擬 369 Hammonsdsport Savings Bank with One ATM Interarrival Times （Uniform Distribution） Smallest Value 0 Largest Value 5 Service Times （Normal Distribution） Mean Std Deviation 2 0.5 Simulation Customer 1 mival 1.4 1.3 4.9 3.5 0.7 0.5 0.2 2.7 3.7 4.0 Arrival Time 1.4 2.7 7.6 11.1 11.8 2496.8 2497.0 2499.7 2503.4 2507.4 Summary Statistics Number Waiting Probability of Waiting Average Waiting Time Maximum Waiting Time Utlzation of ATM Number Waiting > 1 Min Probability of Vaiing~1 Min Service | Waiting Service, Completion Start Time Time Time 1.4 0.0 2.3 3.7 1.0 1.5 7.6 0.0 2.2 11.1 0.0 2.5 13.6 1.8 1.8 2498.1 1.3 0.6 2498.7 1.7 2.0 2500.7 1.0 1.8 2503.4 0.0 2.4 2507.4 0.0 1.9 2509.3 Time 圖 13-21 哈蒙德斯伯特儲蓄銀行單臺 ATM 系統的工作表單元格 C17 計算顧客2的到達時間=C16+B17 單元格 D17 計算顧客2的開始時間=IF（C17>G16,C17,G16） 單元格 E17 計算顧客2 的等候時間=D17-C17 單元格 F17 模擬顧客2的服務時間（正態分佈） =NORMINY（RAND（）， $B$8， $B$9） 單元格G17 計算顧客2的完成時間=D17+F17 單元格 H17 計算顧客2在系統中的時間=G17-C17 為了獲得1000個顧客模擬結果，複製單元格 A17:H17到單元格 A10I5:H1015。 最後，為了描述1000個顧客的模擬結果，收集彙總統計資料。在這之前，讓我們指出大部分動態系統的模擬研究都注重系統的長期或者穩定的狀態中的執行情況。為了保證初始狀態的影響不包含在穩定狀態中，一個動態模擬模型通常只在一段特定的時間中的系統執行，而不會收集關於系統執行的資料。初始階段的長度根據應用的不同而不同。對於哈蒙德斯伯特銀行ATM模型來說，我們把來自於前100名顧客的結果作為初始階段。在電子錶的115行中出現了第100名顧客的模擬資訊。而單元格G115展示了第100名顧客的完成時間是 247.8。這樣，初始時間的長度為247.8分。 對於接下來的900名顧客，對應工作表的116到1015行，下面是彙總統計資料的Excel公式。
370 資料、模型與決策：管理科學篇單元格 E1018 必須等待的顧客數量（即，等待時間>0） = COUNTIF（E116:E1015， “>0”） 單元格 E1019 單元格 E1020 單元格 E1021 單元格 E1022 單元格 E1023 等候的機率=E1018/900 平均等候時間 =AVERAGE（E116:E1015） 最大等候時間=MAX（E116:E1015） ATM 的使用率°=SUM（F116:F1015）/（G1015-G115） 等待超過1分的顧客數 = COUNTIF（E116:E1015， >1”） 單元格 E1024 等候超過1分的機率=E1023/900 附錄13B 用水晶球模擬的PortaCom 問題在第13.1節中我們用模擬來執行 PortaCom 問題風險分析，且在附錄13A 中我們描述瞭如何構建 Excel I 作表來提供模擬結果。使用 Exce！軟體包來為PortaCom 問題設計模擬工作表是相當容易的，外掛的使用使得更大、更復雜的模擬問題變得容易分析了。本附錄中，我們描述水晶球這個外掛在執行 PortaCom 何題模擬中的應用。我們執行1000次模擬，水晶球軟體包含安裝和開始使用嚮導。 138.1 構造水晶球模型開始時，我們在表單的頂部輸人問題的資料。對於 PortaCom 問題，我們必須輸人下列資料：銷售價格、管理費用、廣告費、單位直接人工費的機率分佈、單位零部件成本的最小和最大值（均勻分佈）、第1年需求的均值和方差（正態分佈）。這些資料以表格的形式列在圖13-22 中的A1:E13之間。 針對 PortaCom 問題，水晶球模型包含如下兩個部分：（1）機率輸入量的單元格（直接人工費、零部件成 PortaCom Crystal Ball Risk Analysis Selling Price per Unit Administrative Cost Advertising Cost $249 $400 000 $600 000 Direct Labor Cost per Unt $43 $44 $45 $46 $47 Parts Cost （Uniform Distribution） |Probabllity Smallest Value 0.1/Largest Value 0.2 0.4 Demand （Normal Distribution）. 0.2 Mean 0.1 Standard Dev $80 $100 15 000 4 500 Crystal Ball Modes Assumption Cells Direct Labor Cost Parts Cost Demand Profit Forecast Cell 10000 圖 13-22 PortaCom 問題的水晶球工作表 ATM的使用率等於F列900 個顧客服務時間的和除以900個顧客的總完成時間。900個顧客的總完成時間等於1000 個顧客完成時間與前100個顧客完成時間的差。
第13童模擬 371 本、第1年需求量）：（2）包含計算模擬模型輸出的值的單元格（利潤）。包含機率輸入量值的水晶球單元格被稱為假設單元格，包含模型輸出量的公式的單元格被稱為預測單元格。PortaCom 問題只有一個模型輸出（利潤），因此水晶球模型值包含一個預測單元格。在更加複雜的模擬模型中，預測單元格不止一個。 假設單元格值包含簡單的數字型值對PortaCom 問題，在模型建立階段，我們在單元格C21：C23 中輸人關於直接人工費的最優估計（45美元）、零部件成本（90美元）、第1年的需求量（15 000）。水晶球模型中的預測單元格包含針對一個或更多假設單元格的公式，因為在這個模型中只有一個假設單元格對應利潤，所以我們鍵人如下的公式到單元格C27中： =（C3 - C21 -C22）*C23 - C4 - C5 得出的710 000美元的結果對應於在第13.1節討論過的基本情境的利潤值。 13B.2 定義和鍵入假設值現在我們來定義每個假設單元格的相關機率分佈。先定義直接人工費的機率分佈。 步驟1：選擇單元格 C21 步驟2：選擇Cell 選單步驟3： 選擇 Define Assumption 選項步驟4：當Cell 21:Distribution Gallery 對話方塊出現： 選擇 Custom 點選 OK 步驟5：當Cell C21:Custom Distribution 對話方塊出現時： 選擇 Data 把 B9:C13 輸入到 Cell Range中點選 OK 來結束資料的輸入過程再次點選 OK 定義零那件成本的機率分佈的過程與定義直接人工費相似。 步驟1：選擇單元格C22 步驟2：選擇Cell 選單步驟3：選擇 Define Aesumption 步藥4：當 Coll C22:Distribution Gallery 對話方塊出現時： 選擇 Uniform 點選 OK 步驟＄：當 Cell C22: Uniform Distribution 對話方塊出現時： 在 min 框中輸入=E8 在 max 框中輸入=E9 點選 OK 最後，我們執行下面步藥，定義第1年需求的機率分佈。 步辣1：選擇單元格 C23 步賺2：選擇Cell 選單步藥3：選擇 Define Assumption 選項步驟4：當Cell 23:Distribution Callery 對話方塊出現時： 選擇 Normal 點選 OK 步驟5：當 Cell C23:Normal Distribution 對話方塊出現時： 在 Mean 框中輸人=E12 在 Std Dev 框中輸人=E13 點選 OK 138.3 定義預測單元格定義完假設單元格之後，我們準備定義預測單元格。下面步驟告訴我們怎麼定義單元格 C27這個 PortaCom
372 資料、模型與決策：管理科學篇問題的預測單元格。 步驟1：選擇單元格C27 步驟2：選擇Cell 選單步驟3： 選擇 Define Forecast 選項歩驟4： 當 Cell C.27: Define Forecast 對話方塊出現時： 在 Forecast Name 框中輸人利潤點選 OK 步驟4中的定義預測對話方塊允許你改變預測名字且包含設定預測單位、控制預測視窗大小和選擇何時執行預測視窗的選項。 136.4 設定執行引數我們現在必須對水晶球如何執行模擬進行選擇。對PortaCom 問題模型，我們只需要確認模擬的改數。 步驟1：選擇 Run 選單步驟2：選擇 Run Preferences 選項步驟3：當Run Preferences 對話方塊出現時： 確定選擇 Trials 在 Maximum Number of Trials 框中輸人1 000 點選 OK 138.5 執行模擬水晶球在 PortaCom 問題的1000次模擬中每次都要重複下列3個步驟： 1. 水晶球為每個假設單元格根據定義的機率分佈隨機產生一個數值。 2. 水晶球根據假設單元格的數值重新計算預測單元格（利潤）的數值。 3. 新的利潤值被加入到預測視窗的圖表中。 下列步驟描述瞭如何開始模擬： 步驟1：選擇 Run 選單步驟2：選擇 Run 選項 Infinity 100:00 •infinity 當完成執行時，水晶球在圖13-23的頻率圖表中展現了1000次模擬出來的利圖 13-23 PortaCom 模擬中的水晶球頻率團潤值中的996 個利潤值。其他型別的圖表和輸出在預測視窗中列出。例如，以下的 FP0:50 Prniit 步驟描述瞭如何展示與這次模擬相對應的定性統計結果。 步驟1：選擇預測視窗的 View 選單 Stakistic Value （圖13-23） 步驟2：選擇 Statistics 圖13-24顯示了帶有描述性統計量的預測窗口。注意，這1000 次模擬中最糟糕的結果是虧損1374 699 美元，最好的結果是盈利 2 202 019美元，平均利潤為699302美元。 這些數值和第13.1節獲得的結果相似。差 Trials Mean Median Mode Stancard Deviation Variance Skewness Kurtosis Coeff of Variablty Range Minium Range Maxinum Range Wdth Mean Std Error 1 000 $699 302 $699 451 $527 255 $277 997 963 059 -002 2.97 0.75 （$1 374699） $2 202 019 $3 576 718 $16 673 27 昇是由兩種模擬中不同隨機數產生的，而且我們利用水晶球做了1000次模擬。如果你再執行一次模擬，結果也會有輕徽的不同。 圈13-24 PortaCom 模擬中的水晶球統計數字第14章決策分析當決策者面臨多個選擇方案，且未來將發生事件的不確定性或風險因素太多時，可透過決策分析得到最優策略。例如，在俄亥俄愛迪生公司面臨涉及含硫量需求、建築成本等未來不確定性時，它通過決策分析選擇最優的控制燒煤裝置的型號。北卡羅來納州在評估是否使用醫療放映測試來探測嬰兒新陳代謝素亂時也用到了決策分析。這樣，決策分析很快就證明了它在制定決策中的價值。專欄14-1 描述了在20 世紀90年代柯達公司如何透過決策分析增加了大約10億美元的價值。 即使決策分析被慎重使用，未來的不確定性事件還是會導致後果的不確定性。有些情況下，所選的決策能導致較好的或極好的後果；而有些情況下，一個相關的不太可能發生的未來事件發生了，這將使所選決策導致失賬或壞的後果。決策選擇的風險是由後果的不確定性導致的。一個好的決策分析包括風險分析。透過風險分析，決策者既能得知好後果發生的機率，又能得知壞後果發生的機率。 我們從考慮有少量決策方案和少量可能的未來事件的問題入手，開始我們決策分析的學習。我們引人影響圖和支付矩陣來為決策問題提供結構，並闡明決策分析的基本原理。我們還引人決策樹來顯示決策問題的顧序。決策樹是用來分析比較複雜的問題並確定一個最優的決策順序的，就像是一個決策策略。靈敏度分析顯示問題不同方面的變化如何影響決策的選擇。 專欄14-1實踐中的管理科學柯達公司的決策分析 Clemen 和Kwit 主持研究如何確定柯達公司決策分析的價值。研究包括一個有178 個決策分析專案的分析，而這些決策分析專案跨度為10年（1990~1999）。這些專案包括一些應用，其中有戰略發展、確定賣主、工藝分析、新產品討論、產品組合選擇和減少散光分析。這些專案耗費14 372 個小時的分析時間並且在10年的時間裡涉及了柯達公司裡許多其他的人。最短的專案也耗費了20個小時， 而最長的專案耗費將近一年才完成。 大多數決策分析專案都是以前的活動，這使得確定它們給公司帶來的價值變得困難。Clemen和 Kwit使用詳細的記錄和一些創新的方法來估計決策分析專案給公司增加的價值。他們的保守估計是無
