461 管理報告為 Vintage 飯店進行銷售資料分析。為凱倫準備一篇報告以總結你的發現、預測以及建議。報告需包括如下內容： 1. 一輻時間序列圖。 2. 對於資料季節性的分析。指出每個月的季節指數，並說說高銷量月份以及低銷售量月份的情況。從直覺而言，使用季節指數有意義嗎？試討論。 3. 預測第4年1~12月各月銷售量。 4.假設第4年1月的銷售額為295000美元。你的預測誤差為多少？如果這一誤差很大，凱倫或許會因為你的預測值與實際銷售值之間的差距而困擾。你可以做些什麼來消除她的困惑及她對預測過程的懷。 5.為了解釋新產生的銷售資料，你所開發的系統應何時進行升級？ 6.在你報告的附錄中，加入你進行分析的詳細計算。 附錄16A運用 Excel進行預測在這一附錄中我們將說明如何使用 Excel執行3種預測法：移動平均法、指數平滑法以及趨勢預測法。 16A.1 移動平均法為了說明如何使用Excel 來應用移動平均法進行預測，我們將對錶16-1以及圖16-5中的汽油銷售時間序列進行預測。我們假設使用者將12周的銷售資料輸入了工作表A列中的行1至行12，以下步驟可以用來計算 3週期的移動平均值。 步驟1：選擇 Tools選單步驟2：選擇 Data Analysis 選項步驟3：當 Data Analysis Tools 對話方塊出現時，選擇 Moving Average 步驟4：當 Moving Average 對話方塊出現時： 在 Input Range 框中輸人 A1: A12 在Interval 框中輸人3 在 Output Range 框中輸人 BI 點選 OK 3周秘動平均預測值將出現在工作表的B列中。請注意，透過在Interval 框中輸人不同的值，便可以很容易地計算其他長度期間的預測值。 16A.2 指數平滑法為了說明如何用Excel 來進行指數平滑預測，我們再次對錶16-1以及圖16-5中的汽油銷售時間序列進行預測。我們假設使用者將12周的銷售資料輸入了工作表A列的1行到12行，並且平滑常數a=0.2，可以用以下步驟來預測。 步驟1：選擇 Tools 選單步驟 2：選擇 Data Analysis 選項步驟3： 當 Data Analysis 對話方塊出現時，選擇 Exponential Smoothing 步驟4： 當 Exponential Smoothing 對話方塊出現時： 在 Input Range 框輸入 A1:A12 在 Damping factor 框中輸入 0.8 在 Output Range 框中輸入 B1 點選OK 指數平滑法預測結果將出現在工作表的B列中，請注意，我們在 Damping factor 對話方塊中輸入的值為1-o；通過在 Damping factor 框中輸人1-a的不同值，便可以很容易地計算其他平滑常數的預測值。 16A.3 趨勢預測法為了說明如何用 Excel 來進行趨勢預測，我們對錶16-6以及圖16-8的腳踏車銷售時間序列進行預測。我們假設使用者將第1~10年銷售的觀察值輸入工作表A列中，分佈在第1~10行，而將銷售的實際值輸入工作表B列的第1~10行。下列步驟使用趨勢預測法對第11年進行預測。
462 資料、模型與決策：管理科學篇步驟1：選擇工作表中的一個空格步驟2：選擇 Ingert 選單步驟3：選擇 Function 選項步驟4：當Insert Function 對話方塊出現時，在 Select a category 框中選擇 Statietical；在 Select a function 中選擇 Forecast，點選 OK 步驟 5：當 Function Arguments 對話方塊出現時， 在x框中輸人11 在 Known y’s 框中輸入 B1:B10 在 Known x's框中輸入 A1:A10 點選OK 對第11年的預測值32.5 將出現於步驟1選擇的單元格中。
第17章馬爾可夫過程在研究可重複試驗系統的演進過程上，馬爾可夫過程模型是很有用的。可重複試驗在時間序列上往往是連續的，而某一時期系統的狀態卻無法確定。而轉移機率用於描述系統從一個時期轉移到下一個時期的方式。因此，我們關心在一個給定的時期內系統處於某個特定狀態的機率。 馬爾可夫過程模型可用於描述在某一期間能正常工作的機器到下一期間也能正常工作或出故障的機率。當然，模型也可用於描述在某一時期購買A 品牌產品而下一時期購買B品牌產品的機率。專欄 17-1 講述瞭如何用一個馬爾可夫過程模型來確定65歲及以上人群健康狀態的機率。這類資訊在理解未來衛生保健服務需求以及拓展當前衛生保健專案的收益中有很大的作用。 本章我們給出了一個市場營銷的應用案例，該案例涉及一個超級市場進行顧客選擇光顧商店行為的分析。在第二個例子中，我們考慮了將應收賬款劃分到不同賬齡類別的會計應用問題。因為深人的馬爾可夫過程處理超出了本書的範圍，所以在分析這兩個例子時，我們都做了如下限定：各情況下只包含有限數量的狀態，各期間轉移機率都是常數，在某一時間段處於某一特定狀態的機率僅取決於緊鄰的前一時期狀態的情況。