利潤 S 收益買看跌期權收益利潤 S 收益與利潤 2X 斜率=-2 斜率=1 2X-2P-C X -2P-C 5. 以每股為基礎的收益表如下： Sr≤90 買看跌期權（X=90） 90-Sr 股份賣看漲期權（X=110） 總計 Sr 90 收益利潤、' 90<Sr ≤110 0 S； Sr S， Sy>110 0 （S，-110） 110 409
第六部分期權、期貨及其他衍生證券收益寫利潤收益斜率=2 利潤 X 斜率=-1 X P-2C Si -P-2C 收益情況的曲線圖如下圖所示。如果你以2 000乘以每股價值，你就會發現雙限期權提供了一個180000美元的最小支付額（代表最大損失為20 000美元），以及一個220 000 美元的最大支付額（此為房屋成本）。 收益〔美元） 110 %0 -雙限 Sr （美元） 90 110 410 6. 有保障的看漲期權策略包括•種普通債券和該債券的看漲期權。在期權到期時這•策略的價值可以表示成下圖中給出以普通債券價值的函式。下圖與圖 20-12實質上相同。 普通債券的價值一拋補的石漲期權收益一普通債券的價值出售看漲期權 7. 隨著看漲期權保護範圍的擴大，看漲期權的價值變小。因此，息票利率不需如此之高。 8. 更低。投資者將接受較低的息票利率以獲得轉換的權利。 9.存款者每一美元的隱性成本現在僅為每六個月期 （0.03美元-0.005美元）/1.03=0.02427美元。看漲期權的成本為每美元50/1000=0.05美元。乘數下降力 0.024 27/0.05 =0.4854。
第21 章期權定價在上•章中，我們分析了期權市場及期權策略，我們發現很多證券包含有影響其價值與風險收益特徵的隱含期權。在這•章中，我們將注意力轉向期權定價。要理解大部分期權定價模型需要柑當的數學及統計學功底，但我們將著重於透過簡單例子米說明模型的主要思想。 首先，我們將討論影響期權價格的諸多因素，接著將闡明期權價格的-些界限。然後，我們從簡單的兩狀態期權定價模型開始引人數量模型，並說明這一方法如何一般化》 精確實用的定價方法。接著，我們將介紹近30年來金融學的重大突破——佈菜克-舒爾斯模型。最後，我們將探討期權定價理論在資產組合管理及控制方面的重要應用。 21.1 期權定價導言 21.1.1 內在價值與時間價值考慮某時刻處於虛值狀態的看漲期權，這時股票價格低於執行價格，在這種情況下，並不意味著期權沒有價值。 即便現在執行該期權無利可圖，但期權的價格仍為正值，因為在到期前股票價格很有可能會大幅上揚使得執行期權可獲得收益。否則，最壞的結果不過是期權以零值失效。 有時稱S。一X為實值期權的內在價值，因為這是立即執行期權所帶來的收益。虛值期權與平價期權的內在價值為零， 期權實際價格與內在價值的差通常稱為期權的時間價值。 選擇時間價值這個術語有些美中不足，因為它很容易同貨幣的時間價值相混淆。期權的時間價值指的是期權價格與期權現時的市場價值之差，它是期權價格的一部分，其價值來源於期權合約距離到期日還有一段時間。 期權的大部分時間價值其實是一種“波動性價值”，只要持有者不執行期權，其收益就不可能小於零。雖然看漲期權現在處於虛值，但仍然具有正的價格，因為一旦股價上升， 就存在潛在的獲利機會，而在股價下跌時不會遭受更多的損失。波動性價值依賴於當執行對自己不利時可以不執行的權利。期權的執行是權利，而不是義務，期權在股票價格下跌時提供了保險。 隨著股價大幅上漲，看漲期權越來越有可能在到期日之前被執行。在幾乎肯定要執行的情況下，價格波動性的價值達到最小值。隨著股價的進一步升高，期權價值接近“經調整的”內在價值，即股價減去執行價格的現值，即S。一 PV（X。 什麼會這樣呢？如果你非常肯定地會執行期權，以X 的價格購買股票，這就相當於你已經持有了股票。股票現在的價值為So，就好像現在已經放在了你的保險箱裡，事實上幾個月後才會如此，而你只是現在還未付款罷了。你將來的購買價格的現值為X的現值，所以看漲期權的淨價值為S。一 PV（X）。 - 圖21-1是看漲期權的價值函式，從價值曲線可以看出， 當股票價格非常低時，期權價值幾平零，因為幾乎沒有執行的可能性。當股價非常高時，期權價值接近調整的內在價值。在中間階段，期權近似為兩平時，曲線背離直線趨向調整的內在價值。這是因為在這個區域，儘管現在執行期權的收益很小或負，但期權的價格波動性價值卻很高。 看漲期權的價值總是隨著股價上漲而增加，當期權處於深度實值時，曲線斜率達到最大，此時，執行幾乎是肯定的，期權價值上漲的幅度與股票價格上漲的幅度相同。 21.1.2 期權價值的決定因素影響看漲期權價值的因素至少有六個：股票價格、執行價格、股票價格的波動性、到期期限、利率及股票紅利率。 1 在這裡的討論中，我們假定在期權到期前股票不支付紅利， 如果在到期前股票支付紅利，那麼就有一個原因使你願意在期權到期前得到股票，因為你會得到這段期間股票支付的紅利。在這種情況下，調整的內在價值就必須減去在到期前股票支付的紅利的現值。更一般地將調整的內在價值定義為S。-PV（X0）-PV（D），其中D為到期前所支付的紅利。
第六部分期權、期貨及其他衍生證券因為執行看漲期權的收益等於S，一X，所以看漲期權價值與股票價格同向變動，而與執行價格反向變動。看漲期權期望收益的幅度隨S。一X的增加而增加。 期權價值看漲期權價值，Su-PV（X）、如果現在執行的期權價值=S-X= 內在價值時到價值 So PV（X） X 虛值實值圖21-1 執行期權前的看漲期權的價值看漲期權價值也隨著股價波動性的增加而增加。為解釋這個問題，假設存在兩種情形，一種是到期日股價可能在 10~50美元範圍內變化，另一種則在20~40美元範圍內變化，雖然在兩種情況下，股價的期望值，或平均值，均為30 美元。假定看漲期權的執行價格30美元，期權的收益各多少？ 高波動性的情況股票價格期權收益 10k元 20關元 30美元 40美元 10美元 50美元 20美元低波動性的情況股票價格期權收益 20美元 25美元 30美元 35美元 5美元 40美元 10美元如果每種結果出現的可能性都相同，機率都片0.2，高波動性情況下期權的期望收益為6美元，而低波動性情況下的期權的期望收益只有一半，即3美元。 儘管在上述兩種情況中，股票的平均價格都是30美元， 但是，高波動性情況中期權的平均收益要高。這一額外價值源於期權持有者本身所承受的損失是有限的，或者說是看漲期權的波動性價值。不管股價會從30美元跌至何處，持有者得到的均為零。顯然，對期權持有者而言，股票價格表現不好時，跌多跌少沒有什麼不同。 但是，如果股價上揚，在到期時看漲期權就會變成實值期權，股價越高，期權的收益就越大，所以，好的股價帶來的收益是無限的，差的股價帶來的收益也不會低於零。這種不對稱性意味著標的股票價格波動性的增加使期權的期望收益增加，從而增加了期權的價值。 412 同樣地，到期期限越長，看漲期權的價值也越大。期限越長，發生不可預測的未來事件的機會就越多，從而導致股票價格增長的範圍就越大。這與波動性增加的效果是相似的，而且，隨著期限的延長，執行價格的現值下降，這也有利於看漲期權的持有者，亦增加了期權價值。由此可以推出， 利率上升時，看漲期權價值增加（假定股價保持不變），因為高的利率水平降低了執行價格的現值。 最後，公司的紅利支付政策也影響期權價值。高額紅利會大大減緩股價的增長，對股票的期望收益率來說，高額紅利率的背後是低的資本收益率。對股票價格的抑制降低了看漲期權的潛在收益，從而降低了其價值。表21-1是對以上這些關係的總結。 表21-1 看漲期權價值的決定因素如果該變數增加看漲期權價值的變化股票價格S 增加執行價格X 降低波動性o 增加到期時間T 增加利率r， 增加紅利文付降低概念檢查問題 1. 如果S、X、O、T、T，與紅利支付增加，看跌期權的價值會發生怎樣的變化，準備一個類似表21-1的表格，說明看跌期權價格與這些決定因素之間的關係。 21.2 期權價值的限制關於期權定價理論有很多數量模型，在本章中我們將考察其中一部分模型。所有這些模型均建立在簡化的假設基礎之上，期權價值的性質中哪些具有普遍意義？哪些依賴於特殊的簡化呢？首先，我們將探討期權價格重要的一般性質， 其中某些對於理解股票紅利對期權價值的影響及美式期權提前執行的可能收益將起關鍵的作用。 21.2.1 看漲期權價值的限制看漲期權價值最為明顯的限制是其價值不可能為負。 因為期權並不一定執行，它不會給持有人帶到任何義務或負債；進一步講，只要執行期權有可能帶來收益，期權就會具有一個正的價值。其收益最少為零，而且有可能為正，所以投資者是樂意支付一筆錢去購買看漲期權的。 我們可以為看漲期權劃定一個更小的範圍，假定股票將在到期日之前的時間T（現時為0時刻）支付數量為D的紅利，現在比較兩個資產組合，一個包括一份股票看漲期權，
而另一個則是由股票與數額為（X+D）/（1+r）’的借款構成的槓桿化股權頭寸，在期權到期日那天，借款償付額為X+D 美元。舉例來說，一個執行價格為70美元的半年期期權，在此期間公司將向股東持有的每一股股票支付紅利5美元，有效年利率為10%，那麼購買股票的同時，須借一筆數額為75 / （1.10）"2=71.51美元的借款，6個月後當借款到期時償還75 美元。 到期日槓桿化股權頭寸的收益如下： 股票價值鹼：貨款償還額總計一般表示式 Sr+D -（X+D） Sy-X 數字 Sr+5 -75 $y-70 其中S，指股票在期權到期日的價格。我們發現股票的收益為無紅利股票價值加上所收到的紅利，股票加借款頭寸的總收益是正還是負，取決於S，是否超過X。建立這種資產組合的淨現金流出量為S。-71.51美元，或用公式表示為 S。-（X+ D）/（1+r）”，也就是說，0時刻股票的價格減去初始借款額。 如果期權在實值狀態被執行，其收益為S，一X，否則為零。所以在期權收益與槓桿化股權頭寸收益均為正時，兩者收益相等，後者收益負時，前者收益高於後者。因為期權的收益總是大於或等於槓桿化股權頭寸的收益，所以期權價格要超過建立該頭寸的成本。 於是，看漲期權的價值大於S。-（X+D）/（1+r），更一般地表示為 C≥S。-PV（X）- PV（D） 其中PV（X）為執行價格的現值，PV（D）指期權到期所支付紅利的現值。一般而言，可定義PV（D）為到期日之前所有紅利的累計現值。由於已知看漲期權價值為非負，所以，可知C大於max 1O,S-PV（X）-PV（D）］。 我們還可以定義出一個看漲期權價值的上限：顯然應當是股票價值S。。沒有人會支付高於S。的價值去購買實際價值為S。的股票的期權，所以，有C《So。 圖21-2給出了看漲期權價值所處的範圍。根據我們得到的對期權價值的限定，期權的價值不可能在陰影區域以外。 在到期日之前的任一時點，看漲期權價值在陰影區城之內， 但是不會到達上下邊界，如圖21-3所示。 21.2.2 提前執行期權與股息想取消交易的看漲期權持有者有兩個選擇，執行期權或將其售出。如果持有者在：時間執行期權，獲得收益S，一X （假定為實值期權）。我們已經知道，期權最低可以S，- PV（X）- PV（D）的價格賣出，所以對於不付紅利的股票期權第21章期權定價而言，C大於S，-PV（X），因為X的現值小於X，所以，有看漲期權價偉允許的港冊下限二可調整的內在價值 - Su~ PV（X）- PV（D） So PV（X） +PV（D） 圖21-2 看漲期權價值的可能範圍給定股票價格的看漲期權的價值 PV（+PV（D） 圖21-3 看漲期權價值與股票現價之間的函式關係這意味著以價格C出售期權的收益一定大於執行期權的收益，所以出售期權使其仍繼續存在比執行期權而結束它在經濟上更有吸引力。換話說，不付紅利的股票期權繼續有效比結束它更有價值。 如果在到期日之前執行期權無法帶來收益，那麼提前執行毫無意義。由於美式期權不會提前執行，所以提前執行的權利也就無意義了。於是我們可以認為美式看漲期權與歐式看漲期權對不付紅利的股票上是等價的。如果我們發現歐式看漲期權有價值，那麼同樣地，美式看漲期權也有價值。 既然，定價模型適用於歐式看漲期權，由於美式看漲期權與歐式看漲期權的差別只是一個實施時間，因此，它也同樣適用於美式看漲期權，那麼，情況就簡化多了。 413
