的一些A/k和k的值所計算出的P。的值。 表12-4 到達服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈的多列每候線中的P。的值渠道的數量（k） 比率（A/） 4 比率（A/k） 0.15 0.20 0.25 0.30 0.35 0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75 0.80 0.85 0.90 0.95 1.00 1.20 2 0.860 5 0.818 2 0.777 8 0.7391 0.7021 0.666 7 0.632 7 0. 600 0 0.568 6 0.538 5 0.509 4 0.481 5 0.454 5 0.428 6 0.403 5 0.379 3 0.355 9 0.333 3 0.250 0 0.860 7 0.8187 0.7788 0.740 7 0.7046 0.670 1 0.6373 0.6061 0.576 3 0.5479 0.5209 0.495 2 0.4706 0.447 2 0.4248 0.403 5 0.383 1 0.363 6 0.294 1 0.860 7 0.818 7 0.7788 0.740 8 0.704 7 0.670 3 0.637 6 0.606 5 0.576 9 0.548 7 0.521 9 0.496 5 0.472 2 0.449 1 0.427 1 0.406 2 0.386 3 0.367 3 0.300 2 渠道的數量（k） 5 0.860 7 0.8187 0.778 8 1.40 1.60 2 0.1765 0.111 1 0.0526 3 4 0.236 0 0.2449 0.1872 0. 199 3 0.1460 0. 161 6 0.111 1 0.1304 0.0815 0.1046 0.056 2 0.083 1 0. 034 5 0.065 1 0.0160 0.052 1 0.5769 0.037 7 0.548 8 0. 027 3 0.522 0 0.0186 0.496 6 0.011 3 0.472 4 0.005 1 0.449 3 0.427 4 0.406 5 0.386 7 0.3678 4.60 4.80 0.3011 s 0.246 3 0.201 4 0.164 6 0. 134 3 0.109 4 0.0889 0.072 1 0.058 1 0.0466 0.037 2 0.029 3 0.0228 0.017 4 0.0130 0.009 3 0.006 3 0.003 8 0.001 7 12.3.2 伯格 •度姆快餐店問題的執行引數為了說明多列等候線模型，我們仍然以伯格•度姆快餐店的等候線為例。如果管理者想對增開第二個點餐工作臺（以便能同時為2位顧客提供服務）的可行性進行評估。假設在單列等候線中排在第一位的顧客首先到達空閒的服務生處接收服務。下面我們來計算這個雙渠道系統的執行引數。 我們運用式（12-12）~式（12-18）來計算當k=2時的雙渠道系統的執行引數。當平均到達率為A= 0.75位顧客/分鐘，且每個渠道的服務率為 =1位顧客/分鐘時，我們得到下面的執行引數： P。 =0.4545（見表12-4，其中，A/ =0.75） L。= （0.75/1）2×0.75x1 （2-1）！（2×1-0.75） ×0.4545=0.1227（位顧客） - =0.1227+ 2.22 =0.8727（位顧客） W。-臺=2e 0.122 7 0.75 一=0.1636（分鐘） W=W。+- 二=0.1636+ i =1.1636（分鐘） 2）12x3 .75］ ×0.4545=0.204 5 •
322 資料、模型與決策：管理科學篇利用式（12-17）和式（12-18），我們可以計算出系統中有n位顧客的機率。計算結果如表12-5所示。 現在，我們可以將雙渠道系統的穩態執行參表12-5 伯格•度姆快餐店雙渠道數與第12.2節中所討論過的原先的單列系統的運系統中有n位顧客的機率行引數進行對比。 1. 一位顧客在系統中所花費的平均時間（等顧客人數機率候時間加上接收服務時間）從W=4分鐘減少到 0 0.454 5 1 0.3409 W=1.1636分鐘； 2. 等候線中顧客的平均人數從L。=2.25位 2 0.1278 減少到L。=0.1227位； 3 0.0479 3. 一為顧客在等候線中所花的平均時間從 4 0.018 0 ≥5 0.0109 W，=3分鐘減少到W，=0.1636分鐘； 4.一位顧客不得不等待的機率從 Ww =0.75 下降到 Pw=0.2045。 很明顯，雙渠道系統可以極大地改善等候線的執行引數。但是，在每個服務檯增加一個上菜員也會進一步提高平均服務率，並且可以進一步提高執行引數。伯格•度姆快餐店人員決策的最終決定權在管理者的手中。對等候線的研究只提供了以下3種結構下可以預測到的執行引數：一名員工的單列系統，兩名員工的單列系統和每個渠道一名員工的雙渠道系統。考察了上述結果之後，你會推薦實施什麼措施？在本例中，伯格•度姆快餐店採用了下面的策略：在預計到達顧客為平均每小時45人的時間段內，伯格•度姆快餐店將增開兩個處理點餐的渠道，每個渠道安排一名員工。 伯格 •度姆快餐店的管理者透過改變平均到達率A來反映一天中不同時段的到達率，然後計算出執行引數，這樣他們就能夠制定出相應的方針政策，告訴經理什麼時候應當安排單個渠道，什麼時候應當安排雙渠道，或者甚至是三個或更多渠道以適應營業狀況。 註釋與評論多列等候線模型是以單列等候線為基礎的。你可能也會遇到過這樣的情況：在k 個渠道中，每個渠道都有其各自的等候線。利用管理科學家軟體可以看出，採取單等候線的多列等候線模型的執行參數要更好一些。顧客們也比較喜歡這種系統，因內在某位顧客後面來的人都不能在他之前先接收服務。因此，可能的情況下，諸如銀行、航空預訂臺、食品服務場所以及其他行業經常在一個多列系統中來用單條等候線。 12.4 等候線模型中的一般關係在第12.2節和第12.3節中，我們分別講到了到達服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈的單列等候線和多列等候線的執行引數的計算公式。相關的執行引數如下： L。—等候線中個體的平均數； L—系統中個體的平均數； W。一個個體在等候線中所花費的平均時間； W—一個個體在系統中所花費的平均時間。 約翰 •裡特（John D.C. Litde）證明了這4個引數之間存在幾種關係，並且這些關係適用於各種不同的等候線系統。其中的兩種關係稱為裡特匯出方程： L=AW L。=AW。 （12-19） （12-20） 式（12-19）表明，系統中個體的平均數可以由平均到達率A與每個個體在系統中所花費的平均時間第12章等候線模型 323 W相乘得到。式（12-20）表明，等候線中個體的平均數L。與每個個體在等候線中所花費的平均時間 W。之間也存在著一樣的關係。 利用式（12-20）求解W。，我們可以得到： 明. （12-21） 利用裡特的第二個匯出方程可以直接推匯出式（12-21）。我們在第12.2節中的單列等候線模型和第 12.3節中的多列等候線模型中都用到了這個公式［參見式（12-7）和式（12-14）］。一旦計算出上述某個模型的L。，就可以透過式（I2-21）計算 W』。 另一個適用於等候線模型的一般表示式是：個體在系統中的平均時間 W等於個體在等候線中的平均時間，加上平均服務時間。對於一個平均服務率為的系統來說，平均服務時間為1/4。因此， 我們得到一般的關係式： W=W。+ （12-22） 回顧一下，我們曾用式（12-22）計算單列等候線模型和多列等候線模型系統的平均時間［參見式 （12-8）和式（12-15）］。 裡特匯出方的重要性在於：不論到達是否服從泊松分佈，服務時間是否服從指數分佈，都能適用於任何等候線系統。例如，在一次對墨菲食品連鎖店的食品雜貨收銀臺的研究中，有分析家得出： 該店的顧客到達服從平均到達率為每小時24位顧客（即A =24/60 =0.40 位顧客/分鐘）的泊松分佈； 但是他還發現，服務時間服從平均服務率為每小時30位顧客（即 =30/60 =0.50位顧客/分鐘）的正態分佈，而不是指數分佈。透過一個對顧客實際等候時間的研究發現，每位顧客在系統中平均花費的時間為4.5分鐘（等待時間加上付賬時間）。也就是說，W =4.5。根據本節中所討論的等候線的相關關係式，我們現在可以計算這個等候線的其他執行引數。 首先，利用式（12-22）求解W。，我們可以得到： 裡特匯出方程的優點在於它們體現了 W，=W-上=4.50.50 =2.5（分鐘） 執行引數1、L。、印和取。在所有等候線系統中的關係。應用匯出方程時，不要求到此時我們已知取和W。，接下來我們可以利用裡特匯出方程達和服務時間遵循特定的機率分佈。 式（12-19）和式（12-20）進行計算，並得到： L=AW=0.40x4.5=1.8（位顧客）。 AW。=0.40×2.5=1（位顧客） 墨菲食品的經理現在可以自己檢查一下這些執行引數，看看是否應當採取措施來改善服務，以降低等候時間，縮短等候線的長度。 註釋與評論在等候線長度受限的等候線系統中（如，等候空間比較小的系統），一些剛到達的個體將會因為受到阻礙而不能加入到等候線中，因而等候線系統將會失去這些顧客。在這種情況下，這些受到阻礙或離開了等候線系統的到達者，將會使得進入系統的個體的平均人數在某種程度上少於平均到達率。 透過將A定義為進入等候線系統的個體平均數，而不是平均到達率，我們可以利用本節所討論的關係是來計算W、L、W。和L。的值。 12.5 等候線的經濟性分析通常，等候線設計的相關決策是建立在對等候線執行引數進行客觀評價的基礎上的。例如，經理可能會做出決定，將系統中的平均等待時間控制在1分鐘或1分鐘以內，並把等待服務的顧客的平均人數控制在2位或2位以內。利用前幾節中所討論的等候線模型，可以為實現該經理的目標確定渠道
324.資料、模型與決策：管理科學篇的數量。 另一方面，經理可能還會希望計算出執行等候線系統的成本，然後在每小時或每天的執行成本最小化的條件下，決定如何設計系統。在進行等候線的經濟性分析之前，必須首先建立一個總成本模型，包括等候成本和服務成本。 為了建立一條等候線的總成本模型，我們首先定義下列將要用到的符號： c ——每個個體在每個時間段內的等候成本； 等候成本是以系統中個體的平均數為基礎的。它包括在隊伍中等候的時間加上享受服務的時間。 L—系統中個體的平均數； c.一一每條渠道在每個時間段內的服務成本； -渠道數； TC—-每個時間段內的總成本。總成本是等候成本與服務成本之和，即： TC=CaL +ask （12-23） 要對一個等候線進行經濟性分析，我們必須對等候成本增加更多的渠道通常能夠提高等候線的和服務成本進行合理地預測。在這兩種成本中，等候成本通執行引數、降低等候成本。然而新增的渠道常更難估價。在伯格 •度姆快餐店問題中，等候成本是每分增加了服務成本。對等候線的經濟性分析， 鍾花在每位等候顧客身上的成本。這一成本對於伯格 •度姆即是試圖發現能使等候成本與服務成本相快餐店來說不是一筆直接的花費。但是如果伯格 •度姆快餐均衡，從而把總成本降至最低的渠道數量。 店忽視這一成本而任由長長的等待隊伍繼續存在，最終，顧客們將會到其他的地方購買食品。這樣將會造成伯格•度姆快餐店在銷售上的損失，從而導致更多的成本。 服務成本通常比較容易確定。它是與每個服務渠道的運作直接相關的成本。在伯格 •度姆快餐店的問題中，服務成本包括服務生的薪水、福利以及其他與服務渠道的運作相關的直接成本。根據估計，伯格 •度姆快餐店的服務成本是每小時7美元。 為了說明如何使用式（12-23），在此假設伯格•度姆快餐店願意付出的等候成本為每小時10美元。我們用第12.2 節和第12.3 節中計算得出的系統中個體的平均數1，來分別計算出單列系統和雙渠道系統的每小時的總成本： 單列系統（L =3位顧客）， TG =cmL+csh =10x3+7×1=37.00（美元/小時） 雙渠道系統（L=0.8727位顧客）， TC =CwL +csk =10 ×0.872 7+7×2 =22.73（美元/小時） 總成本因此，根據伯格•度姆快餐店所提供的成本服務成本效據，我們認為雙渠道系統提供了最經濟的執行方式。 圖12-4描述了在分析等候線的經濟性每小時的總成本時成本曲線的大體形狀。