我們稱這種馬爾可夫過程為平穩轉移機率的馬爾可夫鏈。 專欄17-1 實踐中的管理科學衛生保健服務的收益美國通用會計辦公室（General Accounting Office,GAO）是聯邦政府立法處下屬的一個獨立的、 非政治審計組織。GAO 的評估師得到65歲及以上個人的健康狀況資料。這些人被分成如下3類： 優：可以在沒有幫助的情況下從事日常活動。 良：能夠在沒有幫助的情況下從事部分日常活動。 差：無法在沒有幫助的情況下從事日常活動。 評估者從兩年期的資料中預測這3種狀態的轉移機率。例如，一個處於狀態優的人一年後仍然是狀態優的轉移機率為0.8，而轉移到狀態良的機率為0.1。所有這些轉移機率集的馬爾可夫分析確定了每個人可能在各狀態的穩定狀態機率。因此對於給定的65 歲及以上人群，我們可以從穩定的狀態概
464 資料、模型與決策：管理科學篇率裡看出在以後幾年這些人處於各種狀態的機率。 GAO的研究進一步將這些人分成兩組：接受了衛生保健服務和未接受衛生保健服務。對於那些來接受相關保健服務的人，他們所需的額外保健型別及費用可以事先預測到。從這種修正過的轉移機率可以發現，經過一定的衛生保健，穗定狀態機率顯示這些人處於狀態優和良的機率更大。透過這些結果，模型提供了相應的證據證明拓展當前的衛生保健專案可以在來來得到一定的收益。 資料來源：基於美國通用會計辦公室 Bill Ammann 提供的相關資訊。 17.1 市場份額分析假設我們現在打算為默菲食品線商店及阿希禮超市這兩家小鎮上僅有的兩家零售商店做市場份額及顧客忠誠度的分析。我們重點關注一個顧客購物之旅的順序，並假設該顧客每週都要去購物，要麼是去默菲食品線商店，要麼是去阿希禮超市，但不是兩家都去。 用馬爾可夫過程的術語，我們將此每週時段或購物之旅稱為過程事件。因此，對每一個事件，顧客要麼光顧默菲食品線商店，要麼光顧阿希禮超市。在某一週選中的特定的商店被稱為該時期的系統狀態。因為在每一個事件中，顧客可以有兩個購物地點選擇，所以我們說該系統有兩種狀態。由於系統狀態的數量是有限的，我們可以用以下的方式說明每種狀態： 狀態 1：顧客在默菲食品線商店購物。 狀態2：顧客在阿希禮超市購物。 如果我們說系統在事件3的狀態1時，即指顧客在第3個購物周內在默菲食品線商店購物。 在購物過程向未來發展的過程中，我們並不能確定顧客在某個周或事件中會去哪家商店購物。實際上，我們也意識到在任意給定的週中，顧客可能在默菲食品線商店購物，也可能在阿希禮超市購物。然而，使用馬爾可夫過程模型，我們就可以計算出在任何期間顧客在每家商店購物的機率。例如， 我們會發現某周顧客有0.6 的機率會去默菲食品線商店購物，當然，在阿希禮超市購物的機率為0.4。 要確定在馬爾可夫過程連續事件中各種狀態發生的機率，我們需要一些必要的資訊，即隨著過程從一個事件到另一個事件或從一週到另一週，顧客繼續留在同一商店或轉向對手商店購物的機率。 作為市場調查研究的一部分，假設我們蒐集了10周時間內的100個購物者的資料。同時我們還進一步假改，這些資料可以表明每個顧客每週的購物習慣，也就是到默菲食品線商店購物和阿希禮超市購物的顧序。要建立一個每週購物順序的馬爾可夫過程模型，我們需要說明在前一期間所選擇的商店 （狀態）已知的條件下，某一期間選擇每個商店（狀態）的機率。假設我們在觀寨資料時發現所有某周在默菲食品線商店購物過的顧客中，有90% 在下週仍然在該店購物，而另外10%的人則轉向了阿希禮超市。類似地，假設某周在阿希禮超市購物過的顧客的資料表明，有80%的顧客下週會繼續在表17-1 默菲食品線商店和阿希禮超市的轉移橛率阿希禮超市購物，而20%的顧客轉向默菲食品線下一購物周當前購物周商店。表17-1給出了根據以上資料得出的機率。 獸菲食品線商店阿希禮超市由於這些機率說明了顧客從某一個期間所處狀態到下一期間中的每個狀態的運動或轉移，我們所默菲食品線商店阿希禮超市 0.9 0.1 0.2 0.8 以稱這些機率為轉移機率。 轉移機率表的一個重要特徵就是每行機率的和都為1，且表的每一行都給出了機率分佈。例如， 某周內在默菲食品線商店購物的顧客下週要麼在默菲食品線商店購物，要麼在阿希禮超市購物。第一行的記錄給出了關於這些事件的機率。表17-1 中機率0.9和0.8可以理解為對商店忠誠度的衡量，它說明了顧客重複光臨同一商店的機率。同樣地，0.1 和0.2的機率則可看成是對顧客轉換商店這一特徵的衡量。在建立這個問題的馬爾可夫過程模型時，我們假設轉移機率對於任何顧客都是相同的，並且不會隨時間變化而改變。