第六部分期權、期貨及其他衍生證券由於大多數股票是支付紅利的，那麼這一結果是否只具有理論價值呢？並不是的。如果仔細加以考慮，你會發現實際上我們僅要求在期權到期日之前股票不支付紅利。對大多數期權來說，實際情況確實如此。 21.2.3 美式看跌期權的提前執行對於美式看跌期權而言，肯定會有提前執行而達到最優的可能性。我們下面透過一個簡單的例子來加以說明。假定你購買了一份股票看跌期權，不久，公司破產，股票價格變為零，這時你肯定會立即執行期權，因為股票價格已經不可能再跌了。立即執行會獲得執行價格，可以重新投資獲利。 推遲執行則意味著損失資金的時間價值，在到期日之前執行看跌期權的權利是有價值的。 現在假定公司只是面臨破產，股票跌至幾美分，馬上執行期權仍是最優選擇，雖然股票價格仍會下降，但僅僅是幾美分而已，將來執行不過比現在執行多得到幾美分的收益。 要在可能多獲得的很少的收益與推遲執行帶來的資金時間價值的損失之間進行權衡。顯然，當股票價格低於某些值時提前執行是最優選擇。 從以上論述可知，美式看跌期權比歐式看跌期權的價值高，美式看跌期權允許在到期日之前的任一時點執行，因為提前執行在某些情形下極為有用，會在資本市場上獲得正的價格。於是，在其他條件相同時，美式看跌期權的價格高於歐式看跌期權。 圖21-4a給出了美式看跌期權的價值與股票現價S。之間的函式關係。一旦股價跌破臨界值（圖中記作S‘），執行就是最優決策。在這一點，期權價值曲線與代表期權內在價值的直線相切。當股價達到S‘時，看跌期權被執行，其收益等於期權的內在價值。 作為比較，歐式看跌期權的價值畫在圖21-4b中，內在價值線並不是其漸近線。因為歐式期權不允許提前執行，所以歐式看跌期權的最大值是PV（X），發生在S。=0時。顯然， 時間越長，PV（X）越小。 概念檢查問題繳 2.根據以上討論，解釋為什麼看跌-看漲期權平價關係只對不支付紅利的股票的歐式期權成立。如果股票不支付紅利， 為什麼美式期權不滿足該平價關係？ 21.3 二項式期權定價 21.3.1 兩狀態期權定價沒有深厚的數學背景，要完全理解通常使用的期權定價公式是很困難的。但是，我們仍然可以透過一個簡單的特例，來對期權定價進行有價值的考察。假定在期權到期時股票價格只有兩種可能：股票價格或者漲到給定的較高水平， 或者降到給定的較低價格。雖然這可能看起來是太簡單了， 但是這可以幫助我們進一步理解更復雜與現實的模型。而且， 我們可以用這種方法來描述股票價格行為更合理的特性。實際上，幾個大的財務公司已經使用這種簡單模型的變型來對期權與具有期權特點的證券進行定價。 假定現在股票價格為100美元，年底的股票價格可能升至=2（u是up的簡寫，上升的意思），即股價可升至200美元，或者降至d=0.5（d是down的簡寫，下降的意思），即股價可降至50美元。該股票的看漲期權的執行價格為125美元，有效期為一年。利率是8%。如果年底的股票價格下跌了，看漲期權持有者的收益將會是O；如果股票價格漲到了 200美元，期權持有者將會獲得75美元的收益。 可用以下的“二叉樹”加以說明： x X - PV（X 看跌期權價值時間價值 S So s‘ PV（X） x a） 圖21-4 看跌期權價值與股票現價之間的函式關係 a） 美式看跌期權價值 b）歐式看跌期權價值 414
200 -75 100 C 50 -0 股票價格看漲期權價值將看漲期權的收益與一個由一股股票與以8%的利率借 46.30美元組成的資產組合的收益進行比較，這一資產組合的收益也取決於年末的股票價格： 仟末的股票價值減：貨款的本金與利率總計 50美元 -50美元 0美元 200美元 -50美元 150美元我們知道，建立資產組合的現金支出是53.70美元：股票100美元，減去46.30美元的借款。因此，這一組合的價值樹為： 150 53.70 不管年底股票的價格是何值，這一資產組合的收益都是看漲期權收益的兩倍。換句話說，兩份看漲期權正好可以複製出資產組合的收益。因此，兩份看漲期權的價值應該與建立資產組合的成本相同。予是，兩份看漲期權應以相同的價格賣出。所以，有 2C=53.70美元即每份看漲期權的價格應為C=26.85美元。因此，給定股票價格、執行價格、利率與股票價格的波動性（即股票價格上下波動的幅度），我們就能夠得出看漲期權的公平價值。 這種定價方法主要依賴複製的概念，由於股票年底有兩種可能的價值，利用槓桿的股票資產組合的收益複製了兩份看漲期權的收益，因此，它們才具有相同的市場價格。 複製概念已成為大部分期權定價公式的後盾。對價格分佈更復雜的股票來說，複製技術相應地也更加複雜，但原理是相同的。 我們也可以從另一個角度來考察複製的作用。仍用前面的例子，我們發現，由一股股票與出售兩份看漲期權構成的資產組合，得到了完全的套期保值，它的年末價值不受股票價格的影響： 股票價值減：H售兩分看漲期權的所得淨收益 50美元 -0美元 50美元 200美元 -150美元 50美元投資者構造了—-個無風險資產組合，其未來收益為50 美元。它的價值⋯•定等於50美元的現值，即50/1.08=46.30 第21章期權定價美元。資產組合的價值等於股票多頭100美元減去2份出售的看漲期權的價值2C，應該等於46.30美元，因此100-2C =46.30美元，C=26.85美元。 創造完全套期保值的能力是關鍵。套期保值鎖定了年末的收益，它可用無風險收益率來折現。用股票的價值來獲得期權的價值，不需要知道期權或者股票的貝塔值或者期望收益率。完全套期保值或者複製，使我們可以用不包含這些資訊的股票現價來表示期權價值。透過套期保值頭寸，最終的股票價格就不會影響投資者的收益，所以股票的風險與收益引數也不會受任何影響。 這個例子中的套期保值率是一股股票對兩份看漲期權， 或者說是半股股票對一份看漲期權。對所出售的每份看漲期權來說，資產組合中必須保持半股股票以進行套期保值。這個比率在這裡簡單解釋如下，它是期權價值範圍與股價只有兩個取值範圍的條件下所得出的比率。最初以S。=100的價格銷售，其價值或 dx 100美元=50 美元，或者就變動範圍150美元來說，是wx 100美元=200美元。如果股價上升，看漲期權的價值將是C，=75美元，而如果股價下降，在變動範圍為75美元時，則看漲期權的價值將是C=0。這個比率為75/150，即1/2，這正是套期保值率。 套期保值率等於範圍的比率，因為在這個兩狀態的例子中，期權與股票具有完全相關性。當期權與股票的收益完全相關時，完全套期保值要求期權與股票的比例僅由相對波動性來決定。 對其他兩狀態期權問題，套期保值率的一般公式為 H=（Cu Ca）/（uS。-dSa） 式中，C或者Ca分別為看漲期權在股票價格上漲與下跌時的價值；uS。與dS。分別為兩狀態下的股票價格。套期保值率為 H，是期權與股票在期末可能的價值變動範圍的比率。如果投資者出售一份期權並且持有H股股票，那麼該資產組合的價值將不受股票價格的影響。在這個例子中，期權定價很容易：僅僅使套期保值資產組合的價值等於已知收益的現值。 用上面的例子，期權定價技術將包括以下步驟： 1）給定可能的年末股票價格，uS。=200與dS， =50，執行價格 125美元，計算C，=75與Ca=0。股票價格的變動範圍為150美元，而期權價格的波動範圍是75美元。 2） 套期保值率為75/150=0.5。 3）由0.5股股票與一份期權空頭組成的資產組合，年末的確定價值25美元。 4） 年利率為8%，25美元的現值23.15美元。 5） 讓套期保值頭寸的現值等於將來的確定的收益的現值： 0.5S。-C=23.15美元 50美元-Co=23.15美元 415
第六部分期權、期貨及其他衍生證券 6） 解出看漲期權的價值，C。=26.85美元。 如果期權的價值被高估，醫如30美元，那麼會怎樣呢？會獲得套利利潤。以下是套利的具體做法（美元）： 初始魂金流 1） 出轡兩份期權 2） 購買一股股票 3） 以年利率8%借入40美元總計 60 對每個可能的股票價榕. 一年後的現金流 S，=50 S，=200 0 150 50 200 -43.2 -43.2 6.80 6.80 雖然淨初始投資為零，但一年後的收益是正值，並且是無風險的。如果期權被低估了，我們只要採取相反的套利策略：購買期權，出售股票，消除價格風險。記住，用這種方法，套利利潤的現值正好等於期權價值高估部分的2倍。 利率8%，6.80美元的現值是6.30美元。因該套利策略包含 2份期權，每一個期權的利潤為3.15美元，正好等於期權價格被高估的數額，即30美元減去公平價值26.85美元。 概念檢查問題 3.假如看漲期權被低估了，比如為24美元。闡明用來發現錯誤定價的套利策略。並且證明每購買一份期權在一年之後可以獲得3.08美元的無風險現金流。 21.3.2 兩狀態方法的推廣雖然兩狀態股票定價模型看起來很簡單，但是我們可以將其推廣，加入現實的假設。首先，假定我們將一年分成兩個6個月的時期，然後假定在任何一個時期，股票都只有兩個可能的價值。這裡我們假定股價將增長10%或者將下降 5%，股票的初始價格為每股100美元，在一年中價格可能的路徑為： -121 110 100，104.50 95 ~90.25 中間價為104.5美元，可透過兩條路徑獲得：先增加 10%，再降低5％，或者先降低5%再增加10%。 這裡有三種可能的年末股票價值與期權價值。 Cad Cad 416 使用類似前面採用的方法，我們可以從Cw與Cu得到Cu 然後從Cu與Cad得到Ca，最後再從C與C。得到C。而且我們也沒有理由就停止在6個月的時間間隔上，接下來我們可以把1年分成4個3個月，或者12個1個月，或者365天，每一個時間段都假定是一個兩狀態過程。雖然計算量變得很大而且枯燥，但是對計算機程式來說卻很容易，並且這種計算機程序在期權市場預測上得到了廣泛的使用。 例21.1 二項式期權定價假設有一半年期、無風險利率力5%、執行價為110美元的股票看漲期權，試運用上述二叉樹方法來計算它的價值。 我們首先從求C，的價值入手。從這，點開始，到期權的到期日， 看漲期權價值能上升至Cww=11美元（因為在該點股票價格比4 XHXS=121美元）或者下跌至Cwd=0（因為在此時股票價格IxdxSo=104.50美元，低於期權執行價110美元，因而在該點的套期保值率為 F=（Cu-Cud）/（UISo-udSo）=（11-0）/（121-104.5）=2/3 這樣，不論到期日股價如何，下列資產組合的價值都為 209美元： 以 S，=110美元價格購買2股股票以C價格賣出3份看漲期權合計 udSo=104.5美元 209美元 0美元 209美元 UUS=121美元 242美元 -33美元 209美元該組合的當前市場價值必定等於209美元的現值，即 2×110-3C，=209美元/1.05=199.047美元由上式可以求得C=6.984美元。 下一步，求C的價值。很容易看出其價值一定是零。如果達到一點（相應股票價格為95美元），期權到期時股票價格將為104.5美元或90.25美元。在任何一種情況下，期權到期時為虛值狀態（更正規地講，我們注意到在Cw=Cad=0時， 套期保值率為O，一個具有零股股票的組合將複製看漲期權的收益情況）。 最後，我們用C，和C的值求出C值。概念檢查問題4給出計算C的步驟，並證明了期權的價值為4.434美元。 概念檢查問題 4.驗證例21.1的看漲期權的最初價值為4.434美元。 a.確認期權價值的價差為C C』=6.984美元。 b.確認股票的價差為uS-dS。=15美元。 C.確認對每個空頭看漲期權的套期保值率為買入0.4656 股股票。 d. 證明由0.465 6股股票和一看漲期權空頭構成的組合，
第21章期權定價機率機率 3/8 1/4 1/8 3/81/4 1/8 未來股票價格未來股票價格 90 100 110 115 %0 100 110 115 a） b） 圖21-5 機率分佈 a）：個時期後股票價格可能的結果及其機率。初始股票價格為100美元，任每個時期，股票價格或上漲5%，或下跌3% b） 每個時期又分為兩個制隔。在六個時期內，股票價格或上漲2.5%，或下跌1.5%。隨著期間數的增加，股票價格分佈接近鐘形分佈其一期價值是無風險的。 e. 計算上述組合支付的現值。 f. 求出期權價值。 當我們把•年分成越來越多的間隔時，年末股票可能價格的範圍也隨之膨脹了，並且實際上，將量終形成熟悉的鐘形分佈。這可以從對一段時間內有三個間隔的股票事件樹的分析中看出： S。 USo rdS。 So udS。 dS. -ud’S。 dS。 d'S。 首先，注意當間隔數量增加時，股票可能的價格也增加了。其次，注意最後事件，像u’S。或者dS，是相對較少的， 因為它們需要在三個子間隔內連續增加或減少。中間範圍的， 像u’dS。能透過不止一條途徑得到，價格兩升一降的資產組合將會得到股價udS。。因此，中等範圍的價值的可能性會更大一些。用二項式分佈可以將每個結果都描述出來，因此這種多時期的期權定價方法被稱為二項式模型。 例如，初始股票價格為100美元，股票價格上漲或下跌的可能性相同，三時期內股票價格可能增加5%而減少3%， 我們能從以下的計算中得出股票價格的機率分佈。三時期內股票價格的變動有八種組合：uu、uud、udu、duu、udd、 dud、ddu、ddd。每個都有1/8的可能性。因此，股價在最後期末的機率分佈為： 事件 3升 2升1降 1升2降 3降機率 1/8 3/8 3/8 1/8 股票價格 100 ×1.05'=115.76 100 × 1.052×097=106.94 100×1.05×0.972=98.79 100 ×0.97’=91.27 中間價值發生的可能性是兩端價值發生可能性的3倍。 圖21-5a是這個例子的頻率分佈。該圖接近於鐘形曲線。實際上，當時間間隔數量增加時，如圖21-5b所示，頻率分佈更接近於對數正態分佈，而非標準正態分佈。？ 假定我們將股票價格上下變動的時間間隔繼續分小， 最後事件樹的每個節點對應著無限小的時間間隔，那麼在這些時間間隔內股票價格的變動也相應地非常小。隨著時間間隔的增加，最後的股票價格將越來越接近對數正態分佈。那麼兩狀態模型過於簡單化的缺點就可以透過時間間隔的進一步細分來克服。 在任何一個節點，都可以建立、個資產組合來對下、 個時間間隔的風險進行套期保值。接著，在下一個時間間隔末，在到達下一個節點上，又可以重新計算套期保值率，對 2 實際上，這裡引入了更復雜的考慮，只有當我們假設股價連續變動，也就是說在很小的時間間隔內股價僅發生很小的變動時，這一過程的極限才是對數正態分佈。這排除了極端事件，像由於戲劇化的資訊突然發生很大的價格變動。 對這類跳動事件的處理，參見：John C.Cox and Stephen A. Ross， "The Valuation of Options for Alternative Stochastic Processes，" Journal of Financial Economics 3 （January-March 1976），pp.145-66，或者Robert C.Merton， “Option Pricing when Underlying stock Returns Are Discontinuous，” Journal of Financial Economics 3（JanuaryMarch 1976），pp. 125-44。 417