我們可以看出，服務成本隨著渠道數的增加而提高；然而，更多的渠道會帶來更好的服務，即等候時間及等候成本等候成本是隨著渠道數量的增加而減少的。 因此，我們可以透過對幾個設計方案進行評估求得一個渠道數量，使得其對應的總成本接近於最低。 服務渠道的數目（k） 圖 12-4 籌候線模型中的籌候線成本曲線、朋務成本曲線和總威本曲錢的大體形狀第12 章等候線模型 325 註釋與評論 1.在與政府機構和事業單位打交道時，顧客們可能別無選擇。在這些情況下，即使出現冗長的等候佇列，單位或企業也不會有損失。這種現象是造成這些機構服務差的原因之一，也是顧客們在這些情況下會長時間等候的原因之一。 2. 在很多情況下，提供服務的組織同時也擁有這些等候接收服務的個體。例如，如果某個公司擁有卡車，並利用卡車發貨到製造工廠或者是從製造工廠運貨出來。公司除了為等候裝車或解除安裝的卡車支付相關費用之外，還要支付提供操作服務的卡車裝載工和解除安裝工的薪水。在這個例子中，對公司來說，卡車等候的費用和操作服務渠道的費用是直接費用。對於這種情況，我們極力建議企業對等候線系統進行經濟性分析。 12.6 其他等候線模型肯德爾（D.G. Kendall）提出了一套符號，這套符號有助於對已有的許多不同的等候線模型進行分類。這套3個字母的肯德爾符號如下： A/B/k 其中，A表示到達的機率分佈；B 表示服務時間的機率分佈；k表示渠道數。 根據在A或B的位置上出現的不同字母，可以描述出許多等候線系統。通常使用的標記字母如下： M—到達服從泊松分佈或服務時間服從指數分佈； D—到達或服務時間是確定的或持續不變的； G—到達或服務時間服從某種已知均值和標準差的一般機率分佈。 利用肯德爾符號法，到達服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈的單列等候線模型可以劃分為 M/M/1 模型；第12.3節中講到的到達服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈的雙渠道等候線模型可以劃分為M/M/2 模型。 註釋與評論在有些例子中，肯德爾符號法擴充套件為5個符號。第4 個符號表示系統中可能存在的最大個體數量。 第5個符號表示人群的數量大小。當等候線中所容納的個體有最大數量限制或有最大值時，使用第4 個符號。而當到達的個體或顧客數量有限時，就必須用到第5個符號。當省略肯德爾符號法中的第4 和第5個符號時，則說明我們將等候線系統的容量假設為無限的，客源也是無限的。 12.7 到達服從泊松分佈、任意服務時間的單列等候線模型讓我們再回頭看看單列等候線模型，其中，可以用泊松機率分佈來描述到達的個體。然而，在此我們假設服務時間不是服從指數機率分佈的。這樣，利用肯德爾符號法，該等候線模型符合 M/G/1模型，其中G代表某種一般的或不明確的機率分佈。 12.7.1 M/G/1 模型的執行引數在描述 M/G/1 模型的執行引數時，所用到的符號有： A—平均到達率； 從——平均服務率； 0—服務時間的標準差。 在往 M/G/1模型輸入資料時，要注意時間段的連續性。例如，如果A和從以每小時的個體數來表示，那麼服務時間的標準差應當用小時來表示。下面的例子以分鍾作為到達者和服務資料的時間段的單位。
326 資料、模型與決策：管理科學篇 M/C/1 等候線模型的一些相關執行引數如下： 1.系統中沒有任何個體的機率： P。=1從 （12-24） 2. 等候線中個體的平均數： 3. 系統中個體的平均數： 4.一個個體在等候線中所花費的平均時間： 2（1-A/p） 1=。十 *. （12-25） （12-26） （12-27） 5. 一個個體在系統中花費的平均時間： （12-28） 6. 某位剛到達的個體必須等待的機率： （12-29） 注意，L、W。和W在此的關係與第12.2節和第12.3 節中所講的等候線性模型中三者的關係一樣，可以用裡特匯出方程求出它們的值。 示例哈氏海貨供應公司的零售業務由一名職員處理。顧客的到達是隨機的，平均到達率為每小時21 位顧客（即A =21/60 =0.35位顧客/分鐘）。對服務過程的一次研究表明：平均服務時間為每位顧客2分鐘，標準差。=1.2分鐘。每位顧客的平均服務時間為2分鐘，也就是說一名職員的平均服務率為 =1/2=0.50位顧客/分鐘。因此，我們可以計算該 M/C/1 模型的執行引數如下： =1-A -=1-0.35 0.50 =0.30 1。=9,35’x1.2' + （0.35/0.50）2 2 （1-0.35/0.50） 一=1.1107（位顧客） L=L，+ A • =1.1107+ 0.35 0.50-1.8107（位顧客） L1102=3.1733（分鐘） W=W。+ A -=3.1733+0.50-5.1733（分鐘） 0.35 =0.70 0.50 哈氏公司的經理可以參考這些執行引數，以決定是否值得再增加一名職員。 12.7.2 固定不變的服務時間對於假設到達具有隨機性、服務時間固定不變的單列等候線模型，我們想簡單地做些評論。我們知道，在生產製造環境下，由機器控制的服務時間是持續不變的。因此這種等候線模型可能會存在於生產製造環境下。我們可以用 M/G/1模型來描述這種等候線，其中D是指確定性的服務時間。在M/ G/1 模型中，等候線中個體的平均數L。可以在持續服務時間的標準差。=0的條件下，透過式 （12-25）計算得出。如此一來，在M/C/1 模型中，等候線中個體平均數的表示式變為：
第12章等候線模型 327 （12-30） （A/p）” L，“2（1-A/p） 本節前面講到的其他表示式可以用於確定 M/G/1系統的其他執行引數。 註釋與評論只要等候線的某個執行引數不令人滿意，通常管理者就會試圖透過提高平均服務率M來改善服務。這個方法雖然不錯，但是透過式（12-25）我們可以看出，服務時間的標準差對等候線的執行參數也有影響。由於服務時間的標準差。在式（12-25）的分子中，因此，服務時間的變動增大，會使得等候線中個體的平均數上升。這樣，我們可以得到改善等候線服務能力的另一個方案：減少服務時間的變動。因此，即使不能提高服務設施的平均服務率，降低口的值也會減少等候線中個體的平均數，而且也會提高系統中的其他執行引數。 12.8 到達服從泊松分佈、任意服務時間且無等候線的多列模型在到目前為止所討論的等候線模型中，一個特別引人注意的變化就是沒有等候線的系統。到達的個體或顧客向眾多服務渠道中的某個渠道尋求服務。如果所有的渠道都處於繁忙狀態，那麼到達的個體將無法進入系統。用等候線的術語來講，系統滿載時，到達的個體受阻，並會離開系統。如此一來，系統就有可能會失去這些顧客，這些顧客也有可能會在某個以後的時刻重返系統。 本節中所講到的這個特定模型是建立在下列假設基礎上的： 1. 系統中有k個渠道； 2. 到達者服從平均到達率為A的泊松分佈； 3.每個渠道的服務時間可能服從某種機率分佈； 4. 每個渠道的平均服務率k是相同的； 5.當至少有一個渠道可用時，到達者才會進入系統。如果某個個體在所有渠道都繁忙時到達， 則他會受到阻礙。也就是說，系統不提供服務，該個體不能進入系統。 上述條件下的模型被稱為“清除了受阻顧客”的M/G/k，其中，G表示服務時間服從某種不確定的概率分佈。在這種模型中存在的一個問題是：渠道或服務生的數目應如何確定？ 這種模型主要應用在電話系統和其他通訊系統的設計中。其中，到達者是打進的電話，渠道是可用的電話數或通訊線路的數目。在這樣一個系統中，所有電話撥打的是同一個號碼。系統不忙碌時， 電話會被自動轉到空閒的電話線路。當所有的渠道都忙碌時，多出的電話將接受到一個繁忙訊號，並且不能進入系統。 清除了受阻顧客的 M/G/k模型的執行引數為了求解系統的最佳渠道數目，我們假設k條渠道中有；條處於繁忙狀態，然後依次計算穩定狀態下的各種機率。這些機率可以由下式得出： （12-31） 品（A/M）' i！ 其中， A——平均到達率； 從—每個渠道的平均服務率； k—渠道數； P，—k條渠道中有j條處於繁忙的機率（j=0，1，2，3，•，k）。 對我們來講，最重要的機率為P，也就是所有的h條渠道都處於繁忙狀態的機率。按照百分比來計
328 資料、模型與決策：管理科學篇算，P。表示由於受阻而無法進入系統的到達者佔總數的百分比。 另外一件值得注意的事是，執行引數是系統中個體的平在不允許等待的情況下，前面提到的均數。這個數值等於使用中的渠道的平均數。令L表示系統等候線模型所涉及到的執行引數L。和取。 中個體的平均數，我們可以得到： 自動設為0，而與服務渠道無關。此時，設 L= （1-P.） 計過程中尤其要考慮的是受阻顧客的百分 （12-32） 比如何受渠道數的影響。 示例微型資料軟體公司利用一套電話訂貨系統來為其計算機軟體產品進行相關服務。來電者可以透過撥打公司的800免費電話向公司訂貨。假設撥打該號碼的來電以A=12 個電話/小時的平均頻率到達。處理一個電話訂貨所需要的時間因訂貨要求不同而有很大不同。然而，預計微型資料軟體公司的每個銷售代表平均每小時處理6個電話，即=6個電話/小時。目前，該公司的800免費電話有3條內線（或渠道），每條內線由一個銷售代表來操作。打進的800免費電話會自動切換到一條空閒的內線（或一條可供使用的渠道）。 當3條內線都繁忙時，來電者就會聽到一個表示系統繁忙的訊號。過去，微型資料軟體公司的管理者曾假設，聽到忙音的來電者過些時候會再打過來。然而，最近對電話訂貨的一項研究表明，許多沒有打通電話的來電者並不一定會在稍候的時間再打一次。這些未打進的電話說明公司會遭受到利潤上的損失。因此公司的管理者提出要求，要對電話訂貨系統進行分析。公司管理者最想知道的是聽到忙音並且受到阻礙無法進人系統的來電者的比率。如果管理者的目的是讓此係統的能力達到能夠處理 90%的來電者，那麼，公司應該有多少條電話線？多少名銷售代表？ 我們可以透過計算P。來說明如何應用式（12-31）。P，是目前可用的3條電話線全部忙碌的機率， 也是多出來的來電者會受到阻礙的機率： P，= （1⅜）’/3！ （1）/0！+（1⅜）'/1！+（13）2/2！ +（13）2/3！ 1.333 3 =0.2105 6.333 3 當P，=0.2105時，大概有21%（或1/5）的來電者會受阻。只有79%的電話能得到3條內線系統的即時處理。 我們假設微型資料軟體公司將系統擴充套件到4條內線。則4條渠道全部繁忙的機率，也即來電受陽的機率為： （13）‘/4！ 0.667 （1%）/0！+（1⅜）'/1！+（13）2/2！+（19）/3！+（1⅜）/4！ -=0.095 2 當僅有9.52%的來電者受阻時，90.48%的來電者就能聯絡上微型資料軟體公司的銷售代表。因此， 為了達到管理者的目標（即讓系統有足夠能力處理90%的來電），公司應當將電話訂貨系統擴充套件為4 條線。在擁有4條內線的系統中，來電平均數以及由此得出的繁忙內線和繁忙銷售代表的平均數為： 儘管處於繁忙狀態的內線平均數不到2條，但仍需要4條內線的系統來提供足夠的能力以處理至少 90%的來電。我們用式（12-31）計算出了0、1、2、3以及4條內線繁忙的機率，如表12-6所示。 正如我們在第12.5節中所討論的那樣，對等候線的經濟性分析可以用來指導有關系統設計的決策。在微型資料軟體公司的系統中，我們可以表12-6 微型資料軟體公司的4條內線系統中繁忙線路的機率比較容易地確定出由於增加電話線和銷售代表而造成的成本的增加。該成本可以與受阻的電話造成的損失相權衡。當有9.52%的電話受阻且A= 12個電話/小時時，則一天8小時內平均會有8x L2 ×0.0952=9.1個受阻電話。如果微型資料軟件公司能夠預計可能的銷售損失，那麼就可以繁忙線路 0 1 2 3 4 橛率 0.1429 0.285 7 0.285 7 0.190 5 0.095 2