第17章馬爾可夫過程 465 注意表17-1中，對系統的每一個狀態都有一行和一列。我們用符號P，表示轉移機率，用符號P 表示轉移機率矩陣。則： P。從某期間狀態i轉穆到下一期間狀態j的機率。 對於超市這一問題，我們有 P=「PiP2l 10.9 0.1 Pai P2z」 = 10.2 0.8」 使用轉移機率矩陣，我們現在就可以確定某顧客在未來某期間內會是默菲食品線商店的客戶或阿希禮超市客戶的機率了。假設有一名顧客上週是在默菲食品線商店購物的。那麼這名顧客在下週，也就是期間1，也會光顧默菲食品線商店的機率應該是多少呢？換而言之，在第1次轉移之後，系統處於狀態1的機率應是多少？轉移機率矩陣表示這一機率應為P.=0.9。 現在讓我們考慮在期間2的系統狀態。一種有效描述顧客第2周購物行為的方法就是畫一個關於所有可能結果的樹狀圖（見圖17-1）。透過樹狀圖我們可以發現，顧客第1周和第2周都在默菲食品線商店購物的機率為0.9×0.9=0.81。 第1周第2片 （第！次購物）（第2次購物） 在默菲食品商店購物每種兩週購物模式的機率 0.9×0.9 =0.81 同時我們也注意到，顧客第1次購物轉向阿希禮超市，第2次又轉回到默菲食品線商店的機率為 09 Q.1 0.9徵默菲食品商店購物 0.9×0.1=0.09 0.1×0.2=0.02。由於這些選擇是顧客在期間2、 在剛希禮超市購物 0.1 狀態1（在默菲食品線商店購物）的惟一兩種選擇，因而系統在期間2時處於狀態1的機率 0.81+0.02 =0.83。類似地，系統在期間2時處第0周在默菲食品線商店購物的顧客 0.2 作剛希禮 10.8 超市燜物在默菲食品商店購物 0.1×0.2=0.02 於狀態2 的機率為0.09+0.08=0.17。 雖然從直觀角度來說，樹狀圖方法是一種理想的方法，但如果我們要將分析擴充套件到3個甚至更多狀態時，這種方法會變得很麻煩。幸作剛希禮超巾購物用17-1 描述一名上次在默菲食品線購物的顧客兩週購物之旅的樹狀圈 0.1×0.8 =0.08 運的是，我們有一種更簡易的方法可以計算在隨後的任何期間系統處於狀態1或者狀態2的機率。首先我們引人一種記號以表示在任何期間的機率。令 ——期間n系統處於狀態i的機率。 下標表示狀態表示時段或過渡編號例如，T：（1）表示系統在期間1處於狀態1的機率，T2（1）表示系統在期間1處於狀態2的概率。由於，（n）表示系統在期間n處於狀態i的機率，所以我們又稱這一機率為狀態機率。 T！（0）和T2（0）表示系統在初始或起始期間處於狀態1或者狀態2的機率。第0周表示距離我們剛剛開始馬爾可夫過程分析時的最近的期間。如果我們設介！（0）=1且72（0）=0，那麼就是說作為初始條件，該顧客上週是在默菲食品線商店購物；如果我們設介，（0）=0且72（0）=1，那麼我們的系統則是以上週在阿希禮超市購物的顧客為開始的。在圖17-1的樹狀圖中，我們來考慮顧客上一次在默菲食品線商店購物的情況。因此， ［m、（0）m2（0） =［1 0］ 是一個代表系統初始狀態機率的向量。一般來說，我們用記號來表示在期間n的系統狀態機率的向量。舉例來說，I（1）表示第1周狀態機率的向量，I（2）表示第2周狀態機率的向量，依此類推。 用該記號，我們只要將轉移機率矩陣乘以期間n的已知狀態機率，就可以得到期間n+1 的狀態
466 資料、樸型與決策：管理科學篇機率。使用狀態機率向量和轉移機率矩陣，該乘法運算°可以表示成 （下一期間） （當前期間）P 或 I（n+1）=II（n）P （17-1） 從系統處於期間0的狀態1為開始，我們有I（0）=［1 0］。期間1的狀態機率的計算如下： I（1）=I1（0）P 或 2）- 1 01308. = ［0.9 0.1 狀態機率介，（1）=0.9和T2（1）=0.1是一名第0周在默菲食品線商店購物的顧客第1週會在默菲食品線商店或在阿希禮超市購物的機率。 根據式（17-1），我們可以計算出第2周的狀態機率如下： II（2） =II（1）P 或我們發現第2周在默菲食品線商店購物的機率為0.83，而在阿希禮超市購物的機率為0.17。這同前面我們用圖17-1 的樹狀圖得到的結果是相同的。繼續應用式（17-1），我們就可以計算出將來任何期間的狀態機率，即 1（3）=I1（2）P II（4） =II（3）P： II（n+1）=D（n）P 表17-2列出了用這種方法計算得出的10個期間的結果。 向量口（1），口（2），口（3），…表示開始在默菲食品線商店購物的顧客在第1、第2、第3周等將處於狀態1或狀態2的機率。從表17-2我們發現，在經過幾個期間以後，這些從一個期間到下一期間的機率變化並不太大。 表17-2 以一名第0周在默菲食品線商店購物的顧害為初始狀態的未來各期間的狀態機率期間（n） 狀態機率 0 2 3 4 s m（n） （n） 1 0 0.9 0.1 0.83 0. 17 0.781 0.219 0.747 0.253 0. 723 0.277 6 0.706 0.294 7 8 9 0. 694 0.306 0.686 0. 314 0.680 0.320 10 0.676 0.324 如果我們以1000個默菲食品線商店顧客開始，即1000個上次是在默菲食品線商店購物的顧客， 我們的分析表明在第5周購物期間中，723人將成為默菲食品線商店的顧客，277人將成為阿希禮超市的顧客。此外，在第10周購物期間中，676 人將成為默菲食品線商店的顧客，324人將成為阿希禮超市的顧客。 現在我們將這一分析再重複做一次，但這次我們將以上次是在阿希禮超市購物的顧客開始。因此， II（0）=［m，（0）72（0）1=00 11 按照式（17-1），系統在期間1處於狀態1或狀態2的機率為或 I1（1）= II（0）P 日附錄17A介紹了向量和矩陣相乘的每一步過程。