第六部分期權、期貨及其他衍生證券資產組合的構成進行更新。透過不斷改變套期保值頭寸，資產組合可以總保持在風險對沖的狀態，在每個間隔都獲得無風險收益。這稱溈動態套期保值，也就是隨時間不斷調整套期保值率。動態套期保值越來越完善，期權的定價過程也越來越精確。 概念檢查問題酸 5. 當期權的實值狀態越深時，套期保值率是越大還是越小？ （提示：記住套期保值率是期權價格的變化與股票價格變化的比率。什麼時候期權價格對股票價格的變動更敏感？） 21.4 布萊克-舒爾斯期權定價模型儘管我們介紹過的二項式模型方法要靈活得多，但這種方法在實際工作中需要用計算機，而期權公式卻要簡單得多，沒有二項式模型中複雜的步驟，只要作兩個假設，公式就可以用了，這兩個假設是無風險利率與股票價格的標準差在期權有效期內保持不變。 價值的公式，舒爾斯與默頓也因此獲得了1997年諾貝爾經濟學獎。’現在，布萊克-舒爾斯定價公式已被期貨市場參與者廣泛接受，該公式為 Co=S,N（d）-Xe-"N（d） （21-1） 式中 Nd）=陰影部分圖21-6 標準正態曲線線上投資溫金融經濟學領域的諾貝爾獎羅伯特 •莫頓和梅隆•舒爾斯獲得了1997年的諾貝爾經濟學獎。（費雪，布萊克已經去世。）連結到 www.almaz.com/nobel/economics，瀏覽自1969年來諾員爾獎獲得者的情況。看看有什麼其他“金融經濟學”概念（與本課程有關係的），以及相關作者曾經得到過諾貝爾獎？ 21.4.1 布萊克-舒爾斯公式金融經濟學家一直在尋找一種實用的期權定價模型。 最後，終於由佈菜克、舒爾斯’與默頓“發現了計算看漲期權 410 d - InS,/X）+（+O2/2）T GVT d=d-aT 其中，C。—當前的看漲期權價格。 S。當前的股票價格。 N（d）— —標準正態分佈小於d的機率，圖21-6的陰影部分。在Excel中，這個函式叫NORMSDISTO）。 X— 一執行價格。 €- -2.71828，自然對數的底。在Excel中，可以使用EXP（x）函式估算e。 R一無風險利率（與期權的到期期限相同的安全資產的連續複利的年收益率，與離散時間的收益率不同）。 T- -期權到期時間。 In——自然對數函式，在Excel中，可以用LN（x）計算 In（x）。 •股票連續複利的年收益率的標準差。 期權價格並不取決於股票的期望收益率。實際上，該公式中已經包含了股票價格的資訊，而股票的價格與股票的風險特性有關。這裡的佈菜克一舒爾斯公式假定股票不支付紅利。 儘管你會覺得布萊克-舒爾斯公式很複雜，但是我們可以從直覺上進行理解。把N（d）部分視看漲期權在到期處於實值的風險調整機率。首先，看一下式（21-1），假設兩個 N（d）均為1，我們就看到看漲期權被執行的可能性很高。看漲期權價值為S。-Xe”，這也是我們前面提到過的調整後的內在價值，S&-PV（X）。這一點是很有意義的，如果確實執行了，我們就獲得了以S。為現價的股票的所有權，而承擔了現值為PV（x）的債務，或以連續複利計算為Xe“的債務。 現在再看式《21-1）；如果N（d）趨於零，意味著期權不會被執行，該等式說明看漲期權價值為零。對於N（d）在 Q~1之間時，式（21-1）告訴我們，可把看漲期權價值視 3 Fischer Black and Myron Scholes， “The Pricing of Options and Corporate Liabilities" Journal of Political Econony 8I （May-Jwme 1973）. 4 Robert C.Merton， "Theory of Rational Option Pricing""Bell Journal of Economics and Management Science 4（Spring 1973）. 5 Fischer Black於1995年去世。
為經過到期時處於實值的機率調整後的潛在未來收益的現值。 那麼，N（d）又是如何表示風險調整機率的呢？這需要用到高階統計學的知識。注意In（SwX），在d、d的分子中都出現了，它近似表示期權現在實值與虛值的百分比。例如， 如果S。=105，X=100，期權實值的百分比是5%， In（105/100）=0.049，同理，如果S。=95，則期權虛值的百分比是5%，In（95/105）=-0.051，分母c廳，用股票價格在剩餘期限中的標準差對期權的實值與虛值的百分比進行調整。如果股價變動很小，並且距到期的時間也所剩無幾的時候，給定比例的實值期權一般會保持原實值狀態，因此， N（d.）、N（d）代表期權到期時處於實值的機率。 例21.2 布萊克-舒爾斯定價法佈菜克一舒爾斯公式很容易應用，假設想對一個看漲期權進行定價，已知條件如下： 表21-2 N（d） N（d） 3.00 -2.9$ -2.90 m 2.85 -2.80 =2.75 -2.70 灬2.65 … 2.60 =2.55 … 2.50 2.45 -2.40 - 2.35 ~ 2.30 = 2.25 = 2.20 -2.15 -2.10 -2.05 -2.00 -1.98 -1.96 -1.92 -1.90 -1.88 一1.86 ~ 2.84 ~ 1.82 … 1.80 -1.78 ∞1.76 -1.72 1.70 ~ 1.68 - 1.66 - 1.64 -1.62 -1.60 0.0013 0.0016 0.0019 0.0022 0.0026 0.，0030 0.0035 0.0040 0.0047 0.0054 0.0062 0.0071 0.0082 0.0094 0.0107 0.0122 0.0139 0.0158 0.0179 0.0202 0.0228 0.0239 0.0250 0.0262 0.0274 0.0287 0.0301 0.0314 0.0329 0.0336 0.0359 0.037≤ 0.0392 0.0409 0.0427 0.0446 00465 0.0485 00$05 0.0526 0.0548 灬1.$8 -1.56 - 1.54 -1.52 = 1.50 ≥ 1.48 灬1.46 - 1.42 -1,40 - 1.38 - 1.36 -1.34 1.32 -1.30 -1.28 1.26 -1.24 = 1.22 灬 1.20 m8.18 - 1.16 -1.14 ≥1.12 -1.10 1.08 -1.06 -1.04 ≥ 1.02 一1.00 …0.98 -0.96 ≥00.04 ≥ 0.92 ~0.90 ≥0.88 =0.86 -0.84 -0.82 -0.80 ∞-0.78 0.0571 0.0594 0.0618 0.0643 0.0668 0.0694 0.0721 0.0749 00778 0.0808 0.0838 0.0869 0.0901 0.0934 0.0968 0.1003 0.1038 0.1075 0.1112 0.1151 0.1190 0.1230 0.1271 0.1314 0.1357 0.1401 O.1446 0.1492 0.1539 0.1587 0.1635 0.1685 0.1736 0.1788 0.1841 0.1894 0.1949 0.2005 0.2061 0.2119 0.2177 -0.76 …0.7綠 -0.72 -0.70 … 0.68 …0.66 0.64 -0.62 ～0.60 =0.38 -0.$6 -0.54 -0.52 -0.50 0.48 ~0.46 -0.44 -042 =0.40 -0.38 ~0.36 -0.34 -0.32 = 0.30 -0.28 ∞0.26 -0.24 ∞0.22 -0.20 -0.18 一0.16 -0.12 一0.10 ∞0.08 -0.06 ~-0.04 ≥0.02 0.00 0.02 0.04 N（d） 0.2236 0.2297 0.2358 0.2420 0.2483 0.2$46 0.2611 0.2676 0.2743 0.2810 0.2877 0.2946 0.3015 0.3085 0.3156 0.3228 0.3300 0.3373 0.3446 0.3$20 0.3$9 0.3669 0.3745 0.3821 0.3897 0.3974 0.4052 0.4129 0.4207 0.4286 0.4365 0.4443 04523 0.4602 0.4681 0.4761 0.4841 0.4920 0.3000 0.5080 0.$160 第21 重期權定價股票價格S。=100 利率：=0.10（每年10%） 執行價格X=95 期權期限T=0.25（3個月） 標準差=0.50（每年50%） 首先計算： d， = ［In（100/95）+（0.10+0.52/2）0.25］/0.5x 0.25 =0.43 d =0.43-0.5×J0.25 -0.18 接下去查N（d.）與N（d），在統計書中可以查到正態分佈表， 如表21-2，查得 N（0.43） =0.6664, N（0.18）=0.5714。 於是，看漲期權價值為 C=100 × 0.6664-95e-0.10×025 x 0.5714 =66.64- 52.94=13.70美元概念檢查問題 6. 如果股票的標準差為0.6而不是0.5，計算看漲期權價格， 並說明標準差越大，期權價值越大。 累積正態分佈 d N（d） a 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24 0.26 0.28 0.30 0.32 0.34 0.36 0.38 0.40 0.42 0.44 0.46 0.48 0.50 0.52 0.54 0.$6 0.38 0.60 0.62 0.64 0.66 0.68 0.70 0.72 0.74 0.76 0.78 0.80 0.82 0.84 0.5239 0.5319 0.5398 0.3478 0.5557 0.5636 0.5714 0.$793 0.5871 0.$948 0.6026 0.6103 0.6179 0.6255 0.6331 0.6406 0.6480 0.6$54 0.6628 0.6700 0.6773 0.6844 0.6915 0.6985 0.7054 0.7123 0.7191 0.7258 0.7324 0.7389 0.7454 0.7518 0.7$80 0.7642 0.7704 0.7764 0.7823 0.7882 0.7939 0.7996 0.86 0.88 0.90 0.92 0.94 0.96 0.98 1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10 1.12 1.14 1.16 3.18 1.20 1.22 1.24 1.26 1.28 1.30 1.32 1.34 1.36 1.38 1.40 142 1.44 1.46 1:48 1.50 1.52 1.$4 1.56 1.58 1.60 1.62 1.64 N（d） 0.8051 0.8106 0.8159 0.8212 0.8264 0.8315 0.8365 0.8414 0.8461 0.8508 0.8554 0.8599 0.8643 0.8686 0.8729 0.8770 0.8810 0.8849 0.8888 0.8925 0.8962 0.8997 0.9032 0.9066 0.9099 0.9131 0.9162 9.9192 0.9222 0.9251 0.9279 0.9306 0.9332 0.93$7 0.9382 09406 0.9429 0.9452 0.9474 0.9495 N（d） 1.66 1.68 1.70 1.72 1.74 1.76 1.78 1.80 1.82 1.84 1.86 1.88 1.90 1.92 1.94 1.96 1.98 2.00 2.05 2.10 2.15 2.20 2.25 2.30 2.35 2.40 2.45 2.50 2.$$ 2.60 2.65 2.70 2.75 2.80 2.85 2.90 2.95 3.00 3.05 0.9515 0.9535 0.9554 0.9$73 0.9591 0.9608 0.9625 0.9641 0.9656 0.9671 0.9686 0.9699 0.9713 0.9726 0.9738 0.9750 0.9761 0.9772 0.9798 0.9821 0.9842 0.9861 0.9878 0.9893 0.9906 0.9918 0.9929 0.9938 0.9946 0.9953 0.9960 0.9965 0,9970 0.9974 0.9978 0.9981 0.9984 0.9986 0.9989 419