第12章等候線模型 329 計算受阻電話造成的損失。對服務成本和受阻電話成本的經濟性分析，有助於確定系統內線的最佳數量。 註釋與評論在我們前面幾節中所講到的執行引數中，有一些與清除了受阻顧客的 M/G/k 模型並無關係。尤其需要注意的是，由於這種系統中不允許存在等候現象，因此不必考慮顧客在等候線中的平均時間取。 以及等候線中的個體的平均數L。。 12.9 有限客源的等候線模型目前為止，我們所介紹的等候線系統中，都認為要接在前面所述的等候線系統中，到達率受服務的到達個體或顧客的人數是無限的。用專業術語來不變且與系統中的個體數量無關。而在有講，當對要求服務的個體數量不加限制時，我們稱該模型為限客源的情況下，到達率隨系統中個體數無限客源的。在這種假設下，不管等候線系統中有多少個量的增加而降低。這是因為當系統中個體體，平均到達率A均保持不變。大多數等候線模型都假設增加時，到達者可用的渠道會減少。 有無限客源。 然而在有些時候，需要假設要求服務的個體或顧客的最高人數是限定的。此時，系統的平均到達率是變化的，並且取決於等候線中個體的數量，我們稱這種模型為有限客源的。為了說明有限客源造成的影響，我們需要對前面講到的等候線模型的執行引數的計算公式進行修改。 本節中所討論的有限客源模型是基於以下假設的： 在有限客源模型中，對平均到達率A 1.每個個體的到達服從平均到達率為A的泊松分佈；的定義有所改變。此處特別規定A 為每個 2，服務時間服從平均服務率為k的指數分佈； 個體的平均到達率。 3. 有服務要求的個體的人數是有限的。 我們將有限客源的M/M/1模型的平均到達率定義為：每個個體到達或要求服務的頻率。該定義與前面的等候線模型中的不同：在前面所講的那些等候線模型中，A是系統的平均到達率。在有限客源的情況下，系統的平均到達率因系統中個體的數量不同而有所差別。因此，在有限客源模型中，A 表示每個個體的平均到達率，並不隨著系統的變動而變動。 有限客源的M/M/1 模型的執行引數我們用下列公式來確定有限客源的M/M/1 模型的穩態執行引數。其中， A—每個個體的平均到達率； K——平均服務率； N—客源數量。 1.系統中沒有任何個體的機率： 1 P。"M1 （12-33） 2. 等候線中個體的平均數： 3.系統中個體的平均數：、 N- （1 P。） L=L。+（1-P。） 4.一個個體在等候線中所花費的平均時間： （12-34） （12-35）
330 資料、模型與決策：管理科學篇 L. “ （N-L）A （12-36） 5.一個個體在系統中花費的平均時間： W。+ L （12-37） 6. 某位剛到達的個體必須等待的機率： P=1-P。 （12-38） 7. 系統中同時有n個個體的機率： （n=0,1，⋯，N） （12-39） 有限客源的M/M/1模型的一個主要應用是機器維修問題。在這個例子中，我們將一組機器看做是有限客源的“顧客”，它們要求維修服務。當一臺機器出現故障時，就會要求一次新的維修，在這裡就是指出現了新的到達者。如果第一臺機器的維修尚未完成，又有一臺機器出現故障，那麼從第二臺機器開始形成一條等候維修服務的“等候線”。如果更多機器出現故障，等候線的長度會加長。 FCFS的假設說明，這組機器按照它們出現故障的先後順序維修。M/M/1 表明只有一人或一條渠道可以提供維修服務。也就是說，為了使機器恢復正常運轉，必須以單列的運作方式來維修出現故障的每臺機器。 示例可可美製造公司有一組6臺相同的機器。每臺機器在維修後到再次遇到故障之前，平均運轉20個小時。因此，每臺機器的平均到達率（或稱每臺機器的維修服務要求）是A =1/20 =0.05/小時。在機器隨時會發生故障的情況下，我們可以用泊松分佈來描述出現的機器故障。維修部門的一名員工為這6臺機器提供單列的維修服務。服務時間服從指數分佈，其中平均服務時間為每臺機器2小時（也就是說，平均服務率為 =1/2=0.50臺機器/小時）。 現在已知A =0.05，M=0.50，我們用式（12-33）~（12-39）來計算該系統的執行引數。注意， 使用式（12-33）使得計算稍顯複雜。首先我們利用式（12-33）可以得到P。=0.484 5。其他引數的計算如下： 1.=6-（900.5822） 0.05 ×（1-0.4845）=0.3297（臺機器） L=0.3295+（1-0.4845）=0.845 1（臺機器） 0.329 5 W。= （6-0.845）×0.50 =1.279（小時） W =1.279 + 0.50 =3.279（小時） P =1-P。=1-0.484 5=0.5155 最後可以利用式（12-39）來計算維修系統中有任意臺機器出現故障的機率。 同其他等候線模型一樣，執行引數為管理者提供了等候我們可以透過本書附帶的CD 中的Ex線運作的相關資訊。例如在本例中，我們可以得到如下等信 cel 工作表模板或者是管理科學家軟體，來息：一臺機器在得到維修之前，必須等候的平均時間為W。分析有限客源的雙渠道模型。 =1.279小時；由P。=0.5155可知，出現故障的機器中有 50%以上必須等待服務。這些資訊表明，或許需要一個雙渠道系統來改善機器維修服務。 有限客源多列等候線模型執行引數的計算比單列模型要複雜得多。此時，需要藉助計算機進行求解。圖12-5顯示了可可美公司的雙渠道機器維修系統的Excel 工作表。當有兩名維修人員時，可以使得出現故障的機器的平均等候時間減少到W。=0.0834 小時或5分鐘，並可以使得不得不等待維修服務的機器比率降低到10%（Pw=0.1036）。因此，採用雙渠道系統極大地改善了機器維修服務的運作。最後，透過權衡機器故障帶來的損失和維修人員的成本，公司的管理者就能確定將服務系統改力雙渠道系統是否物有所值。
第12 章等候線模型 331 有限客源的等候線模型假設消松分佈服務時間服從指數分佈有限客源內線的數品平均創達率平熱服務率 Population Size 2 0.05 0.5 6 執行引數系統中沒有顧客的機率，P。 等候線中顧客的平均人數.L 系統中顧客的平均人數，L -位顧客在等候線中化費的平均時間.現g -位顧客在系統中花費的平均時間，W 到達者必須等待的機率，PM 圖 12-5 可可美公司雙渠道機器維修問題的工作表本章小結本章中，我們講述了一系列已有的等候線模型，這些模型能夠幫助管理者更好地做出有關等候線運作的決策。就每種模型，我們介紹了一些公式，透過這些公式可以對所研究的系統進行執行引數的計算或運作評估。 主要的執行引數包括以下幾個方面： 1.系統中沒有任何個體的機率； 2. 等候線中個體的平均數； 3.系統中個體的平均數； 4.一個個體在等候線中所花費的平均時間； 5.一個個體在系統中所花費的平均時間； 6.到達個體必須等待的機率。 除此之外，我們還說明了如何透過建立一個總成本模型來對等候線進行經濟性分析。其中，總成本模型中包括與等候服務的個體相關的成本以及執行服務設施所需的成本。 從本章中所列舉的許多案例可以看出，等候線模型主要應用在有顧客到達並要求服務的情形下，如雜貨店的收銀臺、銀行或餐館等。然而，我們也可以創造性地將等候線模型應用於上述情形之外的情況，例如，等待接通的電話、等候處理的郵件訂貨、等候維修的機器、等候處理的製造工作，以及等待用於花費或投資的資金等。專欄12-3描述了等候線的一個實際應用。透過應用等候線模型，改善了醫療急救的反應時間，並節省了很大一筆運作成本。 專欄12-3實踐中的管理科學提高紐黑文市消防部門的工作效率康溼狄格州紐黑文市的消防部門實施了一個重組計劃，該計劃規定，接受了雙重訓練、身兼消防人員和醫務人員兩種職責的職員，要對突發的火警和醫療急救都做出反應。一個等候線模型表明，可以通過稍稍降低火災防禦而極大地改善對醫療急救的反應時間。根據報告指出，每年節省的費用為140萬美元。
332 資料、模型與決策：管理科學篇該模型是建立在突發火警和醫療急救的出現服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈的基礎上的。 利用該模型可以估算從一個報警者打出報警電話到急救單位到達出事地點所需花費的平均時間。透過對到達該市28個人口普查區的平均時程的預測，可以計算出等候時間。 該模型首次應用於獨立執行的16 個消防單位和4 個醫療急救單位的原始系統。然後應用於所提議的重組計劃，在該重組計劃中，規定了受到雙重訓練的部門人員有資格對火警和醫療急救做出反應。 該模型的應用結果表明，它可以使平均行程的時間降低到重組計劃預計的水平以下。該重組計劃的實施降低了運作成本，改善了公共安全服務。 資料來源：基於 A.J. Swersey,L. Coldring, and E. D. Ceyer， "Improving Fire Department Productivity: Merging Fire and Emergency Medical Units in New Haven， "Interfaces 23,no. 1 （January/February 1993）：109-129. 在實踐中，分析家們發現，由於等候線系統的複雜性和多樣性，很難將已有的等候線模型應用到所研究的具體的情況中。第13章所討論的主題—模擬，為確定這種等候線模型的執行引數提供了一種方法。 專業術語 queue 佇列一條等候線。 queueing theory 排隊論與等候線相關的知識體系。 operating characteristics 執行引數計量等候線的執行水平，包括系統中沒有任何個體的機率、等候線中個體的平均數量、平均等候時間等等。 single-channel waiting line 單列等候線僅有一項服務設施的等候線。 poisson probabllity distribution 泊松機率分佈用於描述一些等候線的到達方式的機率分佈。 exponential probability distribution 指數機率分佈用於描述一些等候線模型的服務時間的機率分佈。 first-come, first-served,FCFS 先到先聚務（FCFS） 基於先到先服務的排隊服務原則。 transient period 過波階段等候線的起始階段，發生在等候線正常或穩態執行之前。 steady-state operation 穩態執行等候線經過起始階段或過渡階段後的正常執行。等候線的執行引數是針對穩態執行計算的。 mean arrival rate 平均到達事在給定的時間段內到達的顧客或個體的平均數。 mean service rate 平均服務率在給定的時間段內一項服務設施服務顧客或個體的平均數。 muliple-channel waiting line 多列等候線有兩個或兩個以上相同服務設施的等候線。 blocked 受限由於系統繁忙而使得個體無法進人等候線的情況。個體受阻可能發生於系統不允許存在等候線的情況，或者是等候線容量有限的情況。 intinite calling population 無限客源需要服務的顧客或個體人數沒有任何給定的上限。 finite calling population 有限客源需要服務的顧客或個體人數有固定的上限。 問 2.在威樂•布魯克國家銀行的等候線系統中（參見問題1），假設免下車取款機的服務時間服從指數分佈，且平均服務率為每小時36名顧客或每分鐘0.6名顧客。利用指數分佈回答下述問題： 8.服務時間為1分鐘或1分鐘以下的機率是多少？ b.服務時間為2分鐘或2分鐘以下的機率是多少？ c. 服務時間為2分鐘以上的機率是多少？ 4.用問題1和問題2所述的免下車銀行取款機的單列運作來分別計算系統中有0名、1名、2名、3名顧客的機率，以及在該免下車銀行取款機系統中同時有3名以上顧客的機率。 6. “今晚電影”是一家出租店，主要向家庭消費者出租錄影帶和 DVD電影。在週日夜晚，顧客到達“今晚電影”的到達率為每分鐘1.25位顧客。收銀臺的職員的平均服務率為每分鐘2位顧客。假議顧客的到達服從泊松分佈，職員的服務時間服從指數分佈。 a.系統中沒有任何顧客的機率是多大？