374 資料、模型與決策：管理科學篇個專案平均665萬美元，而樂觀的估計則為每個專案1635萬美元。他們分析的結論是所有專案總共給柯達帶來了10億多美元的價值。透過使用這些估計，Clemen 和 Kwit斷定決策分析給公司帶來了可觀的價值。實際上，他們斷定專案所帶來的價值至少是分析時間的成本的185倍。 除了貨幣收益，作者指出決策分析所帶來的好處還體現在：使股東之間的討論更容易，促進了大家仔細思考策略，為討論一個決策問題提供了公共的語言，透過幫助在決策者之間建立一致意見而加快了執行的速度。Nancy L. S. Sousa 評價道：“作為管理者，我希望所有的商業計劃者用決策和風險原理作為評價新的商業機會的一部分。這很清楚會導致做出更好的進入和退出商業決策。” 儘管衡量一個特定的決策分析專案的價值很困難，但柯達決策分析的成功實踐也是一個不辯的事實。 資料來源：基於：Rober T. Clemen and Robert C. Kwit， "The Value of Decision Analysis at Eastman Kodak Company, 19901999， " Interfaces（September/October2001）：74-92. 14.1 構造問題構造問題是決策分析的第一步。我們先口述問題，然後確定決策方案、未來不確定性事件（也叫隨機事件），以及每個決策方案和每個隨機事件所帶來的後果。讓我們先看看匹茲堡發展有限公司 （PDC）的建築專案。 PDC 購買了一塊土地作為新的高檔樓群的地址。那裡有匹茲堡市區壯觀的景色，Allegheny 和 Monongahela兩條河流在這裡匯合，形成俄亥俄河，從而形成金三角。PDC 計劃將套房的價格定在 300 000 ~1 400 000美元。 PDC 已經初步制定了針對3個不同規模的建築草圖，分別是30 棟樓、60 棟樓和90棟樓。專案財政上的成功取決於與樓房的大小和與樓房需求相關的隨機事件。PDC的決策問題是在給定樓房需求的不確定性的情況下，選定一個能夠帶來最大利潤的專案規模。 透過給定的問題陳述，我們很清楚這一決策就是要確定樓群的規模。PDC 有以下3個決策方案： d，—一個小型樓群，有30棟樓； d—一箇中型樓群，有60棟樓； d—一個大型樓群，有90棟樓。 選擇最優方案的一個因素是樓房需求的不確定性。當被同到樓房的可能需求時，PDC 的經理會承認有一個很大範圍的可能性，但會決定只考慮兩種隨機事件的可能後果：強需求和弱需求。 在決策分析中，隨機事件的可能後果被稱為自然狀態，並且有且僅有一種自然狀態會發生。在 PDC 的問題中，與樓房需求相關的隨機事件有兩種自然狀態： S.—樓房的強需求； S2-樓房的弱需求。 管理者首先選擇一個決策方案（規模），然後會有一個自然狀態發生（樓房需求），最後會有某種後自然狀態強（s） 弱（s：） 果發生。在這個問題中，後果就是 PDC的利潤。 14.1.1 影響圖影響圖是一種描述決策、隨機事件、決策後果之間關係的繪圖方法。在影響圖中，節點被用來表示決簟、隨機事件和後果。方框被用來表示決策節點，圓圈或橢圓被用來表示機會節點，菱形被用來表示後果節點。連線節點的線稱做弧，表示節點之間的影響趨勢。圖14-1是顯示 PDC 問題的影響圖。 樓群大小決策方案小型（d） 中型（d） 大型（ag） 結果利準圖14-1 PDC 問題的影響圈第14章決策分析 375 規模是決策節點，需求是機會節點，利潤是後果節點。連線節點的弧表明了規模和需求對PDC 的利潤的影響。 14.1.2 支付矩陣給定3種決策方案和2種自然狀態，PDC應該選哪種規模的樓群呢？要回答這個問題，PDC 需要瞭解每個決策方案和自然狀態帶來的後果。在決策分析中，我們將某一決策方案和某一自然狀態的特定組合所產生的後果稱為支付。將顯示所有決策方案和自然狀態組合的支付的矩陣稱為支付矩陣。 因為 PDC想要選一個能夠提供最大利潤的樓群規模， 支付可表現為多種形式，包括利潤、 所以利潤是後果。表14-1是一個以100萬美元為單位的利成本、事件、距離或其他適合所分析問題潤的支付矩陣。注意，例如，如果建中型樓群，且有強需的度量標準。 求，那將會實現1400萬美元的利潤。我們用符號Y，表示決策方案i和自然狀態j之間的支付。透過表14-1 我們可以知道，V1 =20 表示如果方案是建大型樓群 （d，）且自然狀態是強需求（S，），那麼將產生一個2000萬美元的支付。同樣，V32 =-9表示如果方案是建大型樓群（ds）且自然狀態是弱需求（S2），那麼將損失900萬美元。 表14-1 PDC 樓群專案支付矩陣 （單位：100萬美元） 自然狀態強需求（s」） 8 14 20 窮需求（8z） 7 5 -9 決策方義小型樓群（d」） 中型樓群（d） 大型樓群（ds） 14.1.3 決策樹決策樹是決策過程的一種圖形表示方法。圖14-2顯示了PDC 問題的決策樹。決策樹顯示在時間上事件發生的自然或邏輯程序。首先，PDC 必須做一個關於樓群規模（d，d，ds）的決策。然後， 當方案實施後，自然狀態S，或自然狀態S會發生。決策樹上每個結束點後面的數字表示特定順序的支付。例如，最頂端的支付8表示如果 PDC 建了一個小型樓群（d，）且強需求的（S」），那麼將有一強（s，） 8 個800萬美元的利潤。接下來的支付7表示如果小型（d） PDC 建了一個小型樓群（d」）且是弱需求的（S2）， 那麼將有一個700萬美元的利潤。因此，決策樹以窮（Sg） 強（s，） 7 圖形的方式顯示了決策方案和自然狀態的順序併為 -14 中型（d） PDC 提供了6 種可能的支付。 圖14-2中的決策樹有4個節點，分別編號為 1~4。方框用來表示決策節點，圓圈用來表示機會弱（Sz） 強（s，） 5 20 節點。因此，節點1是一個決策節點，而節點2、3 大型（d，） 和4是機會節點。連線節點的分支從決策節點生出弱（s，） -9 相應的決策方案。分支也從每個機會節點生出相應的自然狀態。支付在自然狀態的後面顯示。我們現圖14-2 PDC 樓群專案決策樹（單位：100萬美元） 在回到問題：決策者如何用支付矩陣或決策樹中的資訊來選擇最優的方案？這可能會用到幾種方法。 註釋與評論 1. 問題解決專家們一致認為，在解決一個複雜問題時，要做的第一步工作就是要將這一問題分
376 資料、模型與決策：管理科學篇解成一系列的小問題。決策樹為我們提供了一種有效的方法，來顯示一個問題是怎麼被分解的，以及決策過程的順序特徵。 2.人們經常從不同的角度來看同一問題。因而，設計決策樹時的討論可能會引導人們從更深的層面來思考問題。 14.2 未知機率的決策在本節中，我們將探討在不需要知道自然狀態機率的情許多人認為一個好的決策必然會帶來況下的決策方法。這些方法適用於決策者對判斷機率的大小好的後果。然而，某些時候，一個好的、 缺乏信心，或是在只需要對事情做出簡單的如最優或最壞情仔細斟酌過的決策仍然會導致壞的或不盡境分析的情形。因為不同的方法有時會導致人們做出不同的如人意的結果。 決策，因此決策者應該瞭解所有可選方法並根據判斷從中選出一種他認為最合適的方法。 14.2.1 樂觀法樂觀法是指在評價一個決策方案時，只根據它所能帶來的最大支付。最後所推薦的決策方案也必然是可能帶來最大支付的方案。在一個追求最大利潤的問題中，就如PDC 問題，樂觀法會使決策者選擇與最大利潤相應的決策方案。對於最小化問題，樂觀法會使決策者選擇與最小支付相對應的決策方案。 為了解釋樂觀法，我們用它來為 PDC 問題推薦一個方對於最大化問題，樂觀法通常就是指最案。首先，我們確定每一決策方案的最大支付；然後，我們大法；對於最小化問題，就是指最小法。 選擇能夠帶來最大支付的決策方案。這些步驟系統地確定出可能帶來最大利潤的決策方案。表14-2顯示了這些步驟。 因為對應於，20是最大的支付，所以運用樂觀決策方法進行分析的最優決策是建造大型樓群。 表14-2 所有 PDC 決策方案的最大支付決策方寨最大支付（100萬美元） 小型樓群（d） 8 中型樓群（d） 14 14.2.2 悲觀法大型樓群（d）20最大支付的最大值悲觀法是指在衡量一個決策方案時，看它所能帶來的最壞支付，所推薦方案是能帶來最壞支付中最好的支付。對於後果以利潤為標準的問題，就如 PDC 問題，悲觀法使決策者選擇產生最小利潤中最大值的決策方案。對於最小化問題，這種方法所確認的決策方案是能最小化最大支付的方案。 為了解釋悲觀法，我們用它來為PDC 問題推薦一個方對於最大化問題，悲觀法通常就是指案。首先，我們確定每一決策方案的最小支付；然後，我們最大法；對於最小化問題，對應的就是最選擇能最大化最小支付的決策方案。表14-3顯示了PDC 小法。 問題的這些步驟。 因為與d，對應的7能帶來最小支付中的最大值，所以表14-3 所有 PDC 決策方案的最小支付推薦的方案是建小型樓群。這種決策方法被認為是保守的， 決篥方案最大支付（100萬美元） 因為它首先確定最壞的支付，然後從中選擇可能避免帶來小型樓群（d）7最小支付的最大值 “極壞”支付的方案。用悲觀法做決策時，我們可以看到 PDC 中型樓群（d）5 可以確保獲得至少700萬美元的利潤。儘管 PDC 可能獲利更大型樓群（dg）-9 多，但可以肯定的是那不會低於700萬美元。 14.2.3 最大最小後悔值法最大最小後悔值法是一種既不純樂觀也不純悲觀的決策方法。我們透過看它如何為PDC問題選擇第14章決策分析 377 決策方案來闡明這種方法。 假設PDC 建小型樓群（d，）且有強需求（s」）。根據表14-1我們得知，PDC 將得到800萬美元的利潤。然而，給定強需求（s」）發生的話，我們意識到，建大型樓群的方案會產生2000萬美元的利潤，而這才是最優方案。最優方案的支付（2000萬美元）和建小型樓群方案的支付（800萬美元） 之間的差額就是機會損失或後悔值。這種機會損失或後悔值是當自然狀態S，發生時方案d，所帶來的。 因此，這裡的機會損失或後悔值是2000萬美元-800萬美元=1200萬美元。同理，如果 PDC決定建中型樓群（d）且強需求（s.）發生的話，那麼機會損失或後悔值就是2000萬美元-1 400萬美元= 600萬美元。 下面是機會損失或後悔值的一般表達形式： （14-1） 其中R，—決策方案d，和自然狀態所帶來的遺憾； —自然狀態s下的最優決策所對應的支付°； Y—決策方案d，和自然狀態$，所對應的支付。 注意式（14-1）中絕對值的作用。對於最小化問題，最優支付V’是所有；欄中最小的一項。因為它的值總是小於或等於Yw，所以V，和V。之差的絕對值就能保證後悔值是差額的量值。 利用式（14-1）和表14-1 中的支付，我們能計算決策方案d，和自然狀態s，的每個組合所帶來表14-4 PDC 樓群專案的機會損失或後悔值統計表的後悔值。因為 PDC 問題是最大化問題，所以以 （單位：100萬美元） 是支付短陣中所有j欄中最大的一項。因此，要計自然狀態決策方寨算後悔值，我們只需簡單地用欄中最大的一項減去欄中的每一項。表144顯示了 PDC 問題的機會損失或後悔值。 最大最小後悔值法的下一步就是列出每一決小型樓群（d） 中型樓群（d） 大型樓群（ds） 強需求（3） 12 6 0 耦需求（sz） 2 16 策方案的最大後悔值，表14-5顯示了 PDC 問題的後果。選擇產生最大後悔值中最小的那個決策方案—因此叫做最大最小後悔值——產生最大最小後悔值的決策方案。對PDC 問題來說，建中型樓群會有一個600萬美元的相應最大後悔值，而這就是最大量小後悔值法所推薦的方案。 表 14-5 決策方寨小型樓群（d） 中型樓群（d） 大型樓群（dg） 所有 PDC 決策方案的最大後悔位最大後悔僱（100萬美元） 12 64 16 -最大後悔值的最小值注意，本節所討論的3種方法會推薦不同的決策方案，方法本身並沒有錯對之分。它只是簡單地反映出支援不同方法的決策原則不同。最終，決策者將選擇最合適的方法，然後相應地做出最後的決策。這些方法最大的不足是它們沒有考慮不同自然狀態機率方面的資訊。在下一節中，我們將討論在選擇決策方案中利用機率資訊的一種決策方法。 14.3 已知機率的決策在許多決策情形中，我們都能得到自然狀態的機率。當存在這些機率的時候，我們可以用期望售法得到最優決策方案。首先讓我們定義決策方案的期望值，然後將它應用到 PDC 問題中。 設 N—自然狀態的個數； P（s；）—自然狀態§，的機率。 ◎在最大化問題中，V為支付矩陣j欄中最大項；在最小化問題中則為最小項。
378 資料、模型與決策：管理科學篇因為在N種自然狀態中有且僅有一個會發生，所以機率必須滿足以下兩個條件： P （s；）≥0 對所有自然狀態 AP（s）=P（s，）+P（sz）+：+P（sy）=！ 決策方案d，的期望值（EV）定義如下： （14-2） （14-3） N Ev（d.）=系P（s）Y。 （144） 用文字表述的話，一種決策方案的期望值就是此決策方案加權支付的總和。支付的權數是相關自然狀態的機率，也就是這一支付發生的機率。讓我們回到 PDC問題，看看如何運用期望值法。 PDC 十分看好這一高檔樓群。假設這種樂觀因素導致PDC 有一個初始的主觀判斷，即認為強需求 （S」）的機率為0.8，而弱需求（s2）的機率為0.2。於是， P （s；） =0.8, P（5z）=0.2。利用表14-1中所列的支付以及式小型（d） （14-4），我們可以分別算出這3個決策方案的期望值，如下： EV （d，） =0.8×8+0.2×7 =7.8 強6）8 P（s）=0.8 弱（g） 一7 P（5：） =0.2 EV（d） =0.8×14+0.2×5 = 12.2 EV（ds）=0.8x20+0.2×（-9）=14.2 強（5p） P（S：）=0.8 弱（S2） P（Sz）=0.2 - 14 中型（d） 於是，根據期望值法，我們得出大型樓群是所推薦的方案， 5 其期望值為1420萬美元。 在決策樹上可以很方便地進行計算以確認具有最優期望值強（S.） - 20 的決策方案。圖14-3為PDC 問題的決策樹，且每一分支上都標大型（d2 P（s，）=0.8 明瞭自然狀態的機率。從決策樹上反推，我們可先算出每一機弱（Sz） --9 會節點的期望值。即，在每一節點，我們用發生的機率加權每 P（Sz） = 0.2 一可能的支付。這樣，我們就得到了節點2、3和4的期望值， 留 14-3 分支上標有自然狀態機率的 PDC 問題決策樹如圖144所示。 因為決策者控制著從決策節點1發出的分支，並且我們希望獲得最大的利潤，所以節點1處最優的決策方案是d。這樣，決策樹分析就導致了一個推薦決策方案ds，其期望值為小型（d） ET（d））=0.8×8+0.2×7=$7.8 1420萬美元。注意，這裡我們同樣還是使用了期望值法，並且結合了支付矩陣中的資料而得到這一推薦方案。 