第17章馬爾可夫過程 467 P1=10 1］ ［0.9 0.11 =［0.2 0.8］ P2z」 0.2 0.8 同前面一樣，我們可以算出隨後的狀態機率。這樣，我們就得到表17-3列出的結果。 麥 17-3 以一名第0周在阿希禮超市購物的願客為初始狀態的未來各期間的狀態機率期間（n） 狀態機率 0 1 2 3 4 6 7 8 9，（n） Ta（n） 0 0.2 0.8 0.34 0.66 0.438 0. 562 0.507 0.493 0.555 0.445 0. 589 0.411 0.612 0.388 0.628 0.372 0.640 0.360 10 0.648 0.352 在第5個購物期間，顧客將在默菲食品線商店購物的機率為0.5S5，在阿希禮超市購物的機率為0.445。 在第10個購物期間，顧客將在默菲食品線商店購物的機率為0.648，在阿希禮超市購物的機率為0.352。 如果我們繼續進行馬爾可夫過程，可以發現在經過許多期間之後系統處於某一特定狀態的機率與該系統的初始狀態是獨立的。在經過很多次轉移之後所得到的機率被稱為穗態機率。我們用符號開表示狀態1的穩態機率，，表示狀態2的穩態機率。換而言之，對於穩態機率來說，我們只要將期間標記從T：（n）中省略即可，因為已經不需要了。 對錶17-2 和表17-3的分析表明，當n越來越大，期間n的狀態機率和期間（n+1）的狀態機率的差距顯然變得小多了。由此我們可以得到以下結論：隨著n變大，期間（n +1）的狀態機率與期間 n的狀態機率會非常接近。這一結果為我們不進行大量的計算而用一種簡單的方法就計算出穩態機率提供了基礎。 通常，由式（17-1）可知： 由於當n足夠大時，I（n +1）和I（n）的差別可以忽略不計。在穩定狀態中，我們得到，（n+ ［m. m2］=［m， 2］ Pzz 31680］ 在進行完乘法計算後，我們得到 ™= 0.9m，+0.272 和 T2 =0.1T+0.8T2 另外，我們同樣也知道穩態機率之和必須為1 T+T =1 用式（17-4）解出T2，並代人式（17-2）中，可以得到！=0.9m，+0.2（1-m，） =0.9元，+0.2-0.27 T1-0.7升，=0.2 0.3T=0.2 （17- 2） （17-3） （17-4） 然後，根據式（17-4），我們可以得出2=1-，=1/3。因此，由式（17-2）和式（17-4），我們可以直接解出穩態機率。你也可以檢查一下，由式（17-3）和式（17-4）可以得到同樣的結果。。 ©儘管式（17-2）和式（17-3）給了兩個等式和兩個未知量，在解T，和T2時必須包括式（17-4）以確保穩態機率和為1。
468 資料、模型與決策：管理科學篇因而假設我們的系統有1000個顧客，馬爾可夫過程模型告訴我們，從長期來看，在穩態機率為 T，=2/3及T=1/3的情況下，有2/3（1000）~667 個顧客將在默菲食品線商店購物，有 1/3（1000）~333個顧客將在阿希禮超市購物。穩態機率可以看做這兩家商店的市場份額。 在決策過程中市場份額資訊通常是非常有表17-4 默菲食品線商店和阿希禮超市修正後的轉移機率價值的。例如，假設阿希禮超市計劃進行一場下一購物周廣告大戰以吸引更多默菲食品線商店的顧客到當前購物周自己的商店裡來。讓我們進一步假設，阿希禮默菲食品線商店網希禮超市超市相信這一促銷戰略可以使默菲食品線商店顧客轉向自己的機率從 0.10增加到0.15。表默菲食品線商店阿希禮超市 0.85 0.15 0.20 0.80 17-4 給出了修正後的轉移機率。 在新的轉移機率情況下，我們可以修改式（17-2）和式（17-4），以求解出新的穩態機率或市場份額。因此，我們得到 T=0.85T，+0.20m2 將T2=1-T，代人式（17-4），我們得到對3種狀態的情況，求穗態機率可以透過解3個未知穩態機率的等式來得到。 T=0.85m，+0.20（1-m）：=0.85T，+ 0.20-0.20m， T-0.65T，=0.20 0.35m= 0.20 T.= 0.57 和 T=1-0.57 =0.43 我們發現擬以促銷戰略可以使阿希禮超市的市場份額從馬爾可夫過程的其他例子還包括：在 T，=0.33增加到T2=0.43。假設整個市場每週一共會有一個組織內經理升遷到不同的位置；一個 6 000個顧客，那麼新的促銷戰略可以使每週在阿希禮超市國家肉，人們遷入或遷出某個區域；以及購物的顧客人數從2000個增加到2580個。如果每週每個學生在大學期間的進展，包括畢業或退學。 