第12章等候線模型 333 b. 等候服務中的顧客的平均數量是多少？ c.一位顧客在接收服務之前需要等待的平均時間是多少？ d. 一位到達的顧客不得不等待的機率是多少？ e.上述執行引數能夠說明一個職員的收銀系統能達到可接受的服務水平嗎？ 8，對於第12.2節中講到的伯格•度姆快餐店的單列等候線，假設平均到達率增加到每分鐘1名顧客，平均服務率增加到每分鐘1.25位顧客。請計算在這個新系統下的下列執行引數：P、L、L、W。、W以及Pw。與原來的系統相比，這個新系統的服務是改善了還是變差了？討論一下兩者的差異，並指出造成差異的原因。 10. Trosper 輪胎公司決定僱用一名機修工人，由他來負責處理那些訂購了一套新輪胎的顧客發生的更換輪胎事宜。有兩名機修工人申請這一工作。其中一名機修工經驗有限，公司可以每小時付14 美元的薪水來錄用他，但他平均每小時只能為3位顧客提供服務；另一名機修工有幾年的工作經驗，平均每小時能為4位顧客提供服務，但公司必須付給他每小時20美元的薪水。假設客戶到達 Trosper門店的頻率是每小時2位。 a.假改該系統的到達客戶服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈，請問，僱用這兩名機修工時等候線的運行引數分別是多少？ b.如果公司規定每位顧客的等候成本為每小時30美元，那麼僱用哪位機修工能使運作成本較低？ 12.派特超市是一個小型的地方食品雜貨店，僅有一個收銀臺。假設購物者按照泊松分佈到達收銀通道，平均到達率為每小時15位顧客；結算收款的服務時間服從指數分佈，且平均服務率為每小時20位顧客。 日.計算此等候線的執行引數。 b.如果該店經理的服務目標是將開始結算收款過程之前的顧客等候時間限定在5分鐘內，那麼對現行的收銀系統，你有什麼建議？ 14. Ocala 軟體系統公司有一個技術支援中心，該中心為購買其軟體的顧客提供服務。如果客戶有Ocala 軟體產品的安裝和（或）使用方面的問題，可以打電話到技術中心，就會得到免費的諮詢服務。目前，Ocala 公司的技術中心只有一名諮詢顧問。如果一位客戶打進電話時，該顧問正忙，那麼客戶會聽到一個錄音信息，該資訊告知客戶坐席忙，然後要求這位客戶等候片刻，顧問們將盡快提供服務。客戶的來電服從泊松分佈，平均到達率為每小時5個電話；一名顧問平均要花費7.5分鐘來回答一位客戶的問題，且服務時間服從指數分佈。 日.每小時的平均服務率為多少位客戶？ b.系統中沒有客戶且顧問空閒的機率是多大？ c．等候諮詢服務的客戶的平均人數是多少？ d. 一位等候服務的客戶的平均等待時間是多長？ e.一位客戶不得不等待服務的機率是多大？ f.最近，Ocala 公司收到了幾封客戶投訴信，抱怨說他們很難得到技術支援方面的服務。如果 Ocala 公司的客戶服務宗旨規定：等候技術支援服務的客戶不得超過總人數的35%，且平均等候時間控制在2分鐘內。則透過你的分析，你是否認為Ocala 公司達到了其服務宗旨？你有什麼建議措施？ 16.在印第安納州麥迪遜附近的俄亥俄河上將建立一個新的船塢。假設船隻的到達服從泊松分佈，且平均到達率為每小時5條船；服務時間服從平均服務率為每小時10條船的指數分佈。請回答下列問題： a. 系統中沒有船隻的機率是多大？ b. 等待中的船隻的平均數量是多少？ c.一條船隻等候服務所花費的平均時間是多長？ d. 一條船在碼頭停留的平均時間是多長？ e.如果你是船塢的經理，對此係統提供的服務水平你會滿意麼？說出你滿意或不滿意的理由。 18.有一個到達服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈的雙道等候線。其中平均到達率為每小時14個個體， 每個渠道的平均服務率為每小時10個個體。 日.系統中沒有任何個體的機率是多大？ b. 系統中個體的平均數量是多少？ c.一個個體等候服務的平均時間是多少？ d. 一個個體在系統中的平均時間是多長？
334 資料、模型與決策：管理科學篇 e.一個到達者不得不等候服務的機率是多大？ 20.在每年冬季的幾個月內，很多季節性毯民會從北方省份和加拿大來到佛羅里達州。正因如此，該州的某個海岸社群人日在冬季劇增。相應地，當地某郵局的職員人數也根據人口的增減（夏季人口相對較少，冬季人口相對較多）而應有所變更。每位郵局職員的服務率為每小時0.75位顧客。郵局最多有3個工作臺。每個顧客在系統中等待的最長時間為5分鐘。 a. 在11月份的某個星期一，期望的到達率為每分鐘1.2位顧客。對於這樣的星期一，應該安置多少位一作入員？請計算出該等候線的執行引數。 b.一次最近的人口增長率調查得出：未來兩年中，在繁忙的冬季，預計郵局的顧客到達率將達到每分鐘 2.1位。請利用一個等候線模型對其進行分析，併為郵局的經理提出你的建議。 22. 一個快餐專營店正在考慮開一個路邊視窗，提供免下車食品外賣服務。假設顧客的到達服從泊松分佈，且平均到達率為每小時24輛汽車；服務時間服從指數分佈。到達的顧客在停車場後面的一個內部通訊工作臺點餐，然後再開車到服務視窗並取走所點的食品。目前正在考慮下面3個方案。 •單列運作，一名員工遞給顧客食品並收錢。該方案的平均服務時間為2分鐘。 • 單列運作，一名員工遞給顧客食品，還有一名員工負責收錢。該方案的平均服務時間為1.25分鐘。 •雙渠道運作，由兩個服務視窗，兩名員工。每個視窗的員工都遞給顧客食品並收錢。在該方案中， 每條渠道的平均服務時間均為2分鐘。 回答下列問題，併為這個快餐店推薦一個選擇方案。 a.系統中沒有汽車的機率是多大？ b.等候線中汽車的平均數量是多少？ c.系統中車的平均數是多少？ d.一輛汽車在等候線中所花費的平均時間是多長？ e.一輛汽車在系統中所花費的平均時間為多長？ f.一輛到達的汽車不得不等待服務的機率為多大？ 24.病人到達某牙科診所的平均到達率為每小時2.8位。牙醫能夠以每小時平均3名的效率給病人看病。對病人等候時間的一次研究表明，在見牙醫之前，每位病人平均要等待30分鐘。 8. 病人的平均到達率以及對病人的平均治療率分別為多少（每分鐘治療多少病人）？ b. 等候室裡的病人的平均人數是多少？ c•如果某位患者上午10:10到達，那麼預計該患者何時會離開診所？ 26.Manning 汽車公司有一個汽車服務檯。在完成汽車的檢修工作後，Manning 汽車公司的機修工人以平均每小時4人的頻率到達公司的零件部櫃檯。零件協調人員要與每個機修工人討論機修工需要的零件，然後從庫存中取零件給機修工，這個過程平均要花6分鐘。 2.目前，Manning 氣車公司只有一名零件協調員。每個機修工平均要等候4分鐘，零件協調員才能有時間回答他的問題並從庫存中取零件給他。請計算這個單列運作系統的L。、W以及L。 b，在增加一名協調員後的試執行階啟內，每個機修工只需等候1分鐘，就有零件協調員為他服務。請計算該雙渠道運作系統的L。、可以及L。 c.如果每名機修人員的薪水是每小時20美元，每名等件協調員的為每小時12美元。那麼，單列系統與雙，渠道系統相比，哪個更經濟、更省錢？ 28. 某裝配廠的業務隨機地到達，我們假設其平均到達率為每小時5項；服務時間（每項業務要花幾分鐘）也並不服從指數分佈。下表是關於該工廠裝配運作設計的兩個建議。 8. 兩種方案各自的平均服務率是多少（每小時幾項業務）？ 服務肘間 b.透過（a）的計算結果可以看出，哪種方案能方案夠提供更快捷的服務？ c.服務時間的標準差為幾個小時？ A B d. 用M/G/1模型分別計算兩種方案的執行引數。 均值 6.0 6.25 標準整 3.0 0.6 e.哪種方案的執行引數較好？為什麼？
第12 章等候線模型 335 30. 某大型保險公司擁有一箇中央計算機系統，該系統包含各種有關客戶賬戶的資訊。6個州範圍內的保險業務員透過電話線可以進入客戶資訊資料庫。目前，公司的中央計算機系統只允許3名使用者同時進入。但系統滿載時，要使用資料庫的業務員就無法進入系統，且該系統不允許存在等候。公司的管理層意識到，隨著公司業務的增多，會有越來越多的業務員要求使用中央資訊系統。對業務員來說，被拒絕進入系統，不僅使他們效率低下，也使他們很煩惱。進入系統的請求服從平均到達率為每小時42個電話的泊松分佈； 每條電話線的平均服務率為每小時20個電話。 日.同時佔用0條、1條、2條和3條電話線通道的機率分別是多少？ b.一名業務員被拒絕進人系統的機率是多大？ c.平均有多少條電話線通道在佔用中？ d. 在為末來做規劃時，公司的管理層希望每小時能處理50個電話（A =50 個電話/小時）；此外，一名業務員被拒絕進人系統的機率要小於等於（b）中計算得出的值。請問，該系統應該設定多少條電話線？ 32. 城市出租公司有兩名排程員，他們主要負責處理處理顧客的出租請求，並排程車輛。所有的顧客都撥打一個號碼到城市出租公司。當兩名排程員都忙碌時，來電者會聽到忙音。系統不允許存在等候。來電者可能會稍後再打電話，也可能會給另一個計程車服務公司打電話。假設打進的電話服從平均到達率為每小時 40 通電話的泊松分佈：每位排程員平均每小時可以處理30通電話。 8.兩位排程員都空閒的時間的百分比是多少？ b. 兩位排程員都忙碌的時間的百分比是多少？ c.當公司有2名、3名或4名排程員時，來電者聽到忙音的機率分別為多少？ d.如果管理者希望聽到忙音的來電者不超過總數的12%，請問系統中應該有幾名排程員？ 34.5位行政助理共同使用一臺辦公室影印機。平均每隔40分鐘就會有一個到達者，也就是說平均到達率為入 =1/40=0.025次到達/分鐘；每位助理使用影印機的平均時間為5分鐘，也就是說，平均服務率為A =1/5 =0.20名使用者/分鐘。請用有限客源的M/M/1 模型來求出下列執行引數： a.影印機空閒的機率。 b. 等候線中行政助理的平均人數。 c.使用影印機的行政助理的平均人數。 d.一位助理等候使用影印機所花費的平均時間。 e.一名助理使用影印機花費的平均時間。 f.一天8小時內，一位助理使用影印機的時間為多少分鐘？其中等候時間為多長？ 8.管理者是否應該考慮再購買一臺影印機？請做出解釋。 案例問題1、支線航空公司支線航空公司正在建設一個新的電話系統來處理飛機訂票服務。在上午的10點到11點期間，訂票代理人平均每3.75分鐘接到一個訂票電話。以往的有關服務時間的資料表明，每位訂票代理人平均為每位顧客服務3 分鐘。在等候線模型中，我們曾經假設到達服從泊松分佈、服務時間服從指數分佈，在此，對於電話訂票系統來講，該假設似乎也是適用的。 支線航空公司的管理者認為，一個高效的電話訂票系統，對於樹立服務導向的公司形象起著非常重要的作用。如果系統能夠很好地實施，就能使公司建立良好顧客的關係，從而能夠在長期內增加公司的業務。然而， 如果電話訂票系統頻繁超負荷運作，顧客很難與代理人聯絡，則會產生顧客的負面反饋，進而導致業務量的減少。每位訂票代理人的薪水是每小時20美元。在這種條件下，管理者希望能夠提供較高的服務質量，但又不想由於訂票系統僱用了過多的員工而使成本增加。 在一次規劃會議上，支線舵空公司的管理者一致透過了一個合理的服務目標：能夠即時應答85%以上的來電。在這次規劃會議上，公司的行政副總裁指出，有資料顯示，每位代理人的平均服務率高於來電的平均到達率。他由此得出的結論為，只僱用一名代理人可以使公司運作成本最低；一名代理人就能夠處理所有的電話訂票業務，並且還有空閒時間。然而營銷副總裁則重申了客戶服務的重要性，並表示支援僱用兩名以上的訂票代理人。 現行的電話訂票系統不允許存在來電等候的現象。當所有的代理人都忙碌時，來電者會聽到忙音，並會被阻礙進人系統。電話公司的一位代理曾建議支線航空公司使用一個允許等待的擴充套件系統。在這個系統中，當某
336 資料、樸型與決策：籥理科學簏位顧客來電但所有的訂票代理人都忙碌時，他會聽到一個錄音資訊，該資訊告訴顧客，他的電話正按照來電的先後順序等待接通，很快就可以有代理人為他提供服務。然後顧客就可以繼續線上，一邊聽背景音樂一邊等待接通電話。在支線舵空公司採用該系統之前，還需要更多的資訊。 營理報告請為支線航空公司準備一份管理報告，分析電話訂票系統。報告的內容要求對不允許等候的系統以及允許等候的擴充套件系統進行評估。報告還須包括以下內容： 1.對行政副總裁建議的只有一名代理人的訂票系統的執行引數進行詳細評估。對於單代理人系統，你有什麼建議？ 2.為支線航空公司確定僱用的代理人數，針對你所建議的系統計算執行引數，並進行詳細分析。 3. 擴充套件系統有什麼優缺點？針對擴充套件系統必須容納的等候顧客人數進行討論。 4.目前的有關顧客到達的資料是上午的10點到11點間的。然而，根據預測，來電的到達率在每個小時都是不同的。描述一下如何透過你對等候線的分析來制定訂票系統的人員計劃，使得公司可以在一天當中根據不同時段內到達率的不同而提供不同水平的人員安排。指出在你制定人員計劃時所需要的資訊。