中型（ds） 實際上，有些問題可能要比 PDC問 EK（d.）=0.8×14+0.2×5=$12.2 題複雜得多，但如果有一個理想數目的決策方案和自然狀態的話，你就可以使用這裡所歸納的決策樹法。首先，畫一個決策 _大型（ds） EV（d，）=0.8×20+0.2×（-9）-$14.2 樹，包括決策節點、機會節點以及反映問題順序特徵的分支。如果你使用期望值圖 14-4 利用決策樹使用期望傭法，那麼下一步就是確定每個自然狀態的機率以及計算每個機會節點上的期望值。然後選定連線擁有最優期望值的機會節點的決策分支。與這一決策分支相對應的決策方案就是推薦方案。 專欄 14-2描述了愛迪生公司如何建立一個決策樹來幫助選擇最優工藝控制微粒散發。 專欄14-2 實踐中的管理科學俄亥俄愛迪生公司的微粒散發控制俄亥俄愛迪生公司是第一能源公司的運營部。俄亥俄愛迪生及其下屬公司賓夕法尼亞電力公司為俄亥俄州中部和東北部，以及賓夕法尼亞州西部的100多萬顧客提供電力服務，其中絕大部分電力是第14童決策分析 379 在用煤作燃料的電力工廠發出的。為了達到不斷提高的空氣質量要求，俄亥俄愛迪生公司開展了一項旨在幫助公司為3個發電站選擇最高效的微粒控制裝置的專案。 初期的研究篩選出對微粒控制裝置的決策選擇：織物過濾器和電工沉澱器。這個決策受很多不確定性因素影響：解釋空氣質量法規定的方法的不確定性，燃燒煤含硫量的不確定性，建設成本的不確定性等。因為問題的複雜性，包括不確定性事件和選擇的重要性，所以公司開展了一個全面的決策分析。 選擇微粒技術的標準是最小化這3個大型發電站在以後的時間內的年收入要求額。收入要求額是指必須從發電廠的顧客所收集到的用於彌補決策所產生的成本的資金。有一個決策樹用來表示微粒控制決策以及其不確定性因素和成本。一個決策節點用來表示兩個可能的選擇：織物過濾器和電工沉澱器。機會節點被用來表示不確定性。透過技術人員的計算或估測，我們可得到與這些模型相關的成本。而我們也可以從現有的資料或有經驗人士的主觀判斷中得出概準。 決策分析的結論導致俄亥俄愛迪生公司為那3個發電站選擇了電工沉澱技術。如果沒有進行決策分析，很有可能會導致我們選擇織物過濾裝置。決策分析為我們提供了一種有效地分析問題中的不確定性因素的方法。這一應用中決策方法論的使用使我們做出的決定，既產生低期望值的收入要求，又降低了風險。 資料來源：基於俄亥俄愛迪生公司 Thomas J.Madden 和 M. S.Hymick 提供的資訊。 完美資訊的期望值假設 PDC 可以開展市場調查研究，這會對判斷購買者對樓群專案的興趣提供幫助，併為管理者提供資訊以幫助他們提高估計自然狀態機率的準確性。為了瞭解這種資訊的潛在價值，我們從剛開始就假設調查研究能提供自然狀態的完美資訊；也就是說，我們設定在做出決策之前，PDC十分確定哪種自然狀態會發生。為了使用這種完美資訊，我們設計一種決策策略，並且一旦 PDC 得知哪種自然狀態會發生，它就會遵循這一策略。決策策略僅僅是一種決策規則，明確指定獲得新資訊後應該選取的決策方案。 為了幫助PDC制定決策策略，我們重新編制表 14-6 PDC的支付矩陣，如表146所示。注意，如果 PDC肯定地知道自然狀態s，會發生，那麼最優的 PDC 樓群專案支付矩陣 （單位：100萬美元） 自然狀態決策方案將會是d，它的支付為2000萬美元。 決策方案同理，如果 PDC肯定地知道自然狀態S，會發生， 那麼最優的決策方案將會是d，它的支付為700 萬美元。因此，當完美資訊能被獲取時，我們可小型樓群（d） 中型樓群（dz） 大型樓群（ds） 強需求（31） 8 14 20 興需求（$z） 7 s -9 將 PDC 的最優決策策略表述如下： 如果s，發生，選擇d，獲得2000萬美元的支付； 如果3，發生，選擇d，獲得700萬美元的支付。 這個決策策略的期望值是多少呢？為了計算完美資訊下的期望值，我們回到自然狀態原來的機率： P（S：） =0.8以及P（S2）=0.2。那麼，完美資訊預示自然狀態S，會發生的機率為0.8，從而選擇的決策方案d，將創造2000萬美元的利潤。同理，機率為0.2的自然狀態5，的最優決策方案d，將帶來 700萬美元的利潤。因此，根據式（14-4），使用完美資訊的決策策略的期望值為 0.8×20+0.2×7=17.4 我們將這個1740萬美元的期望值稱為有完美資訊的期望值（EVwPI）。 在本節的開頭，我們使用期望值法得出的推薦方案是d，其期望值為1420萬美元。因為這一推薦方案和期望值的計算都沒有用到完美資訊，所以我們將這個1420萬美元稱為無完美資訊的期望值 （EVwOPI。
380| 資料、模型與決策：管理科學篇有完美資訊的期望值是1740萬美元，而無完美資訊的對於PDC 來說，在選取一種決策方案期望值是1420萬美元；因此，完美資訊的期望值（EVPI） 前就瞭解市場的接受能力可以為公司創造為1740萬美元-1420萬美元=320萬美元。換句話說， 320萬美元的利潤。 320萬美元表示獲知關於自然狀態的完美資訊後所增加的那部分期望值。 一般說來，市場調查研究並不能提供“完美”資訊；然而，如果市場調查研究做得很好的話，那麼資訊的價值可能會是320萬美元中的相當大的部分。給定EVPI 為320萬美元的情況下，PDC可能會認真地考慮做一個市場調查，作為了解更多有關自然狀態資訊的一種途徑。 一般而言，完美資訊的期望值 （EVPI）為： EVPI= | EVPI-EVwoPII （14-5） 式中 EVPI—完美資訊的期望值； EVwP/——有關於自然狀態的完美資訊的期望值； EVwoPI—無關於自然狀態的完美資訊的期望值。 注意式（14-5）中的絕對值的作用。對於最小化問題來說，有完美資訊的期望值總是小於或等於無完美資訊的期望值的。這樣，EVPI 就是EVwPI 和EVwOPI 之差的數量值，或者就如式（14-5）中所顯示的，是差的絕對值。 註釋與評論下表重新列出了PDC 問題的機會損失或後悔值（見表14-4）。 （單位：100萬美元） 自然狀態決策方案強糯求（s1） 小型樓群（d） 12 中型樓群（d） 大型樓群（ds） 0 調需求（82） 0 2 16 利用P（S」）、P（S2）和機會損失，我們可以計算每一決策方案的期望機會損失（EOL）。當P（S，） =0.8，P （s2）=0.2時，這3種決策方案的期望機會損失分別為： EOL（d.）=0.8×12+0.2×0 =9.6 EOL （d） =0.8×6+0.2×2 =5.2 EOL （d）=0.8x0+0.2×16 =3.2 不管決策分析的是最大化還是最小化問題，最小的期望機會損失總是代表最優的決策方案。因此， EOL （ds）=3.2，d，為所推薦方案。另外，最小的期望機會損失總是等於完美資訊的期望值。即， EOL（最優決策）=EVPI。對於PDC 問題來說，這個值是320萬美元。 14.4 風險分析與靈敏度分析風險分析幫助決策者認識到決策方案的期望值與實際產生的支付之間的差昇。靈敏度分析對決策者同樣有幫助，它可告知決策者自然狀態的機率變化和/或支付的變化是如何影響推薦決策方案的。 14.4.1 風險分析某種決策方案和某種自然狀態的組合產生與某個決策相關的支付。決策方案的風險組合顯示了可能的支付以及相關的機率。
第14章決策分析 381 讓我們回到PDC 樓群建設專案，闡述風險分析和如何建立一個風險組合。利用期望值法，我們得出大型樓群（d）為最優決策方案。方案d 的1420萬美元的期望值是基子有0.8 的機率獲利2000萬美元以及有0.2 的機率損失900 1.0萬美元。有0.8 的機率產生2000萬美元的支付和有0.2的機率產生-900萬美元的支付， 這就是大型樓群決策方案的風險組合。圖14-5 顯示了這一風險組合。 0.80.6204有時候回顧某一有最優決策方案的風險組合反而會使決策者選擇其他的決策方案，即使 0.2那個決策方案的期望值並不十分理想。例如， 中型樓群決策方案（d）的風險組合是0.8的 -10 機率產生1400萬美元的支付和0.2 的機率產生500萬美元的支付，因為決策方案d沒有一個機率是產生損失的，所以決策者判定中型樓 0 10 利潤（100萬美元） 圖 14-5 PDC 建設專案中大型樓群決策方案的風險組合 20 群決策方案比大型樓群決策方案的風險要小。 結果，決策者可能傾向於採用小風險的中型樓群決策方案，儘管它的200萬美元的期望值要小於大型樓群決策方案的期望值。 14.4.2 靈敏度分析靈敏度分析可用來得出自然狀態機率的變化和/或支付的變化是如何影響所推薦的決策方案的。 在很多情況下，自然狀態的機率和支付都是基於主觀判斷的。靈敏度分析幫助決策者理解這些輸入值中有哪些是對選擇最優決策方案起關鍵作用的。如果一個輸入值的微小變化都產生了推薦方案的改變，那麼這一決策分析問題的解決方案對那一特定輸人值敏感。而對這一特定輸人值，我們要花額外的時間和精力來確保它的準確性。另一方面，如果一個輸入值的比較大的變化都不能對推薦方案產生改變，那麼這一決策分析問題的解決方案對那一特定輸入值不敏感，我們也就不需要花額外的時間和精力在它上面。 靈敏度分析的一種方法是為自然狀態的機率和支付選擇不同的值，然後再求決策分析同題的解決方案。如果推薦方案改變了，那麼我們就知道解決方案對已產生的變化敏感。例如，假設PDC 問題中強需求的機率改為0.2，弱需求的機率改為0.8，那麼推薦的決策方案會改變嗎？我們利用P（s.）= 0.2、P（8） =0.8 和式（14-4），3種決策方案的期望值變化如下： EV （d）=0.2×8+0.8×7=7.2 EV（d）=0.2×14+0.8×5=6.8 EV （ds）=0.2×20+0.8x（-9） = -3.2 有了這些估計的機率，推薦決策方案就是建一個小型樓群（d），它的期望值為720萬美元。強需求的機率只有0.2，所以建大型樓群（ds）是最後的選項，而它有一個-320萬美元的期望值（損失）。 因此，當強需求的機率比較大時，PDC應該建大型樓決策分析的一些電腦軟體，如精磅樹， 群；而當強需求的機率比較小時，PDC應該建小型樓群。簡化了問題修改後的計算。 很明顯，我們能繼續改變自然狀態的機率並從中學到更多關於機率的變化如何影響推薦決策方案的。這種方法的缺點是我們需要進行大量的計算來評估幾種自然狀態機率的變化的影響。 對於只有兩種自然狀態的特殊情況，我們可以透過圖解法得知自然狀態機率的變化如何影響推薦決策方案的。為更好地解釋這種方法，我們設p表示自然狀態S，的機率，即P（s」）=P。因為PDC
382 資料、模型與決策：管理科學篇問題中只有兩種自然狀態，所以自然狀態S，的機率為： P（52）=1-P（S）=1-P 利用式（14-4）以及表14-1 中的支付值，我們可以確定決策方案d，的期望值，如下： EV（d，） =P（Si）×8+P（82）×7 =8p+（1-p）×7 =8p +7-7p=p+7 （14-6） 對決策方案d，和d，重複這種期望值的計算，每個決策方案我們都能得到一個期望值，它們都是p的函式： EV （d） =9p+5 EV （d，） =29p-9 （14-7） （14-8） 這樣，我們就有3個方程，它們都是自然狀態S，機率的函式，分別表示3個決策方案的期望值。 接著，我們就可以設計一個座標圖，其橫軸代表P值，縱軸代表 EV。因為式（14-6）、（14-7）和 （14-8）都是線性的，所以每一方程在座標系上的圖形都是一條直線。對於每一方程，我們可以透過連 20、4提供了量高期望值 15 ＜提供了苯高期塱值接滿足此方程的兩點得到它的直線。例如，如果令式（14-6）中的p=0，那麼EV（d」）=7；然後，：10 再令p=1，得到EV（d，）=8。連線（0，7）點和 （1,8）點，我們就得到了 EV（d，）的直線，如圖 14-6所示。同理，我們可以得到EV（d）和EV 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 （cs）的直線，它們分別是式（14-7）和式（14-8） -5的圖形表示。 圖14-6顯示了推薦決策如何隨p而變化，即隨 -10F 強需求自然狀態（s」）機率的變化而變化。值得注圖14-6 函式係數為P的 PDC 決策方案的期鹽值意的是，當P值比較小時，決策方案d，（小型樓群）產生了最大的期望值，因而它是推薦方案；而當p值上升至某一點時，決策方案d（中型樓群） 產生了最大的期望值，因而它是推薦方案；最後，當p值比較大時，決策方案d（大型樓群）就成了推薦方案。 d，和d的期望值相等時的p值就是直線EV（d，）和EV（d）相交處所對應的p值。為了確定這個p值，我們令EV（d，）=EV（d），然後求解p值： p+7 =9p+5 8p =2 P=2 - =0.25 8 因此，當P=0.25時，決策方案d，和d，將帶來相同的期望值。對直線EV（d）和EV（d）的交點所對應的p值做同樣的計算，我們得到P=0.70。 根據圖14-6，我們得出如下結論：當p≤0.25時，決策圖式靈敏度分析顯示了自然狀態機率方案d，帶來最大期望值；當0.25≤P≤0.70時，決策方案的變化是如何影響所推薦的決策方案的。 d，帶來最大期望值；當p≥0.70時，決策方案d，帶來最大期望值。因為p是自然狀態」的機率且（1-P）是自然狀態S2的機率，所以現在我們就得到了靈敏度分析資訊，這些資訊告訴我們自然狀態機率產生的變化是如何影響所推薦的決策方案的。 對於支付的值，我們同樣可以用靈敏度分析來計算。在最初的PDC 問題中，3個決策方案的期望值如下：EV（d，）=7.8，EV（d）=12.2和EV（d）=14.2。決策方案d，（大型樓群）是所推薦的方案。注意，決策方案d是次優選擇，EV（d）=12.2。當EV（d）大於或等於次優決策方案的第14章決策分析 383 期望值時，決策方案d，就一直是最優的選擇。因此，決策方案d，在滿足式（14-9）的情況下就一直是最優的選擇： EV（ds）≥12.2 （14-9） 設 S—強需求時決策方案d的支付； W—弱需求時決策方案d，的支付。 利用P（S.）=0.8及P（32）=0.2，我們得到EV（d）的一般表示式： EV（ds）=0.85+0.2W （14-10） 假設當需求為弱時，d，的支付保持在它的初始值上，為-900萬美元。