有著更強的風險容忍度的投資者（A <1.65），如果借款利率為7%，便會借款，對借款者有 E（rp）- 8 0.01×Aop 假設一個投資者A=1.1，此時， 7%。這個投資者選擇投資於風險資產組合 =8/（0.01×1.1×4.84）=1.50 這就意味著這個投資者將借入全部投資資金的50%。提高借款利率，例如：=9%，投資者就會減少在風險資產方面的投入。在這種情況下 y=6/（0.01×1.1×4.84）=1.13 則只借人他投資資金的13%。圖形表示，從r，到風險資產組合間的線段表示貸款者的資本配置線，如果貸款的利率和借款利率相等，延伸部分的斜率就會一致。當貸款利率高於借款利率時，資本配置線在風險投資點上就會彎曲。 下面的圖中繪出了兩種投資者的無差異曲線，較陡的無差異曲線反映的是較厭惡風險的投資者的情況，他選擇的資產組合為Co，其中包括貸款，這位投資者的決定不受借款利率的影響。斜率較小的無差異直線反映了有著較高的風險容忍度的投資者的情況。如果借貸利率都相等，這位投資者就會選擇資本配置線的延伸線部分C，點。當貸款利率上揚時，就選C點（在發生了彎曲的資本配置線借款區域內），表明比以前的借款要少。這位投資者因借款利率上升而受損。 5. 如果所有的投資引數都不變，投資者減小在風險資金投資的惟一原因就只能是風險厭惡程度提高了。如果投資者認為不是這樣，那就得重新考慮投資者對假定的信心。可能標準普爾500指數不是一個最優風險資產組合的代表，也可能投資者預期短期國庫券有一更高的真實利率。 E（r） E（rp） C sp 125
第8章最優風險資產組合在第7章中，我們討論了資本配置決策。這一決策指導投資者如何在無風險資產與最優風險資產組合之問進行選擇。這一章將闡述如何建立一個最優的風險資產組合。我們的討論將從分散化是如何降低資產組合投資收益的風險開始。在建立這一基點之後，我們將從資產配置和證券選擇的兩方面考察有效分散化策略。我們將首先考察一個不包含無風險資產的資產配置，我們將運用兩個有風險的共同基金： 一個是長期債券基金，•個是股票基金。以此為例來研究投資比例與組合結果的期望收益和標準差。然後我們將加上一個無風險資產來決定…個最優資產組合。我們運用風險資產組合構成方法，根據由無風險資產與風險資產最優配置的原則（第7章討論過）米完成上述工作。從資產配置轉到證券選擇，我們首先要從資本配置歸納出多種風險證券的一般配置方法。我們將表明從有效資產組合演算法中顯現出的最優可獲得的資本配置線，以便可以透過資產配置與證券選擇兩個階段獲得最優的資產組合。在附錄8B和附錄8C中我們將考察有關分散化保險原則與長期投資的一些普遍性錯誤。 8.1 分散化與資產組合風險假設你的資產組合只有一種股票，戴爾電腦公司，那麼這•“資產組合”的風險來源會有哪些呢？你可能會想到兩種主要的不確定的來源。第一，來自一般經濟狀況的風險。比如經濟週期，通貨膨脹率、利息和匯率等。所有這些宏觀經濟指標都不能準確預測，而它們都會影響戴爾公司股票的收益率。另外，這些宏觀經濟因素可能對特有企業有影響，譬如對戴爾公司的研發成功與否、人員的變動等產生影響。但是，這些因素不會像影響戴爾那樣影響其他公司。 現在考慮•個天真的分散化策略，你增加一種證券， 譬如把•半資金用手埃克森美孚公司，另一半用於戴爾公司，資產組合風險將會發生什麼變化呢？影響公司的因素對兩種股票的影響程度的不同將降低資產組合風險。例如， 石油價格下跌，埃克森美孚將受到損害，電腦價格將上升， 這對戴爾公司有利。這兩種影響相抵，將使資產組合的收益趨於穩定。 但為什麼使分散化只限於兩種股票呢？如果我們分散投資於更多的證券，將能繼續分散對特有公司有影響的因素， 資產組合的波動性將進一步下降。但是，最終我們並不能通過大量股票的資產組合把所有風險都規避掉，因為所有的證券最終還會受到共同的宏觀經濟因素的影晌。例如，如果所有的股票都會受到經濟週期的影響，我們就不能避免經濟周期風險，不管我們持有多少股票。 當所有的風險都是對特有公司有影響時，如圖8-1a所示， 分散化就可以把風險降至任意低的水平。原因是所有風險來源都是獨立的，任何一種風險來源的暴露可以降低至可忽略的水平。由於獨立的風險米源使風險降低至一個很低的水平， 有時被稱為保險原則，因為保險公司透過向具有獨立風險來源的不同客戶開出許多保單，每個保單隻佔保險公司總資產組合的一小部分，用這種分散化的方法達到降低風險的目的。 （參見附錄8B中所討論的保險原則） 當共同的風險來源影響所有的公司時，即便是最充分的分散化亦不能消除風險。在圖8-1b中，資產組合的標準差隨著證券的增加而下降，但是，它不能降至零。「在最充分的分散條件下還存在的風險是市場風險，它來源於與市場有關的因素，這種風險亦被稱為系統風險，或不可分散風險。 相反，那些可被分散化消除的風險被稱為獨特風險、特有公司風險、非系統風險或可分散風險。 這一分析是基於實證研究的。圖8-2用紐約證交所”的數 1 感興趣的讀者可以在附錄8A小找到對這些內容更生動的描述。那些討論需要本章發展出的分析工具。 Meir Statman，“How Many Stocks Make a Diversified Portfolio"Journal of Financial and Quanritative Analysis 22 （September 1987）.
據得出分散資產組合的效果。圖中表示出經任意選擇的股票按同一權重組成的資產組合的平均標準差。平均來說，資產組合風險隨著分散化而下降，但是分散化降低風險的能力受到系統風險的制約。 獨特風險市場風險 a） b） 圖8-1 資產組合風險是資產組合中股票數量的函式第8章最優風險資產組合期望收益E（r） 標準差g 表8-1 兩種共同基金的資料債券 8% 12% 股權 13% 20% 協方差Cov（ro、TE） 相關係數PoE 72 0.3 投資於債券基金的份額為wD，剩下部分1-w，投資於股票基金，這一資產組合的投資收益p為 Tp=Wo•TD+WeE 式中，rp為債券基金的收益率；「為股票基金的收益率。 從第6章中的內容可以看出，資產組合的期望收益是資產組合中各種證券的期望收益的加權平均值，即 E（rp）=WpE（ro） +wpE（rE） （8-1） 兩資產的資產組合的方差是（第6章的規則5） （8-2） 我們首先觀察到，資產組合的方差並不像期望收益一樣是多個資產的方差的加權平均值。為了更清楚地理解公式中的資產組合的變數，我們再回顧一下一個變數關於自身的協方差即該變數的方差，即 （8-3） 8.2 兩種風險資產的資產組合在上一節我們考慮了幾種證券等權重的分散資產組合。 現在開始研究有效分散，這可以構建任意給定期望收益條件下的最低風險的資產組合。 兩種資產的資產組合相對來說易於分析，它們體現的原則與思想可以適用於多種資產的資產組合，我們將考察一個包括含兩個共同基金的資產組合，一個是專門投資於長期債券的債券資產組合D，一個是專門投資於股權證券的股票基金E，表8-1列出了影響這些基金收益率的引數，這些引數可以從真實的基金中估計得出。 50 45］ 40 4 資產組合的平均標準差因此，另一種表示資產組合方差的方法是： OP=WoWDCov（To,To）+ WaW.Cov（rE,YE）+ 2wpw,Cov（rp,rE） （8-4） 總之，資產的方差是協方差的加權求和，權重為協方 100% - 75% - 50% •40% 0 900 1000 與只含-只股票的資產組合風險比較 0 2 46 TTTTTTTTTTT 810 12 14 16 資產組合中股票數量 18 20 100 TTPTTTTPTr 200 300 400 500 600 700 800 圖8-2 資產組合分散化注：只含一隻股票的資產組合收益的平均標準差是49.2%，平均資產組合風險隨著資產組合中股票數目的增加而迅速下降，其極限是下降至19.2%。 資料來源：Meir Statran， “How Many Stocks Make aDiversified Portfolio."Journal of Financial and Quantitative Analysis 22 （September 1987）. 127
第二部分投資組合理論差項中的兩資產的比例。 表8-2顯示可以透過電子表格計算資產組合的方差。其中a表示兩個共同基金收益的相鄰協方差矩陣，相鄰矩陣是沿著首排首列相鄰每一基金在資產組合中權重的協方差矩陣。可以透過如下方法得到資產組合的方差：斜方差矩陣中的每個因子與行、列中的權重相乘，把四個結果相加，就可以得出式（8-4）中給出的資產組合方差。 表8-2 透過協方差矩陣計算資產組合方差 a） 柑鄰協方壽矩陣資產組合權重 wp WE Wp Cov（rp,Tp） Cov（rE,Tp） WE Cov（ro,re） Cov（rE,TE） b） 協方差矩陣相鄰項柑乘 WI Wn+WA=l WDwp Cov（rp,rp） WE WD COv（TE,YD） WDwp Cov（ro,ro）+ WEWDCOv（rE,TD） WD WECov（rD,rE） WD WD COV（rE,TE） WDWECOv（TD,TE）+ WE WE COV（TE,TE） 資產組合方養 Wowp, Cov（ro,rp） + WE WD COv（rE，「D） + WD WE Cov（rp,TE） + WE WE COV（TE,TE） 我們在表8-2b進行這些計算：將協方差矩陣相鄰項相乘，即每一個協方差跟相鄰行和列的權重相乘。b的最底行 （將每一列的和相加得到）表明這個矩陣裡所有項的和實際上就是式（8-4）中的整個投資組合的方差。 這個方法是正確的，因為協方差矩陣是對稱的。即 Cov（rp,rE）=COv（rE,rD），這樣每一協方差項都出現兩次。 這種用邊界相乘協方差矩陣來計算協方差的方法很普遍，它適用於任何數量的資產並且在電子表格中很容易實現。 概念檢查問題1要求你使用這種方法計算3種資產的組合。通過這個題目可讓自己對這個概念運用自如。 概念檢查問題w 1.a. 首先確認從相鄰協方差矩陣中計算兩資產組合方差這個簡單原則與式（8-2）一致。 b. 一個資產組合中包含三個基金，X、Y、Z，權重為Wx、 Wp、Wz，資產組合的方差為 2wxw,Cov（rx,rz） +2wyw,Cov（ry,rz） 式（8-2）顯示如果協方差項負，方差將減小。這對於以下觀點十分重要：即儘管協方差項是正的，資產組合的標準差仍然低於個別證券標準差的加權平均值，除非兩種證券是完全正相關的。 為了理解這點，回憶一下第6章中的式（6-5），可以根 128 據相關係數計算出協方差。由 Cov（rD,YE）= PDEODOE 得 （8-5） 由於協方差更高，所以當資產收益的標準差給定，在 Poz越高時，資產組合的方差越高。當完全正相關時，PoE = 1，式（8-5）可簡化 0？=（WDOp+WEOre） 或 OP=WDOD+WEOE 這樣，具有完全正相關的資產組合的標準差恰好是資產組合中各證券標準差的加權平均值。在其他情況下，相關係數小於1，這將使資產組合的標準差小於資產組合中各證券標準差的加權平均值。 在資產組合中一個套期資產與其他資產負相關，式 （8-5）顯示這樣的資產對於降低整體風險有特殊的作用。而且，從式（8-1）中可以看出，期望收益不受各證券收益的相關性的影響。因此，在其他條件不變的情況下，我們總是更願意在資產組合中增加與現有資產低相關甚至是負相關的資產。專欄8-1中從《華爾街日報》摘錄的一段文字就是建議你如何選擇基金的。 因為資產組合的期望收益是資產組合中各證券的期望收益的加權平均值，其標準差小於各組成資產的標準差的加權平均值。非完全相關資產組成的資產組合的風險一收益機會總是優於資產組合中各證券單獨的風險一收益機會。各資產之間的相關性越低，所得的有效性就越高。 資產組合的標準差能有多低呢？相關係數的最低值為 -1，表示完全負相關，此時，式（8-5）可簡化為 oP’=（WDO） W:OE） 資產組合的標準差為 op= |wDOp-WeoEl 當p=-1時，一個完全套期頭寸可以透過選擇資產組合解以下方程得出 W'DOD- WE0E=0 公式的解為 WE-80-I-W0 OD+OE OD+OE 這些權重將使資產組合的標準差趨問零。3 3 當資產完全正相關時，資產組合的方差是可能為零的，但要求賣空。