歷史波動性隱含的波動性 40% 35% 30% 25% 20% 15% 10% 4月 5月 6月 30天曆史波動性隱含的波動性指數均值 7月 8月 9月 10月 11月 12月 1月 2月 3月圖21-7 標準普爾500指數隱含的波動性與歷史波動性的比較資料來源：IVolatility網站：www.ivolatility.com. 如果例21.2中期權價格是15美元而不是13.70美元，那又會怎麼樣呢？是不是期權被錯誤定價了呢？可能是，但在賭運氣之前，應再考慮一下估價分析。首先，同所有模型一樣，布萊克-舒爾斯公式也是建立在使該模型近似有效的抽象簡化基礎之上的。 公式的一些重要假設如下： 1） 在期權到期之前，股票不支付紅利； 2） 利率：與股票的方差保持不變o（或更一般化些，兩者均是時間的函式，完全可預期）； 3） 股票價格是連續的，也就是說股票價格不會發生突然的大的波動。 已發展出變形的佈菜克-舒爾斯公式來處理以上的這些限制條件。 其次，在佈菜克-舒爾斯模型中，必須要弄清公式中的各個引數。其中的四個值一—S0，X,T與r—一都是很直接的。 股價、執行價格、期限是給定的，利率是相同期限的貨幣市場利率。而紅利支付至少在短期內應當是穩定的。 最後的一個輸入變數是股票收益率的標準差，這不能直接觀察到。必須從歷史資料，從情景分析，從其他期權價格中估計出來，我們在下面將討論這個問題。 我們在第5章講過，股票市場收益率的歷史方差可從n 個觀察值得到，其公式如下： g”m n 式中，F為在樣本期的平均收益率，在t天的收益率被定義 420 為r，=In（S/S_I），與連續複利一致。（注意：一個比率取自然對數，其值近似於分子與分母的百分比差異，於是In（S/S-i） 可以用來測度 1期到t期的股票收益率）。歷史方差一般用幾個月的每日收益來計算。因為標準差是估計出來的，所以真實的期權價格與算出的期權價格是有差異的，這是由於股票的標準差的估計誤差造成的。 事實上，市場參與者往往從不同的角度看期權定價問題。他們不是用所給的股票標準差按照布萊克-舒爾斯公式去算期權價格，而是會問：如果我觀察到的期權價格與布萊克-舒爾斯公式計算出來的期權價格一致的話，那麼標準差應該是多少呢？這就是期權隱含的波動性，即期權價格中隱含的股票的標準差水平。°投資者可以判斷，是否實際的股票波動性超過了隱含的波動性，如果超過了，則購買期權會帶來收益。如果實際的波動性比隱含的波動性高，期權的公平價格就要高於觀察到的價格。 另一個不同角度是比較兩個相同股票的相同到期時間的但是不同執行價格的期權，具有較高隱含波動性的期權相對要貴一些，因為需要較高的標準差來調節價格。分析家認為應買人低隱含波動性的期權，而出售高隱含波動性的期權。 圖21-7表示了歷史的與隱含的標準普爾500指數收益率的標準差的具體情況及二者的比較，隱含的波動性是從根據 6 這個概念的引人參見：Richard E. Schmalensee and Robert R. Trippi， "Common Stock Volatility Expectations Implied by Option Premia，" Journal of Finance 33 （March 1978）， pp.129-478
第21章期權定價 2 A 輸入部分標準方差（年） 翔限（年） 尤風險利率（年） 股票價格執行價格紅利收益（年） B C D 0.2783 0.5 0.06 100 105 輸出部分 dl d2 N（d，） N（d） B/S看漲期權價值 B/S看跌期權價值 0.0029 -0.1939 0.5012 0.4231 70000 8.8968 G H I E列輸出部分的公式 LN（B5/B6）+（B4-B7+5*B2^2）*B3）/（B2*SORT（B3）） E2-B2*SQRT（B3） NORMDIST（E2） NORMDIST（E3） BS*EXP（-B7*B3）*E4-B6*EXP（-B4*B3）*E5 B6*EXP（-B4*B3）*（1-E5）-B5*EXP（-B7*B3）*（1-E4） 圖21-8 計算佈菜克-舒爾斯看漲期權價值的電子表格指數所交易的期權合約的價格得到的。注意，儘管兩條圖線走向相當致，但在波動性的估計值上二者間有滑移。我們還應注意，者在整個時期波動的差別很大。因此，選擇合適的波動值用在期權定價模型中是個很難的問題，現在很多研究致力子尋找預測波動變動的新技術。這些新技術被稱 ARCH模型，它認為股票波動性的變化只是部分可預測的， 透過分析近來股票價格波動的水平與趨勢，可以改善未來波動性的預測。 概念檢查問題• 7. 考慮佈菜克一舒爾斯定價為13.7美元，而實際價格為15美元的期權，其隱含的波動性大於還是小於50%？ 佈菜克-舒爾斯定價公式，以及隱含的波動性，可以很容易的使用Excel的電子表格進行計算，如圖21-8所示。模型中的輸人部分列在A列，輸出部分在E列。表格中還有計算d，和d的公式，Excel中的公式NORMSDIST（d）就是用來計算N（d）的。單元格E6中有佈菜克-舒爾斯公式。（電子錶格中的公式實際上包含了一種對紅利的調整，下一節裡將對此進行描述。） 如需計算隱含的波動性，我們可使用Excel工具選單中的目標搜尋（Goal Seek）命令。目標搜尋可以讓我們透過改變一個單元格的值以使另一個單元格（稱為目標單元格） 的值等於一特定的值。例如，如果我們看到一售價7美元的看漲期權，其他輸人部分如資料表格中所示，則我們可以利用目標搜尋找到B2單元格的值（也就是該股票的標準差）， 從而可以使E6單元格的值等於7美元。在這種情況中，這個目標單元格E6就是看漲期權的價格，然後，電子表格又會處理B2單元格的值。當你要求表格去“解題”，它就會發現， 是這個等於0.2783的標準差與價格7美元的看漲期權相符；如果該期權的售價確是7美元，則它就是我們所需要找到的隱含波動性。 21.4.2 紅利與看漲期權定價我們已知道布萊克-舒爾斯公式要求股票不支付紅利， 當在期權到期之前股票支付紅利時，我們就要調整公式。 紅利的支付，提高了提前執行期權的可能性，對更接近現實的支付紅利的情況，定價公式變得比佈菜克-舒爾斯公式更復雜。 我們可以由一些經驗雲近似求出期權價值。最初由布菜克建議的一種流行的方法，是將股票價格減去在到期前紅利支付額的現值，’於是我們就可簡單的用S。-PV（紅利）代替 So。這樣、透過這種調整就把紅利對股價的最終影響考慮進來了。假定期權將持有到期，則期權價值的計算同上。 在某種特定情況下，紅利的調整會採取一種簡單的形式。我們假定標的資產支付的是收人的一個連續現金流，這一假設對以股票指數表示的期權來說是一個合理的假設。在這種表示方法裡，不同的股票在不同的日期發放紅利，從而紅利收人就會以或多或少的連續現金流出現。如果以6表示產生的紅利是連續的，我們可以表示出該紅利流的當前價值正在不斷增值直到該期權的到期日，那時就是So（1-e-）。 為了更直觀地理解，可以把e“大致近似成1-87，這樣該紅利的價值就可近似地表示為6TS。。在這裡，S。-PV（Div）=S。 e-，只要筒單地把原公式中的S。代換成S。e87，就可以得到紅利支付資產的布萊克-舒爾斯看漲期權公式。圖21-8中應用的就是這種方法。 這些方法對歐式看漲期權更有效，因為該看漲期權要求必須持有到期。但是，對於美式看漲期權就不適用了，因為美式看漲期權所有者可在紅利支付前執行。假定在紅利支付日之前執行期權，那麼股票的價值就比到期時期權的價值要高。儘管持有期權至到期日有更長的有效時間，這會增大期權的價值，但是因為損失了紅利的收入，降低了股票在到期時的期望價值，從而降低了期權價值。 讓我們舉例說明。假如股票價格20美元，在4個月內將支付1美元的紅利，而該股票的看漲期權在6個月後到期。 有效年利率為10%，所以紅利的現值為1美元/（1.10）"3=0.97 美元。布萊克建議我們可以用下面兩種方法中的任意一種來計算期權價值： 1）假定提前執行，代人實際股票價格20美元與4個月 Fischer Black， "Fact and Fantasy in the Use of Options，” Financial Analysts Journal 31 （July-August 1975）. 421
第六部分期權、期貨及其他衍生證券的到期期限（紅利支付的時間），運用佈菜克-舒爾斯公式計算； 2） 假定不會提前執行，代入用紅利調整後的股票價格， 20美元-0.97美元=19.03美元，與6個月的到期期限，運用布萊克-舒爾斯公式計算。 得出的兩個值中的較大者就是對期權價值的估計，也許提前執行是最優的。換句話說，所謂的偽美式看漲期權價值就是以上兩者中的較大者。但是這種方法是不準確的，因為它假定期權持有者現在就做了一個不可改變的決策何時來執行期權，而事實上這個決策在發出執行通知之前都是可以改變的。8 21.4.3 看跌期權定價我們已經討論了看漲期權的定價。我們可以透過看漲一看跌期權平價定理得到佈菜克-舒爾斯歐式看跌期權定價公式。我們只需簡單地根據式（21-1）求出看漲期權的價值， 就可以得到： P=C+PV（X）-S，=C+Xe-r-So （21-2） 為了與佈菜克-舒爾斯公式一致，我們必須使用連續複利來計算執行價格的現值。 有時直接使用看跌期權的定價公式反而更簡單。如果我們把看漲期權的值代入式（21-2）的佈菜克-舒爾斯公式中，則可得到歐式看跌期權的價值為： P= Xe T ［I-N（d，）］- So［1- N（d，）］ （21-3） 例21.3 布萊克-舒爾斯看跌期權定價應用前面看漲期權例子中的資料（C=13.70美元，X= 95美元，S=100美元，r=0.10， 0=0.5, T=0.25）我們可以得到執行價格與到期時間都相同的股票歐式看跌期權的價值： 95e~0.10×0.25 （1-0.5714）-100（1-0.6664）=6.35美元注意這個值與看跌-看漲期權的平價是一致的： P=C+PV（X）-S，=13.70+95e-0.10×025-100 =6.35 正如我們已注意到的，作為交易策略的一個步驟，我們會將此結果與實際的看跌期權價格進行比較。 式（21-2）或式（21-3）適用於不支付紅利的股票的歐式看跌期權。至於看漲期權，如果標的資產支付紅利，透過由S。-PV（Div）代替S。我們可得出歐式看跌期權的價值。圖 21-8裡的單元格E7允許紅利收益為0的連續紅利流。在那種情況下，S。-PV（div） = Sve~0r 但美式期權提供了提前執行的機會，而且我們已經知道提前執行的權利是有價值的，這意味著美式期權比相應的 422 歐式期權更有價值。因此，式（21-2）和式（21-3）僅僅是美式看跌期權真實價值的下限。即便如此，這種近似的計算在很多應用中也算是很精確的了。” 21.5 布萊克-舒爾斯公式應用 21.5.1 套期保值率和布萊克-舒爾斯公式在上一章裡，我們考慮過對IBM的兩種投資：購買100 股IBM股票或者1000份IBM的看漲期權。我們看到看漲期權頭寸比全為股票的頭寸對IBM股票的價格波動更敏感。但是，為了更精確地分析股票價格的總體風險，有必要給這些相關敏感性定量。有一個工具使我們可以在總體上評價包括有不同執行價格和到期時間的期權的投資組合的風險，這就是套期保值率。某一期權的套期保值率是股票價格上漲1美元時該期權價格的變化。因此，看漲期權的套期保值率為正數，看跌期權的套期保值率為負數。套期保值率通常被稱為期權的得耳塔。 如圖21-9所示，如果給出期權價格與股票價格的函式曲線，那麼套期保值率就是曲線在當前股票價格上的斜率。 例如，假設當股票價格為120美元時，曲線的斜率為0.6。則當股票價格上升1美元時，期權價格會近似地增加0.6美元， 如圖所示。 每出售一份看漲期權，就需要0.6股股票來對其進行套期保值。例如，某人出售10份看漲期權並且持有6股股票， 根據0.6的套期保值率，股票價格每升高1美元，股票的收益增加6美元，同時看漲期權則損失10×0.6美元，即6美元。 可見股票價格的變動沒有引起總財富的變動，這就使頭寸得到了套期保值。投資者根據股票與期權價格的相對變動按比例地持有股票與期權，就可以實現對資產組合的套期保值。 佈菜克-舒爾斯套期保值率非常容易計算，看漲期權的套期保值率是N（d），看跌期權的套期保值率為N（d）-1。我們將N（d，）定義為布萊克一舒爾斯公式［式（21-1）］的一部分， 8 支付紅利的美式看漲期權的精確定價公式，參見Richard Roll， “An Analytic Valuation Formula for Unprotected American Call Options on Stocks with Known Dividends，" Journal of Financial Ecomomics 5 （November 1977）。這一技術得到修改，參見：Robert Geske，“A Note on an Amalytical Formula for Unprotected American Call Options on Stocks with Known Dividends，"Journal of Financial Economlcs 7 （December 1979）， and Robert E. Whaley，"On the Valuation or American Call Options on Stocks with Known Dividends，" Journal of Financial Economics 9 （June 1981）。這些文章都很深奧。 對美式看跌期權的更詳細的論述，參見R.Geske and H. E. Johnson， "The American Put Valued Analytically" Journal of Finance $9.（December 1984）， pp.1511-24。