則建大型樓群的決策方案在滿足式（14-11）的情況下就一直是最優的選擇： EV（ds） =0.8S +0.2×（-9）≥12.2 （14-11） 求解S，得 0.85 -1.8 ≥12.2 0.8S≥14 S≥17.5 回顧在需求為強時，決策方案d，有一個估計的支付，為2000萬美元。前面的計算顯示在強需求下決策方案d，的支付至少為1750萬美元時，它將一直為最優選擇。 假設當需求為強時d，的支付為初值2000萬美元，我們就能進行相似的計算，得到當需求為弱時對d的支付而言最優解的靈敏度。回到式（14-10）的期望值計算，我們知道建大型樓群決策方案為最優方案，只要： EV （d） =0.8×20 +0.2W≥12.2 （14-12） 求解W，得 16+0.2W≥12.2 0.2W≥-3.8 W≥-19 回顧當需求為弱時，決策方案d，有一個估計的支付，為-900萬美元。前面的計算顯示在弱需求下決策方案d。的支付至少為-1900萬美元時，它將一直為最優選擇。 基於這個靈敏度分析，我們總結如下：大型樓群決策方靈敏度分析可幫助管理者決定是否需案山的支付能在較大範圍內波動並保持推薦決策方案的位要投入更多的時間和精力來更好地估計支置。因此，我們可以說PDC 決策問題的最優解決方案對大付和/或機率。 型樓群決策方案的支付並不特別敏感。當然，我們注意到， 這個靈敏度分析是基於同一時間只有一項在變動而進行的。即，只有一個支付在變動，而自然狀態的機率都保持不變，為P（s.）=0.8和P（$2）=0.2。注意，同樣的靈敏度分析計算也能用到小型d 和中型樓群決策方案d的支付中。然而，在這些情況下，只有當決策方案d，和d的支付產生的變化滿足 EV（d）≤14.2和EV（d）≤14.2時，決策方案d，才依舊是最優選擇。 與粿論 1.一些決策分析軟體可自動地提供最優決策方案的風險組合。這些軟體同時也可幫助使用者得出其他決策方案的成險組合。在比較這些風險組合後，決策者可能會決定選擇一個風險比較小的決策方案，儘管這一決策方案的期望值並不如最優決策方案的期望值理想。 2. 特別是當幾種輸入值共同決定最優解的值時，我們可以用一種叫旋風圖的圖解法。透過在允許範圍內榆入不周的值，我們就可得到關於每種輸入值如何影響最優解的資訊。為了表述這些資訊， 我們用條柱表示輸入值，條柱的寬表示輸入值如何影響最優解。最寬的條柱對應最汐敏感的那一輸入值。最寬的條柱位於困形的頂部，這樣整個圖形就像旋風一樣。
384 資料、模型與決策：管理科學篇 14.5 有樣本資訊的決策分析在運用期望值法時，我們已經說明了自然狀態的機率資訊是如何影響期望值的計算以及推薦決策方案的。通常，決策者會對自然狀態的機率做出預期的或初期的估計，即先驗機率，而這種估計在當時是最為準確的機率值。然而，為了儘可能地做出最優的決策，決策者也許會想搜尋更多關於自然狀態的資訊。這些新資訊能被用來修正或更新初期機率，這樣，最終決策的制定就能依賴更準確的自然狀態的機率資訊。大多數情況下，人們設計實驗來獲取關於自然狀態的樣本資訊，這樣實驗者能夠獲得一些額外資訊。原料取樣、產品測試以及市場調查研究都是實驗（或研究），它們可幫助管理者修正或更新自然狀態的機率。這些修改後的機率被稱為後驗機率。 讓我們回到PDC 問題，假設管理者正考慮一個長達6個月的市場調查研究，這個市場調查研究是為了更好了解 PDC 樓群專案的潛在市場接受能力。管理者預計這個市場調查研究會有兩種後果： 1. 有利報告：被調查的很大一部分人對PDC 樓群感興趣。 2. 不利報告：在被調查者中，只有很少一部分人表示對PDC樓群感興趣。 14.5.1 影響圖介紹展開市場調查研究的可能性後， PDC 同題變得更復雜了。擴充套件後的PDC問題的影響圖如圖14-7所示。注意，兩個決調奔阱究結果策節點分別對應於調查研究以及樓群規模決策。兩個機會節點分別對應於調查研究後果以及樓群的需求。最後，後果節點是利潤。 透過影響圖的弧，我們可以看到需求既影響興查砑究科潤調查研究的後果，又影響利潤。儘管對 PDC 來說需求通常是未知的，但是匹茲堡地區對樓群需求的一些水平是已經存在的。如果現圖14-7 有樣本資訊的 PDC 問題的影響照有需求是強的，那麼調查研究就可能找到很大一部分人對購買樓房感興趣。但是，如果現有需求是弱的，那麼調查研究就很可能找到很大一部分人對購買樓房不感興趣。這樣看的話，樓房的現有需求會影響調查研究的後果。另外，很明顯，需求會影響 PDC 的利潤。 從調查研究決策節點到樓群規模決策節點的弧顯示了調查研究決策先於樓群規模決策。從調查研究決策節點到調查研究後果節點之間沒有弧，那是因為實施調查研究的決策實際上並不影響調查研究的後果。實施調查研究的決策使調查研究的後果能夠被使用，但並不對它產生影響。最後，樓群規模節點和需求節點都影響利潤。注意，如果給定了調查研究的成本，那麼實施調查研究的決策就會影響利潤了。在這種情況下，我們需要加一條從調查研究決策節點到利潤節點的弧來顯示調查研究成本會對利潤產生影響。 14.5.2 決策樹有樣本資訊的PDC 問題決策樹顯示決策和隨機事件的邏輯順序，如圖14-8。 首先，PDC的管理者必須決定是否開展市場調查研究。如果決定開展，那麼 PDC 的決策者還必須準備一個關於樓群專案規模的決策以應對有利報告，或許還應準備一個不同的關於樓群專案規模的決策以應對不利報告。在圖14-8中，正方形表示決策節點，圓形表示機會節點。在每個決策節點上，所畫的分支是基於所做的決策。在每一機會節點上，所畫的分支是基於機率或機會。例如，決策節點1 顯示 PDC必須首先做出是否開展市場調查研究的決策。如果沒有開展市場調查研究，機會節點2表示第14章決策分析 385 小型（d） 有利報告中型（4） 大型（d，） 市場調香研究 ⑦ 小型（d） 強（s，） 弱（Sz） 強（s，） 弱（sz） 強（s，） 弱（sz） 強（S，） 弱（Sz） 強（s，） 8 7 14 5 20 --9 8 7 不利報告中型（6） 大型（d，） 小型（d） 無市場調查硏究中型（d，） 大型（d） 強（s，） 鍋（Sz） 強（s，） 弱（Sz） 強（s，） 弱（Sz） 強（S，） 弱（Sz） 20 -9 8 7 14 5 -20 =--9 圖 14-8 包含市場調查研究的 PDC 決策樹不管是有利報告分支還是不利報告分支都不在PDC的控制之中，它們由隨機產生。節點3是一個決策節點，表示在有利報告的情況下，PDC必須作一個決策，決定是建小型、中型或大型樓群。節點5是一個決策節點，表示在沒有開展調查研究的情況下，PDC必須作一個決策，決定是建小型、中型或大型樓群。節點6至節點14是機會節點，說明強需求或是弱需求的自然狀態分支都將隨機決定。 決策樹的分析和最優戰略的選擇需要我們知道所有機會節點對應的分支的機率。PDC 已經估計了分支的機率，如下所示。 如果開展了市場調查研究： P（有利報告）=0.77P（不利報告）=0.23 如果市場調查報告是有利的： 如果市場調查報告是不利的： P（有利報告給出強需求）=0.94 P（有利報告給出弱需求）=0.06 P（不利報告給出強需求）=0.35 P（不利報告給出弱需求）=0.65
386 資料、模型與決策：管理科學篇如果沒有開展市場調查研究，則用先驗機率： P（強需求）=0.80 圖14-9中的決策樹標出了分支的機率。 有利報告市場調查研究 ⑦ 不利報告 0.23 無市場調查研究 P（弱需求）=0.20 小型（d，） 中型（d） 大型（d，） 小型（d，） 中型（d） 大型（d，） 小型（d，） 中型（d.） 大型（d，） 強（S，） 8 0.94 弱（Sz） 7 0.06 強（S，） —14 0.94 弱（sz） -s 0.06 強（s，） - 20 0.94 弱（Sz） --9 0.06 強（s，） 8 0.35 弱（Sz） 7 0.65 強（s，） 0.35 •14 粥（Sz/ 0.65 強（s，） 20 0.35 粥（Sz） --9 0.65 強（s，） 8 0.80 弱（sz） 7 0.20 強（s，） -14 0.80 弱（sz） 5 0.20 強（s） -20 0.80 弱 （Sz） 0.20 一-9 圖 14-9 帶有分支機率的 PDC 決策樹 14.5.3 決策策略決策策略是決策以及機會後果的一種順序，其中所選擇的決策取決於將要確定的隨機事件的後果。 在決策樹中，按照以下步驟，用反推法來確定最優的決策策略。 1. 在機會節點上，將每一分支末端的支付與對應的分支機率相乘，得到期望值。 2.在決策節點上，選擇導致最優期望值的決策分支。這個期望值就是決策節點上的期望值。 根據反推法，先計算機會節點6~14 的期望值，如下： EV（節點6） =0.94×8+0.06x7 EV（節點7）=0.94×14+0.06×5 =7.94 =13.46
第14章決策分析 387 EV（節點8）=0.94×20+0.06x（-9）=18.26 EV（節點9）=0.35×8+0.65 ×7 EV（節點 10） =0.35 ×14+0.65 ×S EV（節點11）=0.35×20+0.65x（-9）=1.15 EV（節點12）=0.80×8+0.20×7 EV（節點13）=0.80×14+0.20×5 =7.35 =8.15 =7.80 =12.20 EV（節點 14）=0.80×20+0.20x（-9）=14.20 圖14-10顯示了在計算了這些機會節點的期望值後的簡化決策樹。 小型（d） EV=7.94 有利報告 0.77 中型（d） 大型（d.2 EV=13.46 EV=18.26 市場湖價鮮成 ② 小型（d） EV=7.35 不利報告 0.23 中型（0）） EV=8.15 大型（d，） FV=1.15 小型（d，） EV=7.80 無市場調查研究中型（d.） EV=12.20 大型（d，） ④ EV=14.20 圖14-10 求出機會節點6~14後的 PDC決策樹我們接下來考慮決策節點3、4和5。對於其中每個節點，我們都選擇能導致最優期望值的決策方案分支。例如，在節點3，我們的選擇有：EV（節點6）=7.94的小型樓群分支，EV（節點7）= 13.46的中型樓群分支，EV（節點8）=18.26的大型樓群分支。因此，我們選擇大型樓群決策方案分支，而節點3的期望值為EV（節點8）=18.26。 對於節點4，我們從節點9、10和11中選擇最優的期望值。而最優的決策方案是中型樓群分支， EV（節點4）=8.15。對於節點5，我們從節點12、13 和14 中選擇最優的期望值。而最優的決策方案是大型樓群分支，EV（節點5）=14.20。圖14-11顯示了在節點3、4和5上選擇了最優決策後的簡化決策樹。 現在可計算機會節點2的期望值了，如下：
388 資料、模型與決策：管理科學篇 EV（節點2） =0.77 xEV（節點3）+0.23×EV（節點4） =0.77 ×18.26+0.23 ×8.15 =15.93 進行到這一步後，這一決策樹就只包含從節點1出發的兩條決策分支（見圖14-12）。 最後，我們可以在節點1上做決策，即從節點2和5中選擇最優的期望值。這樣會導致最終所採取的決策方案是進行市場調查研究，其將產生總額為 15.93的期望值。 PDC 的最優決策是開展市場調查研究，然後執行下列決策策略： 如果市場調查報告是有利的，則建大型樓群； 如果市場調查報告是不利的，則建中型樓群。 PDC 決策樹分析所採取的方法可用來幫助我們分析更復雜的有序決策問題。首先，畫出決策樹， 其中包含決策節點和機會節點以及描述問題順序特徵的分支。確定所有機會後果的機率。然後，從決策樹上反推，計算所有機會節點的期望值並選擇所有決策節點的最優決策分支。最優決策分支的顧序決定了問題的最優決策策略。 有利報告 0.77 EV（d，）=18.26 市場調查研究 EV=15.93 市場調查研究不利報告 0.23 EV（d.）=8.15 無市場調查研究無市場調查研究 EV=14.20 EV（d）=14.20 圖14-11 在節點3、4和5處選擇了最優決策後的 PDC 決策樹圖14-12 刪減到兩條決策分支的決策樹專欄14-3描述了 Bayer 製藥公司是如何用本節介紹的決策分析原理來做關於開發和營銷新藥的決策的。 專欄14-3 實踐中的管理科學 Bayer 製藥公司新藥的決策分析在美團，葯品開發需要鉅額投資並冒很大的風險。可能需要15年的時間研究和開發一種新藥。 Bayer 生物產品（BP）小組使用決策分析來評估一種新的血凝藥的潛力。一個影響圖用來描述決策分析過程的複雜結構。6 個是或否的關鍵決策節點定義為：（I）進行潛伏期的研究；（2）開始在人體試驗； （3）繼續研究，進入第3階段；（4）繼續研究，進入第4 階段；（S）向FDA 申請許可證； （6）向市場推廣新藥。在影響圖上有五十多個機會節點。這些機會節點描述了不確定性（相關的因素有直接人工費、開發成本、市場份額、稅率和價格）影響結果。淨利潤提供結果和做決策的標準。 在過程的每個階段，機率都既與技術風險有關，又與市場風險有關。決策樹的順序有1995個可能路徑導致不同的淨利潤。成本輸入、潛在結果的判斷和機率的指定都幫助估計了專案的潛在貢獻。靈敏度分析用來確定在藥品開發過程中需要專案小組和管理者特別注意的關鍵變數。決策分析的應用能使 Bayer 做出關於如何開發和營銷新藥的好的決策。 資料來源：蒸於：Jelfrey S. Stonebraker， " How Bayer Makes Decisions to Develop New Drugs，" Interfaces, no. 6 （November/December 2002）：77-90. 14.5.4 風險組合圖14-13 中的簡化決策樹僅顯示了PDC最優決策策略的決策方案和隨機事件的順序。透過執行最優決策策略，PDC 得到決策樹分支末端上顯示的4個支付中的一個。之前我們學過，風險組合顯示可能第14章決策分析 389 的支付以及相關的機率。因此，要構造最優決策策略的風險組合，我們需要計算這4種支付的機率。 請注意，每一個支付都取決於從節點1到支付的分支的順序。例如，2000萬美元的支付是按這樣的順序得到的：從節點1出發的上分支，從節點2出發的上分支，從節點3出發的下分支，以及從節點8出發的上分支。在這一順序裡，從機會節點出發的分支機率相乘，可以得到跟隨這一分支順序的概率。