顧客可以帶來平均10美元的利潤，那麼促銷戰略預期可以為阿希禮超市每週增加5800美元的利潤。如果每週促銷活動的成本少於5800美元，那麼阿希禮超市就應該考慮去實施這一戰略。 這一例子向我們說明了對一個公司的市場份額所做的馬爾可夫分析可能會對決策非常有用。假設阿希禮超市進行促銷不是試圖將顧客從默菲食品線商店吸引過來，而是為了增加自己現有顧客的忠誠度。在這種情況下，P22會增加，而P21會減少。一旦我們知道了變化的數量，就可以計算出新的穩態機率，並算出它對利潤產生的影響。 註釋與評論 1. 本節所介紹的馬爾可夫過程具有所謂的無記憶特性：系統的當前狀態和轉移機率包括了所有預測系統未來行為所必需的資訊。我們不必考慮系統此前的狀態。這種馬爾可夫過程被稱為一階馬爾可夫過程。而在高階馬爾可夫過程裡，系統的未來狀態取決於兩個甚至更多的狀態。 2. 馬爾可夫過程模型分析不是為了要最佳化系統的某個方面。相反，這種分析用於預測或描述系統的未來及穩態的行為。例如，在零售店的例子中，穗態行為的分析給出了兩個競爭對手市場份額的預測。在別的應用當中，數量分析家們已經將馬爾可夫過程研究擴充套件到所謂的馬爾可夫決策過程。在這些模型中，每一期間我們都可以做出影響轉移機率並影響系統未來行為的決策。馬爾可夫決策過程已被用來分析機器故障和維護作業、計劃醫院內病人的流動、建立審查戰略、決定報紙持續訂閱時間以及分析裝置的更新週期。
第17章馬爾可夫過程 469 17.2 應收賬款分析在會計應用上，馬爾可夫過程也有一些不俗的表現，這其中包括了對應收賬款壞賬的估算。壞賬是對最終無法收回的應收賬款的數目的估算。 讓我們看看海德曼百貨商店應收賬款的情況。海德曼百貨商店按賬齡將應收賬款分為兩類： （1） 0~30天時長的賬目；（2）31 ~90天時長的賬目。如果賬戶餘額的任何部分超過了90天還未收回，那麼這一部分將被作為壞賬登出。海德曼百貨商店根據最遠的未支付的賬單，對所有顧客的賬戶餘額進行賬齡管理。例如，假設某顧客9月30日的賬戶餘額如下： 購買日期計費總額購買日期計費總類 8月15日 $25 9月28日 50 9月18日 10 合計：$85 因為距離最遠的未支付的賬單（8月15日）已有46天了，所以9月30日將85美元應收賬款的總餘額按賬齡列人31~90天那類。假設一週後，即10月7日，顧客付清了8月15日的欠款25 美元， 則剩下的60美元的總餘額歸人0~30天的分類，因為距離現在最遠的未支付的數目，也就是9月18 日購物的那筆賬還不足31天。由於賬戶總餘額是根據距離現在最遠的未支付的款項來歸類的，所以這種按賬齡來管理應收賬款的方法叫做總餘額法。 注意，在賬齡型應收賬款總餘額法下，某一刻歸類於31~90天類別的賬目晚些時候可能會歸類到 0~30天類別中。在前面的例子中，9月份的60美元的賬單在不同分類間的變動即是如此。在8月份的賬單被支付後，它就從31~90天類別轉到0~30天類別了。 讓我們假設12月31日海德曼百貨商店總共有3000美元應收賬款，且公司管理層想要預計這 3000美元中大約有多少錢最後可以收回，有多少錢最終會成為壞賬。壞賬的估計額將作為壞賬準備列在年終的財務報告中。 我們來看看如何將應收賬款的運作看做馬爾可夫過程。首先，我們把目標放在當前應收賬款中的 1 美元會如何變化上。由於公司在未來將繼續執行，所以我們可以把每週都看做是馬爾可夫過的一個事件，而這1美元會處於以下系統狀態中的一種： 狀態1：已支付類狀態 2：壞賬類狀態 3:0~30天類狀態 4:31~90天類這樣，我們就可以透過馬爾可夫分析跟蹤1美元在每週的狀態，從而識別出在某周或某一期間系統所處的狀態。 應用具有先前狀態的馬爾可夫過程模型，我們對轉移機率做如下定義： Pv—1美元在某周處於狀態i，在下週轉為狀態j的機率。 根據以往應收賬款金額的轉移情況，我們為海德曼百貨商店建立了如下的轉移機率矩陣P： 「Pu Pi2 Pis Pi47 P21 Prz Pas Pi4 P= Psi P32 Pss Psa 1.0 0.0 0.4 0.4 0.0 1.0 0.0 0.2 0.0 0.0 0.3 0.3 0.0 0.0 0.3 0.1」 P4I Pa2 Pas P4s」 注意，屬於0~30天類的金額（狀態3）下一期間轉到已支付類（狀態1）的機率為0.4。同時，一週後這1美元仍處於0~30天類（狀態3）的機率為0.3，且一週後處於31 ~90天類（狀態4）的機率也為0.3。當然，屬於0~30天類的1美元不可能在一週後就轉到壞賬類（狀態2）。