第8章最優風險資產組合意欄81尋找與藍籌股運動相反的基金尋找低風險的投資者從財務顧問那聽到以下令人驚訝的建議： •共同基金投資於不發達國家，因為許多美國人不能直接在全球各地投資。 • 共同基金投資於歐洲不知名的小公司。 •共同基金投資於商品。 顧問們準備承認這些投資的風險很大，但是，他們還是趨向於逆股市而行，這種做法很大程度上降低了以美國藍籌股為主的資產組合的波動程度。 投資顧問公司戈林鮑姆合夥公司（Greenbaum Associates）的主席格雷•戈林鮑姆在新澤西州的奧蘭多說： 把各類投資組合起來，讓它不發生變化是非常罕見的，這就像是一頓免費的午餐——你可以得到卻不用付出——是不可能的。他解釋說，正確的資產組合方法是在不降低期望收益的基礎上降低風險。 增加資產組合的多樣性可能是靠不住的。例如，當投資者用美元投資於多元化的國際股票基金，並不像他們想像的那樣冒風險了，這是最近《晨星公司共同基金》上發表的一篇文章的觀點。這些基金投資於歐洲的藍籌股，根據國際經濟形勢做出反應，這一點與美國大公司無異。 許多投資專家利用一種叫相關係數的統計工具來分辨哪些證券與別的證券運動方向相反。最大的係數為1，表示兩種運動方向一樣；最小的係數-1，表明兩種證券運動方向完全相反；係數為零時，兩證券相互獨立。 投資於日本、發展中國家、歐洲小國和黃金股票的基金運動方向在過去幾年中與先鋒500指數變動的方向是相反的。 資料來源：Karen Damato， "Finding Funds That Zig When Blue Chips Z.ag."The Wall Street Journal, June 17, 1997. 例8.1 資產組合的風險與收益讓我們把這一分析運用到表8-1中的債券與股票中，使用這些資料，根據資產組合的期望收益、方差與標準方差公式為 E（rp） = 8wp+13WE op =12°wB+202w+2×12x20×0.3×MDWE -144w%+400WB+144WpHE 我們可以測算一下各種資產組合權重對期望收益和方差的影響。假設我們改變債券的投資比例，這種改變對收益的影響在表8-3中列出，並顯示在圖8-3中，當債券的投資比例從0到1（即股權投資從1.到0），資產組合的期塑收益率從13%（股票的期望收益率）下降到8%（債券的期望收益率）。 如果wD<1，WE < 0時，會發生什麼情況呢？此時的資產組合策略是做一股權基金窯頭，並把得到的資金投人到債券基金。這將降低資產組合的期望收益率。例如，當 wD=2和wE=-1時，資產組合的期望收益率下降為2×8 +（-1）x13=3%，此時資產組合中債券的價值是賬面價值的兩倍。這個極端的頭寸是透過做全部股票的空頭來實現的。 當WD< 0和W：＞1時，情況相反，投資策略應是做一債券基金的空頭，把所得投入股票基金。 表8-3 不同相關係數下的期望收益與標準差 Wp wmi E（F） 0.00 0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1.00 1.00 0.90 0.80 0.70 0.60， 0.50 0.40 0.30 0.20 0.10 0.00 13.00 1250 12.00 11.50 11.00 10.50 10:00 9.50 9.00 8.$0 8.00 給定相關性下的資產組合的標準差 p=-1 20.00 16.80 13.50 10.40 7.20 4.00 0.80 2.40 $.60 8.80 12.00 P=0 20.00 18.04 16.18 14.46 12.92 11.66 10.76 10.：32 10.40 10.98 12.00 p=0.30 20.00 18.40 16.88 15.47 14.20 13.11 12.26 11.70 11.45 11.56 12.00 P=1 20.00 19.20 18.40 17.60 16.80 16.00 15.20 14.40 13.60 12.80 12.00 最小方差的資產組合 Wp E（rp） 0.6250 0.3750 9.8750 0.0000 0.7353 0.2647 9.3235 10.289g 0.8200 0.1800 8.9000 11.4473 當然，改變投資比例還會影響資產組合的標準差。表83給出了根據式（8-5）和資產組合的相關係數分別假定為 0.3及其他p值計算出的不同權重下的標準差。圖8-4顯示了標準差與資產組合權重的關係。首先看一下ppE =0.3時的實線，此圖顯示，當股權投資的比例從0增加到1時，資產組合的標準差首先因分散投資而下降，但隨後上升，因為資產組閤中股權先是增加，然後全部投資都集中於股權，從集中到分散，再到集中。只要基金之聞的相關係數不是太高、這一 129
第二部分投資組合理論型別總是有效率的。對於一對收益的正相關係數很高的資產， 資產組合的標準差將單調上升，從低風險資產變化為高風險資產。即便在這種情況下，如果正相關值很小，分散化還是會有一個積極的效果。 期望收益 13% 股權基金 8% 債券基金 -0.5 1.5 w（股票） 0 1.0 2.0 三（債券）=1-w（股票） 1.0 -1.0 圖8-3 資產組合期望收益是投資比率的函式資產組合標準差（%） p=-1 35 30． p=0 p=0.30 25 p= 1 20 0. -0.50 0 0.50 1.0 1.50 股票基金杈重圖8-4 資產組合標準差是投資比例的函式哪種資產組合的標準差的最小水平是可接受的？根據表8-1規定的引數值，透過解以下最小值問題可以得出資產組合的權重：4 Win（D）=0.82 WMin（E）=1-0.82=0.18 根據表8-3中p=0.3列的資料，這個最小化方差的資產 130 組合的標準差 CMin =［（0.822 x 123）+（0.182 ×203）+（2×0.82× 0.18 ×72）］ 112 =11.45% 圖8-4中的實線表示當P=0.3時，標準差是投資比例的函式，這條線經過wp=1和W=1兩個非分散化的資產組合。 我們發現最小方差的資產組合有一個小於資產組合中各個單獨資產的標準差，這顯示了分散化的影響。 圖8-4中其他三條線表示的是在其他相關係數下，資產組合中各組成資產的方差不變，資產組合的風險是如何變化的。這些曲線畫出了表8-3中其他三列中的數值。 黑色直線連線非分散化下的全部是債券或全部是股票的資產組合，即wD=1或WE=1，表示資產組合中的資產完全正相關，P=1。在這種情況下，分散化沒有好處，資產組合的標準差只是組合中各資產標準差的簡單加權平均值。 虛拋物線描繪出非相關資產，即p=0時資產組合的風險。相關係數越低，分散化就越有效，資產組合風險就越低 （至少在兩種資產的持有量為正時），最小的標準差是當P= 0時，為10.29%（見表8-3），低於組合中各個資產的標準差。 最後，三角形的折線顯示了完全對沖的情況，當二種資產為完全負相關，p=-1時，此時，資產組合的最小方差力 Win（D; p=-1）= OE OD +OE 20 •=0.625 12+20 （8-6） WMin（E; p=-1）=1-0.625=0.375 資產組合的方差（與標準差） 零。 我們可以把圖8-3和圖8-4組合在一起以揭示在有關資產的引數給定的情況下，資產組合風險（標準差）與期望收益的關係，結果如圖8-5所示。對於任一對投資比率判WD、WE 的資產，我們可以從圖8-3中得到它們的期望收益，從圖8-4 中得到它們的標準差。期望收益與標準差在表8-3中列出， 並在圖8-5中給出了它們的幾何圖形。 圖8-5實拋物線是相關係數p=0.3時的資產組合的機會集合。我們把它稱為資產組合的機會集合是因為它顯示了由兩種有關資產構造的所有資產組合的期望收益與標準差。其他三條線顯示的是在其他相關係數值下資產組合的機會集合。直線連線兩種基金，表示當兩種資產的相關係數為1時， 分散化沒有什麼益處。虛拋物線表示，當相關係數小於0.3 4 解題中運用了微積分求最小值的技巧。先根據式（8-2）寫出資產組合的方差；用（I-WD）來替代wE，求出公式對子 wD係數，令其等於0，得 Wwn（D） 品-Cou（rp.rE） 0+0-2Cov（tp,re）。 另一種方法是使用計算機電子表格，透過觀察表8-3中不同相關係數下的期望收益與標準差，在最小標準差中找到投資組合權重，求得準確解。
時，可以從分散化中獲得更多的利益。 期望收益（%） 144 13 12 11 10 9 8 p=-1 P=0 （o=0.30， D p=1 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 標準差（%） 圖8-5 資產組合的期望收益是標準差的函式最後，當P=-1時，資產組合的機會集合是線性的， 但它提供了一個完全對沖的機會，此時從分散化中可以獲得最大的利益。 總之，儘管期望收益是資產組合各個組成資產收益的簡單加權平均值，但是標準差卻並非如此。當相關係數小於 1時，分散化的潛在收益將增加。資產組合中的資產相關性越低，分散化的潛在收益就越大。在極端的完全負相關的情況下，我們可以有一個完全對沖掉風險的機會，構造了一個零方差的資產組合。 假設現在一個投資者希望從機會集合中選擇一個最優的資產組合，最優的資產組合與風險厭惡有關。位於圖8-5 中右上方的資產組合收益高，但風險也高。最好的取捨取決於個人的偏好。比較厭惡風險的投資者將願意選擇左下方的資產組合，這一資產組合的風險較低，期望收益亦較低。“ 概念檢查問題• 2. 計算並畫出債券與股票基金資產組合的機會集合，兩種資產的相關係數為p=0.25。 8.3 資產在股票、債券與國庫券之間的配置在上一章中，我們考慮了最簡單的資產配置決策，從無風險的貨幣市場證券資產組合到有風險的證券資產組合。 下面我們將進•步進行分析，並著重分析包含股票與債券基金的風險資產組合。我們仍要說明投資者是如何在股票與債第8章最優風險資產組合券市場進行資金配置，構造風險資產組合的。這也是一種資產配置決策。正如專欄8-2所述，大部分投資專家認識到 “最重要的決策是如何把你的資金在股票、債券和安全的國庫券上”。 在上一節，我們推導了資產組合中兩種風險資產的比例。 在此基礎上，我們現在引入第三種選擇，無風險的資產組合。 這可以使我們處理好資金在三種關鍵資產：股票、債券與無風險貨幣市場證券之間的配置。一旦投資者掌握了這個原則， 他將可以很容易構造由多種風險資產組成的資產組合了。 最優風險資產組合：兩種風險資產和一種無風險資產如果我們的資產組合中的風險資產仍然是債券與股票基金，如果現在我們也投資於年收益率為5%的無風險的困庫券，那會發生什麼情況呢？我們從圖解開始，圖8-6顯示了根據表8-1計算出的股票基金與債券的機率資料所得到的機會集合。 期望收益（%） 13 12 11 CAL（A） 10 CAL（B） 7 6 10 15 20 25 標準差（%） 圖8-6 債券與股票基金的機會集合和兩條可行的資本配置線 5 給定•個風險厭惡程度，人們可以確定一個資產組合的最高效用水平。根據第7章中的知識，我們可以描述一個期望收益E（rp）與方差c，的函式的資產組合所提供的效用，因為U=E（rp）-0.005ACP。資產組合的期望值與方差，由資產組合中的兩種基金的權重WE、WD決定。利用式（8-1） 和式（8-2），我們可以找到兩種基金的最優投資比例： Wo-E（2-B0re）+001A（g-Op0sPoe） 0.01A（03+0%-20p0EPDE） WE-1-WD 131
第二部分投資組合理論專欄82 成功投資的秘決：首先是組合好資產投資顧問會這樣建議：如果你想取得更大的投資成功， 不要從搜尋那些熱門股票和共同基金開始，最重要的決策是如何把你的資金分配在股票、債券和安全的國庫券上。 用華爾街的術語來表述這種投資資產組合就是你的資產配置。“資產配置是第一個，也是最重要的決策。”喬治城大學財務教授威廉•德羅姆斯說，“你在股市中投人多少將直接影響最後的投資結果。” 一家洛杉機投資諮詢和金融設計公司的執行董事威廉•約翰•米庫斯說：“你不能從一個債券資產組合中得到股市的收益，不管你如何精於選擇證券，也不管你有多好的債劵理論。” 為了證明這點，米庫斯先生引述了加里•布林森、布賴恩•辛格和吉爾伯特•比鮑爾在1991年的分析研究。這個研究觀察了82個大型養老金計劃10年的結果，發現91.5% 的收益的獲得是由計劃的資產配置政策來解釋的。 設計資產組合因為投資者的資產組合是如此重要，一些共同基金公司現在提供免費的資產組合設計。 芝加哥《共同基金通訊》的編輯傑拉爾德•佩裡特說， 你應該根據投資期限的長短來調整資產組合。你期望的收兩條可行的資本配置線從無風險利率（r，=5%）連到兩種可行的資產組合。第一條可行的資本配置線透過最小方差的資產組合A，即由82%的債券與18%的股票組成的資產組合（表8-3底部）。資產組合A的期望收益為8.9%，標準差為11.45%。由於國庫券利率為5%，報酬與波動性比率，即資本配置線的斜率為 E（rA） 8.9-5 SA -0.34 OA 11.45 現在考慮用資產組合B替代資產組合A，資產組合B中 70%為債券，30% 股票，它的期望收益率為9.5%（風險溢價為4.5%），標準差為11.7%。因此，該資產組合的資本配置線的報酬與波動性比率為 S= 95ww 5 • ≥0.38 這個值比我們用最小方差的資產組合與國庫券所得到的資本配置線的報酬與波動性比率要大，因此，資產組合B 優於資產組合A。 但是為什麼要在資產組合B處就停止呢？我們讓資本配置線變動，最終使它的斜率與投資機會集合的斜率一樣，這將獲得有最高的、可行的報酬與波動性比率的資本配置線。 132 益越高，投資到股票的份額就應越高。你的安全性要求越高，你就越要依賴債券和貨幣市場工具，醫如國庫券。債券和貨幣市場工具可能帶來的收益比股票的收益要低，但是對於那些在近期需要貨幣的人來說，保守的投資策略更為理性，因為這樣短期受損失的機會較小。 對資產的總結龐德先生說，人們要做的最重要的一件事是在一張紙上寫上對你的資產配置的總結。 龐德先生還說，一旦你確定了資產的組合，就應該堅持目標的比例。他建議：要做到這一點，每6個月就要總結一下資產組合的情況。因為股市的下跌，使股票的權重會低於原定的目標，這時，你就應加大股票的投資，相應減少債券的投資。 當設計資產組合時，一些投資顧問認為除常見的股票、 債券和貨幣市場工具外還可考慮黃金與房地產。德羅姆斯先生說，黃金與房地產可以幫助你對沖掉高通脹的風險， 但房地產比黃金能給帶來更好的長期收益。 