因此，2000萬美元支付的機率是0.77 ×0.94 =0.72。同支付（100萬美元） -9 5 14 20 理，其他支付的機率都能透過從導致那一支付的機會節點出發橛率 0.05 0.15 0.08 0.72 1.00 的分支的機率相乘而得到。這樣，我們得到-900萬美元支付的機率是0.77x0.06=0.05；1400萬美元支付的機率是 0.23x 0.35=0.08；500萬美元支付的機率是 0.23×0.65 =0.15。下表是PDC 最優決策策略的風險組合，顯示了最優決策策略的支付的機率分佈。 有利報告 0.77 —20 大型 .（d，） 強（s,2 0.94 弱（s，） 0.06 --9 市場調查硏究 0.8 0.6 80.4 0.2不利報告 0.23 中型 （d，） 強（s，） 114 0.35 弱 （S，） 0.65、 —5 0 10 利潤（100萬美元） 20 圖 14-13 僅顯示最優決策策略分支的 PDC 決策樹圖 14-14 PDC 樓群專案的風險組合，附有樣本資訊與最優決策策略相關的支付圖14-14為風險組合的圖示形式。比較圖14-5和圖14-14，我們可以看出開展市場調查研究的策略改變了 PDC的風險組合。事實上，開展市場調查研究使損失900萬美元的機率由0.2 降到了0.05。 PDC 管理者很有可能將這一變化看做是這一建築專案風險的極大降低。 14.5.5 樣本資訊的期望值在PDC 問題中，市場調查研究是用來確定最優決策策略的樣本資訊。與市場調查研究相關的期望值是1593萬美 EVS/ =173 萬美元意味著 PDC 將願意支出高達173萬美元來開展市場調查研究。 元。在第14.3節中，我們得知，如果沒有開展市場調查研究，那麼最優的期望值是1420萬美元。因此，我們得到一個差額，1593 萬美元-1420萬美元=173 萬美元，這是樣本資訊的期望值（EVSI）。換句話說，開展市場調查研究給 PDC增加了173萬美元的期望值。一般情況下，樣本資訊的期望值可用式（14-13）計算得到。 EVSI=|EVS/- EVwoSl| （14-13） 式中 EVS/—樣本資訊的期望值； EVuS/—自然狀態樣本資訊的期望值； EYwvoSf—非自然狀態樣本資訊的期望值。 注意式（14-13）中的絕對值的作用。對於最小化問題來說，自然狀態樣本資訊的期望值總是小於或等於非自然狀態樣本資訊的期望值的。這樣，EVSI 就是 EVwSI 和EVwoSI 之差的數量值；因此，透過採用如式（14-13）中所顯示的絕對值，我們就可用這一個公式解決最大化問題以及解決最小化問題。 14.5.6 樣本資訊的效率值在第14.3節中，我們得知PDC 問題的完美資訊的期望值（EVPI）為320萬美元。雖然我們知道
390 資料、模型與決策：管理科學篇市場調查報告不可能包含完美資訊，但我們可以用效率值來表示市場調查資訊的價值。如果完美資訊的效率值為100%，那麼樣本資訊的效率值（E）可由如下公式計算： E=EYSK EVPI ×100 （14-14） 對於PDC 問題，有 B-號 ×100-54.1% 換句話說，從市場調查研究獲取的資訊的有效程度為完美資訊的54.1%。 如果樣本資訊效率值低，決策者可能會尋求其他形式的資訊。另一方面，高的效率值表明樣本信息幾乎和完美資訊一樣，而其他資訊來源並不會產生更令人滿意的結果。 14.6 計算分支機率在第14.5節的PDC問題描述中特別說明了決策樹機會節點的分支機率。獲得這些機率並不需要經過任何計算。在這一節中，我們將介紹如何用貝葉斯定理計算決策樹分支機率。 圖14-15再次顯示了PDC決策樹。設 F——有利的市場調查報告； V—不利的市場調查報告； §，—強需求（自然狀態1）； S—弱需求（自然狀態2）。 在機會節點2上，我們需要知道分支機率P（F）和P（U）。在機會節點6、7和8上，我們需要知道分支機率 P（S, F），即在有利市場調查報告下自然狀態1的機率，以及分支機率 P（S2IF），即在不利市場調查報告的自然狀態2 的機率。P（S,IF）和P（S2 F）是後驗機率，因為它們是基於樣本資訊的後果的條件機率。在機會節點9、10和11 上，我們需要知道分支機率P（SIU）和P（s2IV）；需要注意的是，這兩個機率同樣是後驗機率，表示在給定不利的市場調查報告的情況下，兩種自然狀態的概率。最後，在節點12、13和14上，我們需要知道在沒有開展市場調查研究的情況下自然狀態的機率， 即P （s」）和P（sz）。 在進行機率計算時，我們需要知道PDC對兩種自然狀態機率的評估值 P（S，）和P（Sz），也市場調童就是我們前面所提到的先驗機率。另外，我們還自然狀態必須知道在每種自然狀態下市場調查後果（樣本資訊）的條件機率。例如，我們需要知道當自然強需求（s」） 弱需求（$z） 有利報告（F） P（F ls）=0.90 P（FIsz） =0.25 不利報告（U） P（Uls」）=0.10 P（Ulsz） =0.75 狀態為 PDC專案是強需求時有利市場調查報告的條件機率；注意，自然狀態s，下F的條件機率記為P（SIF）。要進行機率計算，我們還需要知道在所有自然狀態下，所有樣本狀態的條件機率，即 P（FIS，）、P（FI82）、P（UIs，）和P（U$2）。在PDC問題中，我們假設下面的這些估計值能夠被用做條件機率。 需要注意的是，上述的機率判斷表明 PDC對市場調查研究比較有信心。如果實際的自然狀態為 S1，那麼市場調查報告為有利的機率為0.90，市場調查報告為不利的機率為0.10。如果實際的自然狀態為了2，那麼市場調查報告為有利的機率為0.25，市場調查報告為不利的機率為0.75。 在自然狀態S，下，仍然有0.25的機率可能出現市場調查報告為有利的情況，這是因為當有些潛在的購買者初次聽到這一新的樓群專案時，會因為衝動而高估自己的興趣。但當後來要簽署購買合同以及要預付定金時，他們最初的反應很快就會變成“不，謝謝”。 在接下來的討論中，我們將介紹一種用於機率計算的簡易方法，即表格法。根據有利市場調查報告（F），表14-7列出了PDC 同題的各種機率值。而得出此表的步驟如下：
第14章決策分析 391 小型（d，） 有利報告 P（F） 中型（d） 大型（d.） 市場調查研究 ② 小型（d） 中型（d，） P（U 大型（d，） 小型（d） 無市場調查研究中型（d，） 大型 （d） 強（S」） 8 P（s,JF） 弱（sz） 7 P（S:F） 強（s，） 14 P（s，|F） 弱（Sz） 5 P（slF） 強（S，） -20 P（s,F） 弱（Sz） -9 P（sF） 強（s，） 8 P（s,lUD 弱（Sz） P（slD 7 強（s，） -14 P（s,lU 弱（sz） S P（sU 強（s，） 20 P（s,IU） 弱（sz） 9 P（sl 強（s，） P（s，） 弱（Sz） P（sg） 強（s」） 14 Pls） 弱（S2 P（s：） 強（s，） 20 弱（sz） 一-9 P（Sg） 圖14-15 PDC 決策樹第一步：在第1列中輸人自然狀態。在第2列中輸入自然狀態的先驗機率。在第3列中輸人在每種自然狀態下有利市場調查報告（F）的條件機率。 第二步：在第4列中計算聯合機率，它是由第2列中的先驗機率乘以第3列中對應的條件機率而得到的。 第三步：將第4列中的聯合機率加總，以得到有利市場調查報告的機率P（F）。 第四步：將第4列中的每個聯合機率都除以P（F）=0.77，以得到修正機率或後驗機率， P（S,F）和P（SzF）。 表14-7顯示獲得有利市場調查報告的機率為P（F）=0.77。另外，P（SIF）=0.94，P（s2F） =0.06。特別需要注意的是，有利的市場調查報告將揭示市場對樓群的需求為強（s」）的修正機率或
392 資料、模型與決策：管理科學篇後驗機率為0.94。 自然狀態 §j §i $2 表14-7 基於有利市場調查報告的 PDC 樓群專案的分支機率先驗機率 P（s，） 0.8 0.2 條件機率聯合機率 P（Fls；） P （Fns；） 0.90 0.72 0.25 0.05 後驗橛率 P （s;1 F） 0.94 0.06 1.0 P（F） =0.77 1.00 要得到每一種可能的樣本資訊狀態，我們就必須重複這種表格式機率計算步驟。因而，表14-8列出了基於不利市場調查報告的 PDC 問題分支機率的各種計算值。注意，獲得不利市場調查報告的機率是P（U）=0.23。如果已經獲得了不利市場調查報告，那麼強市場需求（S.）的後驗機率為0.35， 弱市場需求（3z）的後驗機率為0.65。圖14-9中的 PDC決策樹顯示了表14-7和表14-8中的分支機率。 表14-8 基於不利市場調查報告的 PDC樓群專案的分支機率自然狀態先驗橛率條件機率聯合橛率 P（s；） P（Uis；） P（Uns） Si §2 0.8 0.10 0.08 0.2 0.75 0.15 後驗機率 P（s;lU 0.35 0.65 1.0 P （U） =0.23 1.00 這一節的討論告訴我們，決策樹中不同分支上的機率之間有一種內在的聯絡。僅假設不同的先驗機率P（S」）和P（sz），而不確認這個變化將如何改變P（F）和P（U）以及後驗機率P（S,F）、 P（S K）、P（s U）和P（slU）的做法是不恰當的。專欄144告訴我們後驗機率資訊以及決策分析是如何幫助管理者瞭解新的抽檢程式所帶來的風險以及成本的。 專欄144 實踐中的管理科學杜克大學醫科中心的健康抽檢杜克大學醫科中心設計了一種全新的健康抽檢法，包括從新生兒身上抽取血樣本來檢測是否有新陳代謝障礙。肯定的檢測後果表示有障礙，否定的檢測後果表示無障礙。然而，人們也知道抽檢的預測並不是十分準確的。也就是說，錯誤地肯定檢測後果以及錯誤地否定檢測後果都是有可能發生的。 錯課地肯定檢測後果表示測出了有障礙，但事實上並無任何障礙存在。這就會導致不必要的進一步檢測以及新生兒父母不必要的擔憂。錯誤地否定檢測後果表示沒有測出障礙，但事實上確存在障礙。利用機率和決策分析，研究小組分析了這一抽檢的作用和價值。 研究小組用一個有6個節點、13條分支以及8種後果的決策樹來描述抽檢程式。決策樹的開端是一個決策節點，分出兩條分支，“檢測” 和“不檢測”。研究小組利用機會節點和分支來描述肯定檢測後果、否定檢測後果、有障礙以及無障礙可能的順序。 事實上所研究的這種障礙病例十分軍見，發生的比率為每250000個新生兒中有一例。因此，此障礙的初期機率為1/250 000 =0.000004。基於對錯誤肯定和錯誤否定檢測後果機率的判斷，貝葉斯定理可用來計算一個新生兒檢測後果為肯定且又真正有障礙的後期機率。這一後期機率值為0.074。 因此，儘管肯定的檢測後果將新生兒有障礙的機率從 0.000004增加到 0. 074，但是新生兒有障礙的機率還是相對較低（0.074）。這種機率資訊有助於讓醫生安慰嬰兒的父母，告訴他們即使醫生推薦了進一步的檢測，但無障礙的可能性仍超過90%。規定這8種可能的後果仍需的費用後，決策分析顯示，進行這一檢測的決策為最優的決策策略。估計的費用標準限制每一例檢測大概為6美元。
第14章決策分析 393 決策分析幫助人們比較實際地瞭解篩檢所帶來的風險和費用。從1998年，北卡羅來納州的每一新生兒都開始接受這一檢測。 資料來源：基於：James F. Smith and Robert L. Winkler， "Casey's Problem : Interpreting and Evaluating a New Test， " Interfaces 29,no.3（May/June 1999）：63-76 14.7 效用與決策在本章前面的幾節中，我們用貨幣值的形式表示支付。在可獲得自然狀態機率資訊的情況下，我們推薦選擇有最優期望貨幣值的決策方案。然而，在有些情況下，具有最優期望貨幣值的決策方案並不一定是最令人滿意的決策。 關於最令人滿意的決策，我們的意思是它不僅考慮了貨幣值，而且還考慮了後果帶來的風險等其他因素，而這才是決策者所偏好的決策。在很多情況下，選擇具有最優期望貨幣值的決策方案並不一定是最令人滿意的決策。其中一個例子就是關於購買房屋保險的決策。很明顯，為房屋購買保險並不能提供一個比不買這個保險更高的期望貨幣值。否則，保險公司就不能支付開支後還能盈利了。同理，儘管期望貨幣值是負的，還是有很多人購買政府彩票。 我們是不是可以得出這樣的總結，就是購買保險或參與彩票抽獎的人或公司，他們是因為不能確定哪種決策方案能提供最優的期望貨幣值才這樣做的？恰恰相反，在這些情況下，對決策者來說貨幣值並不是一個衡量後果的真正的價值標準。 我們將看到在某些情況下，期望貨幣值並不能確定最令人滿意的決策，因此用效用來表述某後果的價值有助於根據期望效用來確定最令人滿意的決策。 14.7.1 效用的含義效用是衡量某一特定後果的總價值的一種度量標準；它反映了決策者對一系列因素，如利潤、損失和風險的態度。我們用例項來說明效用如何幫助選擇最優的決策方案，選取的例子是斯沃福德公司面臨的一個難題。斯沃福德是一家位於亞特蘭大市的小型房地產投資商。近期斯沃福德有兩個投資計劃，且這兩個計劃需要大致相同的現金支出。現金上的限制導致斯沃福德一次的投資不能超過一個， 因此斯沃福德可選擇的決策方案有3種。 這3種決策方案被表示為d、d 和d，如下： d—投資A； d—投資B； d—不投資。 與這兩個投資計劃相關的貨幣支付在很大程度上取決於接下來的6個月裡房地產市場的狀況。房產的價格可能會上漲、不變或下降。於是，自然狀態記為S」、82和83，如下所示： §，——房產價格上漲； s2—房產價格不變； 決策方寨 S，——房產價格不降。 透過儘可能地使用已獲得的資訊，斯沃福德對與每一決策方案和自然狀態聯合相關的利潤或支付進行了估計。所得到的支付矩投資A（d） 投資B（d） 不投資（d） 表14-9 斯沃福德公司支付矩陣（單位：美元） 自然狀態價格上漲（3i）價格不變（32）價格下降（$g） 30000 20 000 -50 000 50 000 -20000 ~30 000 0 0 陣如表14-9所示。 最恰當的估計是：價格將上漲的機率為0.3，價格將不變的機率為0.5，而價格將下降的機率為 0.2。於是，這3種決策方案的期望值為：