Excel 應用佈菜克-舒爾斯期權估價可以使用下列電子表格來確定佈菜克-舒爾斯模型的期權價值。要輸入的變數為股票價格、標準差、期權年限、履約價格、無風險利率、股息收益率。看張期權的定價用公式（21-1），看跌期權的定價用公式（21-3）。對於每個看漲期權和看跌期權，經股利調整的佈菜克一舒爾 B C D E 第21章布萊克-斯科爾斯期權定價買釵價值和買權時間溢價 10 11 標準差（©） 方差（c） 到期時間（休，T 無險利率（年、） 日前股價（So） 履約價格（X） 股息收益率，（年） 0.27830 0.07745 0.50 6.00% 標準差買杈價值 100.00 105.00 0.15 0.00% 0.18 7.000 3.388 4.089 12 13 0.20 0.23 4.792 5.497 14 15 16 17 18 19 d d N（d.） N（dz） 布萊克-斯科爾斯多頭價值布束克-斯科爾斯空頭價值 0.0029095 -0.193878 0.50116 0.42314 0.25 6.202 0.28 0.30 6.907 6.99992 0.33 7.612 8.317 8.89670 0.35 9.022 0.38 9.726 20 0.40 10.429 21 22 買權內任價值炎權時蒯價值 0.00000 6.99992 23 0.43 0.45 0.48 24 25 賣權內在價值賣權時間價值 5.00000 3.89670 0.50 11.132 11.834 12.536 13.236 N（d）代表標準正態分佈曲線到d的區域的面積。所以，看漲期權的套期保值率總是正值且小於1.0，而看跌期權的套期保值率是負值，且絕對值小於1.0。 從圖21-9中也可看出看漲期權價值函式的斜率小於1.0， 只有當股票價格比執行價格高出很多時才接近1.0。這就告訴我們，當股票價格變化為1時，期權價格的變化要小於1， 為什麼會這樣呢？假設目前期權處於實值，那麼期權被執行是絕對肯定的，在這種情況下，股票價格上升1美元，期權價格也會上升1美元。但如果看漲期權到期時是虛值，即使股票價格上升1美元，看漲期權的最後收益也不會增加，從而看漲期權價值不會相應地上漲1美元。 套期保值率小於1.0這一事實與我們前面觀察的期權的槓桿作用與對股票價格波動的敏感性並不矛盾。儘管在絕 F 第21章期權定價斯公式以Se~0T替代S。該模型也可用來計算看漲期權和看跌期權的內在價值和時間價值。 該模型也用單向資料表顯示敏感性分析。第一個工作表給出了看漲期權的分析結果，而第二個工作表給出的是看跌期權的分析結果。讀者可以在線上學習中心找到這些表格，網址是www.mhhe.com/bkm。 G 圖例輸入資料價值計算觀寨評論 H J K L M N 標準差買權時間價值股票價格買權價值股票價格買權時間價值 0.150 7.000 3.388 60 7.000 0.017 7.000 0.175 0.200 0.225 4.089 65 70 0.061 60 65 0.017 0.061 0.250 0.275 4.792 5.497 6.202 6.907 0.179 70 0.179 0.440 75 80 85 0.440 75 0.935 80 0.935 0.300 7.612 90 1.763 3.014 4.750 85 90 1.763 3.014 0.325 0.350 0.375 0.400 8.317 9.022 9.726 10.429 95 95 4.750 100 105 7.000 100 7.000 9.754 105 9.754 110 0.425 11.132 115 0.450 11.834 120 12.974 16.602 20.572 110 115 7.974 0.475 0.500 12.536 13.236 125 24.817 120 125 6.602 5.572 4.817 130 135.00 29.275 33.893 130 4.275 135 3.893 對數量上（以美元計算），期權價格的波動要比股票價格的變動小，但是期權收益率的波動性卻比股票的高，因為期權的價格較低。在我們的例子中，股票價格為120美元， 套期保值率為0.6，執行價格為120美元的期權的價格為5美元。如果股票價格漲到121美元，則看漲期權價格僅會增加0.6美元，達到5.6美元。期權價格的增長百分比為0.60美元/5.00美元=12%，而股票價格的增長百分比僅1美元 /120美元=0.83%。比率 12%/0.83%=14.4，即股票價格每增加1%，期權的價格會上漲14.4%。這一比率，即期權價格變動百分比與股票價格變動百分比的比值，稱為期權的彈性。 套期保值率是資產組合管理與控制的最基本工具，例 21.4將說明這一點。 423
第六部分期權、期貨及其他衍生證券有張期僅的價（C） 40 20 斜率=0.6 0 120 圖21-9 看漲期權價值與套期保值率例21 套期保值率考慮兩種資產組合，一是個人持有750份IBM公司的看漲期權與200股該公司的股票，而另一組合是個人持有800 股IBM股票，當IBM公司的股票價格波動時，哪一種資產組合的價格變動更大呢？使用套期保值率可以很容易回答這一問題。 用日代表套期保值率，則股票價格每變動1美元，期權價格就會變動日美元。因此，如果H的值為0.6，由於IBM股票價格的波動，750份期權就相當於750 ×0.6 =450股股票。 顯然，第一種資產組合對股票價格的敏感性要低，因為相當於450股股票的期權再加上本來持有的200股股票要小於第二種資產組合的800股股票。 然而，這並不是說第一種資產組合對股票收益率的敏感性也一定不及第二種資產組合。我們在討論期權彈性時知道， 第一種資產組合總價值可能低於第二種資產組合。因此儘管它對總體市場價值的敏感度會低一些，但是它可能會非常敏感於收益率。因為一份看漲期權的市場價值要低於股票的價格，儘管它的套期保值率小於1，但它的價格變化幅度卻要比股票大得多。 概念檢查問題 8. 如果股票的市價為122美元，執行價格為120美元的看跌期權的市價為4美元，其套期保值率為-0.4，則此看跌期權的彈性為多少？ 21.5.2 資產組合保險在第20章中，我們已經知道，保護性看跌期權策略提供了一種對資產的保險。事實證明，投資者非常喜歡保護性看跌期權。甚至當資產價格下跌時，看跌期權仍有權利以執 424 行價格賣出資產，這是一種將證券投資的價值鎖定在某個價格下限的一種方法。兩平看跌期權（X=So）的最大損失是看跌期權的成本。資產可以以X出售，與其初始價值相等， 所以即使資產價格下跌，投資者在這段時間內的淨損失僅僅是看跌期權的成本。如果資產價值上升，潛在的上升卻是沒有限制的。圖21-10是保護性看跌期權在標的資產價值變動時的利潤與損失。 保擴性頭寸價值的變化。 標的資產價值的變化 d 看跌期權的成本圖21-10 保護性看跌期權策略的利潤保護性看跌期權也是實現資產組合保險的一個簡單而方便的方法，也就是說，它限制了最壞情況下資產組合的收益率，但在對股票資產組合保險時，有一些實際的困難。 首先，除非投資者的資產組合與看跌期權交易的市場指數相符，否則的話則無法買到資產組合的看跌期權。而且如果用指數的看跌期權來保護指數外的證券時，會產生追蹤誤差。例如，如果市場指數上升，證券價值下跌，看跌期權將會失去應有的保護作用。追蹤誤差限制了投資者進行積極的股票策略的自由度，因為資產組合背離市場指數越嚴重，這種誤差就越大。 而且，保險計劃的期限必須與所交易的看跌期權的期限相匹配，以便建立適當的保護性看跌期權。今天，在芝加哥期權交易所交易的市場指數的長期期權與一些大型股票 （被稱為LEAP,long-term equity anticipation securities）的期限長達好幾年。而且，這一市場最近幾年才活躍起來。在 20世紀80年代中期，雖然大多數投資者都追求期限長達幾年的保險專案，但是交易活躍的看跌期權的期限卻不超過1 年。將一系列短期看跌期權滾動起來可視為一個解決該問題的方法，但這會引入新的風險，因為一系列在將來才會得到的看跌期權的價格現在是未知的。 期限為幾年的資產組合保險的供應者，不能簡單地將為委託人的資產組合購買的保護性看跌期權作權宜之計， 相反，他們需要採用交易策略複製保護性看跌期權的收益。 以下是一個人們普遍接受的觀點：即使所需到期日的資產組合的看跌期權不存在，也可以透過理論上的期權定價公式（例如布萊克-舒爾斯期權定價公式）來確定期權價格對資產組合價值的反應，如果這種期權確實在交易的話。例如， 未來股票價格下降時看跌期權會增值。透過期權定價公式，可以確定兩者的這種關係。假定的保護性看跌期權資產組合對股票價格變動的淨風險等於構成資產組合的兩部分——股票與看跌期權—的風險之和。即資產組合的淨風險等於股票的風險減去看跌期權的風險。 如果我們持有的一定數量股票對市場波動的淨風險與假設的保護性看跌期權的風險相同，那麼我們就創造了“合成的”保護性看跌期權。這種策略的關鍵是期權的得耳塔， 即套期保值率，也就是標的股票資產組合價值的單位變化所引起的保護性看跌期權價格的變化量。 例21.5 合成的保護性看跌期權假定一個資產銀合的現值為1億美元。以該資產組合為標的的看跌期權的得耳塔值為-0.6，也就是說資產組合的價值每增加（減少）1美元，期權的價值就會減少（增加） 0.6美元。假定資產組合的價值減少了2%，如果存在看跌期權的話，假定的保護性看跌期權的利潤如下（以100萬美元計）： 股票價值損失：2%×100美元=2.00美元看跌期權的盈利：0.6×2.00美元=1.20美元淨損失：0.80美元我們也可以透過出售等於得耳塔值（即60%）比例的股票，併購買相應數量的無風險短期團庫券，以達到創造合成的期權頭寸的目的。其基本原理是，假定的看跌期權可以抵消掉股票資產組合價值變化的60%，所以可以直接出售60% 的股票並將收益投資於無風險資產。6000萬美元投資於無風險資產與4000萬美元投資於股票所組成的資產組合的總利潤為（以100萬美元計）： 股票投資的損失：2%×40美元=0.80美元國庫券的損失：0美元淨損失：=0.80美元合成的與實際的保護性看跌期權頭寸具有岡樣的收益率。我們的結論是，如果出售等於看跌期權的得耳塔值比例的股票，換成現金等價物，在股票市場的風險等於所希望的保護性看跌期權頭士的風險。 這種處理的困難之處在於得耳塔值經常改變。圖21-11 表明，股票價格下跌，套期保值率將增大。因此，市場下跌時需要增加套期保值，即需要將更多的股票變為現金。套期保值率不斷更新的過程稱為動態套期保值。（也稱得耳塔套期保值）。 第21章期權定價看跌期權的價值（P） 較高的斜率=高套期保值率一低斜率=低套期保值率 S 圖21-11 套期保值率隨股票價格的變化情況資產組合保險對市場的變化有作用的一個原因就是動態套期保值。市場下跌時，由於資產組合保險者努力增加套期，出售看跌期權，從而導致額外的股票拋售。這些額外的拋售又會加劇市場的下跌。 在現實中，資產組合擁有者並不直接出售或購買股票來更新他們的套期保值頭寸。相反，他們透過購買或出售股票指數期貨來代替買賣股票以使費用最小化。讀者將會在下一章看到，透過交叉市場的套利，股票的價格與股指期貨的價格常常緊密地聯絡在一起。因此，股指期貨的交易就可代替股票交易。套期保值者將賣掉相應數額的期貨合約來代替基於看跌期權得耳塔值所出售的股票。10 1987年10月19日的市場暴跌中，有些資產組合保險人遭受了巨大的損失，當時市場在一天內損失了20%。對當時所發生的一切的詳細描述會讓你體會到看似簡單直接的套期保值概念的複雜性。 1）市場暴跌時的波動性比以前更劇烈，基於歷史經驗的看跌期權的得耳塔值過低，保險人沒有充分套期保值，持有過多的股票，所以遭受了額外損失。 2） 價格變動太大使得保險人無法保持住必要的平衡， 他們總是在不斷地追逐得耳塔。期貨市場的開盤價比前一天的收盤價低將近10%，出現“缺口”開盤。價格在保險人更新他們的套期保值率之前就已經下跌了。 3 操作上的困難。首先，無法獲得現貨市場的價格， 幾個小時後獲得的交易與價格行情會使準確計算得耳塔變為不可能。進一步講，在某些時期，股票與期貨的交易會中止一段時間。在市場暴跌時，不斷均衡的能力消失了，而這是可行的保險專案所必須的。 4） 與股票相比，期貨的價格與其正常的水平有很大的 10 注意，指數期貨的使用又引人了資產組合與市場指數之間的跟蹤誤差問題的 425