資料來源：Jonathan Clements， "Recipe for Successful Investing： First, Mix Assets Well."The Wall Sireer Journal， October 6, 1993. 因此，相切的資產組合P（圖8-7）就是加人國庫券的最優風險資產組合。從圖8-7中，我們可以發現資產組合P的期望收益與標準差力 E（rp）=11% Op=14.2% 在實踐中，當我們試圖用兩個或者更多的資產建立最優資產組合時，我們需要依賴電子表格或其他計算機程式。 本章後面將要講到的電子表格可以用於建立多種資產的有效組合。但是初學時我們還是要先看看如何解決兩種風險資產與一種無風險資產的組合問題（比如長期負債和權益）。這種情況下，我們可以推匯出關於最優組合各項資產權重的確定公式，從而使得與最最佳化資產組合有關的闡述簡單明瞭。 我們的目的是找出權重wD和WE，以使資本配置線的斜率最大（即，這個權重使風險資產組合的報酬與波動性比率最高）。因此，目標就是使資本配置線的斜率最大，目標函數就是斜率，即Sp，有 Sp= E（rp）- Op 對於包含兩種風險資產的資產組合P，它的期望收益和標準差為第8章最優風險資產組合 E（rp）=WpE（p）+WE（）=w+I3WE a，-［wgo3 +Wio +2wpw.Covrrr）］” -［144 3+400M +（2×72WoWe）” 期望收益（%） 18 16 14 12 10 E CAL（P） 風險資產的機會集合 0 10 15 20 25 30 標準差（%） 圖8-7 最優資本配置線的債務與股權基金的機會集合與最優風險資產組合要使目標函式S，最大，必須滿足一個限制條件，即權重和等於1，WE+WD=1，這樣我要解以下的數學題： Max Sp= E（rp） Op 因為工w=1，這是一個標準微積分問題。 在共有兩種風險資產的條件下，最優風險資產組合P的權重解可表示如下：‘ .（8-7） Weml-WD 最優風險資產組合代入資料，得到的最優風險組合解為 （8-5）400-（13-5）72 Wp . -≥0.40 （8-5）400+（13-5）144-（8-5+13-5）72 WE =1-0.40=0.60 這一最優風險資產組合的期望收益與標準差分別為 E（rp）=（0.4 x 8）+（0.6×13）=11% op =1（0.4’ × 144） +（0.62 x 400）+（2 ×0.4× 0.6×72）］"2 =14.29 這個最優資產組合的資本配置線的斜率為 Sp=（11-5）/14.2=0.42 這也是資產組合P的報酬與波動性比率。我們注意到這個斜率大於任一可能的其他資產組合的斜率。因此這是可行的最優資本配置線的斜率。 在第7章中，在給定最優風險資產組合和由這個資產組合與國庫券產生的資產配置線下，我們找到了一個最優的完整資產組合。現在我們已經構造了一個最優風險資產組合P， 我們用個人的投資風險厭惡程度A來計算投資於完整資產組合的風險部分的最優比例。 例8.3 最優完整資產組合一個風險厭惡係數為A=4的投資者，他在資產組合P中的投資頭寸為’ E（rp）-T y - 0.0ixAop 11-5 •#0.7439 0.01×4×14.22 （8-8） 因此，這個投資者將74.39%的財產投資於資產組合P， 25.61%的資產投資於國庫券，資產組合P中包括40%的債券， 因此債券所佔的比例為yWp=0.4×0.7439=0.2976，即 29.76%。同樣，投資於股票的權重為yWE=0.6×0.7439= 0.4463，即44.63%，這個資產配置問題的圖解在圖8-8和圖 8-9中給出。 一旦我們做到這一點，一般化為多種風險資產也是可行的。在更進一步分析之前，我們先簡要總結一下完成一個完整的資產組合的步驟： 1）確定所有各類證券的收益特徵（例如期望收益、方差、協方差等）。 2） 建造風險資產組合： a. 根據式（8-7）計算最優風險資產組合P； b.運用步驟a中確定的權重根據式（8-1）和式（8-2） 來計算資產組合P的資產。 3） 把基金配置在風險資產組合和無風險資產上。 2.根據式（8-8）計算資產組合P（風險資產組合） 和國庫券（無風險資產）的權重； 6 兩種風險資產的求解的過程如下：從式（8-I）取代E（rp）， 從式（8-5）取代op、用1-Wp代替WD：用W，對Sp求導，令導數為零，解wgs 7 正如前面提及的，分母上的0.01是一個測度尺度因素，我們測度收益用的是百分比，而不是小數。如果我們用小數而不是用百分比（例如0.07而不是7%），我們在分母中就不用0.01注意，轉湯用小數將可以使分子與分母簡化。 133
第二部分投資組合理論 b.計算出完整的資產組合中投資於每一種資產和國庫券上的投資份額。 期望收益（%） 18. 16+ CAL（P） 無萘異曲線 E 12 風險資產的機會集合 10 屐優風險資產組合 64 Y=$% 毅優完全資產組合 2 10 15 20 圖8-8最優全部資產組合的決定資產組合 74.39% 徽券股票 44.63% 25 30 標準差（%） 圖8-9 最優全部資產組合的比例在進行進一步分析之前，我們回憶一下兩種風險資產： 債券與股票的共同基金，它們都是已經分散化的資產組合。 這些在各自資產組合內的分散化必然比沒有分散的單一證券的風險要大大降低。例如，平均股票收益率的標準差約為 50%（如圖8-2所示），而我們的股票指數基金的標準差只有 20%，大約等於標準普爾500資產組合的歷史標準差。這就是一類資產中分散化的重要性的證據。最佳化資產在債券與股票之間的配置，可以有利於改善整個資產組合的報酬與波動性比率。股票、債券與國庫券的資本配置線（如圖8-7所示） 顯示了整個資產組合的標準差將進一步降低至18%，並維持原有的與股票資產組合相同的13%的期望收益率。 134 概念檢查問題 3. 可選擇的證券包括兩種風險股票基金：A、B和國庫券， 所有的資料如下： 股票基金A 股票基金B 國庫券期望收益（%） 10 30 S 標滋差（%） 20 60 基金A和基金B的相關係數為-0.2。 a. 畫出基金A與基金B的機會集合。 b.找出最優風險資產組合P及其期望收益與標準差。 c.找出由國庫券與資產組合P支援的資本配置線的科率。 d. 當一個投資者的風險厭惡程度A=5時，應在股票基金A、B和國庫券中各投資多少？ 8.4 馬科維茨的資產組合選擇模型證券選擇我們可以在多種風險證券和無風險資產中間進行資產組合的構造。在兩種風險資產的例子中，問題分為三個部分， 第一，我們要從可能的風險資產組合中識別出風險-收益組合。第二，我們透過資產組合權重的計算，找出最優風險資產組合，此時有最大斜率的資本配置線。最後，我們透過加入無風險資產，找到完整的資產組合，在詳細介紹這一過程之前，我們先做一概述。 第一步是決定投資者可能的風險-收益機會，它們用風險資產的最小方差邊界來表示。這一邊界表示為在給定期望收益的條件下，可獲得的資產組合的最低可能的方差的圖形。 在給定一組期望收益、方差和協方差資料時，我們可以計算出任何有特有期望收益的資產組合的最小方差。對期望收益與標準差相對應的點進行連線，就可以得到圖8-10。 有效率邊界全域性最小方差資產組合個人資產最小方差邊弊圖8-10 風險資產的最小方差邊界
Excel應用兩證券模型這裡的電子表格可以用來測量兩種風險資產組成的資產組合的收益和風險。該模型在計算最優風險和最小方差組合的同時，還計算了每種證券在不同權重情況下資產 q 10 11 12 13 14 16 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 B 資產配置分析：風險和收益證券1 證券2 短期國庫券證券！的權重 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 期望收益 0.08 0.13 0.05 證券2的權重 0 0.1 0.2 03 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 C 標準差 0.12 0.2 第8章最優風險資產組合組合的收益和風險。根據輸入內容的不同，模型會自動生成圖形。該模型允許選擇特有的目標收益率並且用無風險資產和最優風險組合的最優組合來實現。我們用表8-1中兩種證券的收益資料來建立電子表格。運用電子表格中的其他問題請參見www.mhhe.com/bkm。 D E 修正係數 0.3 協方差 0.0072 期望收益 0.08000 0.08500 0.09000 0.09500 0.10000 0.10500 0.11000 0.11500 0.12000 0.12500 0.13000 容許賣空 0.4 0.6 0.11 0.142 標準差 0.12000 0.11559 0.11454 0.11696 0.12264 0.13115 0.14199 0.15466 0.16876 0.18396 0.20000 不容許賣空 0.4 0.6 0.11 0.142 變化敏慼度 0.25000 0.30281 0.34922 0.38474 0.40771 0.41937 0.42258 0.42027 0.41479 0.40771 0.40000 權重1 權重2 收益標準差期望收益（%） 11% 5% 10 15 20 25 30 35 標準差（%） 135
第二部分投資組合理論應該注意的是，所有單項資產都位於邊界的內右側，至少當我們允許透過賣空來構造風險資產組合時是這樣的。8 這告訴我們，風險資產組合只含單一資產是無效率的，分散化投資將帶來更高的收益和更低的標準差。 所有落在最小方差邊界上，從全域性最小方差資產組合往上都是可能的最優風險-收益組合，因而是最優的資產組合。落在全域性最小方差以上的邊界被稱為風險資產的有效率邊界。因為對於所有低於最小方差邊界的資產組合，都可以在它正上方找到一個相同的標準差，但收益更大的資產組合，因此在全域性最小方差邊界以下部分的資產組合是無效率的。 最佳化計劃的第二部分涉及無風險資產。和以前一樣， 我們尋找一條有最高報酬與波動性比率資本配置線（即有最陡斜率的資本配置線），如圖8-11所示。 E（r） CAL（P）有效率邊界圖8-11 有最優資本配置線的風險資產的有效率邊界最優風險資產組合P的資本配置線與有效率邊界相切。 這條線優於任一條可能的線（虛線穿過了邊界），資產組合 P是最優風險資產組合。 最後，第三個問題是單個投資者要選擇出最優風險資產組合與國庫券間的資產組合，這正是圖8-8所做的。 現在讓我們更詳細地考察一下資產組合構造的每一部分。問題的第一部分是風險-收益分析，資產組合管理人需要資產組合中每一證券的期望收益的一組估計值和協方差矩陣的一組估計值。（在第五部分的證券分析中，我們將考察證券估價的技巧和分析師所用的財務分析方法。現在，我們假設分析師已經透過努力得到了這些資料。） 假設資產組合計劃是1年期的，因此所有的估計與1年期相匹配。我們的證券分析涉及n種證券，以現在為起點， 時間為零，我們觀察這些證券的價格：P，•，P。。分析師估計出每種證券一年後（時間1）的期望價格：E（P））），⋯ E（P.”），和這一時期的期望股息E（D.），•，E（D.）。期望收益率的集合可以透過以下公式計算得到 136 E（P'）+E（D.）-P E（r）=. P 各種證券的收益率的協方差（協方差矩陣）一般是通過歷史資料估算的，另一種可以作為歷史分析法的替代，也可以視為是其補充的方法是對所有證券可能的收益進行情景分析。 現在資產組合管理人已經擁有n個E（r）的估計值和nxn 協方差矩陣的估計值，其中對角線上是n個方差，o的估計， n-n=n（n-1）個非對線角線上的元素為任兩種證券收益的協方差的估計值（你可以從表8-2中看到n=2時的情況）。我們知道每個協方差會在表中出現兩次，因此準確地說我們有 n（n-1）/2個不同的協方差估計值。如果我們的資產組合管理單位有50種證券，我們的證券分析師需要得到50個期望收益率的估計值、50個方差的估計值和50 549/2=1 255個不同的協方差估計值。這是一個令人生畏的工作！（下面的章節中我們會給出如何顯著地減少這些估算工作的方法。） 一旦估算工作完成，任一個每種證券權重為w的風險資產組合的期望收益和方差都可透過協方差矩陣或以下公式計算得到： E（rp）-EWE（） （8-9） 0WM,Cou（r,5） （8-10） 在下一節，我們將向你展示一個利用電子表格計算的例子。 我們所提到的分散化這一概念是古老的，“不要把你所有的雞蛋放在一個籃子裡”這句俗語在現代財務理論出現前就已經存在很長時間了。直至1952年，哈里•馬科維茨發表了資產組合選擇的正式模型，揭示了分散化的原則，他因此獲得1990年諾貝爾經濟學獎。°他的模型是資產組合管理的第一步：確認有效率的資產組合集合，即風險資產的有效率邊界。 風險資產組合集合背後最重要的思想是，在任一風險水平上，我們只對最高期望收益的資產組合感興趣。因此， 邊界是給定期望收益下最小方差的資產組合的集合。 實際上，兩種計算風險資產組合的有效率集合的方法 8 當賣空被禁止時，單個證券可能會落在邊界上。例如，有最高期望收益的證券必定落在邊界上。因為這一證券代表惟一一種能獲得如此高收益的方法，它一定也是最小方差時的收益。當賣空可行時，構造出的資產組合可以獲得更低的方差。這些資產組合非常典型地在低期望收益證券中擁有空頭頭寸。 9 Harry, Markowitz， "Portfolio Selection，" Journal of Finance， March 1952.