394 資料、模型與決策：管理科學篇 EV（d，） =0.3x$30 000 +0.5x$20 000 +0.2x（-$50 000） =$9 000 EV（d） =0.3×$50000 +0.5 x（-$20 000）+0.2 x（-＄30 000） = -$1000 EV（ds） =0.3×$0 +0.5×$0+0.2×$0 =＄0 利用期望值法，得出最優決策是選擇投資A，它的期望貨幣值為9000美元。這是真正的最優決策方案嗎？讓我們考慮一些其他的有關因素，這些因素涉及到如果實施投資A 且房產價格下降的情況下，斯沃福德消化 50 000美元損失的能力。 我們發現斯沃福德的財務狀況並不理想，而它當時一次最多隻能進行一次投資的能力也部分反映了這一事實。然而，更重要的是，公司的總裁感覺到，如果下一次投資真的帶來損失的話，那麼斯沃福德的前景將一片黑暗。在這種情況下，儘管期望值法推薦的方案是d，但你認為這會是公司總裁所偏好的決策方案嗎？我們猜想d或d會被選中，以避免招致50000美元損失的可能性。事實上，有理由相信如果一個即使30000美元大小的損失都會將斯沃福德驅逐出商場的話，那麼公司總裁會選擇 d，因為他感覺到投資A和投資B對斯沃福德現有的財務狀況來說都太冒險了。 我們解決斯沃福德難題的方法是首先確定不同貨幣值後果的效用。回顧一下，任何後果的效用都是考慮了包含風險和支付之後的總值。如果對不同後果的效用估計準確的話，那麼最高期望效用的決策方案是最偏好的或最好的方案。 14.7 .2 確定支付的效用根據確定支付的效用的步驟，我們首先要確定在這一決策問題中最優的以及最差的可能支付的效用。效用的任何值都必須滿足被賦值到最優支付上的值要大於被賦值到最差支付上的值。在斯沃福德例子中，表14-9顯示50000美元是最優支付，而-50 000 美元是最差支付。然後，假設我們主觀地規定這兩個支付的效用如下： -$50000 的效用=U（-$50 000）=0 $50 000 的效用=U（$50000） =10 現在我們再看看如何得到與其他每一支付相關的效用。 考忠確定30000美元支付的效用的過程。首先，我們要求斯沃福德的總裁在一個有保證的30000 美元的支付和有購買如下所述的彩票的機會之間做出選擇： 彩票：斯沃福德獲得50000美元的支付的機率p；獲得-50000美元的支付的機率為（1-p） 如果p值十分接近1，那麼斯沃福德的總裁在彩票和肯定能獲得的30000美元的支付之間會更偏好前者，這是因為公司實質上有獲得50 000美元的保證。無論如何，當p值連續地從0變向1時，對保證獲得30000美元支付的偏好會在某一點上變成對彩票的偏好。在這一變化點上，總裁不介意是保證獲得的30000美元的支付還是彩票。例如，我們假設當p=0.95時，總裁對保證獲得的30000美元的支付和彩票之間的選擇不介意。給定這個p值，我們能計算出30000美元支付的效用，如下： U（$30 000） =PU（$50 000）+（1-p）UC-$50000） =0.95×10+0.05×0=9.5 很明顯，如果我們開始的時候就給50000美元和-50000美元支付以一個不同的效用，那我們最後就會得到一個不同的30000美元的效用。因此，我們完全可以得出這樣一個結論：給每一支付所定的效用並不是惟一的，但它卻和最初給最優以及最差的支付所選擇的效用有關。我們將在本節的最後討論這一問題。但現在，我們仍然將10作為50000美元的效用，將0作為-50000美元的效用。 在計算其他支付的效用之前，讓我們先確定30000美元支付的效用為9.5的重要性。很清楚，當 P=0.95時，彩票的期望值為： EV（彩票）=0.95 x$50 000+0.05x（-$50 000） =$47 500-＄2 500 =$45 000 我們發現儘管當P=0.95 時彩票的期望值是45 000 美元，但斯沃福德的總裁還是會選穩妥的30000 美元的支付，即採取一種保守的或是規避風險的態度。也就是說，總裁寧願確保拿30000美元，而第14童決策分析 395 不願冒超過5%的風險損失50000美元。彩票45000美元的EV 和有保證的30000美元的支付之間有一定差值，我們可以把這一差值看成總裁為了避免5%的可能性損失50000 美元而願意支付的風險保險金。 為了計算與-20000美元支付相關的效用，我們必須要求斯沃福德的總裁在一個有保證的 -20000美元的支付和有購買如下所述的彩票的機會之間做出選擇： 彩票：斯沃福德獲得 50 000美元的支付的機率為p；獲得 -50 000 美元的支付的機率為（1-p） 注意這個彩票確實跟我們在確認 30000美元支付的效用時用的彩票一樣。事實上，這個彩票能在斯沃福德支付矩陣中被用於確認任何貨幣值的效用。然後，我們必須要求總裁確定一個p值，使他對保證獲得的-20000美元的支付和彩票之間的選擇不介意。例如，剛開始時，我們可以讓總裁在肯定損失 20000美元和彩票之間做選擇〔這裡的彩票為：獲得50000美元的支付的機率為P=0.90，而獲得 -50 000美元的支付的機率為（1-p）=0.10］。你認為我們會得到怎樣的回答呢？的確，在有這麼高的機率得到$0000美元的支付的情況下，總裁會選彩票。接下來，我們可以問當P=0.85時，他是否會對肯定損失20000美元和彩票之間的選擇不介意。可能總裁會再一次告訴我們他仍偏好於彩票。 假改我們一直這樣同總裁，直到p=0.55，我們發現在這個p值下，總裁對在肯定損失20000美元和彩票之間的選擇不介意。也就是說，對於任何小於0.55的P值，總裁會選擇肯定的20 000美元的報失，而不會選揮有損失50000美元的風險的彩票了；而對於任何大於0.5S 的P值，總裁會選彩票。 因此-20 000 美元支付的效用為： （-$20000） = pU（$50 000） +（1-p） U（-$50 000） =0.55 x10+0.45 ×0=5.5 我們再比較一下這種賦值的方法相對於期望值法的重要性。當p=0.55 時，彩票的期望值為： EV（彩票）=0.55×$50 000+0.45x（-$50 000） =＄27 500 -$22 500 =$5 000 這時，總裁既有可能選擇彩票，也有可能選擇肯定的20000美元的損失，儘管彩票的期望值是 5 000美元。我們再一次發現斯沃福德的總裁採取的是一種保守的或是規避風險的態度。 在前面所述的兩個例子中，我們計算了某一特定貨幣支付M的效用。首先，我們必須確定的是， 當決策者並不計較所選擇的是確保大小為 M的支付還是彩票〔此彩票贏得50000 美元支付的機率為 P，損失50 000美元的機率為（1-P），此時p的值為p的中立值］。然後，確定M 的效用： U （M）=PU（$50 000） +（1-p）U（-$50 000） =p×10+（1-p）×0=10p 按照這一步驟，我們得到斯沃福德問題中其他支付的效用，如表14-10所示。 表14-10 斯沃福德公司問題的貨幣支付的效用貨幣（美元） 50 000 30 000 20 000 0 無區別的p值效用貨幣（美元） 無區別的p僮不適用 10.0 -20 000 0.5S 0.95 9.5 -30 000 0.40 效用 5.5 4.0 0.90 9.0 - 50 000 不適用 0.75 7.5 請注意，由於我們已經得到了各種可能貨幣值的效用，所以我們可將原來的支付矩陣用效用的形式來表示。表14-11顯示了斯沃福德問題中各種支付的效用。我們用 ® 表示效用表中的各項。V；表示的是與決策方案d，以及自然狀態s，相關的效用。這樣， 我們可以得到U =4.0。 決策方案投資A（d」） 投資B（d） 不投安（ds） 表14-11 斯沃福德公司的效用表自然狀態價格上漲（s」）價格不蠻（Bz）價格下降（8g） 9.5 9.0 0.0 10.0 5.5 4.0 7.5 7.5 7.5
396 資料、模型與決策：管理科學篇 14.7.3 期望效用法我們現在可運用第14.3節中所介紹的期望值法來計算表14-11 中的支付了，這能為斯沃福德公司選擇一個最優的決策方案。然而，由於效用代表的是期望值的特殊形式，我們將期望值運用到效用中，稱之為期望效用（EU）。這樣，我們就能避免混淆原來支付矩陣的期望值和由效用組成的支付矩陣的期望值了。因此，期望效用法要求分析者計算每個決策方案的期望效用，然後選擇產生最優期望效用的方案。如果有 N 個可能的自然狀態，決策方案d，的期望效用如下： BU（d.）=EP（s）U， （14-15） 斯沃福德問題的每一個決策方案的期望效用計算如下： EU（d，）=0.3.×9.5+0.5×9.0+0.2×0=7.35 EU（d） =10.3×10+0.5×9.0+0.2×4.0=6.55 EU （ds） =0.3×7.5+0.5×7.5+0.2×7.5=7.50 我們看到，根據期望效用法得到的最優決策是 cs，即不投資。下表列出了根據總裁給定的效用和相關貨幣值的決策方案佇列： 注意，儘管投資A有一個高達9000美元的最高期望貨幣值，但是分析顯示，斯沃福德會拒絕投資。 決策方案佇列不投資投資 A 投資 B 期鹽效用期望貨幣儘（美元） 7.50 0 7.35 9 000 6.55 -1 000 不選擇投資A 的基本理由是它有0.2的機率損失 50 000美元，這對斯沃福德的總裁來說是一個大冒險。投資A的期望貨幣值沒能充分地反映這個冒險的嚴重性以及它對公司的影響。因而我們有必要判斷每一支付的效用，以便充分地考慮風險因素。 然而，不幸的是，確定恰當的效用並不是一件易事。正如我們所看到的，效用的判斷需要決策者方面做出一定程度的主觀判斷，與此同時，不同的決策者會得出不同的效用函式。效用的這個因素經常使決策者對使用期望效用法感到不舒服。然而，不管怎麼樣，當我們認識到在所遇到的決策問題中，貨幣值並不是衡量優劣的惟一尺度時，我們就應該考慮使用效用分析。 註釋與評論 1.在斯沃福德問題中，我們規定最大的可能支付的效用為10，最小的為0。如果我們選擇將1作 *最大支付的效用，0作為最小支付的效用，那麼任一貨幣值的效用就為p的值，這個P值是當決策者不在意是選擇有保證的大小為M的支付還是選擇彩票〔得到最優支付的機率為P，得到最差支付的機率為（1-P）］時的值。這樣，任一貨幣值的效用就會等於獲得最高支付的機率了。通常我們這樣做是為了計算的方便。如果不這樣做的話，我們就需要強調效用和相對應的無差別彩票的機率值之間的區別了。 2. 一般情況下，如果某一特定決策問題的支付分配的範圍比較合理，即最優的並不是特別好，而最差的也不是太糟，這種情況下，決策者更偏好於根據期望貨幣值來做決策。這樣，我們建議決策者考慮此問題的最優和最差的支付，並判斷它們的合理性。如果決策者認為它們在合理的範圈內，那麼就可以根據期望貨幣值準則來做出決策。但是，如果期望值大的不合理或小的不合理，或如果決策者覺得貨幣值並沒有正確地體現支付的真正差異，那麼決策者就應該用效用分析來考慮此問題。 本章小結當決策者面臨不確定性的或是充滿風險的未來事件時，決策分析可用來推薦一個決策方案或得出一個最優的決策策略。決策分析的目的就是在給出了關於不確定性事件、可能的後果或是支付的資訊的情況下，確定出最優的決策方案或最優的決策策略。不確定性的未來事件稱為隨機事件，而隨機事件的後果稱為自然狀態。
第14章決策分析 397 我們說明了如何用影響圖、支付矩陣和決策樹來構造一個決策問題，並描述決策、隨機事件和後果之間的關係。我們講述了3種分析無機率問題的方法：樂觀法、悲觀法以及最大最小後悔值法。當我們可獲得有關自然狀態的機率時，我們又可用期望值法來確定推薦的決策方案或是決策策略。 儘管期望值法可用來得出一個推薦的決策方案或最優決策策略，但是實際將產生的支付通常會不同於其期望值。風險組合可以表示出可能支付的機率分配，並幫助決策者判斷不同的決策方案所伴隨的風險。最後，靈敏度分析可用來確定自然狀態機率所產生的變化以及支付所產生的變化對推薦決策方案的影晌。 在最後一節中，我們建議，在貨幣值並不是衡量後果優劣的惟一標準的情況下，決策者因該使用期望效用。不同於貨幣值，效用衡量的是選擇某個決策方案以及發生某一自然狀態所帶來的總價值。因此，效用考慮到了決策者對於與某一後果相關的利潤、損失和風險的態度。在給定的例子中，我們已經知道了效用分析所推薦的決策方案不同於利用期望值法所選擇的決策方案。 決策分析已經被廣泛地應用於實際當中。專欄14-5向我們講述了Oglethorpe 電力公司是如何使用決策分析來決定是否要在喬治亞州和佛羅里達州之間投資建設一個電力傳輸系統。 專欄14-5 實踐中的管理科學 Oglethorpe 電力公司投資建設一個電力傳輸系統 Oglethorpe 電力公司（OPC）向喬治亞州的一些集團使用者批次出售電力。佛羅里達州電力公司提議OPC 參與建設一條從喬治亞州到佛羅里達州的大型輸電線路。對 OPC來說，決定是否要參與這條傳輸線路的建設是一個重大的決策，這是因為 OPC 必須承諾提供其主要的資源。為此，OPC與應用決策分析公司合作開展關於此問題的綜合的、全面的決策分析。 在構遺問題階段，他們確認了3種決策問題：（1）決定是否要建設從喬治亞州到佛羅里達州的傳輸線路；（2）決定是否要升級現有的傳輸裝置；（3）決定由誰控制新裝置。Oglethorpe 面臨5 種隨機事件：（1）建設成本；（2）競爭；（3）佛羅里達州的需求量；（4）OPC 的運營份額；（5）定價。用節省了多少美元的形式來衡量後果或支付。這一問題的影響圖有3個決策節點、5個機會節點、1個後果節點以及幾個描述中間計算的中間節點。這一問題的決策樹有8000多條從起始節點到終端的分支。 用期望值法分析決策樹，OPC 得到了一個最優決策策略。然而，根據這一決策策略的風險組合， 所推薦的策略風險很大，而且有可能增加 OPC 的成本而不是減少成本。風險分析得出這樣一個結論： OPC需要更多的關於竟爭的資訊，以降低 OPC 的風險。考慮各種機率值以及支付的敏感度分析後，得出的結論是：如果輸入值在某個合理的範圍內變化時，最優決策策略的價值是穩定的。決策分析最終的推得方策是：OPC應該就建設新傳輸線路一事與佛羅里達州電力公司開始進行磋商。 資料來源：基於：Adam Borison， "Oglethorpe Power Corporation Decides abou Investing in a Major Tranemission System，" Interfaces（March/Aprl 1995）：25-36. 專業術語 chance event 隨機事件影響決策後果或支付的未來不確定性事件。 consequence 後果選擇某一決策方案和某一隨機事件所產生的結果。衡量後果的標準通常被稱為支付。 states of nature 自然狀態影響決策支付的隨機事件可能帶來的後果。 influence diagram 影響圖一種描述同題的決策、隨機事件以及後果之間關係的圖式工具。 node 節點影響圖或決策樹的交點或連線點。 decision nodes 決策節點表示做出一項決策的位置節點。 chance nodes 機會節點表示某一不確定性事件發生的位置節點。 payoft 支付一種決策的後果，如利潤、成本或時間指標。任一決策方案和自然狀態的組合都產生一個相關的支付（後果）。 payoff table 支付矩陣一種表示某一決策問題的支付的表格。 decision tree 決策樹表示某一決策問題決策過程的順序特徵的圖形。 branch 分支指明對應決策節點的方案以及對應機會節點的後果的線路。 optimistic approach 樂觀法一種在選擇決策方案時不考慮機率的方法。對於最大化問題，此方法將引導決