第六部分期權、期貨及其他衍生證券專欄21-1得耳塔套期保值：資產組合保險的新星資產組合保險，一種高技術的套期保值策略，雖然曾在1987年的市場崩潰中起了推波助瀾的作用，但現在仍然富有強大的生命力。 在最近的歐洲債券市場的混亂中，一些金融機構的資產組合保險並沒有像1987年股票危機中那樣起作用。 銀行、證券公司與其他大的交易者在買賣期權時，很大程度上依靠資產組合保險來避免潛在的損失。但自從 1987年它產生適得其反的效果，從而留下了個壞名聲後， 它義被易名為“得耳塔套期保值” 不管名稱如何，歐洲債券市場最近的混亂給包括銀行、 證券公司在內的許多投資者一個痛苦的教訓：在最需要的時候，得耳塔套期保值會在動態的市場中失效。 如何進行得耳塔套期保值取決於你所要對沖的變數。 例如，得耳塔套期保值會促使期權出售者在市場下跌時出售期權，在市場回穩時再買進。期權的持有者，如持有大量期權的交易商，則進行相反的交易。 理論上，得耳塔套期保值具有計算機測時般的精確， 折扣，使得出售期貨的成本很高。儘管你會在下一章中看到股指期貨的價格超過股指價格本身，但圖21-12表明，10月 19日的期貨價格遠遠低於股指的水平。在這一天的大部分時間裡，所謂的現貨期貨價差一直是負的。當一些保險人猜測期貨價格可能會恢復到正常的水平，並選擇延遲出售時，他們就沒有完全套期保值。隨著市場的進一步下跌，他們的資產組合遭受了嚴重的損失。 儘管大多數觀察家認為，資產組合保險行業將永遠不會從市場的這次暴跌中復甦，專欄21-1的文章卻表明得耳塔套期保值在華爾街上仍然富有生命力。動態套期保值仍然被 10 0 -10 ~20 -30 —40 並且沒有什麼障礙。但在現實世界裡，它都總是無法順利地運作。一家大型衍生證券交易公司的主管說：“當波動性比預期的大得多的時候，你就無法在合適的時點對得耳塔進行權衡。” 證券交易是怎樣產生的呢？舉一個出售長期國債期權的交易商的例子，該期權給投資者一個在未來時間以既定價格購買債券的權利，與直接購買債券相比，期權對市場的變動更加敏感。 由於出售看漲期權使交易商對價格的回升更敏感，他們透過購買債券來實現得耳塔套期保值。當債券的價格下跌時（期權的得耳塔也下降），交易商透過賣出債券來保持他們的平衡，然而這加劇了市場賣出的趨勢。市場下跌迫使他們以低於預期的價格賣出，而這會產生意外的損失。 資料來源：Abridged from Barbara Donnelly Granito， “DellaHedging;The New Name in Portfolio Insurance，" The Wall Street Journal, March I7, 1994. 大公司廣泛地應用以避免潛在的損失。文中也指出，投資者越來越清楚地意識到在不確定的市場中進行動態套期保值的實際困難。 21.5.3 對錯誤定價期權的套期保值賭博假定你認為IBM的股票收益在下幾周內會有35%的標準差，但IBM的看跌期權卻正以與33%的波動率相一致的價格出售。由於看跌期權隱含的波動性比你對該股票波動性的預期要小，所以，你相信該期權是被錯誤定價的。利用你攀握的像布萊克-舒爾斯公式這種期權定價模型對波動性進行估 10 11 12 1 2 10 11 12 10月19日 10月20日圖21-12 每間隔15分鐘的標準普爾500指數現貨與期貨的價差注：期貨合約在12:15~1:05期間暫停了。 資料來源：The Wall StreetJournal. 426
計，你的結論是，該看跌期權的真實價格高於其實際價格。 這是不是意味著你應該買進這些看跌期權呢？可能是的。但如這麼做了，萬一IBM的股票表現非常好的話，即使對波動性的估計是正確的，你也可能遭受很大損失的風險。這時，你會把自己對波動性的賭博從購買IBM看跌期權本身所具有的股票價格下跌所帶來的風險中分離出來， 換句話說，就是你想透過購買這個看跌期權來投機該期權的錯誤定價部分，但是把剩下的由IBM的股票業績決定的部分做套期保值。 該期權的得耳塔可用一個套期保值率來表示。該得耳塔的定義為： 得耳塔=期權價值的變化/股票價值的變化因此得耳塔是期權一價格曲線的斜率。 該比率值確切地告訴我們，為了補償購買IBM股票的風險，必須持有多少股票。例如，如果得出得耳塔是-0.6， 即IBM股票每上漲一個點，這個看跌期權的價值就會下跌 0.60美元，那麼，為了給每個看跌期權套期保值，我們需要持有0.6股股票。如果我們購買10個看跌期權合約，每個合約100股，則我們需要購買600股股票。如果該股票的價格上漲1美元，則每個看跌期權的價值就會下跌0.60美元，造成600美元的虧損。然而，看跌期權的損失會被持有的股票得到的收入每股1美元x 600股來補償。 讓我們用例21.6進一步說明這種策略。 例21.6 錯誤定價期權投機假定期權期限T為60天；看跌期權價格P為4.495美元； 執行價格X為90美元；股票價格S為90美元；無風險利率r為 4%。假定該股票在以後的60天內都不會派發紅利。給定了這些資料之後，我們就可以知道該期權隱含的波動性是33%， 正如我們上面所假定的。但是你相信真正的波動性應該是 35%，這意味著真正的看跌期權的價格應該是4.785美元。因此，如果市場對該波動性的估計被調整到你所認為是正確的值時，你的利潤就是每一看跌期權0.29美元。 回想一下，一個看跌期權的套期保值率，即得耳塔，等於N（d.）-1，這裡N（*）是累積的正態分佈函式，即 in（S/X）+（r+o/2）T OVT 你估計=0.35，則該套期保值率N（d，） 1=-0.453。 因此，我們可以假定，你購買了10張期權合約（一共 1 000份看跌期權），並且購買了453股該股票。一旦市場 “追上”了你之前對波動性的更好的估計，這些看跌期權的價值就會上漲。如果市場對其波動性的估計在你購買這些期權後立即改變，則你的利潤就是1000x0.29美元=290美元。 當然，股票價格的任意變動都會對期權的價格遠成影響，但第21章期權定價是，如果套期保值率的選擇是合適的，則這部分風險就可以被消除。你的利潤，應該完全建立在該看跌期權的隱含波動性的變化所帶來的影響上，而股票價格帶來的衝擊已經被套期保值去掉了。 假定看跌期權的價格變化反映了你對波動性的估計，則表21-3可表明你把利潤當作了股票價格函式的解釋。b中表明僅看跌期權的價格就可以提供利潤或者虧損，就依據股票價格是下跌了還是上漲了。但是，我們從c中可以看出，不管股票價格的變化如何，每個套期保值的看跌期權提供的利潤幾乎等於最初的錯誤估價。 表21-3 套期保值的看跌期權組合帶來的利潤 （單位：美元） a） 建立套期保值頭寸的成本 1 000個看跌期權，每個4.495美元 453股，每股90美元費用總計 4495 40 770 45 265 b）看跌期權價值作為股票價格的函式，隱含的波動性為35% 股票價格： 看跌期權價格每一看跌期權的利潤（虧損） 89 5.2$4 0.7$9 90 4.785 0.290 c） 套期保儃的看跌期權組合的價值和利潤股票價格： 1000個看跌期權的價徵 453股股票的價值總計利潤（=價值-a中的成本） 89 $ 254 40 317 45521 306 90 4785 40770 45.555 290 91 4.347 （0.148） 91 4 347 41 223 45 520 305 注意在例21.6中，利潤並非和股票價格沒有一點關係。 這是因隨著股票價格的變化，用來計算套期保值率的得耳塔也隨之變化。原則上套期保值率需要隨著得耳塔的變化不斷調整。得耳塔對股票價格的敏感度稱為該期權的伽瑪。期權伽瑪類似於債券的凸面。在兩個例子中，價值函式的曲率意味著套期保值率或期間隨著市場條件變化而變化，以重新平衡套期保值策略的某一必要部分。 概念檢查問題 9.假定你在賭波動性時購買的是看漲期權而不是看跌期叔， 那麼你會如何對股票價格波動帶來的風險進行套期保值？套期保值率又是多少？ 例21.6裡的策略的另一種變化形式是跨期權投機。假定你注意到期限為45天的IBM看漲期權，其執行價格95美元， 出售價格與波動性0=33%的期權一致，而另一期限為45天， 執行價格90的看漲期權，其波動性僅為27%。由於標的資產和期限都是等同的，你就可得出結論，對具有高隱含波動性的看漲期權估價相對過高了。 427
第六部分期權、期貨及其他衍生證券為了利用這個錯誤估價，你可以購買便宜一點的看漲期權（其執行價格X;90，隱含的波動性為27%）並且賣出貴一點的看漲期權（其執行價格95，隱含的波動性為33%）。 如果尤風險利率是4%，IBM公司的股票價格是每股90美元， 則購買的看漲期權的定價是3.6202美元，賣出的看漲期權的定價是2.3735美元。 儘管你實際做的是一個看漲期權的多頭，又做了另一個空頭，但這種策略井不能使股票價格的不確定性給你帶來的風險得到套期保值。這是因為，不同執行價格的看漲期權對優先資產的價格具有不同的敏感性，較低執行價格的看漲期權具有較高的得耳塔，從而對IBM股票的價格波動要承受更高的風險。如果你同時持有了這兩種期權的相同頭寸，就不可避免地在IBM股票上處於牛市的位置，因為你購買的看漲期權的得耳塔要比你賣出的看漲期權更高。回想一下從第 20章起到此的內容，你會更好地理解這個資產組合（低執行價格的看漲期權多頭和高執行價格的看漲期權空頭），我們稱之為牛市價差。 為建立一個套期保值頭寸，可用以下方法利用套期保值比率。假如你賣出的是執行價格為95美元的期權，你用這些資產來給你買進的執行價格為90美元的期權套期保值，那麼這個套期保值比率為： IBM股票變化1美元引起的執行價格 90的看漲期權的價值變化 IBM股票變化1美元引起的執行價格為95的看漲期權的價值變化執行價格為90的看漲期權的得耳塔 -<1 執行價格95的看漲期權的得耳塔為給你購買的每個較低執行價格的看漲期權套期保值， 你需要賣出更多較高執行價格的看漲期權。因具有較高執行價格的看漲期權的價格對IBM股票的價格變化較不敏感， 所以需要更多的頭寸來對風險進行套期保值。 假定該股票真正的年波動性介於兩個隱含的波動性中間，則o=30%。我們知道看漲期權的得耳塔是N（d），因此， 這兩個期權的得耳塔以及套期保值率就可以這樣計算： 執行價格力90的期權 d， -1n（90/90） +（0.04+0.302/2）×45/355 =0.0995 0.3045/365 N（d） = 0.5396 執行價格為95的期權 d， -1n90/95）+（0.04+030212）×45/365 0.30、/45/365 11 -0.4138 N（d） =0.3395 套期保值比率 428 0.539 6 =1.589 0.3395 因此，每購買的1 000個執行價格為90的看漲期權，我們都需要賣出1589個執行價格95的看漲期權。利用這種策略，我們就可以對這兩種期權的相對錯誤估價進行風險賭博，卻不用購買IBM的股票頭寸。表21-4a說明了該頭寸會造成151.30美元的現金流，賣出的看漲期權得到的收入溢價超過了購買看漲期權的成本。 表21-4 得耳塔中性的期權組合的利潤 a）資產組合建立時的現金流購買1000個看漲期權（X=90），每個3.6202 美元（期權以27%的隱含波動性定價） 賣出1589個看漲期權（X=95），每個2.3735 美元（期權以33%的隱含波動性定價） 費用總計 3620.20（現金流） 3771.50（現金流） 151.30（現金流） b） 以30%的隱含波動性定價的期權股票價格： 執行價格為90的看漲期權執行價格為95的看漲期權 89 3.478 1.703 90 3.997 2.023 91 4.557 2.382 c） 隱含波動性轉換成30%後的資產組合的價值股虆價格： 持有的1000個看漲期權的價值賣出的1589個看漲期權的價值總計 89 3 478 2 705 773 90 3 997 3214 782 91 4 557 3 785 772 如果投資者在股票和期權市場中建立了一個頭寸，該頭寸根據其標的資產的價格波動進行了套期保值，則投資者的資產組合就被稱為得耳塔中性，這就是說當股票價格波動時，該資產組合的價值既沒有上漲的趨勢也沒有下跌的趨勢。 觀察一下，會發現我們的期權頭寸其實就是得耳塔中性的。假定這兩個期權的隱含波動性在你建立頭寸後又重新調整，兩個期權都以30%的隱含波動性定價。你期望所購買的看漲期權的價值上漲，從而獲利，也希望所賣出的看漲期權的價值下跌，也獲利。以30%的波動性定價的期權在表 21-4b裡已給出，持有不同價格股票的頭寸的價值列在c中。 儘管每個期權的利潤或虧損都受股票價格的影晌，但是該得耳塔中性的期權組合的價值卻是正的，並且其本質上是不依賴於IBM股票價格的變化的。而且，我們可從a中看出，即使不需要現金支出我們也可建立一個資產組合。因此，無論是在你建立該資產組合時，還是在隱含波動性轉化成30%清算該組合時，你都會有現金的流人。 這種不尋常的利潤機會之所以存在是因為你從這個調整中找對了價格。如果價格是相等的，這種機會就不會發生。 透過得耳塔中性策略利用價差，不管IBM股票的價格是什麼走向，你都可以獲得利潤。