470 資料、模型與決策：管理科學篇海德曼百貨商店應收賬款狀況的馬爾可夫過程模型有個當出現吸收狀態時，同吸收狀態相關重要特徵，即存在吸收狀態。例如，一旦1美元轉換到了狀聯的轉移矩陣的每一行將會有一個值為1， 態1，也就是已支付狀態，那它轉換到其他狀態的機率就為其餘都為0。 0。同樣，一旦1美元轉換到了狀態2，即壞賬狀態，那它轉換到其他狀態的機率就為0。因此，一旦這1美元到達了狀態1或2，系統就會永遠保持這一狀態。 我們可以斷定，所有的應收賬款金額最終都將被吸收入已支付或壞賬狀態，因此有了吸收狀態這一名稱。 17.2.1 基本矩陣和相關計算只要馬爾可夫過程模型存在吸收狀態，我們就不用計算穩態機率了，因為每個單位最後都會以吸收狀態中的一種結束。所以當存在吸收狀態時，我們便想知道一個單位賬款落於每一種吸收狀態的概率。對於海德曼百貨商店問題來說，我們希望知道當前在0~30天賬齡類內中的1美元最後成為已支付類（吸收狀態1）的機率以及成為壞賬類（吸收狀態2）的機率是多少。我們同樣也想知道現在屬於31~90天類的1美元的相應的吸收狀態機率。 計算吸收狀態機率需要確定並用到所謂的基本矩陣。基本矩陣所內含的數學邏輯超出了本書的範圍。然而，正如我們會看到的那樣，基本矩陣來源於轉秘機率矩陣且對於只有很少量狀態的馬爾可夫過程，相對更容易計算。在下面的例子中，我們會看到基本矩陣的計算，以及如何確定海德曼百貨商店的吸收狀態機率。 計算前我們先把轉移機率矩陣分成4部分： 1.0 0.0:0.00.0 0.0 1.0:0.00.0 「1.0 0.0:0.00.07 0.0 1.0:0.00.0 P= = 0.4 0.0 0.3 0.3 R 0.4 0.2:0.3 0.1 0.4 其中， R= 0.4 691 0=10.3 0.31 L0.3 0.1」 矩陣 N，稱為基本矩陣，可以透過以下公式計算： N=（I-0） （17-5） 其中，I為單位矩陣，主對角線上都為1，其餘地方都為0。上標-1用來表示矩陣（1- Q）的逆矩陣。在附錄17A中，我們給出了找到求兩行兩列矩陣的逆矩陣的公式。 在繼續求解之前，我們注意到要想使用式（17-5），單位矩陣1必須與矩陣Q有相同的規模或維度。在我們的例子中，Q有兩行兩列，所以我們必須選擇 1.0 0.0 =0.0 1.0 下面讓我們計算基本矩陣來繼續解決例子中的問題。 1-0-16820）-08383）-1-03 -03-0］ 和（請參閱附錄17A） N= （1-0）-1=「1.67 0.56 10.56 1.30 如果我們用基本矩陣N 桑以矩陣P的R部分，就可以得到初始處於狀態3或4的應收賬歉最終落到每一個吸收狀態的機率。海德曼百貨商店問題中的N乘以 R 得到以下結果（矩陣相乘請參附錄17A）：
第17章馬爾可夫過程 471 MR-16-523 104 69-16382 NR乘積的第一行表示0~30天類中的1美元最後落人每一種吸收狀態的機率。因此我們得到， 0~30天類中的1美元最後成為已支付類的機率為0.89；而成為壞賬類的機率為0.11。類似地，乘積的第二行表明了與31 ~90天類中1美元相關的機率。也就是說，31 ~90天類中1美元最後成為已支付類的機率為0.74，而其最後無法收回的機率為0.26。有了這一資訊，我們就可以預測有多少錢能收回來，並有多少錢將作為壞賬而損失掉。 17.2.2 設立壞賬準備令B代表一個二元向量，它包括當前0~30天類和31~90天類的應收賬款。即在：0~30天賬齡在31~90天賬齡類的總金額類的總金額假設海德曼百貨商店12月31日的應收賬款餘額中0~30天類（狀態3）有1000美元，31~90 天類（狀態4）有2000美元。 B= ［1 000 2 000］ 我們可以透過B與NR 相乘來確定這3000美元中有多少能夠收回，將有多少會損失掉。例如， T0.09 BNR = ［1 000 2 000］ 0.111 =［2 370 0.74 0.26」 630］ 因此，我們看到將有2370美元的應收賬款被收回，而剩餘的630美元將作為壞賬登出。基於這一分析，會計部門應該為這630美元建立壞賬準備。 矩陣相乘 BNR 是一種計算應收賬款中最終可收回賬款和壞賬的便利方法。前面的 NR 矩陣表明 0~30天類金額收回的機率為0.89，31~90天類收回的機率為0.74。因此，正如BNR 的計算所示，我們期望總共收回1000×0.89+2000×0.74=890+1480=2370（美元）。 基於前面的分析，我們假設海德受百貨商店希望調查減少的壞賬機率。前面的分析指出，0~30 天類賬款不可收回的機率為0.11，也就是說11%的賬款不可收回，而31~90天類的則為26%。我們進一步假設海德曼百貨商店正在考慮推行一項新的信用政策，包括給予即付賬款以折扣。 管理層相信，正在考慮的這一政策將提高0~30天類向已支付類轉變的機率，降低0~30天類向31~90 天類轉空機率。假定管理層對新政策的作用進行了仔細研究，並給出了以下這一可適用的轉秘矩陣； 「1.0 0.0:0.0 0.07 0.0 1.0:0.0 0.0 P= 0.6 0.0:0.3 0.1 L0.4 02:0.30.1」 我們發現，0~30天類內的1美元在下一期間轉為已支付類的機率增加到了0.6，而在下一期間轉為31~90天類的機率減少為0.1。要確定這些變化帶給壞賬費用的影響，我們必須計算N、NR和 BNR。我們用式（17-5）計算基本矩陣 N： -1 N= （1-Q）'】 11.0 0.01 0.01.0 -。！｝ -0.3 -1。］ -0：！］ 用N乘以R，我們可以得到每個賬齡類賬款落於吸收狀態的新機率：