398 資料、模型與決策：管理科學篇策者選擇與最大支付中最大值相對應的決策方案；對於最小化問題，此方法將推薦與最小支付中最小值相對應的決策方案。 conservative approach 悲現法一種在選擇決策方案時不考慮機率的方法。對於最大化問題，此方法將引導決策者選擇與最小支付中最大值相對應的決策方案；對於最小化問題，此方法將推薦與最大支付中最小值相對應的決策方案。 minimax regret approach 最大最小後悔值法一種選擇決策方案時不考慮機率的方法。根據此方法，先計算每一決策方案的最大後悔值，然後選擇與最大後悔值中最小值相對應的決策方案。 opportunity loss, or regret 機會損失或後悔值對於每一種自然狀態，沒有做出最優的決策所產生的損失 （誠少的利潤或增加的成本）。 expected value approach 期望值法一種根據每一決策方案的期望值而選擇決策方案的方法。所推薦的決策方案是能帶來最優期望值的方案。 expected value,EV 期望值對於每一機會節點，期望值是支付的加權平均，權數是自然狀態的機率。 expected value of perfect information, EVPI 完美資訊的期望值使決策者知道哪種自然狀態將要發生的資訊 （即完美資訊）的期望值。 risk analysis 風險分析對與決策方案或決策策略相關的可能支付和機率的研究。 sensitivity analysis 靈敏度分析關於自然狀態的機率估計所產生的變化或支付所產生的變化將如何影響決策方案的研究。 risk proflie 風險組合與決策方案或決策策略相關的可能支付的機率分佈。 prior probabllities 先驗機率在獲得樣本資訊之前自然狀態的機率。 sample information 樣本資訊透過調查或實驗所獲得的新資訊。這些調查或實驗有助於更新或修正自然狀態的機率。 posterior （revised）probabilities 後驗（修正）機率基於樣本資訊修正先驗機率後的自然狀態的機率。 decision strategy 決策策略為決策同題提供最優方案的一系列決策及機會後果。 expected value of sample information, EVSI 樣本資訊的期望值（EVSI） 由樣本資訊得到的最優策略的期望值與無樣本資訊的“最優”期望值之間的差額。 efticiency 效率EVSI 對EVPI 的百分比值；完美資訊的效率值為100%。 Bayes'theorem 員葉期定理一個利用樣本資訊修正先驗機率的定理。 condltional probabilties 條件機率在給定某一（可能）相關事件的已知後果的情況下，一事件發生的機率。 joint probabilties 聯合概事樣本資訊以及某一特定自然狀態同時發生的機率。 utility 效用一種衡量某一後果的總價值的標準，此後果反映了決策者對於一些因素，如利潤、損失以及無形因素（風險）的態度。 lottery 影票一種假設的投資方案，獲得最優可能支付的機率為p，而獲得最差可能支付的機率為（1-P）。 expected utility approach 期望效用法一種先考慮每一決策方案的期望效用，然後選擇能產生最大期望效用的決策方案的方法。 問題 2. 假設一位決策者所面臨的一個問題有4種決策方案以及4種自然狀態，如下面的支付矩陣所示： 自然狀態決簟方寨 d 吃 ds d §i 14 11 9 8 $2 9 10 10 10 $3 10 $4 S 10 11 11 13 a.如果決策者完全不知道這4種自然狀態的機率，利用樂觀法，悲觀法和最大最小後悔值法將分別得到什麼樣的推薦方法？ b. 你更傾向於哪種方法？請解釋。對於決策者來說，在分析問題之前就確定最合適的方法很重要嗎？請解釋。
第14章決策分析 399 c.假議這一支付矩陣所列出的是成本而不是利潤支付，那麼利用樂觀法、悲觀法以及最大最小後悔值法將分別得到哪種推薦方案？ 4. 愛米•雷德正計劃租借一輛新的紳寶汽車，並與3家汽車經銷商聯絡取得了一些價格資訊。每家經銷商都恩意為愛米提供連續36個月的租賃服務，且在簽約時不用付現金。每種租賃服務都包括月租費以及一定的里程數，超過這一里程數的額外值以英里為單位，再加收附加費。下表顯示了月租費、上限里程數以及每超額英里的價格： 經銷商月粗費（美元） 里程數（英里） 每超類英里數收費（美元） Forno Saab 299 36 000 0.15 Midtown Motors 310 45 000 0.20 Hopkins Automotive 325 54 000 0.15 愛米決定選擇能暈大幅度地降低她36個月總支出的租賃服務。問題是愛米不是很有把握將來3年她的總行程會有多長。為了能做出這一決定，她覺得一種明智的做法是先假設她每年行程為12 000英里、15 000英裡或18000英里。做出這一假設後，愛米就可估計出這3種租賃服務所帶來的總支出。例如，她計算出， 對於 Forno Seab租賃服務，如果每年行駛12000 英里，她將支付10764 美元；如果每年行駛1.5 000英里， 需支付12114 美元：如果每年行駛18000英里，需支付13464美元。 e. 決策是什麼？而隨機事件是什麼？ b.構造愛*問題的支付矩陣。 c.如果愛米並不知道這3種裡數假改哪個最恰當，使用樂觀法、悲觀法以及最大最小後悔值法將分別得出什麼樣的決策推薦方案（租賃選擇）？ d.假改愛米每年行駛12000、15 000和18000英里的機率分別為0.5、0.4、0.1，那麼依據期望值法，愛米將選擇哪種方案？ e.改計（d）問中所選揮的決策的風險組合。雖有可能的支出是多少？其機率為多少？ f.假設進一步考慮之後，愛米認為她每年行駛12000、15 000以及18000英里的機率應分別為0.3、0.4和 0.3。那麼依據期望值法，愛米將做出什麼樣的決策？ 6. 右表又列出了問題2中出現的利潤支付矩陣。假設自然狀態決策者獲得了進一步的資訊，用來幫助做出以下的決策方案機率判斷：P（si）=0.5，P（s2）=0.2,P（sg） d =0.2，P（s.）=0.1。 日.運用期望值法確定最優決策。 b.假設這一支付矩陣中的各項表示的是成本，運用 d d 14 11 9 8 §z 9 10 10 10 § 10 8 10 11 7 11 13 期望值法確定最優決策。 8. 某一決策問題有兩種自然狀態和兩種決策方案。右表列出了此問題的利潤。 a.當自然狀態為了，時，每一種決策方案的期望值都為最大。運自然狀戀用圖式靈敏度分析來確定自然狀態s，的機率的範圍。 決簟方寨 b.假設P（s.）=0.2，P（sz）=0.8，那麼運用期望值法，哪一種方案為最優方案？ d 10 4 'z 1 3 c.對決策方案d，的支付進行靈敏度分析。假設機率為（b） 問中所給出的值，確定在自然狀態S，和$下，（b）問中所確定的解決方案的最優支付的變化範圍。對於自然狀態S，和S2下的支付，這一解決方案對哪個更敏感？ 10. Video Tech公司正準備為即將到來的假期營銷兩種影片遊戲中的一個：Battle Pacific 和 Space Pirates。Battle Pacific 是一種獨特的遊戲，並且它沒有市場競爭。在高、中、低需求下 Batle Pacitic 的估計利潤如右表（單位：1000美元）。 Video Tech 公司對 Battle Pacific遊戲持樂觀態度。然而， 值得關注的是，一個競爭對手引人了一種類似於Space 利潤機率高 1000 0.2 需求中 700 0.5 低 300 0.3
400 資料、模型與決策：管理科學篇 Pirates 的遊戲，而這會影響到收益。有競爭對手和無競爭對手的估計利潤如下（單位：1000美元）： 有竟爭時的需求無競爭時的糯求 Space Pirates 高中低 Space Pirates 高中低利潤 800 400 200 利潤 1 600 800 400 機率 0.3 0.4 0.3 機率 0.5 0.3 0.2 a.設計此問題的決策樹。 b. 為了做計劃，Video Tech 公司相信有一個0.6 的機率竟爭者會生產類似 Space Pirates 的遊戲。給定這個竟爭的機率，計劃部主任推薦營銷 Batle Pacific 遊戲。運用期望值法，你的推薦決策是什麼？ c.列示你的推薦決策的風險組合。 d.利用靈敏度分析確定，當Space Pirates 的競爭機率為多少時，你會改變你的推薦方案。 12. 離大型市場很遠以及有限的舵空服務都陽礙了波茨坦市吸引新興工業。空中快遞，一家大型快遞服務公司，正考慮在波茨坦市建一個地區配送中心。但是除非當地機場的跑道擴充套件了，空中快遞才會建這個中心。另一家考患在波茨坦市發展新業務的是 Diagnostic Research 公司（DRI），它是一家醫藥檢測器材生產行業的領先者。DRI 正在考慮建設一家制造工廠，且 DRI 對跑道並沒有什麼要求。但是計劃委員會認為擴展跑道將利於說服 DRI 將工廠建在波茨坦市。假設波茨坦市擴充套件了機場的跑道，且下表中的機率被計劃委員會認為是合適的： 有 DRI工廠有空中快遞配送中心 0.30 無空中快遞配送中心 0.40 無 DRI 工廠 0.10 0.20 例如，空中快遞將成立一個配送中心且 DRI 將建一家新工廠的機率為0.30。 在扣除擴充套件跑道的費用後，城市年收人估計如下： 有DRI 工廠（美元） 無DRI 工廠（美元） 有空中快遞配送中心 600 000 150 000 無空中快遞配送中心 250 000 -200 000 假設沒有進行跑道擴充套件工程，計劃委員會估計DRI 在波茨坦市建廠的機率為0.6；如果 DRI 在這裡建廠， 那麼城市年收人的估計值為450000美元。如果沒有進行跑道擴充套件工程，同時 DRI也沒在波茨坦市建廠， 那麼年收入為0美元。因為不擴充套件跑道，就不會有任何成本，而不建廠也就沒有任何收人。 a．要做出的決策是什麼？隨機事件是什麼？後果是什麼？ b.計算與擴充套件跑道這一決策方案相關的年收人的期望值。 c.計算與不擴充套件跑道這一決策方案相關的年收人的期望值。 d.該市應該選擇擴充套件跑道嗎？說明原因。 e.若擴充套件跑道，假設相關的機率如下所示： 有空中快遞配送中心無空中快遞配送中心有DRI I廠 0.40 0.30 如果有的話，機率的這一變化將對推薦決策產生什麼影響？ 14. 以下的利潤支付矩陣曾在問題1和5 中出現過： 無 DRI 工廠 0.10 0.20 自然枤態決簫方案 §z d d 250 100 100 100 這3種自然狀態的機率分別是：P（s.）=0.65，P（3）=0.15，P（5g）=0.20。 8．如果決策者可獲得完美資訊，那麼最優決策將是什麼？ 's 25 75
第14章決策分析 401 b.（a）問中所設計的決策策略的期望值是多少？ c•運用期望值法，在沒有完美資訊的情況下，推薦的決策方案會是哪種？其期望值是多少？ d. 完美資訊的期望值是多少？ 16.現在我們將圖14-9中所示的PDC決策樹做一些變動。公司首先得自然狀態決定是否要開展市場調查研究。如果進行市場調查砑究的話，後果要麼是有利的（F），要麼就是不利的（U）。假設有兩種決策方案 d，相名，兩種自然狀態了，和§，支付矩陣如下表所示： a. 設計決策樹。 決策方案 d d § 100 400 §2 300 200 b，根據以下所示的機率，你認為最優決策策略會是什麼？ P（F） =0.56 P（s, IF） =0.57 P（SU）=0.18 P（s：） =0.40 P（U）=0.44 P（szIF） =0.43 P（S1U） =0.82 P（s） =0.60 18. Dante發展公司正考慮參與一棟新的辦公大樓建設合約的競標。圖14-16 顯示的是由一位 Dante 的分析員準備的決策樹。在節點1上，公司必須決定是否競標合約。準備競標的費用是200000美元。節點2的上分支顯示如果公司參與競標，那麼它有一個0.8的機率贏得合約。如果公司贏得了競標，它將為成為工程參與者而付2000000美元。節點3顯示在開始建設之前，公司應該考慮做一個市場調查研究來預測辦公室的需求。這個研究的費用為150000美元。節點4是一個機會節點，顯示市場調查研究的可能後果。節點 5、6和7有些類似，它們是決策節點，關於 Dante 應該建辦公大樓還是應該將開發權賣給另一個開發商。 建辦公大樓的決策在需求高時會帶來5 000000 美元的收益，在需求中等時帶來3000000 美元的收益。如果 Dante 選擇將開發權賣給另一位開發商，那麼收人估計有3500000美元。節點4、8和9顯示的機率是基於市場調查研究後果的需求機率。 贏得合約 0.8 乾杯② 未贏得合約 0.2 不竟標建樓預測為高需求 0.6 出售市場調建樓預測為中等需求 0.4 出售建樓不做市場調查出售團 14-16 Dante 發展公司的決策樹高需求 0.85 中等需求 0.15 高需求 0.225 中等需求 0.775 高需求 0.6 中等需求 0.4 -2 650 650** 1150 -2650 650 1150 2800 800 - 1300 -200 0 日，透過計算前兩個後果的支付2650000 美元和650000 美元，核實在決策樹末支顯示的 Dante 的利潤。 b. Dante 的最優決策策略是什麼？此工程的期望利潤是多少？ c.Dante 能接受的市場調查研究的成本的範圍是什麼？ d.建立 Dante 的風險組合。 20. Embassy 出版公司收到了一份6章篇幅的新大學教材的手稿。編輯對手稿很熱悉，並估計教材會有0.65 的機率成功。如果成功，將會實現750000 美元的利潤。如果公司決定出版教材但教材沒有威功，將會損失 250000美元。