第13章模擬模擬是應用得最廣泛的用於實際決策的定量方法之一，它是透過對代表某實際系統的模型進行試驗來了解該實際系統的一種方法。模擬模型包含數學表達式和邏輯表示式，邏輯表示式告訴我們在給定輸入值機率輸入量前提下如何算出輸出值。任何模擬模型都有兩種輸入： 可控輸人量和機率輸入量。圖13-1是模擬模型的概念圖。 在做一個模擬試驗時，由分析員分析選擇可控輸入可控輸人量_ 一輸出量的值。機率輸入最的值一般都是隨機產生的。模擬模型透過可控輸入量的值和機率輸入量的值算出輸出量的圖 13-1 模擬模型的概念圖值。透過改變可控輸人量的取值進行多次試驗，分析員發現可控輸入量的取值影響或者改變了模擬模型的輸出。分析檢查模擬結果後，分析員往往能夠就可控輸人量提出決策建議，建議方案能夠為現實系統提供期望的輸出量。 模擬已經被成功地應用於不同的領域，下面是一些典型的應用。 1. 新產品的開發。這一模擬的目的是為了確定新產品能夠盈利的可能性。設計模型時把盈利 （即輸出量）和各種不同的機率輸入量聯絡起來，例如需求、零件成本和人工費。其中惟一的可控量是否引入產品。機率輸入量的取值隨機產生，而利潤可以計算出來。我們在第13.1 節中介紹這種型別的模擬應用。 2.機票的超額預訂。此模擬的目的是為了確定一家航空公司應接受的某特定航班的機票預訂量。 設計模型時把此航班的盈利和機率輸人量（即預訂了機票且按預訂登機的乘客的數目）、可控輸入量 （即此航班接受的機票預訂量）聯絡起來。對一個機票預訂量取值來說，任何可能的預訂了機票且接預訂登機的乘客數取值都可能發生。類似的模擬模型可以用於飯店預訂系統和計程車預訂系統。 3. 庫存政策。此模擬的目的是為了選擇一個能夠以合理成本提供良好客戶服務的庫存政策。設計模型過程中，將兩個輸出量—總的庫存費用和服務水平，與機率輸入量（如產品需求和訂貨至賣方交貨的間隔時間）和可控輸人量（如訂貨數量和再訂貨點）聯絡起來。就可控輸人量的每個取值而
338 資料、模型與決策：管理科學篇言，機率輸入量的各種可能取值都會發生，並且可以算出由此帶來的費用和服務水平等。 4.交通流量。此模擬的目的是為了確定在某繁華交叉路口根據交通流量來安裝一個左轉訊號燈的效果。設計過程中，將車輛等待透過此交叉路口的等候時間與機率輸入量（諸如抵達車輛數和要左轉的車輛數）和可控輸入量（如左轉訊號燈亮著的時間）聯絡起來。針對每個固定的可控輸入量而言，各種機率輸人量的取值都可能發生，並且由此產生的車輛等候時間可以計算出來。 5.等候線。此模擬的目的是為了確定客戶在某銀行的ATM 機前等候的時間。模型設計過程中將顧客的等候時間和機率輸人量（如顧客抵達數和服務時間）、可控輸入量（ATM 數量）。針對每個可控輸入量的取值而言，各種機率輸入量都有可能發生，且顧客等候時間可以計算出來。 模擬不是一種最佳化技術，它是一種能夠用來描述和預測一個系統在給定可控輸人量的取值範圍和機率輸入量的隨機產生值條件下是如何執行的。管理科學家經常利用模擬來確定可控輸入量的取值， 這個取值可能帶來期望的系統輸出。從這個角度看，模擬是設計能夠提供良好業績的系統的有效工具。 本章首先介紹模擬如何被用於研究和新產品引入相關的財務風險。接下來闡述在構建有效的庫存策略時以及設計排隊系統時模擬技術是如何被應用的。其他問題，例如檢驗模擬程式、執行模型以及選擇模擬軟體包將在第13.4 節中進行討論。 專欄13-1 實踐中的管理科學呼叫中心設計所謂的呼叫中心，就是由很多當前或者潛在客戶呼進撥出的場所。目前，美國擁有60 000多所呼叫中心。Saltzman 和Mehrotra 講述瞭如何透過模擬幫助一家大型軟體公司在技術支援呼叫中心的系統設計過程中制定策略。該應用透過一個等候線模擬模型來平衡客戶服務水平與服務費用。 歷史上，該軟體公司曾經為顧客提供免費電話作為提供技術支援的客服解決方案。但是超長的等待時間已經達到了極致：80% 打進電話尋求幫助的客戶因為等待時間超過了5分鐘（甚至10分鐘）， 因而效棄了尋求電話提供的技術支援服務。這個比例是相當高的。在另外一些時間段，有將近40%的尋求幫助的客戶在得到電話服務之前就把電話結束通話了。這樣的服務水平是讓客戶難以忍耐的。因此， 軟體公司的管理層打算構建一個“迅疾”的解決方案。在這個方案中，打進電話尋求技術支援的客戶需要支付一定的費用，但是能被保證在1分鐘內獲得服務，如果1分鐘內不能獲得服務，則所提供的服務將是免費的。不付費的客戶仍然可以呼叫客服電話以尋求技術支援，但是軟體公司不保證客戶能在較短的時間內獲得服務。 一個模擬模型被構建，用來幫助理解新的“迅疾” 方案對呼叫中心的等待專線特色的影響。現有資料主要用來建立撥進電話的分配、服務時間和客戶放棄服務的機率。主要考慮的關鍵引數是通道數和使用（撥打）“迅疾”電話客服方案的客戶比率。該模型是由 Arena 模擬包開發的。 軟體公司透過研究模擬結果來決定如何進一步改進該“迅疾”呼叫專線。多數試驗表明：95%的付費使用“迅疾”專線的使用者能夠保證在1分鐘內獲得服務，而免費打進的其他客戶也能在能夠忍受的等待時間範圍獲取服務。9個月內，軟體公司10%的客戶撥打了“迅疾”呼叫專線，並且創造了 200萬美元的增量收入。該公司已經把這個模擬模型看成一個減少運營風險的有力工具。使用該模擬模型，不需要透過實際（實時實地）的使用者試驗即可評估“迅疾” 專線帶來的影響。 資料來源：基於：Robert M. Salizman and Vijay Mehroura， " A Call Center Uses Simulation to Drive Strategic Change， " Interfaces （May/June 2001）：87-101. 13.1 風險分析風險分析是在不確定性條件下預測決策將會帶來的結果的過程。本節中，我們介紹一個有很大不確定性的問題：新產品的開發。首先看看不用模擬時風險分析是怎麼進行的，然後再看看藉助於模擬技術，如何進行更加全面的風險分析。
第13章模擬 339 13.1.1 PortaCom 專案 PortaCom 生產個人電腦及其相關裝置。PortaCom 的產品設計小組開發出來一種新型的高質量的便攜式印表機。新的印表機樣式新穎，具備佔據行動式印表機市場顯著份額的潛力。初期市場研究和財務分析結果顯示，該新產品的銷售價格、第1年的管理費用和第1年的廣告費如下： 銷售價格 =249美元/單位管理費用=400 000美元廣告費 =600 000 美元 PortaCom 問題的模擬模型中，上面提到的數值都是常數，它們被稱為模型的引數。 直接人工費、零部件成本以及第1年的需求是不確定的，被看做機率輸入量。計劃階段，PortaCom 對這些輸人量的最好估計是單位直接人工費45美元，單位零部件成本為90美元/單位，第1年的產品需求為15000臺。因為PortaCom 的現金流比較緊張，管理層尤其關心潛在的損失。 13.1.2 What -If 分析風險分析中有種方法稱為What-|f分析（即如果•⋯那麼⋯•⋯分析）。What-If分析包括產生機率輸人量數值（直接人工費、部件成本、第1年產品需求）和計算產出數值（利潤）。在已知單位售價 249美元，管理費用及廣告費等於400 000 美元＋600000 美元=1000 000 美元的情況下，PortaC.om 的利潤模型為： 利潤=（249美元-單位直接人工費-單位零部件成本）×需求 -1 000 000 美元令 c——單位直接人工費； C2—單位零部件成本； x—第1年的需求。 第1年的利潤模型可以寫成： 利潤=（249-C1 C2）*-1 000 000 （13-1） FortaCom 的利潤模型可以描述成圖13-2。 畫顧一下，PortaCom 對直接人工費、零部件成本和第1年的產品需求的最優估計分別是45美元、90美元和15 000臺。這些數值構成了 PortaCom 的基本情境。把這些數值代人式（13-1），得到如下利潤計算式： 利潤=（249-45-90）×15 000-1 000 000 =710 000 因此，基本情境下的預計利潤為710000美元。 在風險分析中，我們還關心虧損的機率和虧損的大小。儘管基本情境看起來很誘人，但 PortaCom 可能更關機率輸入量直接人零部件工費成本第1年需求心這樣的問題：如果對每臺印表機的直接人工費、零部件成本和第1年的需求的預測結果並不像在基本情境下預期的那樣，將會發生什麼樣的情況。例如，假設 PortaCom 認為單位直接人工費為43~47美元，單位零部件成引入新產品一0209-9-62-1000000 一•利誰本為80~100美元，第1年的產品需求為 15 000~28 500 臺。利用這些範圍資料，What-If 分析能被用來分別評價圖13-2 PortaCom 利潤模型最壞情境和最優情境。 最壞情境是：直接人工費為47 美元（最高值），零部件成本為100 美元（最高值），需求為 15 000臺（最低值）。此時，G=47，G2=100,x=1 500。代入式（13-1），得利潤=（249-47-100）×1 500-1 000 000 = -847 000 因此，最壞情境下，專案會有847000美元的虧損。 而在最優情境下，單位直接人工費為43美元（最低值），零部件成本為80美元（最低值），產品需求為28 500臺（最高值）。把這些值代入式（13-1）得
340 資料、模型與決策：管理科學萬利潤=（249-43-80）×28 500 -1 000 000 =2 591 000 因此，在最優情境下會有2 591 000美元的專案利潤。 由此可見，What-If 分析可向我們提供這樣的結論：基本情境下的利潤為710 000美元，專案在最壞情境下會損失847 000 美元，在最優情境下盈利2 591 000美元。儘管有可能達到710 000美元的基本情境利潤，但 What-If 分析指出，可能會虧損很多，也可能有很高的利潤。同樣，PortaCom 的其他基本情境也可進行評估。然而，這種分析難就難在它無法給出各種盈利或者虧損的機率，特別是對虧損的機率，我們一無所知。 13.1.3 模擬利用模擬來做 PortaCom 問題的風險分析，就像是透過隨機產生機率輸人量的取值來實現各種 What-If的情形。模擬的優勢在於它能使我們獲得關於盈利和虧損的機率。 使用 What-If 來做風險分析時，由我們來選擇機率輸人模擬的優點之一是可以使用和所研究量的取值（單位直接人工費c，單位零部件成本G2，第1年的系統一一對應的機率分佈。 需求x），然後計算出專案產生的利潤。而將模擬運用於這個問題時，機率輸人量的取值隨機生成，這些機率輸入量代表了那些我們在現實中可能觀察到的各項資料。為了產生這些數值，我們必須要先知道每個機率輸入量的機率分佈。進一步分析 PortaCom 表 13-1 單位直接人工費的機率分佈問題得出單位直接人工費、單位零部件成本和第1 單位直接人工費年需求這3個機率輸人量的機率分佈，如下所示。 43 直接人工費 PortaCom 認為單位直接人工費 44 為43~47美元，表13-1描述了它的機率分佈。我 Sb 們看到，直接人工費是43 美元/臺的機率為0.1， 46 44美元/臺的機率為0.2，等等。最大的機率是 47 衞率 0.1 0.2 0.4 0.2 0.1 45元/臺的，為0.4。 拿部件成本這項成本取決於總的經濟情況、 零部件的總需求和 PortCom 的部件供應商的定價策略。PortCom 認為單位零部件成本為80~100美元， 可以用圖13-3中的均勻機率分佈來描述。單位零部件成本落在80~100 美元範圍內的可能均等。 第1年的需求量 PortCom 認為第1年的需求服從如表134所示的正態分佈。它的期望值為 80 100 15 000，標準差為4 500。 單位零部件成本為了模擬 PortCom 問題，我們需要產生3個機率輸人量的一組取值並算出由此產生的利潤。 國133 單位零部件成本的均勻機率分佈然後再隨機產生一組並算出第二個利潤，一直重複這個過程，直到已經產生足夠多的利潤值，並能夠大致描述利潤的機率分佈，這個產生機率輸人量和計算利潤的過程稱做模擬。進行一次模擬所需要的邏輯和數學操作的順序可以用一個流程圖來表示。圖13-5是PortCom 問題模擬的流程圖。 根據流程圖的邏輯，我們可以看出模型引數——銷售價格、管理費用和廣告費分別為249美元、 400 000美元和600000美元。這些數值在整個模擬過程中都是保持不變的。 接下來3個模組描述的是機率輸人量取值的產生。首先產生直接人工費（ci），然後是零部件成本（cz），最後是第1年的需求量（x）。將這些機率輸入量的取值代人到式（13-1）得： 利潤=（249-C1-Cz）x-1 000 000 算出利潤就算完成了模擬的一個試驗。然後，我們回到第二個，模組產生一個直接人工費，進行下一第13章模擬摸型畚數單位產品公價-5209 著理校用#$400000、告費=5600 000 341 標準差 G4500臺 T5000 已銷售的臺數 1 00000 圖13-4 第1年的藉求童的正商分佈圖 13-5 PortaCom 問題模擬的流程團次模擬試驗。這個過程一直重複，直到達到讓人滿意的模擬次數為止。 在模擬的最後，應該給對輸出的測度。例如，我們對平均利潤和虧損機率感興趣。