第8章最優風險資產組合是一樣的。這一點可以從圖解這些步驟中看出。圖8-12顯示了最小方差邊界。 E（r） 風險資產的有效率邊界 E（rs） E（rz） 全域性最小方差資產組合 E（r） 08 圖8-12 有效率資產組合集合方形的點是方差最小化程式得出的結果，首先我們畫出限制條件，即水平線代表必要的期望收益水平。然後我們尋找每條水平線上最小的標準差（儘量靠左邊的點）。當我們針對不同水平的必要的期望收益重複這一尋找工作，最小方差邊界的形狀就顯現出來了。我們丟棄底部（虛線）部分， 因為它沒有效率。 另外一種方法是，我們畫一條重直線代表標準差的限制，然後考察這條線上所有的資產組合（有同樣的標準差）， 找出最高的收益水平，即重直線上最高的資產組合。重複以上的工作，畫出不同的垂直線（代表標準差水平），畫出不同的圓點，這些圓點軌跡的上部就是有效率邊界。 當以上步驟完成後，我們就有了份有效率資產組合的清單，因為最最佳化程式給出的解包含資產組合中的權重W、 期望收益E（rp）和標準差Op。 讓我們重述一下資產組合管理人已完成的工作，分析師的估算已經轉化為期望收益率的集合和一個協方差矩陣。 這組資料被稱為投入構成表，這組投入構成表被輸入到最佳化程式中。 在我們開始第二步，從邊界集合中選擇最優風險資產組合前，讓我們考察一個實際的情況。一些客戶可能會要求增加限制條件。例如，許多機構禁止在任何資產上擁有空頭。 對於這些客戶，資產組合管理人將給程式加入限制條件，即尋找有效率資產組合時不考慮空頭的情況。在這個特殊的例子中，單項資產有可能是有效率的風險資產組合，例如，具有最高收益的資產可以是邊界資產組合，因為沒有賣空的機會，獲得收益的惟一辦法是持有一項完整的風險資產組合。 除了賣空限制外，還存在其他的限制。例如，一些客戶要求保證從最優資產組合中得到一個最低水平的期望股息收益。在這種情況下，投人構成表將增加期望股息收益集合，， d••，d，最最佳化程式中將加入保證資產組合的期望收益等於或大於設想收益水平d的條件。 資產組合管理人可以根據不同客戶的需求裁製不同的效率集合。當然，任一限制條件都貼上價格標籤，即加入額外的限制條件所獲得的報酬與波動性比率將低於限制少的資產組合。客戶應意識到這一成本，特別是對於不是法律強加的限制。 另一類限制是來自行業或國家在政治上或道德上的原因，在此限制下的投資即所謂的社會責任投資，它必須承擔低報酬與波動性比率的成本。這一成本可被正當地視為對於隱含理由的貢獻（儘管不是一個可減稅的理由）。 8.5 電子表格模型 8.5.1 計算期望收益與方差有許多軟體包可用於生成有效率邊界。我們將演示一下用Microsoft Excel生成的模型。Excel是現今為止這類軟體中最好的，但它有資產數目方面的限制，不過透過一個簡單的Excel資產組合最佳化器可以很清楚地顯示出在更加複雜的 “black-box”程式中的計算過程。你可以發現，即使在Excel 中，有效率邊界的計算也是極為簡單的。 我們將運用馬科維茨資產組合最佳化器來解決國際分散化的問題。表8-4a包含了平均收益、標準差和1980~ 1993年間七個國家股票指數收益率的相關係數矩陣。假定在1979 年，國際資本管理公司（ICM）的分析師們得到了這份輸人構成表。作為國際資本管理公司的資產組合管理人，有效率的資產組合有哪些呢？ 把表8-4a輸入到電子表格中後，我們用Cov（ri,rj）= P.y;0,0，得到了表8-4b中的協方差矩陣。表的上半部為公式， 下半部為數字結果。 我們準備資料計算有效率邊界。為了建立一個標準來評價有效率資產組合，我們用相同的權重，即每個國家的權重都一樣，即1/7=0.1429。這些權重被輸人到A53~A59和 B52~H52的範圍中。"我們可以在表8-4c的B77單元中進行計算。這一單元格的輸入等於協方差矩陣中每一元素的和， 協方差矩陣中的每一元素乘以資產組合的權重。我們還用 10 你不能單獨地在這些行與列中輸人權重，因為如果一個權重的行發生變化，其列也應發生相應的變化。因此， 你必須把A列中的輸人複製到第52行的相應位置上。 I1 我們需要協方差矩陣每一元素的和，協方差矩陣中的元素首先與行和列中的權重相乘。這些結果出現在表8-4c中。 我們首先對這些元素進行列加總。第60行顯示列加總的結果。這樣，B60~H60的和出現住B61中，這是用加邊協方差矩陣中出現的權重形成的資產組合的方差。 137
第二部分投資組合理論兩個單元格來計算等權重資產組合的標準差和期望收益 （B62、B63中的公式）。得出期望收益為16.5%，標準差為 17.7（在B78和B79中的數字）。 為了計算有效率邊界上的點，我們在表8-4d中使用 Excel Solver（在工具選單的插入中可找到這一工具）。”2一且執行了Solver，你會被要求輸人目標函式所在單元格。在我們的例子中，目標函式是資產組合的方差，被規定在B93 單元格中。Solver將最小化這個目標。下一步你必須輸人決策變數的單元格的範圍（在這個例子中包括資產組合權重， 在A85~A91中列出）。最後，你輸入所有必需的限制條件。 對於一個允許賣空的無限制的有效率邊界有兩個約束條件： 第一，權重之和等1（A92=1）；第二，資產組合期望收益等於目標平均收益。我們選擇了與等權重資產組合下的收益相等的收益率16.5%，所以第二個限制條件為B95=16.5。 在輸人兩個限制條件後，就可以要求Solver找出最優的資產組合權重了。 當Solver找到解時，會發生聲響，並自動調整在第84行及A列中的資產組合權重來配置有效率的資產組合，它調整了協方差矩陣中的輸入；透過乘以新的權重得出最優資產組合—一最小方差下16.5%收益的資產組合均值和方差。這些結果在表8-4d中的B93~B95中給出。電子表格中顯示出的與等權重資產組合有相同均值的有效率資產組合的標準差為 17.2%，比原來風險降低近一半。這一有效率資產組合的權重與等權重資產組合有顯著的差別。 為了得到完整的有效率邊界，要不斷地改變要求的均值限制（B95）13，可以讓Solver為你做這一工作。如果記錄下足夠多的點，就可以得到圖8-13那樣質量的圖了。 期望收益（%） 28 26 24 22 20 18 無限制的有效率邊界有限制的有效率邊界：無空頭出售德國 • 英國 16 14- •等權重資產組合美國法國澳大利亞 12 • 加拿大 10 8 15 17 19 21 23 25 27 29 標淮差（%） 圖8-13 七國的有效率邊界 138 圖8-13中外側的邊界是假設投資者可以賣空，可以保持負的資產組合權重。如果不允許賣空，我們必須加上一個限制條件（A欄的第84行），即每一權重不為負，然後得到圖8-13中的有限制的有效率邊界，是圖中裡面那條線。無限制的有效率邊界的優越性提醒我們對資產組合加以限制是有成本的。 Solver允許你很容易地增加賣空及其他限制。輸人後， 重複方差最小化的操作，直至得到整個有限制的邊界，在 Excel中使用宏命令或者最好用一個更專門的軟體，將使整個工作只需按一下鍵即可完成。 表8-4e給出了兩個邊界的一系列點，第一列給出的是要求的均值，接下來兩列顯示的是有和沒有賣空限制條件下的有效資產組合的方差。我們發現在有限制條件下，期望收益不能低於10.5%（這是加拿大的均值，七國中最小的均值）， 亦不能大於21.7%（德國的均值，也是七國中最高的均值）。 最後七列中給出最優資產組合中七國股票指數的資產組合權重。你會發現有限制的資產組合的權重非負。在均值從14% ~18%範圍內，兩個邊界重疊，因為此時無限制邊界的最優權重正（見圖8-13）。 我們發現，儘管德國股票的平均收益率最高，其報酬與波動性比率也最高，美國股票的權重在有限制和無限制條件下都較高。這是因為美國股票與其他國家股票的相關係數較小，這正好說明了構造有效率資產組合時分散化的重要性。 圖8-13給出了不同國家指數均值和標準差的點及等權重資產組合。這個圖很清楚地顯示了分散化的好處。 8.5.2 資本配置與分開性質我們已經得到了有效率邊界，下面將進行第二步，引人無風險資產。圖8-14給出了有效率邊界和三條從有效率集中選擇的資產組合的資本配置線。和以前一樣，我們透過選擇不同的資產組合得到資本配置線，直至我們得出資產組合 P，這是一條從F點到有效邊界的切線。資產組合P有最大化的報酬與波動性比率，這也正是點F到有效邊界連線的斜率， 我們的基金管理人要尋找的正是這一點。資產組合P就是客戶所需要的最優風險資產組合。這也正是思考我們的結論與它們的工具的好時候。 最令人驚歎的結論是，資產組合管理人將給所有客戶提供相同的風險資產組合P，而不顧他們的風險厭惡程度。19 12 如果在工具欄的選單中沒有這個Solver，你可以選擇新增工具，然後選擇分析。這樣，Solver就被加人到工具選單中了。 13 在Solver裡，塗黑限制，點選改變，輸入投資組合平均收益的新值。 14 如果客戶要求加入特別的限制，如股息收益率，他將得到另一最優資產組合。加上任何的限制，都會導致不同的，比無限制條件資產組合吸引力小的資產組介。
不同的風險厭惡程度可透過在資本配置線上選擇不同的點來實現。這樣，不同客戶的選擇體現在風險厭惡者在無風險資產中多投資，少投資於最優風險資產組合。但是，所有客戶都使用資產組合P作為最優風險投資工具。 E（r） CAL（P） CAL（A） 風險資產的有效率邊界 CAL（G） G （全域性最小方差資產組合） 圖8-14 有效集合中不同資產組合的資本配置線這一結果被稱為資產分割，它告訴我們資產組合選擇第8章最優風險資產組合問題可分為兩個相互獨立的工作。第一項工作是決定最優風險資產組合，這是完全技術性的。提供管理人所需的投入構成表，所有的客戶得到同樣的風險資產組合，不管他們的風險厭惡程度如何。第二項工作是根據個人的偏好，決定資本在國庫券和風險資產組合中的分配，這時客戶是決策者。 關鍵的一點是管理人提供給所有的客戶相同的風險資產組合，這使得專業管理更具效率和低成本。一個管理公司可以為任意多的客戶提供服務，而邊際管理成本非常小。 但是，在實踐中，不同管理人的投人構成表是不一樣的， 因此得到不同的有效率邊界，提供給客戶不同的“最優”資產組合。這種不一致的原因在於證券分析。在這裡有必要說明GIGC原則（輸人錯誤-輸出錯誤）同樣適用於證券分析。 如果證券分析的質量很差，消極的資產組合，譬如市場指數基金，將比基於低質量證券分析的積極資產組合的表現好。 我們已經看到，由於資產組合的限制，例如股息收入要求、稅收考慮或客戶其他偏好等，不同客戶的最優風險資產組合也是不一樣的。無論如何，這個分析告訴我們，有限的資產組合就足夠滿足廣大客戶的需要。這就是共同基金行業的理論基礎。 最最佳化技巧只是資產組合構造中最簡單的部分，資產組合管理人真正的競爭在於複雜的證券分析。 表8-4 七國股粟指數的表現 B C D E F G a）國際股票的年標準差、平均收益率與相關係數. 1980~1993年 6 10 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 德| 英國日本澳人利亞加拿人法國美園德國英困日本澳大利亞加拿人法國標準差（%） 21.1 25.0 23.5 26.6 27.6 23.4 26.6 美國 1.00 0.37 0.53 0.26 0.43 0.73 0.44 平均收益率（%） 15.7 21.7 18.3 17.3 14.8 10.5 17.2 相關矩陣鑣囯 0.37 1.00 0.47 0.36 0.29 0.36 0.63 英國 0.53 0.47 1.00 0.43 0.50 0.54 0.51 日本 0.26 0.36 0.43 1.00 0.26 0.29 0.42 澳大利亞 0.43 0.29 0.50 0.26 1.00 0.56 0.34 加拿大 0.73 0.36 0.54 0.29 0.56 1.00 0.39 法園 0.44 0.63 0.51 0.42 0.34 0.39 1.00 139