472 資料、模型與決策：管理科學篇透過新的信用政策，我們預料0~30天類有3% 的賬款不能收回，而31~90天類則有23%。同前面一樣，如果我們假設0~30天類中有1000美元，31~90天類中有2000美元，我們可以透過B乘 NR來計算出落於吸收狀態的應收賬款的總量。我們得到： BNR= ［1000 2000118.%8.23 ［2510 490」 因此，新的信用政策下壞賬費用為490美元。而在原有的信用政策下，這一費用為630 美元。因此， 預期新的信用政策使這一項費用節約了630美元-490美元=140美元。如果考慮到應收賬款總量為 3000美元，那這一項節約將使壞賬費用減少4.7%。在考慮了成本之後，管理層就可以評估新的信用政策的經濟性了。如果成本，包括折扣，小於應收賬款的4.7%，我們可以預料新的政策將有助於提高海德曼百貨商店的利潤。 本章小結本章中我們給出了馬爾可夫過程模型以及一些應用。我們知道，馬爾可夫分析在一些情況下提供了有用的決策資訊，這些情況主要指包含一系列重複事件，並且每一事件都有有限數目的可能狀態的情況。主要目的是為了獲得經過大量的轉移或時間期間之後，每種狀態的機率資訊。 市場份額的應用說明了確定穩態機率的計算步驟，而這些穩態機率可以被看做是兩個超級市場競爭對手的市場份額。在應收賬款的應用中，我們引入了吸收狀態的概念；對於已支付和壞賬類兩種吸收能力狀態，我們說明了如何確定將被吸收於這兩種狀態的應收賬款餘額的百分比。 馬爾可夫過程模型還被用來進行體育賽事策略的分析。專欄17-2 講述了贏得開始的投幣可以給擲石運動帶來的好處。 專欄17-2實踐中的管理科學馬爾可夫過程和加拿大冰上擲石運動冰上擲石是一項在14英尺寬、146英尺長（大約足球場長度的一半）的冰帶上進行的運動。在冰帶的每一端都有一間“房子”。每間“房子”均由4個蝕刻在冰上的同心圈組成，這很像投鏢遊戲的圓靶。比賽的目標是將一塊擲石（叫做岩石，rock）沿冰帶滑動，當石塊停下時，它距離房子的中心 （靶心）越近越好。每場比賽有10局。在每一局中，每個隊將8個岩石滑下冰帶並會記分。將岩石滑得越靠近房子中心，就得1或更多分。在這些靠近的岩石中，每塊岩石可得1分。如果房子裡沒有巖石的話，就意味著最後沒有得分。 最後出場的隊佔有優勢。比如說，這樣的隊有機會用他們的最後一擊將其他隊的岩石擊飛，從而使對手出局。所以我們把每局中最後出場的隊叫做“拿著錘子”的隊。比賽開始時的投挪硬幣就決定了哪支隊伍將得到這把錘子。隨著比賽的進行，任何一局比賽中拿著錘子的隊伍得分後錘子都會傳給別的隊。如果一局比賽中沒有得分，那麼錘子就仍屬於原隊。 我們建立馬爾可夫模型來確定投幣首先贏得錘子的期望價值。我們獲得了1985~1997年13年間加拿大男子冰上擲石錦標賽的8421場比賽的資料。轉移機率是建立在這10局比賽中每局得分情況的機率分佈的基礎上的。有趣的是，第一局和最後一局（以及任何加賽局）的轉移機率與中間各局（從第2~9局）的轉移機率是不同的。 馬爾可夫分析結果表明，當我們使用3種獨立的轉移機率集時，贏得開場擲幣勝利的隊同其他隊的分數差異為1.115分。當我們對比賽各局都使用同一套累積轉移機率集時，這一分數差別為1.006 分。這些結果清楚地表明贏得開場擲幣勝利的重要性。 資料來源：Kent J. Kostuk and Keith A. Willoughby， "OR/MS‘Rocks' the ‘House’，”OR/MS Today （December 1999）：36-39. 專業術語 trials of the process 過程事件觸發系統從一種狀態到另一種狀態轉移的事件。在許多應用當中，連續的時第17章馬爾可夫過程 473 間期間就表示過程事件。 state of the system 系統狀傑系統在任一特定事件或時間期間的狀況。 transition probabllity 轉移機率如果系統在某一期間處於狀態i，轉移機率P。則表示系統在下一期間處於狀態）的機率。 state probabilty 狀態機率系統處於任何特定狀態的機率。［也就是說，不（n）表示系統在期間n處於狀態 i的機率。］ steady-state probabilty 穩態機率系統經過大量轉移之後處於任一狀態的機率。一旦達到穩定狀態，狀態概率就不會隨期間的推移而改變。 absorbing state 啜收狀態如果脫離某種狀態的機率為0，則稱這種狀態為吸收狀態。因此，一旦系統進入吸收狀態，它就會這樣一直保持下去。 fundamental matrix 基本矩陣計算關於馬爾可夫過程吸收狀態的機率所必需的矩陣。 問題 2. New Fangled 軟飲料公司的管理層相信，顧客購買表 1 “紅色流行”或者公司的主要競爭產品“超級可到樂”的機率取決於顧客最近以來的購物行為。假設從表1為相應的轉移機率。 a.