要使輸出指標有意義，機率輸入量的取值必須能夠代表PortCom 印表機進入市場時可能出現的情況。模擬程式中最基本的部分是產生機率輸人量的有代表性的取值。現在我們討論如何產生這些值。 隨機數和產生機率輸入量值 PortaCom 問題模擬過程中，必須產生機率輸入量C」，‘2和x的代表值。我們用每個機率輸人的機率分佈和隨機數來產生他們的代表值。為了介紹如何產生這些代表值， 我們需要介紹計算機生成的隨機數的概念。 計算機生成的隨機數°是在0~1之間（不包括1）隨機由於隨機數的等概性，量化分析可以抽取的小數。這個隨機數是在0~1之間服從均勻分佈的。對輸入的機率值相應分配幾個隨機數範團， 它可以透過模擬軟體包及其電子錶的內建函式產生。例如， 從而使得任何輸入的隨機數的機率值和實在Excel工作表的單元格中輸人=RAND （），就可以在這個時系統中的機率是一致的。 單元格中產生0~1之間的一個隨機數。 表13-2包含500個用Excel產生的隨機數，這些數值可以看成是一個包含500個數值的樣本，樣本中的數值服從0~1（不包含1）的均勻分佈。讓我們來看看如何利用這些隨機數產生服從 PortCom 的機率輸人量的分佈的數值。首先我們看直接人工費c的產生。這種方法可以用於產生服從任何機率分佈的數值。 這個區間內隨機數對應每個可能的直接人工費，也就是說在這個區間內產生一個隨機數的機率和它相對應的直接人工費的產生機率相同。表13-3顯示了這個過程是如何發生的。0.0到0.1之間（不包括0.1）的隨機數區間對應的直接人工費為43美元，0.1到0.3之間（不包括0.3）的隨機數區間對應的直接人工費為44美元，等等。給直接人工費的可能值設定一個隨機數的區間，任何區間的隨機數產生的機率就等於其對應的直接人工費可能值的發生機率。因此，為了選擇一個直接人工費值， 我們應該產生一個0到1之間的隨機數。如果這個隨機數在0.0到0.1之間，我們就設定這個直接人工費值為43美元，如果隨機數在0.1到0.3之間，我們設定這個直接人工費值為44美元，等等。 每次模擬都需要一個直接人工費值。從表13-3可知，假設第一次模擬時隨機數為0.9109，則直接人工費的模擬值為47美元。假設第二次模擬時隨機數為0.2841，則直接人工費的模擬值為44美元。表13-4顯示了前10次模擬獲得的結果。 每次模擬都需要一個直接人工費值、零部件成本值和第1年的需求量。現在讓我們看看零部件成本值的產生。單位零部件成本是一個服從均勻分佈的變數，如圖13-3所示。因為這個隨機變數和直接計算機生戚的隨機數叫做偽隨機數，因為是用數學公式產生的，不是真正隨機的。隨機數與偽隨機數之間的區別主要是在哲學意義，所以我們就用隨機數這一術語，儘管是計算機生成的。
342 資料、模型與決策：管理科學篇表 13-2 計算機生成的500個隨機數 0.6953 0.524 7 0.136 8 0.985 0 0.746 7 0.381 0.582 7 0.0082 0.9925 0.687 4 0.212 2 0.688 5 0.215 9 0.4299 0.6799 0.1241 0.305 6 0.559 0 0.042 3 0.651 5 0.275 0 0.889 8 0.1514 0.182 6 0.000 4 0.5259 0.242 5 0.842 1 0.6515 0.5027 0.929 0 0.517 7 0.3134 0.917 7 0.260 5 0.3976 0.7790 0.0035 0.006 4 0.0441 0.343 7 0.1248 0.064 2 0.408 6 0.607 8 0.204 4 0.048 4 0.469 1 0.705 8 0.0377 0.5250 0.777 4 0.239 0 0.9121 0.534 0.817 8 0.5739 0.5181 0.023 4 0.730 5 0.037 6 0.516 9 0.567 9 0.5827 0.0341 0.748 2 0.6351 0.914 6 0.470 0 0.786 9 0.0508 0.7905 0.293 2 0.497 0.022 5 0.446 6 0.511 8 0.475 7 0.1399 0.566 8 0.956 9 0.725 5 0.465 0 0.408 4 0.6805 0.9931 0.416 6 0.109 1 0.773 0 0.069 0.9411 0.2603 0.7507 0.6414 0.，990 7 0.269 9 0.457 0.925 4 0.8143 0.762 5 0.170 8 0.190 0 0.278 1 0.283 0 0.687 7 0.5681 0.785 4 0.501 6 0.940 3 0.107 8 0.525 5 0.872 7 0.1501 0.936 3 0.385 8 0.3545 0.544 8 0.064 3 0.316 7 0.8806 0.798 9 0.748 4 0.808 3 0.270 1 0.503 9 0.9439 0.4582 0.759 0 0.439 3 0.4704 0.690 3 0.373 2 0.658 7 0.0785 0.146 7 0.388 0 0.527 4 0.872 3 0.7517 0.990 5 0.1158 0.663 5 0.499 2 0.907 0 0.297 5 0.568 6 0.849 5 0.2762 0.7018 0.678 2 0.4013 0.222 4 0.467 2 0.575 3 0.9382 0.6411 0.798 4 0.060 8 0.594 S 0.397 7 0.4570 0.5102 0.7021 0.435 3 0.339 8 0.8038 0.226 0.2354 0 0.125 0 0.7410 0.708 9 0.2579 0.135 8 0.844 0.9082 0.7906 6 0.164 8 0.758 9 0.887 0 0.1189 0.712 5 0.632 4 0.6936 0.070 2 0.971 6 0.037 4 0.068 3 0.239 7 0.775 3 0.4042 0.815 8 0.362 3 0.661 4 0.795 4 0.751 0.9410 0.2201 0.634 8 0.036 7 0.031 1 6 0.6518 0.068 0.0917 8 0.234 6 0.2504 0.2878 0.173 5 0.387 2 0.681 0.853 2 0.4869 6 0.273 1 0.268 5 0.6349 0.936 4 0.345 0.499 8 0.8980 0.045 5 0.8314 0.818 9 0.678 3 0.808 0.8412 6 0.1386 0.879 2 0.2025 0.932 0 0.765 6 0.381 0.5688 0.863 3 5 0.5302 0.5818 0.069 2 0.254 3 0.545 3 0.995 5 0.500 6 0.121 5 0.8102 0.102 6 0.925 1 0.685 0.155 9 0.5748 0.4164 0.3427 0.280 9 0.806 4 0.585 0.1100 0.087 3 5 0.2229 0.9407 0.874 7 0.049 6 0.438 0 0.584 7 0.580 2 0.7747 0.128 5 0.007 4 0.625 2 0.774 7 0.011 2 0.1019 0.6628 0.899 8 0.133 4 0.279 8 0.735 0.7330 0.990 9 0.8991 0.229 8 0.260 3 0.692 1 0.557 3 0.8191 0.629 2 0.4923 0.027 6 0.673 4 0.656 2 0.423 0.1980 0.943 0 0.2579 0.793 3 0.094 5 0.319 2 0.319 0.777 2 0.9938 0.7098 0.796 4 0.795 2 0.894 7 0.121 0.845 4 0.469 0 0.1395 0.093 0 0.3189 0.697 2 0.729 0.851 3 0.2028 0.3774 0.048 5 0.771 8 0.965 6 0.244 0.6141 0.413j 0.200 6 4 0.0304 0.2329 0.618 2 0.515 0.630 0 0.27S7 0.8479 0.788 0 0.849 2 0.685 9 0.894 7 0.624 6 0.056I 0.0126 0.6531 0.0378 0.497 5 0.113 0.1419 0.4308 0.807 3 0.468 1 0.048 1 E 0.3572 0.291 8 0.297 5 0.3125 0.0053 0.9209 0.9768 0.358 4 0.039 0 0.2161 0.789 3 0.346 7 0.815 6 0.924 8 0.666 8 0.544 2 0.855 2 0.844 0.549 5 0.133 7 0.120 0 0.370 1 0.346 8 0.237 0.048 8 0.381 5 0.673 2 0.102 7 0.867 5 0.890 4 0.165 2 0.621 9 0.992 4 0.188 4 0.388 9 0.109 6 0.202 9 0.3638 0.392 7 0.384 6 0.284 2 0.444 2 0.874 4 0.123 7 0.121 4 0.280 5 0.418 3 0.395 8 0.672 3 0.0384 0.655 1 0.467 2 0.829 4 0.925 6 0.139 5 0.931 1 0.157 4 0.0071 0.068 5 0.633 3 表 13-3 產生單位直接人工費值的隨機數區間單位直接人工費（美元） 橛辜 43 0.1 44 0.2 45 0.4 46 0.2 47 0.1 0.716 9 0.8166 0.218 6 0.1033 0.2871 0.468 0 0.915 5 0.9518 0.116 7 0.787 0 0.9800 0.185 7 0.502 9 0.3288 0.415 4 0.252 6 0.787 2 0.5321 0.070 2 0.421 9 0.020 0 0.544 5 0.944 6 0.806 4 0.001 4 0.737 9 0.866 4 0.955 3 0.863 5 0.315 5 0.554 1 0.983 3 0.628 3 0.2631 0.967 7 0.459 7 0.290 5 0.3058 0.817 7 0.666 0 0.2039 0.255 3 0.687 1 0.9255 0.8398 0.836 1 0.343 2 0.1192 0.562 0 0.655 5 0.515 5 0.3449 0.146 4 0.8000 0.3107 0.2718 0.732 7 0.999 4 0.662 1 0.898 3 0.064 3 0.665 6 0.9941 0.681 2 0.458 4 0.358 5 0.7535 0.599 3 0.262 8 0.937 4 0.913 9 0.901 3 0.592 9 0.486 3 0.328 5 0.538 9 0.692 4 0.396 3 0.295 4 0.0636 0.371 6 0.050 7 0.707 0 0.5925 0.539 4 0.9413 0.747 8 0.8124 0.157 7 0.862 5 0.383 7 0.782 8 0.493 6 0.807 7 0.455 5 0.756 3 0.638 4 0.081 0.439 1 0.6991 隨機數區間 ［0.0,0.1） ［0.1,0.3） ［0.3,0.7） ［0.7,0.9） ［0.9,1.0） 人工費的機率分佈不同，我們產生零部件成本值時使用的隨機數產生方法也稍微不同。在均勻機率分布的情況下，隨機數和它對應的零部件成本值之間的關係如下： 等部件成本=a+r（6-a） （13-2） 其中，