第二部分投資組合理論 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 49 50 51 52 53 54 55 56 $7 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 140 B C E b）協方整矩陣：單元公式美國德國英國日本澳大利亞加拿大美國 b6*b6*b16 b6*b7*b17 b6*b8*b18 b6*b9*619 b6*b10*b20 b6*b11*b21 b6*b12*b22 德國 b7*b6*c16 b7*b7*c17 b7*b8*c18 b7*b9*c19 b7*b10*c20 b7*b11*c21 b7*b12*c22 英國 b8*b6*d16 b8*67*d17 b8*b8*d18 b8*b9*d19 b8*b10*d20 b8*611*d21 b8*b12*d22 日本 b9*b6*e16 b9*b7*el7 b9*b8*e18 b9*69*e19 b9*b10*e20 b9*b1i*e21 b9*b12*e22 協方差矩陣：結果美園 B C D E c） 每權薰資產組合的加邊協方整矩陣與資產組合方差：單元公式權簠 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 sum （a53:a59） 資產組合方差資產組合SD 資產組合均值美國 a53 a53*b52*b41 a54*b52*b42 a55*b52*b43 a56*b52*b44 a57*b52*b45 a58*b52*b46 a59*b52*b47 sum（b53:b59） sum （b60:h60） b61^0.5 德國 a54 a53*c52*c41 a54*c52*c42 a55*c52*c43 a56*c52*c44 a57*c52*c45 a58*c52*c46 a59*c52*c47 sum（c53:c59） 英國 a55 a53*d52*d41 a54*d52*d42 a55*d52*d43 a56*d52*d44 a57*d52*d45 a58*d52*d46 a59*d52*d47 sum （d53:d59） 日本 a56 a53*e52*e41 a54*e52*e42 a55*e52*e43 a56*e52*e44 a57*e52*e45 a58*e52*e46 a59*e52*e47 sum （e53:e59） a53*c6 + a54*c7+a55*c8+a56*c9+a57*c10+a58*cl1 +a59*c12 B C D E 每權置資產組合的加邊協方整矩陣與資產組合方差：結果資產組合權置 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 0.1429 1.0000 資產組合方差資產組合SD 資產組合均值美國 0.1429 9.09 3.98 5.36 2.98 5.11 7.36 $.04 38.92 314.77 17.7 16.5 德國 0.1429 3.98 12.76 5.64 4.89 4.08 4.30 8.55 44.19 英國 0.1429 5.36 5.64 11.27 5.49 6.62 6.06 6.51 46.94 日本 0.1429 2.98 4.89 5.49 14.44 3.90 3.68 6.06 41.43 澳大利亞 b10*b6*f16 b10*b7*f17 b10*b8*f18 b10*b9*f19 b10*b10*f20 b10*b11*f21 b10*b12*f22 澳大利亞澳大利亞 a57 a53*f52*f41 a54*f52*f42 a55*f52*f43 a56*f52*f44 a57*f52*f45 a58*f52*f46 a59*f52*f47 sum （f53:f59） F 澳大利亞 0.1429 5.11 4.08 6.62 3.90 15.55 7.38 5.09 47.73 G 加拿大 b11*b6*g16 b11*b7*gl7 b11*b8*g18 b11*b9*g19 b11*b10*g20 b1l*b11*g21 b11*b12*g22 G 加拿大 a58 a53*g52*g41 a54*g52*g42 a55*g$2*g43 a56*g52*g44 a57*g52*g45 a58*g52*g46 a59*g52*g47 sum （g53:g59） G 加傘大 0.1429 7.36 4.30 6.06 368 7.38 11.17 4.95 44.91 H 法國 b12*b6*h16 bl2*b7*h17 b12*b8*h18 b12*b9*h19 b12*b10*h20 b12*b11*h21 b12*b12*h22 H 法園 #59 a53*h52*h41 a54*h52*h42 a55*h52*h43 a56*h52*h44 a57*h52*h45 a58*h52*h46 a59*h52*h47 sum （h$3:h59） H 法國 0.1429 5.04 8.55 6.51 6.06 5.09 4.95 14.44 50.65
80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 A B d）均值為16.5%的有效率邊界資產組合的加邊協方整矩陣 （與等權重資產組合有相同的均值權重由Solver改變） 資產組合權1 美團 0.3467 53.53 鑣因 0.1606 10.87 0.3467 0.1606 0.0520 0.208 3 0.1105 0.1068 0.0150 1.0000 資產組合方差資產組合SD 資產組合均值 16.12 2.31 8.01 3.55 3.61 1.01 45.49 17.2 16.5 A B C D e）無限制有效率邊界與有限制的邊界（沒有爽空） 標準整均值 9.0 10.5 10.5 無隈制 24.239 22.129 有限制 — 23.388 11.0 21.483 11.0 22.325 12.0 20.292 12.0 20.641 14.0 18.408 美田 -0.0057 0.0648 0.0000 0.0883 0:0000 0.1353 0.0000 0.2293 14.0 15.0 16.0 17.767 17.358 18.416 17.767 17.358 17.200 17.0 17.5 17.5 18.0 17.200 17.216 17.22i 17.297 18.0 17.405 18.5 18.5 21.0 17.441 17.790 19036 21.0 22.0 26.0 22.523 20.028 25.390 0.3233 0.3702 0.3937 0.3777 0.4172 0.3285 0.4407 0.2792 0.5582 0.0000 0.6052 0.7931 D E 英國 0.0520 4.74 日本 0.2083 10.54 2.31 8.01 1.49 2.91 2.91 1.86 30.71 4.39 1.65 4.02 0.25 0.93 15.21 61.51 E F 有效率邊界的國寂權意德田 -0.2859 -0.1966 0.0000 -0.1668 0.0000 -0.1073 0.0000 0.0118 0.0028 0.0713 0.1309 0.1904 0.0355 0.0686 0.2202 0.2248 0.2499 0.0851 0.0867 0.1017 0.2945 0.1157 0.2797 0.1182 0.3642 0.1447 0.4285 0.8014 0.4880 0.7262 0.2010 0.1739 0.2341 0.3665 F 澳大利亞 0.1105 9.59 3.55 1.86 4.39 9.30 4.27 0.41 33.38 第8章最優風險資產組合 G 加拿大 0.1068 13.35 3.61 1.65 4.02 4.27 6.25 0.39 33.53 H 法國 0.0150 1.29 1.01 0.25 0.93 0.41 0.39 0.16 4.44 G 日本 0.2205 0.2181 0.0007 0.2173 0.0735 0.2157 0.1572 0.2124 0.2068 0.2108 0.2091 0.2075 0.2067 0.2021 0.2059 0.1869 0.2051 0.1716 0.2010 0.0247 0.1994 0.1929 H 澳大利亞 0.0645 0.0737 0.0000 0.0768 0.0000 0.0829 0.0325 0.0952 0.0884 0.1013 0.1074 0.1135 0.1166 0.1086 0.1197 0.0744 0.1227 0.0402 0.1380 0.0000 0.1442 0.1687 法國 0.2216 0.1803 0.0000 0.1665 0.0000 0.1390 0.1651 0.0485 -0,0098 0.0000 -0.0681 0.0000 -0.1263 0.0000 -0.4178 0.0000 -0.5343 -1,0006 -0.0263 0,0000 -0.0401 0.：0000 -0.1090 0.0000 -0.1365 -0.，2467 141
第二部分投資組合理論 Excel應用最優資產組合我們可以在www.mhhe.com/bkm 的線上學習中心找到用電子表格模型描繪最優資產組合的方法。它包含一個模板，跟本節所介紹的模板很相似。這種模型可以用來對有限制和無限制的資產組合，按照目標收益率來尋找最優證券組合。對於每一組合的輸入資料都可以自動生成有效率邊界曲線。網站提供了可使用的例子，將模型應用於由幾個國家和地區證券指數構造的資產組合（稱為WEBS證券）之中。那裡還有許多運用這種電子表格的練習題。 概念檢查問題• 4.假設有兩個資產組合管理人分別為兩家競爭的投資管理公司工作。每寮公司都僱傭了一批證券分析師準備馬科維茨演算法的投入構成表。所有工作完成後，資產組合管理人A 所得到的有效率邊界優於資產組合管理人B的有效率邊界， 所謂優於是指管理人A的風險資產組合位於管理人B的風險資產組合的左上方。這樣所有的投資者都感在管理人A 的資本配置線上進行投資。 a.造成這一結果的原因有哪些？ b.這是因為管理人A的證券分析好的線故嗎？ c.可能是因為管理人A的計算機程式高階嗎？ d. 如果你正在為客戶提出建議（你可以看見不同管理人的有效率邊界），你會定期地告訴他們把資金轉移到位於最左上方的資產組合中嗎？ 8.5.3 資產配置與證券選擇正如我們所看到的，證券選擇的理論與資產配置的理論是一樣的，兩者都是要構造一個有效率邊界，沿這一邊界選擇一個特有的資產組合。最優證券資產組合過程的決定與最優資產類別組合的分析是一樣的，那麼為什麼我們要區分資產配置與證券選擇呢？ 有三個方面的原因。首先，這是對儲蓄有更大的需要與能力（了接受大學教育、娛樂、退休後更長久的生存、 保健等）的結果，這促進了更復雜的投資管理的激烈增長。 第二，金融市場的擴大和金融工具的增加已經使複雜的投資超出的業餘投資者的能力。最後，大規模投資管理的收益豐厚。最終的結果是一個有競爭力的投資公司將與行業一起成長，組織的效率是一個重要因素。 一個大型的投資公司將可能對國內與國際市場上種類廣泛的不同資產進行投資，每一種投資都需要有專門的專家。 142 A B C D E 世界證券組合有效率邊界（WEBS） 3 10 11 12 WEBS EWD EWH EWI EWJ EWL EWP EWW 標準普爾500 平均收益 15.5393 6.3852 26.5999 1.4133 18.0745 18.6347 16.2243 17.2306 標準差 26.4868 41.1475 26.0514 26.0709 21.6916 25.0779 38.7686 17.1944 瑞典中國香港義大利日本瑞士西班牙墨西哥因此，每個資產類別的資產組合的管理需要分權，不可能在某一水平上同時最佳化整個機構的風險資產組合，儘管這在理論上說是可行的。 因此，在實踐中，對每一資產類別的資產組合來說， 其證券選擇的最佳化是獨立的，同時最高管理層不斷地更新機構的資產配置，調整每一資產類別在資產組合中的投資預算。 當這種頻繁的改變是對不斷的預測活動的回應時，這類重新配置被稱為市場時機（market timing）。分兩步構造資產組合與一步構造資產組合相比較有一缺點，這就是不能考查這個資產類別的單個證券與另一資產類別中的證券的協方差。 只有本類別資產組合中的協方差矩陣可以運用。但是，這種損失很小，原因在於每一資產組合的分散化深度和在資產配置水平上額外的分散化層次。 8.6 具有無風險資產限制的最優資產組合無風險資產的存在大大簡化了資產組合的決策。當所有的投資者能以無風險利率借人和借出資金時，我們可以為所有投資者提供在輸人清單相同時獨特的最優風險資產組合，這個資產組合最大化了報酬與波動性比率。所有的投資者使用相同的風險資產組合，不同的是他們在無風險資產中的投資比例不同。 如果沒有無風險資產呢？儘管國庫券名義上是無風險資產，但是，它們的真實收益是不確定的。沒有一個無風險資產，就沒有一個相切的資產組合適合所有的投資者，在這種情況下，投資者不得不在風險資產的有效率邊界上選擇資產組合（見圖8-5）。 每一個投資者都要如圖8-15所示，透過自己在有效率邊界上的無差異曲線集合來找到最優風險資產組合。圖8-15 中一個具有無差異曲線、 和 "的投資者將選擇資產組合P，風險厭惡型投資者有更陡的無差異曲線，因此，他們將選擇有低收益、低標準差的資產組合Q，冒險型投資者將選擇有高收益、高風險的資產組合S。所有投資者的共同特點是他們都在有效率邊界上選擇資產組合。 錒螜收益 Uw. 有效率邊界 “更多風險忍耐的投資者更多風險厭惡的投資者但他們將受到影響。這些投資者將不得不選擇在有效率邊界的資產組合，譬如資產組合Q，這些投資者將不投資於無風險資產。 E（r） .CAL r； 圖8-16 具有無風險借出但無借入情況下的資產組合選擇第8章最優風險資產組合比例8.4更現實的情形是，個人如果要借款投資於風險資產組合，必須付出比國庫券利率高的利率。例如，經紀人素要的保證金貸款利率就高於國庫券利率。 借款與貸款利率當投資者面臨借款利率高於貸款利率時，他們的資本配置線分為三部分，如圖8-17所示，CALI，相對於線段FP」， 代表風險厭惡型投資者的有效資產組合。這些技資者把部分基金以r，的利率水平投資於相簿券，他們找到的相切的資產組合為P，他們選擇了一個完整的資產組合，例如圖8-18中的資產組合A。 ECr） a 圖8-18 借貨利率不同情況下風險厭惡型投資者的最優資產組合 CALz在資產組合P，的右邊是可行的，它代表買險製授資者的有效資產組合。這條線從借款利率門出發，但是在門 P，段是不可行的，因為借出利率（投資於團庫券）僅僅在無風險利率r，時是可行的，而r；低於廣。 投資者願意以一個更高的利率廣借入資金，投資於一個最優風險資產組合，投資者將選擇資產組合P做出風險投資工具，這個例子的圖示如圖8-19所示。在圖8-19中，冒險型投資者的無差異曲線在CAL，上，這些投資者選擇資產組合P2 1.3