第21章期權定價 0.26 0.22 0.18 0.14 - 0.10 60天 45天 30天 45天 60天 30天 635 640 645 600 610 620 625 630 650 655 660 665 670 675 680 685 690 695 700 執行價格圖21-13 距到期日還有30天、45天、60天的期權的佈菜克-舒爾斯隱含波動性（1996年5月16日） 資料來源： Shiheng Wang， "An Empirical Study on the Implied Volatility Function of S&P 500 Options，” Dissertation, Queen's University， Ontario, Canada, August 2002. 當然，得耳塔中性套期保值策略也會受到種種約束， 其中最重要的就是準確評估下一階段波動性的困難。如果波動性的估計是不準確的，則得耳塔的估計自然也不準確，總頭寸也不會全部得到套期保值。而且，期權或者期權加股票頭寸根據波動性的變化也不會再是中性的了。例如，用股票套期保值的看跌期權可能是得耳塔中性的，但並不是波動性中性的。即使股票價格沒有改變，市場對波動性的變化也會影響期權的價格。 這些問題很重要，因為對波動性的估計從來都不是完全可靠的。首先，波動性是無法直接觀察的，必須從過去的資料中估計出來，而過去的資料會對預測帶來一些錯誤的影響；其次，我們已經看到了歷史的以及隱含的波動性兩者都會隨時間而變化，因此，我們瞄準射擊的一直是一個移動的目標。儘管得耳塔中性的頭寸對標的資產的價格變動進行了套期保值，但它們仍然要承受波動性風險，這種風險是由於波動性的不可預測性引起的。所以，儘管得耳塔中性期權的套期保值方法可能能夠消除由於標的資產的價值波動帶來的風險，但它們並不能消除波動性風險。 21.6 實證的證據佈菜克-舒爾斯期權定價公式已經經受了無數次的經驗檢驗。在絕大多數情況下，研究的結果都表明透過該公式計算的期權價格與實際的價格相當接近。但是該公式也有一些缺陷。 惠利"檢驗了佈菜克-舒爾斯期權定價公式與一些更復雜的，可以適用於提前執行的公式的實際運用情況。他的發現表明，這些公式運用於提前執行時優於佈菜克-舒爾斯期權定價公式，佈菜克-舒爾斯期權定價公式在對有很高紅利支付的股票的期權定價時效果非常不好。而另一方面，真正的美式看漲期權公式，在預測具有高、低紅利支付的股票的期權定價時的結果看起來特別的好。 魯賓斯坦”在最近發表的一篇論文中指出，近年來，布菜克-舒爾斯期權定價公式的運用效果越來越不令人滿意， 具有同樣價格下跌趨勢的同種股票的期權其風險應該是相同的，但實際情況卻不同。他把這歸因於人們日益害怕再有一次像1987年那樣的市場動盪。他還指出，基於這種假設，與其他期權相比，低執行價格的期權定價較高（即有更高的隱含波動性）。對這些期權的市場定價，就好像是股票價格大幅下降的可能性會比用布萊克-舒爾斯公式推測出來的更大。 線上投資佈菜克-舒爾斯期權定價在網址www.schaeffersresearch.com/streetools/ calculator.aspx上找到期權定價計算器。 選擇EMC公司，輸入程式碼（EMC）檢視它的最新股價，由於公司在這時並不支付現金股利，所以在季度股利中輸入0.0；計算器將給出當前利率。找到最近的兩個月到期的看漲與看跌期權的價格（可以在計數器上直接得到期權價格）。例如，如果現在為2月份，你就用4月和7月的期權。並且要用最接近平價的期權。比如，如果最新的 EMC股價為56.4美元，你就選擇執行價為55美元的期權。 輸入了期權價格和其他資料後，點選 “Go Figure”， 並分析得出的結果。 你所計算出的價格是否與觀察到的價格相一致？ 比較期權隱含的波動性與歷史性的波動性。 11 Robert E. Whaley， "Valuation of American Call Options on Dividend-Paying Stocks: Empirical Tests，” Journal of Financial Economics 10 （1982）. Mark Rubinstein， “Implied Binomial Trees，" Journal of Finance 49 （July 1994），pp.771-818. 429
第六部分期權、期貨及其他衍生證券圖21-13是最近的實證研究的典型，它考察了標準普爾 500指數期權的隱含波動性。如果佈菜克-舒爾斯模型完美無缺，作為執行價格函式的隱含波動性就應該很平緩。既然所有這些到期日完全相同的標準普爾500指數期權都在同樣 —小結 I）期權的價值包括內任價值與時間或“波動性”價值。 波動性價值是如果股票價格與預測變動方向相反則選擇不執行期權的權利。因此，不論股票價格如何變動，期權擁有者的損失不會超過獲得期權的成本。 2） 當期權的執行價格較低，股票的價格較高，利率較高，到期時間長，風險大時，看漲期權更有價值。 3） 看漲期權的價值應該至少等於股票價格減去執行價格與到期前支付的紅利的現值，這說明不支付紅利的股票其看漲期權的價格可能比立即執行所獲得的收入要高。因為不支付紅利的美式看漲期權的提前執行沒有價值，所以歐式看漲期權與不支付紅利的股票美式看漲期權具有相同的價值。 4） 可以用兩時期、兩狀態定價模型對期權進行定價。 隨時期數的增加，期權公式可以更近似地反映股票價格的分布。布萊克-舒爾斯期權定價公式可以視為當時間間隔持續地分為更小的期間時，在利率與股票的波動性保持不變的情況下，二項式期權定價公式的極限情況。 5） 佈菜克-舒爾斯期權定價公式對於不支付紅利的股票期權定價是正確的，它對於支付紅利股票的歐式看漲期權的定價也足夠了。但是，對於支付紅利股票的美式看漲期權的 •網址的指數上按同樣的水平出售，它們就都應該有完全相同的隱含波動性。但恰恰相反，圖形表明隱含波動性隨執行價格上升而下降。很明顯，佈菜克一舒爾斯模型遺漏了某些東西， 這些東西似乎和股票價格的大幅負向波動的機率有關。 定價則需要更復雜的公式。 6） 不管股票是否支付紅利，看跌期權都可提前執行。 因此，一般來講，美式看跌期權比歐式看跌期權更有價值。 7） 歐式看跌期權的價值可以從與看漲期權的平價關係中得到，但是由幹美式看跌期權有提前執行的可能，歐式看跌期權的定價方法不適用於美式看跌期權。 8） 套期保值率是在出售期權時，為抵消期權的價格風險所需要的股票的數量，深度虛值看漲期權的套期保值率接近於0，而深度實值的看漲期權的套期保值率接近1。 9） 雖然套期保值率小於1，但看漲期權的彈性卻大於1。 股票價格的波動帶來的看漲期權的收益率大於1。 10）透過購買股權頭寸的保護性看跌期權可以獲得資產組合保險，當交易適當的看跌期權時，賣出等於預期的看跌期權得耳塔值比例的股權，換成無風險的證券，就可以實現資產組合保險的動態套期保值策略。 11）期權的得耳塔用於確定期權地位的套期保值率，在標的資產中，得耳塔中性的組合是獨立於價格變化的，但得耳塔中性的期權組合卻不能脫離波動性風險。 stocks.about.com biz.yahoo.com/opt 這些網站有許多其他相關站點的連結，包括教育、交易所、研究報告、報價以及大量與期貨市場相關的資料。 www.optionscentral.com 期權行業委員會網上“期權中心”裡含有豐富的培訓資料，包括可免費使用的 “Options Tools”，該工.具箱能使你模擬不同的期權頭寸並觀察期權定價。 www.numa.com www.phlx.com 這些網站包含幾個衍生金融產品的網址連結。 下列網址提供期權分析和計算的工具： www.optionstrategist.com www.schaeffersresearch.com www.fintools.com/calculators.html www.optionsclearing.com（進入 “Education” 連結， 可看到三個定價模型。） www.adamscapital.com/option_valuation3.html •習題 1.從書中可知看漲期權的價值隨著股票波動性的增加而增加。看跌期權是否也是如此？利用看漲一看跌期權平價定理及具體的數字例項來證明你的答案。 2. 在下列各題中，要求你比較兩種期權的給定引數。 假定無風險利率為6%，期權的標的股票不支付紅利。 a. 署跌期杈 A B T 0.5 0.5 × 5O 50 標準差 0.20 0.25 期杈價格 10美元 10美元 430
哪一種看跌期權價格較低？ i.A ii.B b. ii.資料不足看跌期杈 T × A B 0.5 0.5 50 50 標準差 0.20 0.20 期杈價格 10美元 12美元哪一種看跌期權價格較低？ i.A ii.B c. iii. 資料不足峟漲期權 A B s 50 55 × 50 50 標準差 0.20 0.20 期杈價格 12美元 10美元哪一種看漲期權到期期限較短？ ii.B i. A d. i.資料不足看漲期權 A B T 0.5 0.5 s 50 50 55 55 期杈價格 10美元 12美元哪一種看漲期權風險較高？ ii.B i.A ei ii.資料不足看漲期權 A B T 0.5 0.5 s 50 50 55 55 期杈價格 10美元 7美元哪一種看漲期權風險較高？ i.A ii.B ii.資料不足 3. 重新考慮兩狀態模型中套期保值率的確定。我們證明了半股股票就可以對沖一份期權的頭寸。那麼，執行價格分別為115、100、75、50、25、10時，套期保值率為多少？隨著期權實值程度的提高，套期保值率會如何變化？ 4. 證明：布萊克-舒爾斯期權套期保值率也隨著股價上升而上升。考慮執行價格50美元的一年期期權，其標的股票的年標準差為20%。國庫券利率為每年8%，股價分別次45、50、55美元時，求N（d.）。 5. 本題將推導兩狀態看跌期權的價值。資料為：S。= 100；X=110；1+r=1.10。S的兩種可能價格是130和80。 a.證明兩狀態間S的變動幅度為50而不是30。該看跌期權的套期保值率是多少？ b. 構建一資產組合，含三種股票，五份看跌期權。該資產組合的（非隨機）收益是多少？資產組合的現第21章期權定價值多少？ c.假定股票現價100，求解看跌期權的價值。 6. 計算前題中執行價格為110的買人期權的價值。證明你對習題5與習題6的答案滿足看跌-看漲期權平價定理。 （此例中計算的X的現值尤需使用連續複利，因為這裡我們使用的是兩狀態模型而不是連續時間的佈菜克-舒爾斯模型。） 7. 根據佈菜克-舒爾斯公式，計算期限為6個月，標準差為50%1年，股價為50美元，執行價為50美元，利率 10%的股票的看漲期權價值。 8. 計算與上一問題看漲期權相同執行價與到期日的股票看跌期權的佈菜克-舒爾期價值。 9. 重新計算習題7中的期權價值。保持其他變數不變， 只以下列條件逐一取代習題7中的原有條件：期限3個月， 標準差25%/年，執行價為55美元，股價為55美元，利率為15%。獨立考慮每種情況。證明期權價格的變化與表21-1 中的預測一致。 10. 看漲期權X=50美元，標的股票的現價S=55美元， 看漲期權售價10美元。根據波動性的估計值為0.30，求出 N（d.）=0.6,N（d） =0.5，無風險利率力零。期權價格的隱含波動性是高於還是低於0.30？為什麼？ 11.如一手買進一手又賣出的話，在圖21-8電子表格中佈菜克-舒爾斯價值是什麼？ 12. 你認為看漲期權的執行價上升1美元，期權的價值下降幅度是大於還是小於1美元？ 13. 高貝塔值股票的看跌期權的價值是否大於低貝塔值股票的看跌期權？假定股票有相同的公司特有風險。 14. 其他條件均相同，公司特有風險大的股票的看漲期權其價值是否大於公司特有風險小的股票的看漲期權？假定兩種股票的貝塔值相同。 15. 其他條件均相同，執行價格高的看漲期權其套期保值率是高於還是低於執行價格低的看漲期權？ 16. 長期國債看漲期權的收益率對利率變動的敏感性是高於還是低於其標的債券？ 17. 如果股價下跌，而看漲期權價格上升，則看漲期權隱含的風險有何變化？ 18. 如果到期期限縮短而看跌期權價格上升，則看跌期權隱含的風險有何變化？ 19. 根據布萊克-舒爾斯公式，當股價趨向於無窮大時看漲期權的套期保值率是多少？請簡要說明。 20. 根據佈菜克-舒爾斯公式，當執行價格很小時看跌期權的套期保值率是怎樣的？ 21.1BM公司的兩平看漲期權的套期保值率0.4，而兩平看跌期權套期保值率為-0.6，則IBM公司的實值對敲頭寸的套期保值率是多少？ 22.構建雙限期權時：買入價值50美元的一股股票， 431