402 資料、模型與決策：管理科學篇在做出接受或拒絕手稿的決策之前，編輯考思將手稿發出去做一個調查。調查將提供對手稿或有利（F）或不利（U）的評價。以前的調經驗顯示，P（F）=0.7,P（U）=0.3。設s，表示教材成功，3，表示教材不成功。編輯對S，和了，的先驗機率會因報告有利或不利而修正。修正後的機率如下： P（s,IF） =0.75 P（SIU）=0.417 PO3,IF） =0.25 P（s2IU） =0.583 8.假設公司首先做是否將手稿發出去做調查的決策，然後做接受或拒絕手稿的決策。設計決策樹。 b.分析決策樹，確定出版公司的最優決策策略。 c•如果手稿的調查成本為5000美元，你的推薦方案是什麼？ d.完美資訊的期望值是多少？這個 EVPI 對公司意味著什麼？ 22. 假設現在你要做出一個決策，此決策問題有3種可能的自然狀態：S、32、5。先驗機率分別為 P（S，） =0.2,P（$）=0.5,P（sg）=0.3。 獲得樣本資訊1後，得 P（Ils，）= 0.1,P（llsz）= 0.05， PCllsg）=0.2。求修正機率或後驗機率P（SII）、P（sI）和P（S,1D）。 24. 為了節省開支，羅娜和傑裡同意使用同一輛車上班和下班。羅娜比較喜歡走有點長但路況相對穩定的皇后大道。雖然傑裡傾向於走更快的高速公路，但他也答應羅娜，當高速公路堵車的時候， 應該走皇后大道。以下的支付矩陣顯示了單程上決策方寨皇后大道（d） 高速公路（d） 自然狀態高速公路暢通（31）高速公路牆富（$2） 30 25 30 45 班或下班的時間估計（單位：分鐘）： 參考以往關於交通方面的經驗，羅娜和傑裡認為高速公路堵車的機率為0.15。另外，他們還認為天氣條件似乎會影響高速公路上的交通狀況，令：G表示晴天；0表示陰天；R表示雨天。 運用以下所示的條件機率： P（CIs，）=0.8 P（Os，） =0.2 P（Rls，）=0.0 P（Cls） =0.1 P（Ois） =0.3 P（R IS） =0.6 a.根據貝葉斯定理的機率修正步驟計算每種天氣條件的機率，以及在每種天氣條件下，高速公路暢通s， 或堵塞32的條件機率。 b.設計這一問題的決策樹。 c.最優決策策略是什麼？期望的上/下班時間為多少？ 26. 下表是3位決策者對一決策問題的效用做出的估計（支付單位為美元）。 決繁方寨 d d 其無區別機率值如下所示： $1 20 80 自然狀態 $2 50 100 §3 -20 -100 支付風臉規避銜 100 1.00 80 0.9s 50 0.90 無區別機率（p） 風險喜好奢 1.00 0.70 0.60 無區別機率（p） 風險中立者 1.80 0.90 0.75 支付 20 -20 -100 風險規避耇 0.70 0.50 0.00 風險喜好峟 0.45 0.25 0.00 風險中立者 0.60 0.40 0.00 對於20的支付，風險規避者將支出多少保險金來避免風險？而風險喜好者將支付多少保險金來廉得獲取高額支付的機會？ 28. 有一家公司有3種投資方案，支付矩陣（單位：1000美元）以及相關的機率值如下所示： 經濟狀態投資轉好 100 5L 穗定惡化投資 25 50 25 機率轉好 S0 0.40 經濟狀戀穩定 50 0.30 惡化 50 0.30
第14章決策分析 403 a.運用期望值法，你傾向於哪種決策方案？ b.有一彩票，獲得100 000美元的支付的機率為P，而獲得0美元的機率為（1-P）。兩位決策者陳述了他們各自的無區別機率，如下表所示。 無區別機率（p） 利潤（美元） 75 000 50 000 25 000 決策者 A 0.80 0.60 0.30 決策者 B 0.60 0.30 0.15 運用期望價法，得出每位決策者最為推薦的決策方案。 c.為什麼決策者A 和B沒有選擇相同的決策方案？ 30.Alexander 製造公司正在考慮是否要為其在聖路易斯市的新辦公大樓購買保險，這種保險的年保費為10000 美元。如果 Alexander製造公司不夠買保險，當辦公大樓發生小型火災時，公司將可能損失100000美元； 如果辦公大樓發生大火災或全部損壞，公司的損失為200000美元。下表列出了支付（單位：美元），並給出了自然狀態的機率。 決策方案無（si） 購買保險（d） 10 000 不夠買保險（dz） 0 機率 0.96 火災規樉小（$2） 10 000 100 000 0. 03 大（3g） 10 000 200 000 0.01 #．運用期望值法，你將推薦哪種決策方案？ b. 你將使用什麼樣的彩票來判斷效用？（請注意這裡的資料是指支出，而最優支付為0美元）。 假設（b）問中所定義的彩票的無區別機率如右表所示。 支出（美元） 10 000 100 000 無區別機率（p） 0.99 0.60 你將推薦哪種決策方案？ d.對於這一問題，你更傾向於使用期望值還是期望效用？為什麼？ 32.往返於兩城市之間可使用的路線有兩條。走路線A通常要用60分鐘，而走路線B 通常要用45分鐘。如果在路線A上遇到交通問題，需要的時間增加到70 分鐘；而路線B上的交通問題將使需要的時間增加到90 分鐘。延時的機率分別為：路線 A，0.2；路線B,0.3。 a.運用期望值法，你將推薦走哪條路線？ b.如果要將效用賦值給需要的時間，你將使用什麼合適的彩票？請注意短時間對應的是高效用。 c.使用（b）同中所定義的彩票，假設決策者對無區別機率的表述如下：耗時60 分鐘，P=0.8；耗時 70 分鐘，P=0.6。決策者應該選擇哪條路線？ 34.一種拉斯維加斯賭輪上標有38個不同的數值。如果一個人所押的其中一個數字贏了，支付為35:1。 a.將押賭和不賭作為決策方案，做出押10美元在某一數字上的支付矩陣。 b. 運用期望值法，將得到什麼樣的決策推薦方案？ c.為了用期望效用說明押10美元賭注的決策是正確的，決策者將給0美元的支付規定什麼樣的效用變化範圍？ 案例問題！財產購置策略 Glenn Foreman是Oceanview 發展公司的總裁，他正考慮投標購買一塊土地，這塊土地將會在鎮稅務抵押拍賣會上以封標的形式出售。Glenn 最初的判斷是投500萬美元的標。根據以往的經驗，Glenn 判斷500萬美元的標為最高標的機率為0.2，而如果競標成功，Oceanview 發展公司將獲得這塊土地的所有權。當時的日期是7月 1日，而這塊土地的封標必須在8月15日之前投出，且在9月1日宣佈獲勝的標。 如果 Oceanview 發展公司投出最高的標，進而獲得這塊土地的所有權，公司計劃建設並出售一期高檔公寓樓。然而，使此問題變得複雜的一個因素是這塊土地新近被劃為僅供單身家庭居住使用。Glenn 相信在11月選
404 資料、模型與決策：管理科學篇舉的時候，居民會對此複決投票，而複決投票的後果將改變土地原來的規劃計劃，並允許在這塊土地上蓋公寓樓。 封標程式要求投標者隨標附上總值為投標額10%的有效支票。如果沒有中標，這筆資金就會被退回；如果中標了，這筆資金就作為購買這塊土地的現金支付款。然而，如果中標了，但中標者沒有在6個月內完成購買手續且滿足其他的財務上的要求，那麼這筆資金就被沒收充公。如果是這種情況，政府就會把這塊土地的所有權轉給下一個最高投標者。 為了確定 Oceanview 發展公司是否應該投這500萬美元的標， 支出和收入估計 Glenn 做了一些預期的分析。依據這些準備工作，Glenn 判斷複決公寓銷售帶來的收益 15 000 000 投票改變已有規劃計劃的機率為0.3。估計公寓樓建好後隨之帶來支出的支出和收益如下所示（單位：美元）： 購買所有權如果 Oceanview 發展公司獲得了土地所有權，但在11月規劃建設費用 5 000000 8 000 000 改變被否決的話，Glenn認為公司最優的選擇是不要完成土地所有權的購買手續。這樣的話，Oceanview 發展公司隨標附上的10%的資金會被充公。 由於規劃複決投票被透過的可能性在這一決策過程中起著至關重要的作用，Glenn 建議公司聘請一個市場調查服務公司對投票者進行調查，這一調查將對複決投票透過重新規劃的可能性做出更為準確的判斷。曾經與 Oceanview 發展公司合作過的市場調查公司同意以150000 美元的價格接受這一調查任務。調查後果可在8月1 日出來，這樣的話，Oceanview 發展公司就可以在8月15日投標截止日之前獲得這方面的資訊。調查的後果要麼就是預計重新規劃被透過，要麼就是被否決。在參考此市場調查服務公司在以往為 Oceanview 發展公司所做的幾次調查中的表現，Glenn 得出了以下所示的就市場調查資訊的準確度方面的機率估計： P（Als，） =0.9 P（NIs，） =0.1 P（AIs）=0.2 P（Nisz） =0.8 式中， A預計重新規劃被透過； N—預計重新規劃被否決； S，——投票者透過重新規劃； S——投票者否決重新規劃。 營理報告就 Oceanview 發展公司所面臨的問題進行分析，並做出一份報告總結你的想法以及你所推薦的方案。報告中必須含有以下內容： 1.表示此決策問題邏輯顧序的決策樹。 2.如果 Oceanview 發展公司沒有獲得市場調查資訊，你對公司的建議。 3. 如果進行了市場調查，Oceanview 發展公司應該採取的決策策略。 小型（d，） 4.Oceanview 發展公司是否應該聘請市場調查公司， 以及由該市場調查公司所提供資訊的價值。 將你分析的詳細內容作為附錄包含在報告中。 附錄14A用決策樹進行決策中型（a，） TreePlan9是一種 Excel 外掛，它能被用來為決策分析問題建立決策樹。本書附帶的光碟裡提供了此軟體。安裝說明書包含在軟體裡。光碟裡還包含一個指南，指南里有大型（d） 關於啟動和使用TreePlan 的附加資訊。在這個附錄裡，我們將介紹如何使用TreePlan 建立一個決策樹並解決第 14.3 節所介紹的PDC 問題。PDC 問題的決策樹如圖14-17所示。 強（s，） P（S，）=0.8 弱（s，） P（S：）=0.2 強（s.） P（s，）=0.8 弱（s，） P（s，）=0.2 強（s，） P（S，）=0.8 弱（sg） P（s，）=0.2 圖14-17 PDC 決策樹一8 7 14 5 -20 -9 TreePlan是由舊金山大學的邁克爾R.米德爾頓教授研發的，並由 Duke大學的詹姆斯E.史密斯 （Jamea E. Smith） 教授修改用於應用。TreePlen的網路站點是htp://www.treeplan. com。
第14章決策分析 405 14.A.1 開始：一個初始的決策樹我們假設已經安裝了 TreePlan，並且一個 Excel 工作表也被開啟了。用 TreePlan 建立 PDC 決策樹的過程如下： 步驟1：選擇單元格 AI 步驟2：選擇 Tools 選單，選擇其中的 Decision Tree 步驟3：當 TreePlan New 對話方塊出現時，點選 New Tree 下圖是一個有單決策節點和兩個分支的決策樹： Decision 1 0 0 Decision 2 0 0 0 14.A.2 增加一個分支因為PDC問題有3個決策方案（小型、中型、大型樓群），所以我們必須對決策樹新增另外的決策分支： 步驟1：選擇單元格 B5 步驟2：選擇Tools選單，選擇其中的 Decision Tree 步驟3：當 TreePlan Decision 對話方塊出現時，選定 Add branch，然後點選 OK 現在 Excel 工作表上有一個修正了的決策樹，它有3個決策分支。 14A.3 為決策方案命名我們可以按以下步驟為決策方案命名。首先選定標有 Decision 1、Decision 2 和 Decision 3 的單元格，然後輸人相應的 PDC方案：小型、中型和大型。給決策方案命名後，有3個決策方案的PDC 問題的決策樹就如下所示： Small 0 Q Medium 0 Large 0 0 0 14A.4 加入機會節點 PDC 問題的隨機事件是樓群的需求，可能為強或弱。因此，一個有兩分支的機會節點必須加人到每個決策方案分支的後面。 步驟1：選擇單元格 F3 步驟2：選擇Tools 選單，選擇其中的 Decision Tree 步驟3：當 TreePlan Terminal對話方塊出現時，選定 Change to event node，然後在Branches 部分選擇Two，最後點選OK 現在的決策樹如下：
406 資料、模型與決策：管理科學篇 Small 0.5 Event 4 0.5 Event 5 0 0 0 Medium 0 0 o 0 Large 0 0 0 我們接下來選擇標有Event 4 和 Event 5 的單元格，將它們改名為“強”和“弱”，這樣就有了 PDC 問題自然狀態的適當名稱了。之後，我們複製單元格 FS 的機會節點的子樹，將它貼上到另外兩個決策分支上，這樣就完成了 PDC 問題決策樹的建立了。 步驟1：選擇單元格 F5 步驟2：選擇 Tools 選單，選擇其中的 Decision Tree 步驟3： 當 TreePlan Event 對話方塊出現時，選定 Copy subtree， 0 Small 0 Medium 0 Large 0 0 0 0 然後點選 OK 0.5 Strong 0 0.5 Weak 0 0.5 Strong 0 0.5 Weak 0 0.5 Strong 0 0.5 Weak 0 圖 14-18 由 TreePlan 建立的 PDC 決策樹 0 0 0 0 0 0 0