第二部分投資組合理論作為最優風險資產組合並借款進行投資，以達到完整的資產組合B。 E（r） CALz •有效率邊界 "y a 圖8-19 借貸利率不同情況下冒險型投資者的最優資產組合既非冒險型要借入資金進行投資，又非風險厭惡型只投資於相簿券的中性投資者，他們從有效率邊界上選取P.P，段進行資產組合的選擇，這個例子的圖示如圖8-20所示。投資者的無差異曲線與有效率邊界的資產組合相，得到資產組合C。 概念檢查問題釀. 5. 在借貸利率不同的情況下，只有具有平均風險厭惡程度的投資者才會選擇圖8-18中P,P，段的資產組合。其他投資者中的風險厭惡型的選擇CAL」上的資產組合，冒險型的投資者選擇CALz上的資產組合。 a.這是不是說平均風險厭惡程度的投資者更加依賴產生有效率邊界的預測的質量？ b.試比較圖8-18中P,P，段之間的資產組合與P以外CALz上的資產組合在期望收益與標準差上的權衡關係。 1） 資產組合的期望收益是資產組合中各項資產的期望收益以各項資產比例為權重的加權平均值。 2） 資產組合的方差是協方差矩陣各元素與投資比例為權重相乘的加權總值。因此，每一資產的方差以其投資比例的平方進行加權，任一對資產的協方差在協方差矩陣中出現兩次。所以，資產組合方差中包含著二次協方差權重，這是由兩項資產的每一項資產的投資比例的乘積構成的。 3） 即便協方差正，只要資產不是完全正相關的，資產組合的標準差就仍小於組合中各項資產的標準差的加權平均值。因此，只要資產不是完全正相關的，分散化的資產組合就是有價值的。 144 E（r） CALI •CAL： • 有效率邊界 a 圖8-20 在借貸利率不同情況下中性投資者的最優資產組合線上投資風險比較登入http://www.morningstar.com並選擇“Funds”一欄，在對話方塊裡選擇一種基金，鍵入富達基金並點選繼續鍵。這將列出所有的富達基金。選擇富達多媒體基金，從所顯示的資訊中選擇個人擁有量最多的前25個。在 “Style”部分中有擁有量最多的基金資訊。其中前五位用 V表示。 完成以上步驟後，登入http://www.financialengines .com。在選單中選擇 "Forecast and Analysis"，再選擇 “Scorecard”。然後會出現一個搜尋基金和各個股票的對話框。你可以透過輸入基金和各個股票的名稱或用v來選擇它們。將個人證券組合與基金的風險等級做比較，分析是哪些因素導致了個人證券組合與基金整體之間在等級上的差別。 4） 資產組合中一項資產的協方差相對於其他資產的協方差越大，它對資產組合方差的作用就越大。一項資產如與資產組合完全負相關，它將具有完全對沖的功能。一項完全對沖資產可以降低資產組合的方差至零。 5） 有效率邊界是利用圖表來表示在某一特有風險水平上，有最大收益的一組資產組合。理性投資者將在有效率邊界上選擇資產組合。 6） 一個資產組合管理人在確定有效率邊界時，首先要估計資產的期望收益與協方差矩陣。這個投人構成表被輸入最佳化程式中，得到在有效率邊界上資產組合中各項資產的比例、期望收益與標準差等。
7）一般來說，資產組合管理人會得到不同的有效資產組合，因為他們的證券分析方法與質量是不同的。管理人主要在證券分析質量，而不是在管理費上展開競爭。 8）如果無風險資產存在，投入構成表亦可以確定，所有投資者都將選擇在有效率邊界上同樣的資產組合：與資本配置線相切的資產組合。具有相同投入構成表的所有投資者將持有相同的風險資產組合，不同的是在風險資產組合和無 http://finance.yahoo.com 可在此查詢歷史性股價信息，這對於計算各種有價證券的期望收益率、標準差和協方差非常有用。在表格函式中可得到不同證券的資訊。 http://www.financialengines.com 知道誰是這家網站的幕後人嗎？這裡有檢測風險的工具，它可用於對不同的股票與對這些股票假設的平均組合做對比分析。要想將本章概念進行實際應用就從這裡的演示開始吧。 http://www.efficientfrontier.com/ef/402/siegel.htm 進去看看對交易的風險-收益權衡關係有哪些有趣的討論話題下面的資料可用於習題1~習題8。 一位養老基金管理人正在考慮三種共同基金。第一種是股票基金，第二種是長期政府債券與公司債券基金，第三種是收益率為8%的短期國庫券貨幣市場基金。這些風險基金的機率分佈如下： 股票基金（S） 債券基金（B） 期望收益 20% 12% 標準整 30% 15% 基金的收益率之間的相關係數為0.10。 1. 兩種風險基金的最小方差資產組合的投資比例是多少？這種資產組合收益率的期望值與標準差各是多少？ 2. 製表並畫出這兩種風險基金的投資機會集合，股票基金的投資比率從0%到100%按照20%的幅度增長。 3. 從無風險收益率到機會集合曲線畫一條切線，由此得到的最優資產組合的期望收益與標準差各是多少？ 4. 計算出最優風險資產組合下每種資產的比例以及期望收益與標準差。 5.最優資本配置線下的最優報酬與波動性比率是多少？ 6. 投資者對他的資產組合的期望收益率要求為14%， 並且在最佳可行方案上是有效率的。 a. 投資者資產組合的標準差是多少？ b.在短期國庫券上的投資比例以及在其他兩種風險基金上的投資比例是多少？ 第8章最優風險資產組合風險資產之間的資金分配。這一結果就是資產組合構造的分離原則。 9）當無風險資產不存在時，每個投資者在有效率邊界上選擇風險資產組合。如果有無風險資產，但借入是受限制的，那麼，只有冒險型投資者會受到影響，他們將根據其願意冒險的程度在有效率邊界上選擇資產組合。 和分析內容。 http://www.moneychimp.com/articles/volatility/standa rd_deviation.htm 這裡提供各種股票和現金投資組合效果的互動式計算工具。 http://www.aigvalic.com/agfa/agfaweb.nsf/contents/ article_diversity?opendocument&noload 這裡有關於如何實現分散化的相關內容。 http://www.moneychimp.com/articles/risk/efficient_fr ontier.htm 請來此參加有效率邊界的討論。 7. 如果投資者只用兩種風險基金進行投資並且要求 14%的收益率，那麼投資者的資產組合中的投資比例是怎樣安排的？把現在的標準差與習題6中的相比，投資者會得出什麼結論？ 8.假設投資者面對同樣的機會集合，但是不能夠借款。 投資者希望只由股票與債券構成期望收益率為24%的資產組合。合適的投資比例是多少，由此的標準差是多少？如果投資者被允許以無風險收益率借款，那麼投資者的標準差可以降低多少？ 9.股票提供的期望收益率為18%，標準差為22%。黃金提供的期望收益率為10%，標準差為30%。 a.根據黃金在平均收益率和波動性上的明顯劣勢， 有人會願意持有它嗎？如果有，請用圖形表示這樣做的理由。 b. 由上面的資料，再假設黃金與股票的相關係數為1， 回答a。畫圖表示為什麼有人會或不會在他的資產組合中持有黃金。這一系列有關期望收益率、標準差、相關性的假設代表了證券市場的均衡嗎？ 10.假設證券市場有很多股票，股票A與股票B的特性如下： 股票 A B 期望收益 10% 15% 標準差 5% 10% 相關係數=-1 145
第二部分投資組合理論假設投資者可以以無風險收益率r，借款。則r，的值多少？（提示：設想建立股票A與股票B的無風險資產組合。） 11.假設所有證券的期望收益率與標準差為已知（包括無風險借貸利率），這種情況下所有投資者將會有同樣的最優風險資產組合。（正確還是錯誤？） 12. 資產組合的標準差總是等於資產組合中的資產的標準差的加權平均。（正確還是錯誤？） 13. 假設投資者有一個專案：有70%的可能在一年內讓他的投資加倍，30%可能讓他的投資減半。該投資收益率的標準差是多少？ 14.假設投資者有100萬美元，在建立資產組合時有以下兩個機會： a. 無風險資產收益率為12%。 b.風險資產收益率為30%，標準差為40%。 如果投資者資產組合的標準差為30%，那麼收益率是多少？ 下面的資料可用於習題15~習題17。 H&A公司為多管理人管理的W養老基金管理著3000萬美元的股票資產組合。W養老基金的財務副主管傑森•瓊斯注意到H&A在W養老基金的6位股票管理人中持續保持著最優的記錄。在過去的5年中有4年H&A公司管理的資產組合的表現明顯優於標準普爾500指數，惟一業績不佳的一年帶來的損失也是微不足道的。 H&A公司是一個“特立獨行”的管理人。該公司儘量避免在對市場的時機預測上做任何努力，它把精力主要放在對個股的選擇上，而不是對行業好壞的評估上。 六位管理人之間沒有明顯一致的管理模式。除了H&A 之外，其餘的五位管理人共計管理著由150種以上的個股組成的2.5億美元的資產。 瓊斯相信H&A可以在股票選擇上表現出出眾的能力， 但是受投資的高度分散化的限制，達不到高額的收益率。這幾年來，H&A公司的資產組合一般包含40~50種股票，每種股票佔基金的2%~3%。H&A公司之所以在大多數年份裡表現還不錯的原因在於它每年都可以找到10~20種獲得高額收益率的股票。 基於以上情況，瓊斯向W養老基金委員會提出以下計劃： “讓我們把H&A公司管理的資產組合限制在20種股票以內。H&A公司會對其真正感興趣的股票投人加倍的精力， 而取消其他股票的投資。如果沒有這個新的限制，H&A公司就會像以前那樣自由地管理資產組合。” 基金委員會的大多數成員都同意瓊斯的觀點，他們認為H&A公司確實表現出了在股票選擇上的卓越能力。但是該建議與以前的實際操作相背離，幾個委員對此提出了質疑。 146 請根據上述情況回答下列問題。 CFAA PROBLEHS 15.a.20種股票的限制會增加還是減少資產組合的風險？請說明理由。 b.H&A公司有沒有辦法使股票數由40種減少到20 種，而同時又不會對風險造成很大的影響？請說明理由。 PROBLEMS 16. 一名委員在提及瓊斯的建議時特別熱心。他認為如果把股票數減少到10種，H&A公司的業績將會更好。如果把股票減少到20種被認為是有利的，試說明為什麼減少到 10種反而不那麼有利了。（假設W養老基金把H&A公司的資產組合與基金的其他資產組合獨立考慮。） CFA. FOBLEMS 17.另一名委員建議，與其把每種資產組合與其他的資產組合獨立起來考慮，不如把H&A公司管理的資產組合的變動放到整個基金的角度上來考慮會更好。解釋這一觀點將對委員會關於把H&A公司的股票減至10種還是20種的討論產生什麼影響。 下面的資料可以用於18到20題。 股票之間的相關係數如下：Corr（A，B）=0.85；Corr（A， C）=0.60；Corr（A,D）=0.45。每種股票的期望收益率為8%， 標準差為20%。 18. 如果投資者的全部資產現在由股票A組成，井且只被允許選取另一種股票組成資產組合，投資者將會選擇： （解釋投資者的選擇） a. B b.C c.D d. 需要更多的資訊。 19. 習題18中的回答會使得投資者的風險容忍度更大還是更小？請解釋。 20. 假設投資者除了可以多投資一種股票外，還可以投資於短期國庫券，短期國庫券的收益率為8%，投資者對可題18、習題19的答案會改變嗎？ CGaone 21. 下面哪一種資產組合不屬於馬科維茨描述的有效率邊界？ CFAA a. b. c. d. 資產組合 W X Z Y 期望收益（%） I5 12 標準楚（%） 36 I5 21 22. 下面對資產組合分散化的說法哪些是正確的？ a. 適當的分散化可以減少或消除系統風險。 b.分散化減少資產組合的期望收益，因為它減少了資產組合的總體風險。 c.當把越來越多的證券加入到資產組合當中時，總體風險一般會以遞減的速率下降。 d. 除非資產組合包含了至少30只以上的個股，分散化降低風險的好處不會充分地發揮出來。 CFA 23. 測度分散化資產組合中的某一證券的風險用的是： a. 特有風險 b. 收益的標準差 c.再投資風險 d.協方差 PROBLEMS 24.馬科維茨描述的資產組合理論主要著眼於： a. 系統風險的減少 b. 分散化對於資產組合的風險的影響 c.非系統風險的確認 d. 積極地資產管理以擴大收益 （の男LEMS 25.假設一名風險厭惡型的投資者，擁有M公司的股票， 他決定在其資產組合中加人Mac公司或是G公司的股票。這三種股票的期望收益率和總體風險水平相當，M公司股票與 Mac公司股票的協方差為-0.5，M公司股票與G公司股票的協方差為+0.5。則資產組合： a.買人Mac公司股票，風險會降低更多。 b. 買人G公司股票，風險會降低更多。 c.買人G公司股票或Mac公司股票，都會導致風險增加。 d. 由其他因素決定風險的增加或降低。 