第六部分期權、期貨及其他衍生證券再以執行價格45美元買人六個月看跌期權，賣出執行價 55美元的六個月看漲期權。根據股票的風險，你可算出六個月期，執行價45美元，N（d）=0.60，而執行價為55美元， N（d，）=0.35。 2. 如果股票價格增加1美元，雙限期權的所得或損失是什麼？ b. 如果股票價格有很大或很小的變化，資產組合的得耳塔值會發生什麼變化？ CFA. PROBL.FMS 23.Abco公司的董事會正在考慮公司養老金計劃中1億美元普通股資產組合的股價下降趨勢的風險。該董事會顧問提議暫時（一個月）用期貨或者期權給這些資產組合套期保值。該顧問引用了以下這些表格並陳述道： a. “透過賣出（做空頭）2000個期貨合約，這1 億美元的普通股資產組合的股價下跌趨勢可以得到完全的保護。” b.“這種保護方法的成本就是該資產組合的期望收益率為0%。” 市場、資產組合以及合同資料普通股指數水¥ 普通股期貨價格期貨合約來數資產組合貝塔值合約期限（月） 99.00 100.00 500 1.20 3 請評價該顧問的各一陳述是否正確。 24. 三份看跌期權的標的股票相同，其得耳塔值分別為 -0.9、-0.5和-0.1。填表看跌期杈 A B C 得耳塔 10 20 30 25. 你預期EFG股票行情看漲，並且超過了市場上其他的股票。在下列各題中，如果你的看漲預期是正確的，選出給你帶來最大利潤的投資策略，並說明你的理由。 a.A:10000美元投資於看漲期權，X=50 B:i0 000美元投資於EFG股票 b.A:10份看漲期權合約（每份100股），X=50 B:1000股EFG股票 26.假定你是一名資產組合承保人，正構建一為期四年的專案。你管理的資產組合現值1億美元，你希望的最小收益為0%。股票資產組合的標準差為每年25%，國庫券利率為每年5%。為簡化起見，假定資產組合不支付紅利（或者說所有紅利可以進行再投資）。 a. 應用多少錢來購買國庫券？多少錢買股票？ 432 b.如果在交易的第一天股票資產組合即下跌了3%， 作經理應如何處置？ CFA® PROBLEMS 27. 富蘭克林是一位負責衍生證券的資產組合管理人。 富蘭克林發現了同樣執行價格、期限和普通股的美式期權和歐式期權。他相信該歐式期權將比美式期權具有更高的溢價。 a. 試評論富蘭克林認為該歐式期權會有較高溢價的觀點。 現富蘭克林需要評估一下Abaco公司普通股的一年期歐式看漲期權，該公司普通股的最後交易價為43.00美元。他收集到了如下資訊。 股票收盤價看漲期權和看跌期權的執行價格 •年期的石跌期權價格 -年期國庫券利率期限 43.00美元 45.00關元 4.00美元 5.50% b. 用看跌-看漲平價以及表中提供的資訊計算該歐式看漲期權的價值。 c.試說明以下三個變數對看漲期權價值的影響。 （無需計算） i.短期利息率的上升。 ii.股價波動性的增大。 i.期權期限的縮短。 28. 你想持有XYZ公司股票的保護性看跌期權頭寸，鎖定年終最小价值為100美元。XYZ現價為100美元，來年股價可能會上漲或下跌10%，國庫券利率5%，不幸的是，沒有XYZ股票的看跌期權交易。 a. 假定有所需要的看跌期權交易：購買成本是多少？ b.這一保護性看跌期權資產組合的成本是多少？ c. 什麼樣的股票和國庫券頭寸將確保你的收益等於 X=100的保護性看跌期權可以提供的收益？證明該資產組合的收益和成本與所需的保護性看跌期權相匹配。 29. 回到例21.1。運用二項式模型對1年期、執行價為 110美元歐式看跌股票期權進行估價。你對看跌期權定價的計算結果是否滿足看跌-看漲期權平價公式？ CFAN ecauas30. 某股票指數現在在50點水平交易。保羅•特里普， 某特許金融分析師，想運用二項式模型對2年期股指期權進行估價。該股價指數可能上升20%或者下降20%，年無風險收益率為6%，構成該指數的任何標的證券不派發現金股利。 a.構造一個用於對股指估價的兩期的二叉樹； b. 計算執行價為60點的該指數歐式看漲期權的價值； c.計算執行價為60點的該指數歐式看跌期權的價值；
d. 證明上述你計算的看漲期權與看跌期權價值滿足賣權-買權平價關係。 31.假定無風險利率為0，美式看跌期權會提前執行嗎？請說明理由。 32. 用p（S,T, X）衰示價格為S美元的股票歐式看跌期權的價值，期限為T，執行價為X。P（S,T,X）則表示美式看跌期權的價值。 a. 估算p（O,T.X）。 b. 估算P（O,T, X）。 c. 估算p（S.T,O）。 d. 估算P（S,T,O）。 e.以b的答案說明美式期權提前執行的可能性如何？ 33. 你要估計看漲期權的價值：執行價100美元， 為期一年。標的股票不支付紅利，現價為100美元。你認為價格漲至120美元或跌至80美元的可能性均為50%，無風險利率為10%。用兩狀態股價模型計算該看漲期權的價值。 34. 考慮習題27中的股票風險的增加。假定股價上漲， 就會漲至130美元；如果股價下跌，就會跌至70美元，證明此時看漲期權的價值大於習題27中推算出的價值。 35. 利用習題31中的資料計算執行價為100美元的看跌期權的價值。證明你的答案滿足看跌-看漲期權平價。 36. XYZ公司兩個月後將支付每股2美元的紅利。股票現價為每股60美元，XYZ公司股票的看漲期權的執行價為 55美元， 個月後到期。無風險利率為每月0.5%，股票風險（標準差）為每月7%。求偽美式期權的價值。（提示：試將一個月而非-年作為一期。） CFAD） Barebu as 37. 韋伯斯特管理著以標準普爾500指數為基準點的1億美元的股權資產組合。在過去的兩年裡，標準普爾500指數增值了60%。韋伯斯特相信，如果用一些傳統的經濟指標來測度的話，該市場被過高估價了。他關心的是在認識到標準普爾500指數仍然可能上漲超過當前668點水平的情形下， 如何保持住他的資產組合在過去兩年裡所獲取的極高收益。 韋伯斯特考慮的是創造一•個雙限期權的策略： • 購買一執行價格665美元、剛剛處於虛值狀態的標准普爾500指數看跌期權，這樣能使該資產組合受到保護。 • 賣掉兩個執行價格為675美元的、早已處於虛值狀態的看漲期權，這樣就能使購買的每一看跌期權獲得資金支援。 •因為兩個看漲期權結合起來的得耳塔（如下表所示） 小於1，即2×0.36=0.72，所以，如果市場繼續發展， 這些期權的損失也不會超過標的資產組合。 下表就是用於創造該雙限期權的兩個期權的資訊。 第21章期權定價特徵期權價格期權所隱含的波動性期權的得耳塔雙限期權需要的合約數執行價格為675的著漲期杈 4.30美元 11.00% 0.36 602 執行價格為665的看跌期杈 8.05美元 14.00% -0.44 301 注：忽略交易成本不計。 標準普爾500的30天曆史波動性為12.00%。 期權的期限為30天。 a.如果30天以後標準普爾500指數發生了以下一些變化，請描述這些組合資產（即標的資產組合加上雙限期權）的潛在收益： i.上升約5%達到701點。 ii.仍然保持在668點（未發生變化）。 ii. 下跌了約5%達到635.00點。（無需計算。） b. 當標準普爾500達到了a中所列的每一情況時，請討論這些變化情況對每個期權的套期保值率的影響。 c.請根據提供的波動性資料評估以下每種期權的定價： i. 看跌期權 ii.看漲期權 38. “通用汽車股票看漲期權的貝塔值比通用汽車股票的貝塔值高。”這句話對還是錯？ 39. “標準普爾指數的看漲期權，執行價為1 030的貝塔值要大於執行價為1040的貝塔值。”這句話對還是錯？ 40. 隨著股價上升，可轉換債券的套期保值率如何變化？ 41. 所羅門兄弟公司相信，在今後的三年中，市場波動性將達每年20%。三年期的實值看漲期權和看跌期權在市場指數中以22%的隱含波動性出售。所羅門兄弟公司該怎樣建立一種期權資產組合，以便公司可在市場不是牛市或者熊市的情況下，仍然能夠利用他們的波動性信念投機？利用所羅門公司對波動性的估計，三年期實值期權的N（d.）=0.6。 42. 假定三個月期、執行價格60美元的埃克森公司股票的看漲期權正以30%的隱含波動性出售，而埃克森公司股票的當前價格每股60美元，無風險利率為4%。如果你相信該股票真正的波動性應該達32%，那麼怎樣才能在不承擔埃克森公司股票的風險下，用你的信念進行交易？對於每個買進的或者賣出的期權合約，你該持有多少股股票？ 43. 利用習題40提供的資料，假定期限為3個月，執行價格為60美元的看跌期權正以34%的波動性出售。請構造一個得耳塔中性的包含看漲看跌期權頭寸的資產組合，該資產組合應能在期權價格恢復到調整後的正確的價格時獲得利潤。 44. 假定所羅門兄弟公司出售價值為125萬美元、貝塔為1.5的股票資產組合的看漲期權。該期權的得耳塔是0.8。 433
第六部分期權、期貨及其他衍生證券它想透過購買市場指數期貨合約來為它所構造的市場發展的風險套期保值。 a.如果當前市場指數值是！000點，合約乘數是250 美元，它該買進多少合約？ b.如果所羅門兄弟公司使用市場指數看跌期權為它的風險套期保值，情況又會怎樣？應該買進還是賣出看跌期權？每個看跌期權都是以100個單位的指數交易，並且當前的指數值代表了價值 1000美元的股票。 45. 你持有一種股票的看漲期權。該股票的貝塔值是 0.75，但是你擔心股票市場將會下跌。該股票當前正以5美元的價格出售，你持有價值100萬美元的該股票期權（比如你持有1萬張每張合約100股的期權合約）。期權的得耳塔值是0.8。如果當前的市場指數值是1000點，合約的乘數是 250美元，那麼，為了給你的市場風險套期保值，你該買進或者賣出多少張市場指數的期貨合約？ 標準普爾練習期權交易者喜歡股價波動。（為什麼？）進入於航空業的論述。該行業中的哪些因素造成了最近的股票 www.mhhe.com/business/finance/edumarketinsight，連結到價格波動？在布萊克-舒爾斯定價模型中，波動性與期權價 “Industry”，找到航空業。觀察 “Industry Profile”，找到一值間是什麼樣的關係？哪種期權策略可以利用價格波動個近期股價波動的衡量標準。然後看標準普爾行業觀察中關性？ 概念檢查問題答案， 1. P=C-So+PV（X） 事實上，如果是美式看跌期權，P的價格要高於計算的如果此變數上升 X T Yy 紅利則看跌期權的價值下降上升上升上升① 下降上升結果。 3. 因為現在期權定價過低，我們想改變原先的策略。 （單位：美元） 每種可能的股價下一-年內的現金流初始現金流 S=50 S=200 ① 對美式看跌期權來說，到期時間的延長必定增加其價值。 買人兩份期權 -48 0 150 因為如果遇到最佳時機，交易者總是能及時地行權；更長賣空一股股票 100 -S0 -200 的到期日擴大了期權持有人選擇的範圈，這必定使期權價以8%利率借入$2美元=52 $6.16 $6.16 值上升。而對於不允許提前行權的歐式看跌期權，更長到總計 6.16 6.16 期日將對期權價值並沒有什麼確定的影響。到期期限延長， 增加了期權的波動性價值，因為股票的最終價格更加不確定。但周時它也降低了執行價格的現值，如果看跌期權被執行了，執行價也就定下來了。因此延長到期時間對歐式看跌期權價值的淨效果是不確定的。 4.a.Cw-Ca=6.984美元-0美元=6.984美元 b. uS。-dSo=110美元-95美元=15美元 c.6.984/15=0.4656 為理解波動率上升的影響，考慮看跌期權的相同情況。 波動性低，則預期的收益更低。 波動性高股價看跌期權收益 10美元 20美元波動性低股價看跌期權收益 20美元 10美元 20美元 10美元 25美元 5美元 30美元 0美元 30美元 0美元 40美元 50美元 O美元 0美元 35美元：40美元 0美元 0美元今天的行動（時間0） 在價格S。=100美元時買人0.4656股在價格C。賣出一份看漲期權總計 （單位：美元） 按照股票價格函式下期的價值 dS。=95 uSo=110 44,232 51.216 =6.984 44.232 44.232 2. 平價關係假定所有期權都持有到期且到期前無任何現金流。這種假設只有針對無紅利支付股票的歐式期權這一情況下才有效。如果股票不支付紅利，則美式看漲期權與歐式看漲期權是等價的。但美式看跌期權的價值要高於歐式看跌期權。因此，儘管歐式期權的平價定理有： 該投資組合的市場價值一定為現值44.232美元。 e.44.232美元/1.05 =42.126美元 f. 0.4656 × 100美元-C。=42.126美元 Co=46.56美元-42.126美元=4.434美元 434