繪出上次購買“紅色流行”的顧客的兩期間樹紅色流行超級可樂紅色流行 0.9 0.1 超級可樂 0.1 0.9 狀圖。該顧客第2次購買“紅色流行”的機率為多少？ b. 各產品的長期市場份額是多少？ c.為了提高吸引“超級可樂”顧客的機率，公司正在計劃一場“紅色流行”的廣告運動。管理層認為新的廣告運動可以將顧客從“超級可樂” 轉向“紅色流行”的機率增加到0.15。你能否預測廣告活動對市場份額的影響？ 4.問題3中故障的一個原因是計算機的一個特定的硬表2 件引起的。管理層認為更換計算機硬體就可以達到到表2的轉移機率。 從 a.系統處在運轉或停機狀態的穩態機率為多少？ b. 如果系統在任何期同故障的成本預計都是500 運轉故障運轉 0.95 0.60 美元（包括出故障時損失的利潤和維修費用）， 故障 0.05 0.40 根據時間期間計算新硬體的盈虧平衡成本是多少？ 6.從美國東部主要的大都市區收集的資料表明，在一年時段內，2%的原來住在市區的人會搬到郊區，而1% 住在郊區的人會遷到市區居住。假設這一過程為馬爾可夫過程模型，其兩個狀態分別是市區和郊區。 日.寫出轉移機率的矩陣。 b.計算穩態機率。 c•在某個大都市地區，有40%的人住在市區，另60%的人在郊區。根據你所計算的穩態機率，預測這一地區的人口變化。 表3 8.兩種品牌的牙膏購買模式可透過有如表3所示的轉移機率的馬爾可夫過程表示。 從特效日到 a.哪個品牌的牙膏顧客忠誠度最高？請解釋。 特效 B 0.90 b. 這兩種品牌牙膏的預期市場份額分別是多少？ MDA 0.0s MDA 0.10 0.9s 10. 給定如下轉穆機率矩陣，其中狀態1和狀態2為吸收狀態，那麼處於狀態3和狀態4結束於吸收狀態的概率是多少？ P= 「1.0 0.0 0.0 0.07 0.0 1.0 0.00.0 0.2 0.1 0.4 0.3 0.2 0.2 0.10.5」
474 資料、模型與決策：管理科學篇 12. KLM聖誕樹農場擁有一塊生長著5000 棵常青樹的土地。每年 KLM 都允許聖誕樹零售商為顧客來農場選樹、砍樹，然後賣給個人。KLM 要保護小樹（通常不足4英尺高），這樣才能在未來幾年也有樹賣。當前，有1500棵樹被列為受保護樹木，其餘3500棵可以用於砍伐。然而，即使一棵樹在當年可以被砍伐， 它也有可能未被零售商選上，直到在未來幾年後才被砍伐。大多數當年未被砍伐的樹木會活到來年，但是每年都會有一些病樹死去。 如果把 KLM 的聖誕樹經營看做馬爾可夫過程，每年為一期間，我們可以定義以下4種狀態： 狀態1：砍伐和售出狀態2：病樹損失狀態3：太小不能砍伐狀態4：可以砍伐但沒有被砍伐和售出轉移矩陣如下： 1.0 0.0 0.07 0.0 1.0 0.0 0.0 P= 0.1 0.2 0.5 0.2 0.4 0.1 0.0 0.5」 農場＄ 000棵樹中，最終可以售出多少棵？因疾病損失多少棵？ 14. 某大學學生升級情況的資料總結在下面的轉移機率矩陣裡。 畢業退學大一學生大二學生大三學生大四學生畢業 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 退學 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 0.00 大一學生 0.00 0.20 0.15 0.65 0.00 0.00 大二學生 0.00 0.15 0.00 0.10 0.75 0.00 大三學生 0.00 0.10 0.00 0.00 0.05 0.85 大四學生 0.90 0.05 0.00 0.00 0.00 0.05 a．哪些狀態是吸收狀態？ b.解釋大二學生的轉移機率。 c.用管理科學家軟體計算一名大二學生畢業和退學的機率。 d.在對600名大一新生的開幕詞中，院長讓學生們環顧禮堂四周，因為今天在座新生的50%最終將無法畢業。你的馬爾可夫過程分析是否支援院長的說法？請解釋。 e.目前該大學有600名大一新生、520名大二學生、460名大三學生和420名大四學生。這2000名在校大學生中有百分之多少最後能夠畢業？ 附錄17A、矩陣記法及運算 17A.1 矩陣記法矩陣是指數字在正方形框內的排列。例如，看看下面這個我們定義為D的矩陣： 2-6 這時我們說，矩陣D包含6個元素，而裡面的每一個元素都是數字。為了識別矩陣裡特定的數字，我們要指明它的位置。因而，我們引入行和列的概念。 在水平線上的所有元素，我們稱為矩陣中的一行。例如，D中的元素1，3和2，我們稱為第一行，而0， 4，5為第二行。按照習慣，我們稱頂行為第一行，頂行以下的第二行稱為第二行，以此類推。 在垂直線上的所有元素稱為矩陣中的一列。例如，D中的元素1和0，我們稱為第一列，而3和4 為第二列，2和5為第三列。按照習慣，我們稱最左邊一列為第一列，緊鄰其右邊一列稱為第二列，以此類推。 透過指定行和列的位置，我們可以確定矩陣中的特定的元素。例如，D中的第一行、第二列為3，這個位置就寫成： dix =3