CFA PROBLEMS 26. A、B、C三種股票具有相同的期望收益率和方差， 下表為三種股票收益之間的相關係數。根據這些相關係數， 風險水平最低的資產組合為： 股票A 股票B 股票C 股票A 股票B 股票C +1.0 +0.9 +0.1 +1.0 -0.4 +1.0 CRA PROBX.EMS a. 平均投資於A、B b.平均投資於A、C c.平均投資於B、C d. 全部投資於C 27.A、B、C三種股票的統計資料如下表： 收益標準躉股奡收益標準差（%） A 40 B 20 40 收益相關係數股票 A 8 c A 1.00 B 0.90 1.00 c 0.50 0.10 1.00 僅從表中資訊出發，在等量A和B的資產組合和等量B和 C的資產組合中做出選擇，並給出理由。 下表為習題28、習題29中所需的年收益率（10年為基準，單位：%）。 第8章最優風險資產組合 20年代®30年代40年代50年代60年代70年代80年代90年代小公司股票大公司股票長期政府債券中期政府債券短期國庫券通貨膨脹率 -3.72 18.36 3.98 3.77 3.56 -1.00 7.28 -1.25 4.60 3.91 0.30 -2.04 20.63 9.11 3.59 1.70 0.37 5.36 19.01 19.41 0.25 1.1 1.87 2.22 13.72 7.84 1.14 3.41 3.89 2.52 8.75 5.90 6.63 6.11 6.29 7.36 12.46 17.60 11.50 12.01 9.00 5.10 13.84 18.20 8.60 7.74 5.02 2.93 ① 以1926~1929年為基礎資料來源：資料見表5-2 28. 將上表資料填人電子表格，計算各類資產收益率和通脹率的序列相關係數，以及和各類資產之間的相關係數。 說明計算資料所揭示的內容。 29. 將表中的10年期收益率轉化為年收益率，重複習題 28中的計算和分析。 PROBLEMS 30.喬治•斯蒂文森目前有2100萬美元的投資組合，組合情況見下表： 價值 （美元） 佔總額百分比期望年收益率年標準差短期債券國內大無固定利息證券國內小無固定利息證券證券總和 200 000 10% 4.6% 600 000 30% 12.4% 16.0% 1.6% 19.5% 29.9% 1200 000 2000 000 60% 100% 13.8% 23.1% 斯蒂文森計劃將很快就能到手的另外2100萬美元全部投資於指數基金，這樣就可以和現在的證券組合構成很好的互補關係。特許金融分析師斯蒂芬妮•庫普，預期下表中的四種指數基金可以滿足目前組合的兩個標準：即（1）維持或提高期望收益；（2）維持或降低波動性。 每種基金投資於一種類別的資產，這些類別在現在的證券組合中並沒有充分表現出來。 指數基金期銀年收益率期望年標準整與目前證券組合的相關性基金A 基金B 基金C 基金D 15% 11% 16% 14% 25% 22% 25% 22% +0.80 +0.60 +0.90 +0.65 請問庫普應該向斯蒂文森推薦哪個基金？說說你選擇的基金是如何很好地滿足斯蒂芬妮的兩個標準的，這不需要任何計算。 coens 31. 艾比蓋爾•格蕾絲有90萬美元完全分散化的證券組合投資。隨後，她繼承了價值10萬美元的ABC公司普通股。 她的財務顧問提供瞭如下預測資訊： 147
第二部分投資組合理論期望月收益率原始證券組合 ABC公司 0.67% 1.25% 月收益標準差 2.37% 2.95% ABC股票與原始證券組合的收益相關係數為0.40。 a.遺產繼承改變了格蕾絲的全部證券組合，她正在考慮是否要繼續持有ABC股票。假定格蕾絲繼續持有 ABC股票，請計算： i.包括ABC股票在內的她的新證券組合的期望收益。 ii. 包括ABC股票在內的原組合收益的協方差。 iii.包括ABC股票在內的新組合的標準差。 b.如果格蕾絲賣掉ABC股票，她將投資於無風險的月收益率為0.42%的政府證券。假定她賣掉ABC股票並用此收入購買了政府證券，請計算： i. 包括政府證券在內的她的新組合的期望收益。 ii.政府證券收益與原證券收益組合的協方差。 ii.包括政府證券在內的新組合的標準差。 c.比較包括政府證券在內的新證券組合與原證券組合的B係數，二者誰高誰低。 d.格蕾絲經過與丈夫商量後，考慮要賣出10萬美元的 ABC公司股票，買人10萬美元的XYZ公司普通股。 這兩種股票的期望收益和標準差都相等。她丈夫說， 是否用XY2公司股票替代ABC公司股票並無區別。 判斷她丈夫的說法是否正確，並說明理由。 e.格蕾絲在最近和她的財務顧問交談中說：“如果我的證券投資不虧本，我就滿足了。我雖然希望得到更高的收益，但我更害怕虧本。” i. 用收益標準差作為風險衡量的標準，指出格蕾絲的一個不合理之處。 ii.給出當前情況下一種更合適的風險衡量方法。 32. 特許金融分析師達德利•特魯迪，最近約見了一位客戶。特魯迪主要投資於來自幾個產業的30種公司股票。約見結束後，客戶說：“我相信你的股票選擇能力，我認為你應將我的資金投資於你認為最好的五種股票。你明顯偏愛其中幾種股票，為何還要投資於30個公司？”特魯迪準備運用現代證券組合理論給他做解釋。 a.試比較系統性風險與公司特有風險的概念，並各舉一例。 b.評論客戶的建議。說說隨著證券組合中證券數量的增加，系統性風險與公司特有風險各自將如何變化。，概念檢查問題答案。 1.a.第一項 wDxwox ob。因為這是矩陣角上的元素得到協方差矩陣： 0、列上的項w，和行上的項wD的乘積，用這種方法對協方差矩陣的每一項進行運算，就得到 Wiog+wow：Covr:To）+Wew,Cor（to.re）+wioa 股寨 D E 這與式（8-2）是等價的，因為Cov（rE、「D）=Cov（rD.「e）。 b. 協方差矩陣如下： D 144 60 E 60 400 Wx Wx Wy Cor（rx,r） q Cov（rz.Tp） Wz Cor（rx,rz Cov（ry,rz） 得到總體方差最小的資產組合為： ok-Cov（rp.⅛a） MD“品+品-2C0v（0o.re） WE-1-WD-0.1981 400-60 一=0.8019 （144+400）-（2×60） Wz Cov（ry.rx） Cov（rz.rx） 於是得到期望收益和標準差* 協方差矩陣中有9個元素，資產組合的方差由這9項 E（rp）- （0.8019×8）+ （0.1981×13）=8.99% 算得： 9，-［vo +wio+2W w.Cowro.re）” -［（0.80192 x144） + （0.19812 ×400）+ WywxCov（ry，「x）+ WxwaCov（rx,tz）+ （2×0.8019 ×0.1981×60）］"2 -11.29% WzwxCov（rz,/x）+WywzCov（ry, /z）+ WzwyCov（tz，） - o +uio+ Mo+2wxw,Cov（rxFy）+ 2wxwzCov（rx,rz）+2wpwzCov（ry,rz） 2. 機會集合的引數為E（ro）=8%，E（rE）=13%， 0=12%，Or=20%，P（D,E）=0.25。由標準差和相關係數對於其他的資產組合，我們將wo從0.10增至0.90，相應的wE從0.90降至0.10。將這些資產組合代人期望收益與標準差的計算中，注意在w，或w為1時，就代表單獨持有該股票， 所得期望收益與標準差即該股票自身的值。 於是我們得到下表： 148
WE 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 10 0.1981 wo 1.0 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.8019 E（r） 8.0 8.5 9.0 9.5 10.0 105 11.0 11.5 12.0 12.5 13.0 8.99 a 12.00 11.46 11.29 11.48 12.03 12.88 13.99 15.30 16.76 18.34 20.00 11.29 最小方差組合這樣就可以畫出圖形。 3.a.股票和風險債券基金的期望收益與方差計算與習題2相似，在給出a部分的圖解時要注意這些計算。 另外，基金之間的協方差為 Cov（rA, TA）=P（A,B） ×OAXO8=-0.2×20×60=-240 b. 最優風險組合的權重 （10-5）602-（30-5）（-240） WAM -=0.6818 （10-5）60’+（30-5）202-30（-240） We =1-wA=0.3182 期望收益和標準差 E（r，）=（0.6818 ×10）+（0.3182 × 30）=16.36% （p=｛（0.68182 x 20°） +（0.31822× 602）+ ［2× 0.6818 × 0.3182（-240）］｝12=21.13% 注意到，這裡最優風險組合的標準差小於股票A，同時， 資產組合P並不是整體最小方差資產組合，整體最小方差資產組合的權重為 603-（-240） WA- =0.8571 602+202-2（-240） W： -1-wA -0.1429 最小方差資產組合的標準差 o（min）=｛（0.85712 ×202）+ （0.1429° ×603）+ 12×0.8571×0.1429× （-240）］2"/2 =17.57% 這個標準差小於最優風險資產組合的標準差。 c.資本配置線是無風險收益點與最優風險組合的連線， 第8章最優風險資產組合它代表了短期國庫券與最優風險資產組合之間的所有有效率組合，資本配置線的斜率為 S=- E（rp）。16.36-3 -=0.5376 Op 21.13 d. 在給定的風險厭惡指數A的條件下，投資者願意投資到最優風險資產組合的比例為 E（rp）-V； 16.36-5 Y= 0.01xAOp 0.01×5×21.133-0.5089 這意味著A=5的投資者願意在這個最優風險資產組合中投入50.89%的財產，由於A、B兩種股票在資產組合中的比例分別為68.18%和31.82%，這個投資者分別投資於這兩種股票的比例為股票A：0.5089 ×68.18=34.70% 股票B：0.5089 × 31.82=16.19% 總額： 50.89% 4. 有效率邊界來源於資產組合管理人對各種投資收益的預測和對風險，即協方差矩陣的估計。預測本身並不能決定產出，於是選擇帶有樂觀估計的管理人就意味著碰上好的形勢時會得到更大的收益，而在情況惡劣時的損失也會更大。 我們應該做的是準確預測情形的管理人以回報，於是當投資者看到資產管理人做出的曲線（預測）時，所要做的應該是得到其預測準確性的記錄，從而選擇預測更為準確的。這樣進行資產組合的選擇，從長遠來看將會更加地出色。 5.a. 資本配置線上的資產組合是風險資產與無風險資產的組合。於是其準確性也依賴於有效率邊界的準確性。如果我們透過“報酬與波動性比率”的準確性來測度預測的準確性，就會發現，資本配置線上的所有資產組合的準確性都是相同的。 b.CAL 上的所有資產組合為P，和購買無風險債券的組合，這樣的風險資產和無風險資產的組合導致了資產期望收益和標準差之間的線性關係： CALz上的資產組合也是一樣，只需在上式中用E（rp）， Op，取代E（rp），Op，。 而投資者希望得到E（rp，）和E（）之的期望收益率，則需用恰當的比例確定P，和P之間的風險資產，從其有效率邊界得到相應的資產組合。 149
第二部分投資組合理論附錄8A 分散化的力量在第8.1節中引人了分散化的概念，但是，由於系統風險的原因，限制了進一步分散化帶來的更多的好處。運用我們已有的工具，我們可以更深層次地考察一下分散化，同時加深對分散化作用的理解。 式（8-10）給出資產組合方差的一般公式，有 o-名容wwcour：） （8A-1） 現在首先考慮一個單純的分散化策略，構建一個等權重的資產組合，每一證券有一平均的權重，為w.=1/n。此時式（8A-1）可以改寫為下式（我們把i=的情況分別寫出），注意，Cov（r，，1）=0， （8A-2） 式中包含n項方差和n（n-1）項協方差。 如果我們定義證券的平均方差和平均協方差為 Cov= jmi 我們可以將資產組合方差的表達改寫為 --O Cov （8A-3） 現在考察一下分散化的影響。當證券收益之間的平均協方差為零時，這是因為此時所有的風險都是公司特有風險， 資產組合的方差可零。我們從式（8A-3）中可以看到： 在這樣的情景下，右邊第二項為零，而當n足夠大時，第一項趨近於零。因此，當證券收益不相關時，資產組合分散化的作用對於有限的資產組合的風險來說是無限的。 但是，最重要的經濟領域的風險因素使得股票的收益是正相關的。在這種情況下，儘管資產組合有更大程度的分散化（n增大），資產組合的方差仍為正。儘管式（8A-3） 中第一項表示的公司特有風險可以分散掉，但是，第二項在 n增大時，將趨近於平均協方差。注意，（n-1）/n=1- 1/n， 150 當n很大時，此式趨近於1。因此，分散化的資產組合不可降低的風險依賴於資產組合中各項資產收益的協方差，而它也是經濟中重要的系統因素的函式。 為了進一步考察系統風險與證券相關性的關係，假定所有證券有同樣的標準差o，而且所有證券間的相關係數 P，每對證券的協方差為po，式（8A-3）變為 n-1 品二g’+ -po？ （8A-4） 現在相關性的影響就非常清楚了，當p=0時，我們再次得到了保險原則，資產組合的方差在n足夠大時趨向於0， 當p＞0時，資產組合方差為正。實際上，當P=1時，資產組合的方差不管n為多大都等於。，這表明分散化沒有好處。 當資產組合中各項資產的收益完全相關時，現有的風險都是系統風險。一般來說，n足夠大時，式（8A-4）顯示系統風險為pd。 表8A-1中列出在證券數目增加，p=0和p=0.4的兩種情況下，資產組合的標準差。表中取g=50%，正如人們所意料的，資產組合風險在p=0.4時較大。更令人吃驚的是在相關性為正的情況下，當n增加時，資產組合的風險並不怎麼減少，證券的相關性限制分散化的作用。 表8A-1 相關及非相關等權重資產組合的風險降低情況 P=0 整體規樸最優組合比例1/n（%） 標準整 （%） o的降低 p=0.4 標準躉 （%） o的降低 1 2 5 6 10 100 50 20 16.67 10 9.09 20 21 100 101 4.76 1 0.99 50.00 35.36 22.36 20.41 15.81 15.08 11.18 10.91 5.00 4.98 14.64 1.95 0.73 0.27 0.02 50.00 41.83 36.06 35.36 33.91 33.71 32.79 32.73 31.86 31.86 8.17 0.70 0.20 0.06 0.00