0到1之間的隨機數； a—零部件成本的最小取值； 6——等部件成本的最大取值。 PortaCom 問題中，零部件成本的最小取值為80美元， 敏大取值為100美元，代人式（13-2）中得到式（13-3）， 給定隨機數r對應的零部件成本如下。 零部件成本=80+r（100-80）=80+120（13-3） 式（13-3）是一個零部件成本值。假設隨機數為 0.268 0， 對應的零部件成本值為部件成本=80+0.2680x（100-80） =80+0.2680×20=85.36（美元/臺） 假設下一次模擬時隨機數為 0.584 2，零部件成本值為零部件成本=80+0.5842×（100-80） =80+0.5842×20=91.68（美元/臺） 選擇適當的a和b，式（13-2）可以用來產生任何一種均勻分佈的變數值。表13-5是10個單位零部件成本的取值。 墩後，我們需要用隨機數程式來生成第1年的需求量。 因為第1年的需求量是正態分佈的，且平均數為15000臺， 標準差為4500 臺（見圖134），我們需要一個程式來產生一個正態機率分佈的隨機值。由於數學方面的複雜性，其詳細過程這裡不再討論。計算機模擬包及其電子錶內設的函式可以生成服從正態分佈的隨機值。大部分情況下使用者只需要輸人正態分佈的均值和標準差。例奶，在Excel表中，把下列公式插入單元格內就可以獲得正態分佈的隨機值： =NORMINY（RAND（），均值，標準差） PortaCom 問題中的第1年的需求均值為15 000且標準差為4500，所以 Excel 表述為： =NORMINV（RAND（），15 000,4 500） （134） 這個公式將為第1年需求量產生一個服從正態分佈的隨機值。例如，如果 Excel 中的 RAND（）函式產生隨機數 0.7005，式（134）將產生第1年的需求量為17366臺； 如果 RAND（）產生的隨機數為 0.3204，則第1年的需求量為12900臺。表13-6顯示了前10個隨機生成的需求值。注意，由小於0.5 的隨機數生成的第1年需求值低於均值，相反，由大於0.5的隨機數生成的第1年需求量值則大於均值。 執行模擬模型執行模擬模型意味著按照圖13-5描述的一系列邏輯和數學操作順序來運作這一模型。模型引數： 單位銷售價格 249美元，管理費用400 000美元，廣告費 600 000美元。每次模擬包括每個輸人變數（直接人工費、 等部件成本和第1年的需求量）的隨機數的生成過程和利潤的計算過程。當模擬次數達到一個令人滿意的程度時，這個模擬就算完成。 假設機率輸入量的取值如下，我們計算第一次模擬的利潤： 直接人工費：C，=47 答部件成本：G=85.36 第13章模擬 343 表13-4 每臺印表機的直接人工費的10個隨機產生的數值次數隨機數直接人工費（美元/臺） 0.9109 47 2 3 4 5 6 1 8 9 10 0.284 1 44 0. 653 1 45 0.036 7 43 0.3451 45 0.275 7 44 0.6859 45 0. 624 6 45 0.493 6 0.807 7 46 次數 1 2 3 4 s 6 8 9 10 次數 1 2 3 4 s 6 8 10 表13-5 10個單位零部件成本的隨機產生偵隨機數 0.2680 0.584 2 0.667 5 0.928 0 0.4180 0.734 2 0.432 5 0.1186 0.694 4 0.7869 尋部件成本（美元） 85.36 91.68 93.35 98.56 88.36 94.68 88.65 82.37 93.89 95.74 表13-6 10個第1年的需求量的隨機產生僮道機 0.7005 0.3204 0.896 8 0.1804 0.434 6 0.960 s 0.564 6 0.7334 0. 0216 0.321 8 需求 17 366 12 900 20 686 10 888 14 259 22 904 15 732 17804 $ 902 12 918
344 資料、模型與決策：管理科學篇第1年的需求量：x=17 366 根據圖13-5所示，我們看出利潤是透過下列式子獲得的： 利潤=（249-c1 c2）x-1000 000 =（249-47-85.36） ×17 366-1000 000 =1 025 570 PortaCom 問題的第一次模擬結果列在表13-7的第一行。 表13-7 PortaCom 問題的10次模擬結果次數 1 2 3 4 5 6 7 8 直接人工費（美元/臺） 寧部件成本（美元/臺） 47 85.36 44 91.68 45 93.35 43. 98.56 45 88.36 44 94.68 45 88.65 45 82.37 45 93.89 10 總數平均 46 95.74 449 912.64 44.90 91.26 己售（臺） 17 366 12900 20 686 10 888 14 259 22 904 15 732 17 804 5 902 12918 151 359 15 136 利潤（美元） 1 025 570 461 828 1 288 906 169 807 648 911 1 $26 769 814 686 1 165 501 -350 131 385 585 7 137 432 713.743 如果模擬出來的單位直接人工費為47美元，單位零部件成本為85.36美元，第1年的需求量為 17366 臺，則模擬利潤為1 025570美元。當然，一次模擬並不能告訴我們可能盈利和虧損的全部信息。因為機率輸入量也可能有其他取值，我們只能從更多的模擬中獲得資訊。 假設第二次模擬時，分別生成直接人工費、零部件成本和第1年需求隨機數 0.2841、0.5842 和 0.3204。由這些隨機數可以得出機率輸入量的值——直接人工費為44美元，零部件成本為91.68美元，第1年需求為12900臺。這些值在第二次模擬試驗中得到的模擬利潤為461 828 美元（見表13-7 的第二行）。 以機率輸入量的不同值來重複進行這個模擬過程，這是任何模擬的一個核心組成部分。透過重複的試驗，管理層就可以理解當新產品進入市場時將會發生什麼情況。表13-7列出了10次模擬試驗的結果，從中我們發現第六次模擬的盈利值最高，達到了1 526769 美元，第九次模擬出現虧損，為 350131美元。因此可以看出，盈利和虧損都是可能發生的。10次試驗的利潤均值為713 743美元，10 次中只有一次結果為虧損，所以虧損機率為0.10。我們還要注意10次試驗得出的直接人工費、等部件成本和第1年需求量的均值都接近它們的各自機率分佈的均值—45美元，90美元，15000美元。 13.1.4 PortaCom 問題的模擬用Excel 工作表來對PortaCom 進行500次模擬試驗，如圖13-6所示。注意，從第6 次到第495次試驗的模擬結果隱藏了。附錄13A 描述了關於 PortaCom 模擬的Excel 工作表的細節。 圖13-6給出了關於 PortaCom 引人新印表機的風險方面 Excel 工作表的模擬例項參見本書所附的資訊，500次模擬中最糟糕的結果是損失785 234美元，CD。 最好的結果是盈利2367058 美元。500次模擬的盈利均值為698 457 美元，其中虧損次數為51 次，因此，虧損的估計機率為51/500 =0.1020。 圖13-7表示的是模擬的利潤值的頻次分佈圖，我們注意到利潤值的分佈比較對稱，許多數值都在 25 000~1 250 000美元範圍內。大量虧損和大量盈利的可能性都很小，只有3次模擬顯示虧損多於第13章模擬 345 PortaCom Risk Analysie Selling Price per Unit Adninistrative Cost AAdvertising Cost Direct Labor Cost Lower Random No. 0.0 0.1 0.3 0.7 0.9 Upper Random No. 0.1 0.3 0.7 0.g 1.0 Simulation Trials Trial 2 3 496 497 498 499 500 $249 $400 000 $600 000 Parts Cost （Uniform Distribution） Smallest Vakue Cost per Uni Largest Value $80 $100 $43 $44 $45 $46 $47 Demand（Mormal Distribution） Mean Std Devation 15000 4 500 Direct Labor Parts Coet Per Unt Cost Per Unit 47 $85.36 44 $91.08 45 $93.35 43 $96.56 45 $88.36 44 $98.67 45 $84.38 44 $90.85 43 $90.37 48 $92.50 First-Year Demand 17 366 12 800 20686 10 088 14 258 8 730 19 257 14 920 13 471 18 614 Summary Statistics Mean Proft Standard Deviation Minimum Pront Maximum Proft Number of Losses Probabiliy of Loss Profft $1 025 570 $461 828 $1 208 906 $189 807 $648 911 （$71 739） $1 110 952 $703 118 $557 652 $1 056 847 PortaCom 問題的 Excel的工作表單留 13-6 120： 100% 80 500次模擬中 60次有51次顯示為虧損擬40） 20 -1000 -500 0 500 1000 利潤（1000美元） 1 500 2000 2500 圖 13-7 PortaCom 問題的500次模擬產生的利潤分佈直方圖 500000 美元，也只有3次盈利高於2000000美元。然而虧損的機率還是顯著的。500次中有48次虧損，虧損值在0~500000 美元之間，這大概佔總數的將近10%。眾數範疇—範疇出現次數最多的， 是750000 美元~1000000 美元。比較模擬、風險分析和What-lf分析，我們發現基本情境分析的利潤是710 000美元，最壞情境下損失為847 000美元，最優情境下利潤為2 591 000美元。從500次模擬
346 資料、模型與決策：管理科學篇執行過程中，我們發現最糟糕的和最好的情況雖然可能發生，但是機率很低，幾乎不可能發生，500 次模擬中也沒有出現這兩種情況。事實上，利用模擬來做風險分析的優勢在於它能提供輸出值的可能資訊。現在，我們知道了損失的機率和利潤的機率分佈以及最有可能的利潤值。 模擬結果可幫助 PortaCom 的管理層更好地理解 PortaCom 行動式印表機的潛在利潤/損失，相對於盈利超過250000美元的機率為0.8，0.1020的虧損機率是可以接受的（如圖13-7所示）。另一方面， PortaCom 在做最終決定是否上馬這個新產品之前，可進行進一步的市場調查。無論如何，模擬結果會對做出正確決策有所幫助。專欄 13-2介紹了輝瑞公司如何利用模擬模型找到滿足對一種產品需求不斷增加的方法的。 專欄13-2 實踐中的管理科學輝瑞藥業公司滿足需求級別的方法輝瑞最近吞併了 Pharmacia & Upjohn，從而成為世界上最大的藥業公司之一。客戶對 Pharmacia & Upjohn 原來的拳頭產品的需求幾年來一直很穩定，公司的生產設施能容易地滿足這些需求。然而，隨著市場條件的改變，客戶需求的增長逐漸超出了公司當前的生產能力。公司於是構建了一個模擬模型來模擬生產程序，採取以符合成本效益的方式來有效滿足不斷增加的客戶需求。 模擬結果主要用於解決以下問題： • 現存生產設施的最大生產力？ •如何改進目前的生產程序以提高生產能力？ • 需要增加多少裝置來提高生產能力以達到滿足目前已增長的需求？ •新的生產程序的理想規模和結構如何？ 使用模擬模型可以演示透過改進的運作政策，現有的裝置也足以滿足隨後幾年增長的客戶需求。不一定非要對一個生產裝置進行改進和擴充套件。模擬模型也將指出隨著將來需求水平的增長所需要的操作員人數。因此就可以知道未來需要對多少操作人員進行培訓。這個模擬模型也能夠提供一個重新處理材料的方案，重新處理材料可以替換最初的原材料，最直接的影響就是每年可以為公司節省大約300萬美元。 