第8章最優風險資產組合在100種證券的資產組合中，當各證券不相關時，標準差為5%，而且可能降至0。當p=0.4時，標準差很大，為 31.86%，非常接近於不可分散的系統風險，系統風險為 Npo' #10.4x502 -31.52% 因此，進一步分散化的價值不大。 我們從這裡還有更重要的發現，當我們持有分散化的資產組合時，單個證券對資產組合風險的影響取決於它與其他證券收益的協方差，而不是它的方差。正如我們將在第9 章看到的，風險溢價也取決於協方差而不是總收益的方差。 概念檢查問題 1.假定一個風險證券資產組合中包含大量的股票，它們有相同的分佈：E（r）=15%，O=60%，相關係數p=0.5。 a. 含有25種股票的等權重資產組合的期望收益和標準差是多少？ b. 構造一個標準差小於或等於43%的有效資產組合所需最少的股票數量為多少？ c.這一資產組合的非系統風險為多少？ d. 如果國庫券的收益率為10%，資本配置線的斜率為多少？ 概念檢查問題答案 1.本題的有關引數為E（r）=15%，G=60%，相關係數 p=0.5。 a.資產組合的期望收益與資產組合規模無關，因為所有證券具有相同的期望收益。當n=25種股票時，資產組合的標準差為 op=ldin+pxc（n- 1/ng"2 = ［603/25 +0.5 × 602 × 24/25］ "2 =43.27 b.因為所有股票是相同的，因此有效資產組合是等權重的，要得到標準差43%的資產組合，我們需要解出n： 43°-602+0.5×60°（-）） 1849n -3600+1800n -1800 n-1800 =36.73 49 因此我們需要37種股票。 c.當n變得非常大時，等權重有效資產組合的方差將消失，剩下的方差來自股票間的協方差： ap -VpxG -V0.5× 602- 42.43 n=25時，我們得到非系統風險0.84%，即25種股票的資產組合的非系統風險為0.84%。n=37時， 資產組合的標準差為43%，非系統風險為0.57%。 d. 如果無風險利率為10%，那麼不論資產組合規模為多大，風險溢價為15%-10%=5%，充分分散的資產組合的標準差為42.43%，資本配置線的斜率為S= 5/42.43=0.1178。 附錄8B 保險原則：風險分擔與風險聚集均值-方差分析已經被投資專家們牢牢掌握，有效分散的機制也被廣泛運用。但是一些常見的概念錯誤依然存在， 這裡我們將分析其中的幾例。 一般人們相信保險公司應持有大量相互獨立的保單的資產組合來規避風險。事實是，大量的保單不僅不必要，也不是一個有效保險資產的充分條件。實際上，一個不願意承保單個保單的保險人也不願意承保相互獨立的大量保單的資產組合。 讓我們考察—下保羅•薩繆爾森（1963）的故事。有一次他和同事打賭扔硬幣，如果是他要的那面，他贏1 000 美元，輸的話他給同事2000美元，同事拒絕了：“我不會與你打賭，因為我覺得1000美元損失比2000美元的收益多得多。但是如果說賭100次的話，我願意。” 薩繆爾森的同事和其他許多人一樣或許並不是很正確地表達了他的觀點：“一次並足以出現我所需要的平均定律的結果，但100次就可以了。” 另一種理性的理解是從收益率的角度考察。每次打賭， 你會出資1 000美元，有50%的機會拿回來3000美元，50% 的機會血本無歸。收益的機率分佈是200%、P=1/2和 -100%、p=1/2。 151
第二部分投資組合理論每次打賭都是相互獨立和相同的，因此期望收益E（r）= 1/2（200）+1/2（- 100）=50%，不論賭多少次，這些獨立打賭資產組合的收益標準差為” a（n）-aln 其中每一次打賭的標準差 8=［1/2（200-50）3+1/2（-100-50）3 = 150% 換句話說，一系列打賭的收益的標準差小於單次打賭。 透過增加打賭次數，可以把標準差降至任意所希望的水平上。 從表面看，薩繆爾森同事的話是正確的，但其實不然。 錯誤在於用不同規模資產組合的收益作為選擇標準。 儘管資產組合是等權重的，但每增加一次打賭亦增加投資 1 000美元。在公司財務課程中，我們學習過，當兩個獨立的專案選其一，當專案規模不同時，不能使用內部收益率作為標準，你不得不用淨現值法。 考慮到單次打賭的美元利潤（相對於收益率）的分布為 E（R） = 1/2 × 2000-1/2x（-1 000） = 500美元 OR= ［1/2（2 000- 500）’+1/2（-1000-500）3 2 = 1 500美元每次打賭都是獨立的，因此總利潤是n次打賭的利潤之和。因此，n次打賭有 ［R（n）］= 500n美元方 （名R）-nc GR（n）myno% -ORvn 所以美元收益的標準會隨著打賭次數n的平方根這一因素的增大而增大。相比較，收益率的標準差會隨著打賭次數 n的平方根這一因素的減小而減小。 類似地，在一個標準的扔硬幣比賽中，扔10次或1000 次得到正面的比例都是50%，但是扔！000次得到的正面比例比扔10次更接近期50%，這就是平均定律。 但是得到正面的確切數值在1000次實驗中偏離均值的 152 數值大。如504次正面接近50%，比均值大4。為了超過4次正面，在10次實驗中，要求10次中有9次正面，這就大大偏離了均值。在多次扔投的例子中，得到正面的數值偏離較大， 但比例較小。對於一家保險公司承保更多的保單也一樣：資產組合的美元方差增大了，但收益率方差下降了。 我們得到的經驗是：在相互獨立等規模的資產組合條件下，收益率分析是適合的，有一個固定的投資預算情況下， 我們只考察改變資產組合中不同資產的比例帶來的後果。但是如果保險公司承保越來越多的保單，就增加了資產組合的美元投資額。因此，從美元收益的角度出發，這種分析方法應該放棄。正如我們比較不同規模的專案時，選用現值法， 而不是內部收益率法，這就是什麼風險聚集（積累獨立風險的客戶）不能消除風險的原因了。 薩繆爾森的同事應這樣回應：“讓我們賭1000次，每次你用2美元賭我的1美元。”這時他的資產組合就是固定的了。 等於！000美元分散到1000個相同並獨立的賭次中，這也使保險原則起作用。 薩繆爾森的同事還可以透過與朋友共同參與的方式來規避風險。如果一個公司與薩繆爾森打賭，每次公司出資 1 000美元，可以得到3000美元或一無所有。每次打賭對於你來說是太大了，但是如果你擁有公司1/1000的股權，你的資金頭寸就恰好等於你1 000次2比1的打賭的資金頭寸了。 1 000美元的1/1 000股份的打賭與1美元的打賭是等價的。擁有大型打賭的小部分股權就可以讓你用可控制的分散化打賭資產組合替代一個大型打賭。 這個道理如何應用到保險公司上呢？投資者可以在股票市場上購買保險公司的股票，這樣他們就可以選擇持有他願意承擔全部風險的一部分。無論保單的風險有多大，如果期望收益率大於無風險利率，一大群單個的小投資者就願意承擔風險。這種由眾多所有者對風險分擔的辦法，使得保險業得以發展。 15 結果從式（8-10）式可以得到，設w： =1/n，所有協方差光 0，因為打賭是獨立的。
第8章最優風險資產組合附錄8C 時間分散化的錯誤保險公司的故事只是討論了對收益率分析法的錯誤使用，特別是不能對不同規模資產組合直接比較。這個錯誤的一個隱含的表現形式是“時間分散化。” 假定弗賴爾先生有100000美元。他想用這筆資金構建一個包含國庫券和風險資產組合的資產組合。國庫券的收益率為10%，風險資產組合年收益率E（rp）=15%，op=30%。 弗賴爾先生年輕時學過財務學，喜歡數量模型，經過仔細估算，他知道他自己的風險厭惡程度為4。結果他計算出投資於風險資產組合的份額，有 E（rp） 15-10 y=~ 0.01xAOp 0.01×4×303-0.14 這就是說，他將把資金的14%（14000美元）投人到最優風險資產組合中。 期望收益與標準差，有根據這個策略，弗賴爾先生計算了他全部資產組合的 Oc=yop =4.20% 這時，弗賴爾感到膽寒，因為他的錢是他退休用的， 他計劃5年後退休，任何失誤對他來說都是難以承受的。 弗賴爾先生打電話給一個受人推崇的財務顧問梅維婭女士，梅維婭女士解釋說時間因素是最主要的。她引用一些學術研究成果說明，資產的收益率在整個持有期是獨立的。 因此，她認為在5年中好年景和壞年景的收益將相互抵消。 結果，在整個投資期間，資產組合的平均收益率的風險比1 年期資產組合收益的標準差要小，因為每年的收益率是相互獨立的。梅維婭女士告訴弗賴爾先生，一個5年期的投資相當於5個等權重的互相獨立的資產構成的資產組合投資。持有這個資產組合（5年期）的收益均值為 Elrp（5）］=15%（毎年） 標準差為"6 30 dp（5）=. JS 13.42%（每年） 弗賴爾先生聽後如釋重負。他相信有效的標準差已從 30%降至14.42%，報酬與波動性比率也優於他的先前估算。 弗賴爾先生的新發現是可靠的嗎？特別是，梅維婭女士的時間分散化真地能降低風險嗎，梅維婭女士所宣稱的5 年的年收益標準差是13.42%是正確的，但是弗賴爾先生所有退休金面臨的風險如何呢？5年的平均收益標準差力 14.42%，弗賴爾先生整個5年期投資的平均收益的令人失望的標準差將會影響他的最終的財富，這個因素為（10.1342）’=0.487。這意味著他的最終財富將可能少於期望的一半，這一影響大於一年的30%的影響。 梅維婭女士錯了，時間分散化並不能降低風險。儘管一年平均收益的標準差小於一個長時間收益標準差是正確的，但不確定性隨著時間的拉長而增加也是正確的。不幸的是，後一種影響主導了長時間投資的風險。即時間越長，風險越大。 圖8C-1與圖8C-2揭示了時間分散化的錯誤。他們給出一種股票的累積收益和可能結果的範圍。儘管收益的置信範圍隨投資的推移而變得狹小了，但是美元收益置信範圍劫擴大了。 扔硬幣實驗在這裡也很有幫助，每年的投資收益就好像扔一次硬幣。經過多年後，正面的次數接近50%，但實際正面與50%的數值的偏差會不斷上升。 這裡的教訓仍然是不要把收益率分析法用於不同規模資產組合的比較。如果投資的持有期超過1期時，說明風險也在增大，這也可類推到保單的例子中。事實是相互獨立的保單不能消除投入更多資金的風險，不能讓資產組合策略的收益標準差掩蓋了真實收益值的重要性。 我們最後還要提醒注意的是，可以考慮對某一風險資產購買“收益率保險”。保證最低收益等於無風險利率的方法是購買執行價等於目前該資產價格乘（1+r）的賣權，其中 T是投資期限。這種賣權可以確保避免標的資產收益率的暴跌。博迪證明了當投資期限延長時這種賣權的價格必然上升。 因此，時間分散化並不能消除風險：事實上，確保收益的成本會隨著投資期限的延長而上升。 16 標準差的計算是近似的，因為假定5仟的收益是5個1年投資收益之和，公式中省略了複利，其誤差非常小，並不影胸我們的結論。 153
第二部分投資組合理論複合年收益率（%） 605550 45． 40• 3530 25 20 15 10 50 -5。 -10- -15 - -202000年第95個百分位第50個百分位第5個百分位 TTT 2005年 TTT 2010年時間 TTT 2015年 2019年圖8C-1 2000 ~2019年間累積收益分佈： 幾何平均年收益率資料來源：StockS, Bonds, Bills, and Inflation: 2000 Yearbook （Chicago: Ibbotson Associates, Inc.，2000.） 154 財富 5010 42.66 11.86 3.30 1 01m 0.03 1979年1985年1990年1995年2000年2005年2010年2015年2019年， 時間圖8C-2 普通股的美元收益，2000~2017年 （1999年為1.00）的名義財富指數累積分佈資料來源：StockS, Bonds, Bills, and Inflation: 2000 Yearbook （Chicago: Ibbotson Associates, Inc.， 2000.）
第三部分資本市場均衡第9章資本資產定價模型第10章指數模型第11章套利定價理論與風險收益多因素模型