資料來源：基於：David B. Magerlein, James M. Magerlein,and Michael J.Goodrich.提供的資訊。 註釋與評論 1.PortaCom 模擬模型基於一系列相互獨立的試驗（樣本），即每次樣本的結果並不會影響隨後試驗的結果。在歷史上，這種模擬型別被稱為“蒙特卡羅模擬”。使用這個術語是因為模擬的早期實施者發現他們設計的模型與蒙特卡羅市賭場裡玩的賭博遊戲相似。現在，許多人從更廣泛的意義上去解釋“蒙特卡羅模擬”這個術語，它表示涉及隨機生成機率輸入量的任意模擬。 2. 模擬模型中用來生成機率輸入量的值的機率分佈通常是使用歷史資料開發出來的。比如，分析過去50天一種新型汽車的日銷售量，我們發現，有2天沒有賣出1輛汽車，有5天每天賣出一輛汽車，有9天每天賣出2輛汽車，有24 天每天賣出3輛汽車，有7天每天賣出4輛汽車，有3天每天賣出5輛汽車。我們可以透過觀察到的資料相對頻次來反映汽車日需求量的機率分佈。在一個給定的營業日，沒有汽車售出的機率是2/50=0.04，有1輛汽車售出的機率是5/50 =0.10，依此類推。估計的日需求量機率分佈如下所示： 日銷傳撥機率 0.04 1 0.10 2 0.18 3 0.48 4 0.14 5 0.06 13.2 庫存模擬本節我們描述模擬在建立不確定需求的產品庫存策略時的應用。這個產品是巴特爾電氣公司生產產第13章模擬 347 的家用電風扇，每臺電風扇成本為75美元，銷售價格是125美元，因此巴特爾能夠從這個產品中獲得每臺毛利125美元-75美元=50美元。風扇的月需求量服從正態分佈，均值為100臺，標準差為20臺。 在每月初，巴特爾公司的供應商會向巴特爾公司發貨，巴特爾公司將其庫存補充至Q級。這個期初庫存水平稱為補貨水平。如果月需求低於補貨水平，則沒有賣出去的產品的庫存持有成本為每單位 1.5 美元；相反，如果月需求量大於補貨水平，就會造成庫存短缺，從而造成公司要支付鍊貨費用。巴特爾公司要支付給每個需求未被滿足的顧客30美元的信譽費。管理層想透過模擬模型來確定使用特殊補貨水平產生的平均月淨利潤。同時，公司管理層也希望知道總需求被滿足的百分比，這個百分比被稱為服務水平。 需求 D 巴特爾模擬模型的可控輸人量是補貨水平Q，機率輸入量為月需求量D，兩個輸出指標為月平均淨利潤和服務水平。對服務水平的模擬要求我們瞭解每月售出的風扇數量和每月對風扇的總補售e 水平平均淨利準、服務水平需求量。服務水平將在模擬過程的最後，透過計算銷售總量與總圖13-8 巴特爾公司庫存模擬模型需求量的比率得出。輸入量和輸出量之間的關係如圖13-8所示。 當需求小於等於補貨水平Q時（D≤Q），D臺被賣出，且Q-D臺留在庫存中的持有成本為每臺 15 美元，則淨利潤為： 情況1:D≤2 毛利潤 =$50D 持有成本=$15（Q-D） 淨利潤=毛利潤-持有成本 =$50D-＄15（0-D） （13-5） 當需求大於補貨水平Q時（D>Q），Q臺電扇被售出，未被滿足的需求為D-Q，每臺未被滿足的需求的損失為30美元。這種情況下的淨利潤為： 情況2:D>0 毛利潤=$500 缺貨成本=＄30（D-Q） 淨利潤=毛利潤- 貨成本=＄500-$30（D-0） （13-6） 圖13-9所示的流程圖規定了模擬巴特爾公司庫存系統所需要的邏輯和數字操作的順序，模擬中的每次試驗代表1個月的運作狀況。給定補貨水平Q的前提下，進行300次試驗。然後，平均利潤和服務水平兩項輸出指標經計算得出。下面我們透過說明在補貨水平Q=100時模擬過程中前2個月的結果來描述模擬的步驟。 圖13-9中的第一個模組設定了模型引數值，單位毛利潤=50 美元，單位持有成本=15美元，單位缺貨成本=30美元。在第二個模組中選定補貨水平Q。我們描述的例子中假定Q=100，然後，生成月需求量值。因為月需求量是服從正態分佈，均值為100，標準差為20。我們用第13.1 節中所說的 Excel函式“=NORMINV（RAND（），100,20）來生成月需求量，假設第一次試驗時得到D=79， 然後比較需求量和補貨水平。當Q=100時，需求量小於補貨水平。下面的程式按照流程圖的左分支進行。規定銷售量等於需求量，則毛利潤、持有成本和淨利潤為： 毛利潤 = 50D =：50 ×79 =3 950 持有成本=15（0-D）=15（100-79）=315 淨利潤=毛利潤- 持有成本=3950-315 =3635 模擬出來的第1個月的需求量、銷售量、毛利潤、持有成本和淨利潤列在表13-8的第一行。
348 資料、模型與決策：管理科學篇月份 1 2 3 4 5 總計平均值鬻求最 79 111 93 100 501 100 表13-8 巴特爾公司庫存問題的5個模擬結果（0=100） 銷售鮝毛利潤（$） 持有成本（$） 79 3950 315 100 5 000 o 93 4 650 105 100 5 000 100 $000 472 23 600 94 4 720 re 420 84 缺貨成本（$） 0 330 o 0 540 870 174 淨利潤（$） 3 635 4 670 4545 5000 4460 22 310 4 462 對第2個月，假設產生的月需求量為111，需求大於補貨水平，下面的程式按照流程圖的右分支進行。令銷售量等於補貨水平（100），毛利潤、庫存持有成本和淨利潤如下： 毛利潤=50Q =50 x 100 =5 000 缺貨成本=30（D-0）=30（111-100）=330 淨利潤=毛利潤-缺貨成本 =5 000-330 =4 670 第二個月的月需求量、銷售量、毛利潤、持有成本和淨利潤的模擬值列在表13-8 的第二行。 表13-8列出了前5個月的模擬結果。計算它們的總和，總淨利潤累計為22310美元；月平均淨利潤為22310美元/5=4462 美元；總銷售量為472 臺，總需求量為50臺，因此，服務水平為 472/501 =0.942，即94.2%，這個數字表明巴特爾公司能夠滿足這5個月的94.2%的需求。 殳賽模型引數單公毛利街-$50 單包詩有成本=S1S 使啟動成本=$30 是否 P≤2？ 鑽售數52 毛利潤=$509 林有成本=SI5（0-D） 否是述算形熱消利潤和服務圖 13-9 巴特爾公司庫存系統模擬流程圖第13章模擬 349 巴特爾公司庫存問題模擬我們利用 Excel模擬巴特爾公司300個月的庫存執行情況，圖13-10顯示了執行模擬資料的工作表，注意，第6~295個月之間的模擬資料因為篇幅原因被隱藏起來了。如果需要，可以完全顯示300 個月的模擬結果。 圖13-10 中彙總統計 （Summary Statistics）部分顯示如果巴特爾公司在補貨水平為100時執行其庫存系統300次，從這300次模擬中可以預測到什麼結果。每月的平均淨利潤為4293美元，總需求量 30181臺中只被滿足了27917臺，因此服務水平為92.5%，現在我們準備用模擬模型來考慮其他的補貨水平是否能夠提高淨利潤和服務水平。 Butler Inventory Gross Profilt per Unit Hokding Cost per Unit Shortage Cost per Uni $50 $15 $30 Replenishment Leve！ 100 Demand （Normnal Distribution） Mean Std Devation 100 20 Simulation Month 2 3 4 5 286 297 298 289 300 Demand 79 111 $3 100 118 89 91 122 93 126 Sales 79 100 93 100 100 89 91 100 $3 100 Gross Proft Holding Cost $3950 $315 $5 000 $O $4 650 $105 $5 000 $0 $5 000 $0 $4450 $165 $4 550 $135 $5 000 $0 $4 850 $105 $5 000 $0 Shortage Cost _Net Profi $0 $3 635 $330 $4 670 $0 $4 545 $0 $5 000 $540 $4 460 $0 $4 285 $0 $4415 $660 $4 340 $0 $4 545 $780 $4 220 Totals 30181 27 917 Summary Statistics Mean Proft Standard Devation Minimum Proft Maxinum Proft Service Level 圖13-10 巴特爾公司庫存問題的 Excel工作表我們在補貨水平為110、120、130和140時重複執行一系列的巴特爾公司庫存問題的模擬，一表13-9 月平均淨利潤和服務水平計算如表13-9所示。在一補貨水平補貨水平為120時，月淨利潤最高達到了4 575美 100 元，相應的服務水平為98.6%。基於這些結果， 110 巴特爾公司選擇了補貨水平為120臺。 120 試驗性的模擬研究能夠幫助我們確定好的運 130 作策略和決策，例如模擬確定巴特爾公司的庫存 140 巴特爾公司庫存系統的300次模擬結果平均淨利潤（$） 服務水平（%） 4 293 92.5 4 524 96.5 4 575 98.6 4 519 99.6 4 399 99.9
350 資料、模型與決策：管理科學篇政策。巴特爾公司的管理層利用模擬來確定家用電風扇的補貨水平為120，利用這個模擬模型還可以得出這個最優決策對某些模型引數的靈敏度。例如，我們假定缺貨成本為30美元，同時，補貨水平 Q=120，服務水平為98.6%。如果管理層覺得缺貨成本為10美元更加恰當，再次按照這個缺貨成本做模擬是很容易的事情。 前面我們曾提到模擬不是最優的技術，甚至當我們用模擬來確定補貨水平時，並不能保證這個選擇是最優的，所有可能的補貨水平並沒有都被測試。也許管理者想透過模擬一下補貨水平為115和 125 時的情況來尋找更好的庫存政策。我們仍然不能保證再產生300個需求值，模擬出來的能夠帶來最大利潤的補貨水平不會改變。然而，大量次數的模擬試驗後，我們應能找到一個好的，至少是接近最優的結果。專欄 13-3介紹了佛羅里達州15家石油公司的模擬應用。 專欄13-3 實踐中的管理科學墨西哥灣的石油配送在海灣沿岸經營煉油廠的國內供應商正在幫助滿足佛羅里達精煉油產品日益增長的需求量。駁船隊由獨立的船運公司或者由石油公司自己經營，這些船隻用於運輸二十多種石油產品到15 個佛羅裡達石油公司。這些石油產品由得克薩斯、路易斯安那和密西西比的煉油廠裝船，並由位於坦帕、大沼澤地港口和傑克森維爾的油輪負責郵貨。 駁船隊根據船隊經營者和石油公司的客戶之間的合同運作： •客戶全權管理駁船，並利用這條船在客戶自己經營的煉油廠和一個或一個以上的卸貨港口跑運輸。 •客戶得到保證：在合約有效期限內，運輸一定量的石油產品。根據各個客戶的需求和船隊經營者的能力來安排運輸。 • 客戶租用一條駁船運一次石油產品。 為此，設計出一個模擬模型來分析在墨西哥灣經營駁船的複雜過程。在石油公司模擬運輸需求時，假設了一個合適的機率分佈。另外，在模擬基於駁船大小和型號的運輸能力時，給定了一個合適的機率分佈。用這些資訊，模擬模型可以追蹤駁船的裝貨卸貨時間和駁船的利用情況以及總的成本。 分析人員在模擬過程中應用各種 What-lf情形來回答石油配送系統的問題，並對提高運作效率給出意見，解決如下問題： • 船隊使用情況和準時送貨的最佳權衡 • 建議的船隊規模 •建議的駁船能力 • 權衡客戶服務和運輸成本的最佳服務合同結構實施基於模擬的意見的過程顯示，運作效率有了極大的提高，石油配送成本顯著降低。 資料來源：基於：E.D. Chajakis， "Sophisticated Crude Transportation， " OR/MS Today （December 1997）：30-34. 13.3 等候線模擬迄今為止討論的模擬模型每次模擬都是相互獨立的，前面模擬的結果不會影響下一次模擬，從這一點看，被模擬的系統不會隨時間而改變的，我們稱這些模擬模型為靜態模擬模型。在本節我們設計了一個等候線模擬模型，其中系統狀態，包括等候線中顧客的數量以及服務裝置是否忙碌等都是隨著時間而變化的。我們把時間納人模擬模型，利用一個模擬時鐘來記錄顧客到達的時間和每個顧客完成服務的時間，這個必須考慮系統隨時間是如何變化的模擬模型被稱為動態模擬模型。這種情形中，顧客到達和離開是發生在離散時間點上的事件，模擬模型也被稱為不連續事件的模擬模型。